Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

Transkriptio

1 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt, Estmaattor, Hajotakuvo, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvahtelu, Leaare regressomall, Kokoasvahtelu, Mallelösumma, Nelösumma, Otos, Otoskoko, Otoskeskhajota, Otoskorrelaato, Otoskovarass, Otosvarass, Pemmä elösumma meetelmä, Pstedagramm, Regressokerro, Regressomall, Regressosuora, Resduaal, Seltettävä muuttuja, Selttäjä, Selttävä muuttuja, Selts, Seltsaste, Sovte, Varassaalshajotelma, Vrheterm 4.. Prrä kohte (a)-(c) havatoaestoh lttvät pstedagrammt (hajotakuvot). Mh kuvosta leaare hde selttäjä regressomall sop hv, mh keskkertasest ja mh huoost? (a) (b) (c) Ratkasu: (a) Leaare regressomall sop tähä aestoo keskkertasest Ilkka Mell (5) /4

2 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (b) Leaare regressomall sop tähä aestoo huoost (c) Leaare regressomall sop tähä aestoo hv Sovta jokasee tehtävä havatoaestosta hde selttäjä leaare regressomall pemmä elösumma meetelmää kättäe. Laske estmotuje malle sovtteet ja resduaalt. Totea, että jokasella estmodulla malllla sovttede summa o sama ku seltettävä muuttuja havattuje arvoje summa ja resduaale summa o =. Määrää mös estmotuje malle seltsasteet. Ratkasu: Yhde selttäjä leaare regressomall lee muoto o jossa = β + β + ε, =,,, Ilkka Mell (5) /4

3 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset = seltettävä muuttuja satuae ja havattu arvo havatokskössä = selttäjä (selttävä muuttuja) e-satuae ja havattu arvo havatokskössä ε = jääös- el vrheterm satuae ja e-havattu arvo havatokskössä β = e-satuae ja tutemato vako (vakoselttäjä regressokerro) β = selttäjä e-satuae ja tutemato regressokerro Mall jääöstermstä tehdää seuraavat stokastset oletukset: () ε, ε,, ε ovat rppumattoma () ε σ = N(, ),,,, Jos mall selttäjä arvot ovat satuasa, korvataa jääöstermä ε koskeva oletus () llä estetssä s. stadardoletuksssa seuraavalla oletuksella: () ε σ = N(, ),,,, Oletus () tarkottaa, että satuasmuuttuja ε ehdolle jakauma ehdolla o ormaale. Mall = β + β + ε, =,,, regressokertome β ja β pemmä elösumma (PNS-) estmaattort saadaa kaavolla jossa b = b s s b = r = s s = = = = s s = ( ) = ( = = s = ( )( ) r = s = ss ) Ilkka Mell (5) 3/4

4 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Jos regressokertomet joudutaa laskemaa käs ta laskmella, laskutomtukset kaattaa järjestää seuraava tauluko muotoo: ˆ e e ˆ e e ˆ e e # # # # # # # # # ˆ e e Sum = = = = = = = e Huomaa, että samaa taulukkoo o mukava laskea mös estmodu mall sovtteet ja resduaalt (ks. määrtelmä alla) sekä resduaale elösumma. Jos tarkotuksea o laskea aoastaa regressokertome β ja β PNS-estmaatt, llä olevasta taulukosta tarvtaa va -havatoje summa Σ ja elösumma Σ, - havatoje summa Σ sekä - ja -havatoje tulosumma Σ. Jos tarkotuksea o laskea mös estmodu mall seltsaste, tarvtaa edellä mattuje suurede lsäks mös -havatoje elösumma Σ sekä estmodu mall resduaale elösumma Σe. Artmeettset keskarvot ja, otosvarasst s ja s sekä otoskovarass s saadaa llä oleva tauluko sarakesummsta kaavolla = = = = s = s = = = = = s = = = = josta regressokertome estmaatt saadaa ss lasketuks kaavolla s b = s b = b Ilkka Mell (5) 4/4

5 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Estmodu mall sovtteet saadaa kaavalla ˆ = b + b, =,,, ja resduaalt kaavalla e = ˆ = b b, =,,, Huomaa, että (koska mallssa o mukaa vakoterm) aa pätee ˆ = ( b + b ) = b + b = = = = = b + b = ( b ) + b = = = ja ste resduaale summa = : = = = = e = ( ˆ ) = ˆ = Estmodu mall seltsaste vodaa laskea kaavolla jossa R = SSE SSM [Cor(, ˆ)] SST = SST = SSE = e = o estmodu mall jääöselösumma (resduaale elösumma) SST = ( ) = ( ) s = o seltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaselösumma ja SSM = SST SSE = ( ˆ ) = o estmodu mall mallelösumma. Seltsastee määrtelmä perustuu she, että (koska mallssa o mukaa vakoterm) aa pätee s. varassaalshajotelma SST = SSM + SSE jossa mallelösumma SSM kuvaa stä osaa seltettävä muuttuja arvoje kokoasvahtelusta, joka mall o selttät ja jääöselösumma SSM kuvaa stä osaa seltettävä muuttuja arvoje kokoasvahtelusta, jota mall e ole selttät. Huomaa, että hde selttäjä leaarse regressomall tapauksessa pätee R = r Ilkka Mell (5) 5/4

6 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (a) Ecel-taulukko tehtävä (a)-kohda havatoaestosta: Sovte Res Res Yht E Taulukosta saadaa: Ste = 75 = 9.67 = 5 = s = = s = = s = = 6 6 b = = b = b = = 5.63 Taulukkoo o laskettu mös estmodu mall sovtteet ja resduaalt ja de summat; esmerkks jollo ˆ = = 5.59 e = ˆ = =.4 Estmodu mall seltsasteeks saadaa R = =.897 (6 ) 49.6 Ilkka Mell (5) 6/4

7 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (b) Ecel-taulukko tehtävä (b)-kohda havatoaestosta: Sovte Res Res Yht E Taulukosta saadaa: Ste = 55 = = 49 = s = = s = = s = = b = = b = b = = Taulukkoo o laskettu mös estmodu mall sovtteet ja resduaalt ja de summat; esmerkks jollo ˆ = = 3.94 e = ˆ = 3.94 =.94 Estmodu mall seltsasteeks saadaa R = =.7 (6 ) Ilkka Mell (5) 7/4

8 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (c) Ecel-taulukko tehtävä (c)-kohda havatoaestosta: Sovte Res Res Yht E Taulukosta saadaa: Ste = 65 = 7.5 = 48 = s = = 37.5 s = = s = = b = = b = b = (.8) 7.5 = Taulukkoo o laskettu mös estmodu mall sovtteet ja resduaalt ja de summat; esmerkks jollo ˆ = (.8 5) = e = ˆ = =.7 Estmodu mall seltsasteeks saadaa.87 R = =.997 (6 ) Seuraavalla svulla o kuvot, jossa estmodut regressosuorat o prrett kohte (a)-(c) havatoaestoja kuvaav pstedagrammeh. Ilkka Mell (5) 8/4

9 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (a) 5 4 = R = (b) 4 3 (c) = R = = R = Ilkka Mell (5) 9/4

10 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset 4.3. O teht tutkmus eerga kulutukse ja kottaloude tulotaso välsestä htedestä. Seuraavassa taulukossa o aettu kottaloude tulotaso muuttujaa (kskkö: $ per vuos) ja eerga kulutus muuttujaa (kskkö: 8 Btu per vuos): Eerga kulutus Kottaloude tulotaso (a) (b) (c) (d) (e) Ratkasu: Prrä pstedagramm (hajotakuvo). Estmo hde selttäjä leaare regressomall, jossa seltettävää muuttuja o eerga kulutus (= ) ja selttäjä o tulotaso (= ) ja vakoterm. Määrää estmodu mall seltsaste sekä estä mös estmodu mall varassaalshajotelma. Estmo kottaloukse keskmääräe eergakulutus, ku = 5 (kottaloude tulotaso = 5 $). Oletetaa, että perhe A asatsee vuodessa $ eemmä ku perhe B. Kuka paljo eemmä (ta vähemmä) perhe B kuluttaa eergaa ku perhe A keskmäär vuodessa? Ks. mös tehtävää 4.. Ilkka Mell (5) /4

11 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (a) (b) Ecel-taulukko tehtävä havatoaestosta: Sovte Res Res Yht E Taulukosta saadaa: = = = = = = 46. = = s = = = = = 8 8 s = == = = = 8 8 s = = = = = = 8 8 Ilkka Mell (5) /4

12 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Ste s 7.8 b = = = s b = b = (.95733) 58.5 =.77 Taulukkoo o laskettu mös estmodu mall sovtteet ja resduaalt ja de summat; esmerkks jollo ˆ = = e = ˆ = =.375 (c) Koska ja SSE = e =.55 = ( ) ( ) (8 ) = SST = = s = = Estmodu mall mallelösummaks saadaa SSM = SST SSE = = 47.3 Estmodu mall varassaalshajotelma o ste SST = = SSM + SSE = ja estmodu mall seltsasteeks saadaa SSE.55 R = = =.969 SST = R = Ilkka Mell (5) /4

13 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset (d) Estmodu regressosuora htälö o (b)-kohda mukaa = b + b = Sjotetaa suora htälöö Saadaa = 5 = = 5.44 Ste sellase kottaloude, jolla vuostulot ovat 5 $, keskmääräe eergakulutus o. 5 8 Btu per vuos. (e) Olkoo perhee A vuostulot ja perhee B + Tällö perhee A keskmääräe eergakulutus o A = b + b ja perhee B keskmääräe eergakulutus o B = b + b ( + ) = b + b + b = A + b Ste B A = b Tässä = Ste B A = b = =.947 el perhe B kuluttaa eergaa keskmäär.9 8 Btu per vuos. Ilkka Mell (5) 3/4

14 Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Huomautus: Tehtävä 3.3. kohdassa (e) o kätett hväks estmodu regressosuora kulmakertome geometrsta tulktaa. Oletetaa, että selttäjä arvo kasvaa hdellä ksköllä. Tällö seltettävä muuttuja arvo muuttuu b kskköä: Jos + b + b ( + ) = b + b + b = + b Ilkka Mell (5) 4/4