KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017

Transkriptio

1 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/ Piirrä vapaakappalekuviot kuvien partikkeleille/äykille kappaleille a muodosta vaikuttavien voimien resultantit massakeskipisteiden suhteen Käytä kuvien yksikkövektoreita a) Kaksi partikkelia kitkallisella tasolla Ei luistoa partikkeleiden välillä b) Etuvetoinen auto (äykkä kappale, massa m) kiihdyttää Pyörät eivät luista c) Partikkeli kitkattomalla kaltevalla tasolla Jousivoima on nolla, kun x< x0 i g m 2 m 1 F a) b) c) Vastaus a) F1< Fλi ( T, m2g) a F2 < ( F, Gλ, Fλ) i ( N, T, m1g) b) F < Fλ i ( N M, mg) a M C < (, Nc Mb Fhk λ ) c) F < [ mg sin, k( x, x0)] i ( mg cos, N ) c C r b i g h g α m k x i σ 2 Laske ab σ, a b σ a b a, kun T σ axx axy a < a ayx ayy T T bx bx b < b < y b y Vastaus T σ axxbx axyby a b <, ayxbx ayyby T σ ba x xx ba y yx b a < ba x xy ba y yy T σ k axxby, axybx a b <, k ayxby, ayybx σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 3 Laske tr([ S]) I : S, S : S, S : Sc, AS, S A, S T A, kun tensoreiden A, S σ, T σ komponentit ortonormaalissa ( i, k, ) kannassa ovat 0, 1 0, 1 { A} <, 1, [ S] < a [ T ] < σ σ Vastaus tr([ S ]) < 0, S : S < 6 σ σ σ σ σ σ S : S < 7, A S <, S A< i, S T A< 2i, k, c 4 Määritä ortonormaalien vektorikantoen ( i, k, ) a ( I, J, K) välinen relaatio, kun I on vektorin i, k suuntainen a J on tason g( x, y, z) < 2x 3y z, 5< 0 gradientin suuntainen (siis kohtisuorassa tasoa vastaan)

2 Vastaus I , 1 J < K, k 5 Johda toisen kertaluvun (taso)tensorin σ δ komponenttien δ xx, δ xy, δ yx, δ yy a δ XX, δ XY, δ YX, δ YY välinen relaatio, kun ( xy,, ) a ( XY, ), koordinaatiston kantavektorit ovat kuvan mukaisia Vastaus δxx δxy cosπ sinπ δxx δxy cosπ, sinπ δyx δ < YY, sinπ cosπ δyx δ yy sinπ cosπ Y J y I X π x i 6 Määritä matriisin [ A] ominaisarvot, vastaavat ominaisvektorit, ominaisarvohaotelma, 1 [ A] < [ x][ κ][ x] a neliöuuri, kun 4 0 [ A] <, 11, 1, , 1/3 0 Vastaus [ A] < [ X][ κ][ X] < /3 1, 2 0 [ A] <, 1/3 1 7 Vektori uxy (, ) < ux( xyi, ) uy( xy, ) a skalaari uxy (, ) ovat Karteesisen koordinaatiston ( x, y ), koordinaattien funktioita a < i / x / y Laske u, u 2 a u Vastaus u u u < x x y y uy u, u < k(, x), x y u u u < 2 2 x y 8 Tarkastellaan integraalea ( xyz,,, ) koordinaatiston alueen ς a sen pinnan ylitse Olkoon n pinnan ulkoinen yksikkönormaali (suunnattu alueesta ulospäin), r < xi y zk paikkavektori a V alueen tilavuus Laske pintaintegraalit nda a n rda Vastaus nda < 0, n rda < 3V

3 Piirrä vapaakappalekuviot kuvien partikkeleille/äykille kappaleille a muodosta resultantit massakeskipisteiden suhteen Käytä kuvien yksikkövektoreita (a) Kaksi partikkelia kitkallisella tasolla Ei luistoa partikkeleiden välillä (b) Etuvetoinen auto (äykkä kappale, massa m) kiihdyttää Pyörät eivät luista (c) Partikkeli kitkattomalla kaltevalla tasolla Jousivoima on nolla, kun x < x0 i m 2 m 1 a) Kun voimat esitetään vapaakappalekuviossa, suunta osoitetaan yleensä nuolella a tämän viereen laitetaan suuruus Vaikutuspiste pitää osoittaa äykän kappaleen mallissa sillä tarkkuudella kuin se vaikuttaa resultanttiin Partikkelimalliin liittyy vain yksi ainepiste Näin ollen vaikutuspistettä ei tarvitse pohtia sen tarkemmin Vapaakappalekuviota piirrettäessä on hyvä muistaa seuraavat seikat : Painovoima Suuruus G < mg a suunta sama kuin tehtäväkuvan g:n Vaikutuspiste on massakeskipiste Jousivoima Muotoa F < k( l, l0), ossa k on ousivakio, l on ousen pituus a l 0 ousen lepopituus (positiivinen venytystä a negatiivinen puristusta) Yleensä ousivoiman lauseke pitää muodostaa tehtävän tietoen perusteella kappaleen asemaa kuvaavien suureiden funktiona Vaikutuspiste on ousen kiinnityspiste a suunta sama kuin ousella Vaimennusvoima Vaimentimet korvataan voimilla muotoa F < cl %, ossa c on vaimennusvakio a l % on vaimentimen venymisnopeus Yleensä lauseke pitää muodostaa tehtävän tietoen perusteella kappaleen asemaa kuvaavien suureiden funktiona Vaikutuspiste on vaimentimen kiinnityspiste a suunta sama kuin vaimentimella g F Kontakti Vaikutuspistettä ei aina tiedetä tarkasti, koska kysymys on akautuneen voiman resultantista Normaalikomponentti N aina kappaleeseen päin Jos kappale liukuu, tangentiaalikomponentti F < λ N (tarkemmin F <, λ Nv/ v ) vastustaa liikettä Jos kappale ei λ k liu, kitkavoima on tavallaan tehtävän tuntematon oka saadaan (ehkä) ratkaistua liikeyhtälöiden avulla Jos ei tiedetä liukuuko kappale vai pysyykö se paikallaan, arvataan aluksi että kappale pysyy paikallaan, määritetään kontaktivoimat, tutkitaan toteutuuko ehto Fλ λsn a tehdään ohtopäätökset Laatikot käsitellään partikkeleina (tässä) Vapaakappalekuviot pitää piirtää kummallekin Partikkeleiden välillä ei tapahdu liukumista, oten kitkavoima on vain yksi kappaleeseen vaikuttavista voimista (olle ei siis tunneta konstitutiivistä yhteyttä) Koska ei tiedetä liikkuuko alempi kappale vai ei, oletetaan että se pysyy paikallaan Tällöin alapintaan vaikuttava kitkavoima on vain eräs ulkoisista voimista (olle ei siis tunneta konstitutiivistä yhteyttä) c C b) λ b i k g h g α m c) k x i

4 mg 2 F < F i ( T, m g) 1 λ 2 F < ( F, G, F ) i ( N, T, m g) 2 λ λ 1 F λ i T mg 1 F λ F G λ N Auto käsitellään äykkänä kappaleena Pyörät koskettavat tasoa yhdessä pisteessä Tämän kosketuspisteen täytyy olla siis myös kontaktivoiman vaikutuspiste Vetävät etupyörät eivät liu, olloin kitkavoimasta tiedetään ainoastaan, että F λm F < F i ( N M, mg) λ MC < (, Nc Mb Fhk λ ) λ Laatikko käsitellään partikkelina (tässä) Jousivoiman pitää hävitä, kun x< x0 Jousen konstitutiivinen yhteys esitettynä partikkelin asemaa kuvaavan suureen x avulla F < k( x, x0 ), ossa x, x0 on siis venymä k( x, x mg 0) i F < [ mg sin, k( x, x0 )] i ( mg cos, N ) r i r N c C mg b M h F λ α N

5 σ Laske a b σ, a b σ, b a, kun T σ axx axy a < a ayx ayy T T bx i i b x b < < b b y y Mekaniikan yhtälöissä esiintyy tensorien ulkotulo ab, ristitulo a b, sisätulo ab a σ kaksinkertainen sisätulo a: b σ erilaisina versioina Ulkotulo merkitään ilman operaaattoria muodossa ab, kuten dyadit toisen kertaluvun tensorin komponenttiesityksissä Tensoritulot muodostetaan kertolaskun säännöillä säilyttäen kantavektoreiden ärestys a kertolasku-operaattorin siainti suhteessa kantavektoreihin Ortonormaalit kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan a yksikön mittaisia Tällöin ristitulot i < k, k < i, k i <, i <, k, k < i a i k <, a pistetulot i i < 1, < 1 a k k < 1 Muut kantavektoreiden pistetulot a ristitulot ovat nollia Tällöin esimerkiksi T i i i 1 0 < < i 0 1 a T i i i 0 k < < i, k 0 σ Tensorin a vektorin pistetulo a b Sioitetaan komponenttiesitykset T T T T σ axx axy bx axx axy bx axx bx axyby a b < < < ayx ayy b y ayx ayy b y ayxbx ayyby Toinen vaihtoehto σ a b < ( a ii a i a i a ) ( b i b ) xx xy yx yy x y σ a b < ( a ii a i a i a ) b i ( a ii a i a i a ) b xx xy yx yy x xx xy yx yy y σ a b < ( a ii i a i i a i i a i ) b ( a ii a i a i a ) b xx xy yx yy x xx xy yx yy y σ a b < a b i a b a b i a b < ( a b a b ) i ( a b a b ) xx x yx x xy y yy y xx x xy y yx x yy y σ Tensorin a vektorin ristitulo a b T T T σ axx axy bx axx axy 0 k bx a b < < ayx ayy b y ayx ayy k 0 b, y T T σ k axx axy by k axxby, axybx a b < < k a a, b k a b, a b Toinen vaihtoehto yx yy x yx y yy x

6 σ a b < ( a ii a i a i a ) ( b i b ) xx xy yx yy x y σ a b < ( a ii a i a i a ) b i ( a ii a i a i a ) b xx xy yx yy x xx xy yx yy y σ a b < ( a ii i a i i a i i a i ) b xx xy yx yy x ( a ii a i a i a ) b xx xy yx yy y σ a b <, a b ik, a b k a b ik a b k < ( a b, a b ) ik ( a b, a b ) k xy x yy x xx y yx y xx y xy x yx y yy x σ Vektorin a tensorin pistetulo b a T T T T σ bx axx axy bx axx axy bx axx byayx b a < b < < y ayx ayy b y ayx ayy ba x xy ba y yy Toinen vaihtoehto σ b a < ( b i b ) ( a ii a i a i a ) x y xx xy yx yy σ b a < b i ( a ii a i a i a ) b ( a ii a i a i a ) x xx xy yx yy y xx xy yx yy σ b a < b ( a i ii a i i a i i a i ) b ( a ii a i a i a ) x xx xy yx yy y xx xy yx yy σ b a< ba i ba ba i ba < ( ba ba ) i ( ba ba ) x xx x xy y yx y yy x xx y yx x xy y yy

7 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Laske tr([ S]) I : S, S : S, S : Sc, AS, S A, S T A, kun tensoreiden A, S σ, T σ komponentit ortonormaalissa ( i, k, ) kannassa ovat 0, { A} <, 1, [ S] < a 1 0, 1 [ T ] < Ortonormaalit kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan a yksikön mittaisia Tällöin ristitulot i < k, k < i, k i <, i <, k, k < i a i k <, Muut kantavektoreiden ristitulot ovat nollia Pistetulot i i < 1, < 1 a k k < 1 Muut kantavektoreiden pistetulot ovat nollia Komponentit tunnetaan, oten tensorit ovat T T 0 0 A<, 1 <, 1, 1 k k 1 T, σ S < k k a T 1 0, 1 σ T < k k Toisen kertaluvun tensorin älki (trace) saadaan komponenttimatriisin diagonaalialkioiden summana Tensorimuodossa T T 1 0 0, σ σ tr([ S]) I : S : < < k k k k T 1 0 0, huom < < Ζ I T T,, i k σ σ tr([ S]) I : S < < < i k <, < 0 k k k i k k k Kaksoispistetulo tarkoittaa kahta pistetuloa Toisen kertaluvun tensorin kaksoispistetulo itsensä σ σ 2 kanssa saadaan komponenttimatriisin avulla S: S< trs [ ] Tensoreilla laskien T T T T,,,, σ σ S : S : < < ( ) k k k k k k k k T T,, σ σ S : S < < < 2 1 3< 6 k k k k

8 Toisen kertaluvun tensorin kaksoispistetulo konugaattinsa kanssa saadaan komponenttimatriisin σ σ T avulla S : Sc < tr([ S][ S] ) Konugaattitensori saadaan transponoimalla komponenttimatriisi, oka vastaa kantavektoreiden ärestyksen vaihtoa okaisessa dyadissa ( i i ne) Tensoreilla laskien T T T T T,,,, σ σ S : Sc : < < ( ) k k k k k k k k T T,, σ σ S : Sc < < < 2 2 3< 7 k k k k Vektorin a toisen kertaluvun tensorin pistetulo tuottaa vektorin T T T 0, , σ A S 1 1 <, <, 1 k k k k T T 0, 0 σ A S 1 <, < 1 < k 0 k Vektorin a toisen kertaluvun tensorin pistetulo tuottaa vektorin Lopputulos riippuu kertolaskun ärestyksestä (kertolasku ei ole vaihdannainen vektorialgebrassa) T T T, 0, σ S A < 1, <, 1 k k k 1 k T T, 0 1 σ S A <, 1 < 1 < i k k 0 Kertolasku on liitännäinen (assosiatiivinen), oten mielekkään kertolaskun suoritusärestyksellä ei ole väliä Esimerkiksi tulossa ( a b) c ärestys pitää osoitetaan suluilla, koska a ( b c ) ei ole mielekäs Muutoin ärestys valitaan mukavuuspohalta T T T, 1 0, 1 0 σ σ S T A ( ) < ( ), 1 k k k k k 1

9 T, , σ σ S T A<, 1 k T T T, 1 0, 1 0,, 1 2 σ σ S T A ( 1 ) <, <, 1 < 0 < 2i, k k k k, 1

10 Määritä ortonormaalien vektorikantoen ( i, k, ) a ( I, J, K) välinen relaatio, kun I on vektorin i, k suuntainen a J on tason g( x, y, z) < 2x 3y z, 5< 0 gradientin suuntainen (siis kohtisuorassa tasoa vastaan) Kumpikin koordinaatistoista on ortonormaali: kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan a yksikön mittaisia Lisäksi oletetaan oikeakätisyys i < k, k < i, k i < ne kummallekin kannalle Tiedetään, että i, k a J ovat samansuuntaisia i, k 1 I < < ( i, k ) (vektorin pituus a < a a ) i, k 3 Funktion g( x, y, z) < 2x 3y z, 5 gradientti on tasoa 2x 3y z, 5< 0 vastaan kohtisuorassa g < 2i 3 k g 1 J < < (2 i 3 k ) g 14 Koordinaatisto on oikeakätinen, oten 1 1 K < I J < ( i, k) (2i 3 k) K < ( i 2 i i 3 i k, 2 i, 3, k k 2 i k 3 k k ) K < (3k, 2k, i 2, 3 i) < (, 4i 5 k) Esitetään vielä relaatio matriisimuodossa I , 1 J < K, k

11 Johda toisen kertaluvun (taso)tensorin σ δ komponenttien δ xx, δ xy, δ yx, δ yy a δ XX, δ XY, δ YX, δ YY välinen relaatio, kun xy, a XY, koordinaatiston kantavektorit ovat kuvan mukaisia Tensorit ovat koordinaatistoinvarianttea, mutta niiden komponentit riippuvat valitusta kannasta Toisen kertaluvun tensorin δ σ esitykset kuvan kannoissa ovat T T σ δxx δxy I δxx δxy I δ < < δyx δ yy J δyx δ YY J Y J y X π x I i Kuvan perusteella kantavektoreille pätee (matriisin alkioiden etumerkit voi tarkistaa vaikka tarkestelemalla tapauksia π < 0 a π < ο /2) I cosπ sinπ i < J, sinπ cosπ Sioitetaan yhteys tensorin esitykseen a käytetään matriisitulon transponointisääntöä T T T ([ A][ B]) < [ B] [ A] T T δxx δxy cos π, sin π δxx δxy cos π sin π < δyx δ yy sinπ cosπ δyx δ YY, sinπ cosπ Vasen a oikea puoli ovat samoa mikäli δxx δxy cosπ, sinπ δxx δxy cosπ sinπ < δyx δ yy sinπ cosπ δyx δ YY, sinπ cosπ δxx δxy cosπ sinπ δxx δxy cosπ, sinπ δyx δ < YY, sinπ cosπ δyx δ yy sinπ cosπ

12 Määritä matriisin [ A] ominaisarvot, vastaavat ominaisvektorit, ominaisarvohaotelma, 1 [ A] < [ x][ κ][ x] a neliöuuri, kun 4 0 [ A] <, 11 Ominaisarvotehtävässä etsitään kaikki ominaisarvo-ominaisvektori parit ( κ,{ x}), oille[ A]{} x < κ{} x Tehtävä ratkaistaan kahdessa osassa Ensin ratkaistaan matriisin [ A] ominaisarvot 4, κ 0 det([ A], κ[ I]) < det < (4, κ)(1, κ) < 0, 1 1, κ κ 1 < 1 a κ 2 < 4 Toisessa vaiheessa palataan alkuperäiseen tehtävään Ominaisarvoa κ vastaava ominaisvektori {} x saadaan lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän ([ A], κ[ I]){ x} < 0 ratkaisuna Ominaisvektori ei määräydy yksikäsitteisesti a mikä tahansa ratkaisu kelpaa (ominaisvektorit pitää valita kuitenkin niin että ne eivät ole lineaarisesti riippuvia) κ 1 < 1: 4, 1 0 x <,, x 2 {} x 1 0 <, 1 κ 2< 4: 4, 4 0 x <,, x 2 {} x 2, 3 < 1 Ominaisarvohaotelman matriisi [ x ] a diagonaalimatriisi [ κ ] koostuvat ominaisvektoreista a ominaisarvoista vastaavassa ärestyksessä 1 0 [ κ] < 0 4 a 0, 3 [ x] < 1 1 a 1 1/3 1 [ x ], <, 1/30 Ominaisarvohaotelma tuottaa alkuperäisen matriisin, 1 0, / [ A] < [ x][ κ][ x] < <, 1/3 0, 1 1 Ominaisarvohaotelmaa voidaan käyttää mm matriisin [ A ] neliöuuren laskennassa käyttäen, 1 hyväksi määritelmää: Jos [ A] < [ x][ κ][ x], niin, 1 f([ A]) < [ x] f([ κ])[ x] 0, /3 1 0, / [ A] < 1 1 < < 0 4, 1/ , 1/3 0, 1/3 1 Neliöuuri [ A ] kerrottuna itsellään tuottaa alkuperäisen matriisin [ A ]

13 Vektori uxy (, ) < ux( xyi, ) uy( xy, ) a skalaari uxy (, ) ( x, y ), koordinaattien funktioita a < i / x / y Laske u, ovat Karteesisen koordinaatiston u 2 a u Suunnattu derivaatta (nabla) on vektori a sillä operoidaan kuten vektorilla muissakin tensorilausekkeissa Nabla vaikuttaa kaikkeen sen oikealla puolella Tehtävässä T T ux ux u < u < y u a y T T / x / x < ( < ) / y / y Jos kantavektorit eivät ole vakioita osittaisderivaattoen pitää olla kantavektoreiden oikealla puolella nablan esityksessä eikä edellä oleva älkimmäinen muoto ole oikein Tässä kantavektorit ovat kuitenkin vakioita, oten niiden derivaatat ovat nollia, osittaisderivaatat vaikuttavat vain vektorin komponentteihin a nablan molemmat muodot tuottavat saman tuloksen Vektorin divergenssi (div) u / x / x 1 0 / x u < ( ) / y u < < < y / y 0 1 u y / y u y x y T T T T ux ux ux u u x y Vektorin pyörre (curl) u T T T T / x ux / x 0 k ux / x kuy uy u u < ( ) k( x < < <, ) / y u y / y k 0 u, y / y, ku x y x Skalaarin gradientin divergenssi (Laplacian) 2 u T T T / x / x / x / x u u u < ( ) u < ( ) ( ) u < u < / y / y / y / y 2 2 x y

14 Tarkastellaan integraalea ( xyz,,, ) koordinaatiston alueen ς a sen pinnan ylitse Olkoon n pinnan ulkoinen yksikkönormaali (suunnattu alueesta ulospäin), r < xi y zk paikkavektori a V alueen tilavuus Laske pintaintegraalit nda a n rda Integraalilauseiden avulla voidaan muuntaa pintaintegraalea tilavuusintegraaleiksi, pintaintegraalea viivaintegraaleiksi ne Lauseen eri muotoa mm ς adv < n ada, adv < ς nada ne Tarvitaan mm taseyhtälöiden paikallisten muotoen ohtamisessa Integraali-identiteeteissä ς on alue, sen reuna, n alueen ulkoinen normaali a a vektori a a skalaari Valitaan älkimmäisessä muodossa a < 1, tällöin a < 0 nda < 0 Siis ulkoisen yksikönormaalin integraali mielivaltaisen suletun pinnan ylitse häviää Valitaan sitten ensimmäisessä muodossa a < r, tällöin r < ( i i i ) ( xi y zk) < 3 x x x n rda < 3dV < 3V ς