DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30"

Anna-Leena Koskinen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia vektoreita ja f : R n R m on mielivaltainen funktio normi: = T (määr 5, s 8) Huom! kätämme kahta viivaa hden sijasta Schwarin epähtälö: T Yhtäsuuruus on voimassa mikäli toinen vektori on htä suuri kuin toinen vektori vakiolla kerrottuna (lemma 55, s 84) Kolmioepähtälöä: + + Yhtäsuuruus on voimassa mikäli toinen vektori on htä suuri kuin toinen vektori ei-negatiivisella vakiolla kerrottuna (lause 56, s 85) Raja-arvo: funktion f raja-arvo on a kun lähest vektoria, tätä merkitään lim f() = a, jos ε > δ > se jos D f < < δ niin f() a < ε (Määr 5, s ja s 79) Jatkuvuus: funktio f on jatkuva pisteessä jos ja vain jos lim f() = f( ) (määr 6, s 79) Derivoituvuus: Oletetaan, että funktio f on määritelt jossain pisteen mpäristössä Funktio f on derivoituva :ssa jos on olemassa vakiomatriisi f ( ) R m n (merkintä) se f( + h) = f( )+f ( )h+o(h), missä lim h o(h) h (lause 6, s 8) =, lisäksi vakiomatriisin voi laske osittaisderivaattojen avulla f ( ) = Ketjusääntö: lause 68, s 88 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) n f ( ) n f m ( ) f m ( ) f m ( ) n (eräs) Talorin kehitelmä: Olkoon f : R n R kahdesti jatkuvasti osittaisderivoituva jossain pisteen mpäristössä Oletetaan, että mös + h kuuluu tähän mpäristöön Tällöin pisteitä ja + h hdistävällä janalla on piste ˆ se f( + h) = f( )+ f ( )h+ ht H(ˆ)h,

2 missä H(ˆ) on Hessen matriisi H(ˆ) = (Katso lause 548, s 5) n n n n n n Matriisin definiittiss: Smmetrinen matriisi A R n n on positiivisesti definiitti jos (merk A > ) T A > kaikilla R n \{} Smmetrinen matriisi A R n n on positiivisesti semidefiniitti jos (merk A ) T A kaikilla R n ja T A =, jollakin Vastaavat määritelmät negatiivisesti (semi)definiittisille matriisille Ääriarvot: Olkoon f : R n R kahdesti jatkuvasti osittaisderivoituva jossain pisteen mpäristössä ja olkoon f ( ) = T Tällöin on lokaali minimipiste, jos H( ) on positiivisesti definiitti on lokaali maksimipiste, jos H( ) on negatiivisesti definiitti ei ole lokaali ääriarvopiste, jos H( ) on indefiniitti (ps indefiniitillä matriisilla on sekä positiivisia, että negatiivisia ominaisarvoja) muissa tapauksissa (semidefiniittisissä tapauksissa) ääriarvon olemassaolo ja laatu jää avoimeksi (Katso s 54-55) Katsotaan mös hieman integrointia R n :ssä luku 7 Määritelmä 7, s 48 ja määritelmä 77, s 45 Ominaisuuksia s Iteroitu integraali 7 Muuttujan vaihto lause 75, s 5 esim s 57 (pallokoordinaatisto) Tehtäviä: Tutki ovatko llä esitett eräs Talorin kehitelmä ja lauseessa 548, s 5 esitett kehitelmä samat, korjaa mahdolliset virheet Laske funktion f() = A, missä A R m n on vakiomatriisi, derivaatta kohdassa Laske funktion f() = T A, missä A R n n on smmetrinen vakiomatriisi, derivaatta kohdassa 4 Laske funktion f() =, derivaatta kohdassa [ 5 Laske funktion f = + ln( + +, derivaatta kohdassa ) 6 Todista, että positiivisesti definiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia

3 7 Osoita, että positiivisesti definiitti matriisi on kääntvä 8 Nätä, että kahden positiivisesti definiitin matriisin summa on positiivisesti definiitti 9 Olkoon f(,) = + 4 Laske funktion ääriarvokohdat ja tutki niiden laatu Olkoon suorakulmaisen särmiö hdestä ja samasta kärjestä alkavien kolmen särmän hteenlaskettu pituus l > Laske särmien pituudet siten, että särmiön tilavuus on mahdollisimman suuri Perustelu vastauksesi Laske paraabelien f() = + ja g() = rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala Laske pallon tilavuus Vastauksia: Ratkaisu tehtävään : Tutki ovatko llä esitett eräs Talorin kehitelmä ja lauseessa 548, s 5 esitett kehitelmä samat, korjaa mahdolliset virheet Lauseen 548 mukaan (olkoon k = ) f() = = k r= k! (d(r) r= k! (d(r) =! (d() maar 547 = f( )+ f)( )+ (k+ )! (d(k+) ˆ f)( ) f)( )+! (d() ˆ f)( ) f)( )+! (d() f)( )+! (d() ˆ f)( ) ) ( f( ) n d i ( )+ i ( n i= = f( )+ f ( )( )+ ( ) T H(ˆ)( ), i, j= j i d i d j ) ( ) missä ˆ on piste :n ja :n hdistävällä janalla Olkoon h = tällöin llä oleva tulee muotoon f( + h) = f( )+ f ( )h+ ht H(ˆ)h, joka on täsmälleen sama kuin aikaisemmin esitett eräs Talorin kehitelmä Ratkaisu tehtävään : Laske funktion f() = A, missä A R m n on vakiomatriisi, derivaatta kohdassa f( + h) = A( + h) = A + Ah = f( )+Ah+, koska lim h h = niin f ( ) = A

4 Ratkaisu tehtävään : Laske funktion f() = T A, missä A R n n on smmetrinen vakiomatriisi, derivaatta kohdassa h nätetään, että lim T Ah h h nollaa f( + h) = ( + h) T A( + h) = T A + T Ah+hT A + h T Ah = T A + T Ah+hT Ah = f( )+ T Ah+h T Ah, = Riittää osoittaa, että seuraava raja-arvo suppenee kohti h T Ah Schwar h Ah lim lim h h h h n lim Ah = lim (a h h T i h) i= Schwar joten f ( ) = T A n n lim ( a i h h ) = lim h a i =, i= h i= Ratkaisu tehtävään 4: Laske funktion f() =, derivaatta kohdassa Koska f() = g(h()), missä g() = ja h() = T Tiedetään, g ( ) = ja edellisen tehtävän perusteella tiedetään, että h ( ) = T I = T Joten ketjusäännön mukaan (lause 68, s 88) saadaan f ( ) = g (h( ))h ( ) = T T = T Ratkaisu tehtävään 5: Laske funktion f kohdassa Nt f = = [ + ln( + + ) [ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ,, derivaatta joten f = [

5 Ratkaisu tehtävään 6: Todista, että positiivisesti definiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia Olkoon matriisin A > mv ominaisarvo λ ja sitä vastaava ominaisvektori Nt A = λ T A = λ T,A> λ = T A T > Ratkaisu tehtävään 7: Osoita, että positiivisesti definiitti matriisi on kääntvä Nätetään, että htälörhmällä A = on vain triviaali ratkaisu = (kts lause 47, s 4 Lama) Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että htälörhmällä A = on olemassa ratkaisu Koska ja A > niin mikä on ristiriita ( < ), joten väite on tosi < T A = T (A ) = T =, Ratkaisu tehtävään 8: Nätä, että kahden positiivisesti definiitin matriisin summa on positiivisesti definiitti Olkoon A > ja B > Selvästi summa A+B on smmetrinen Olkoon nt joten T (A+B) = T A+ T B >, koska summan molemmat termit ovat suurempia kuin nolla Ratkaisu tehtävään 9: Olkoon f(,) = + 4 Laske funktion ääriarvokohdat ja tutki niiden laatu kun f (,) = [ 4 4 = T, { = ja 4 4 = Joten derivaatta on nolla kohdissa {[ Lasketaan Hessen matriisi H(ˆ) = { [, = = tai = ± [, [ 4 Nt ([ ) [ ([ ) [ ([ ) [ H =,H = ja H =, [ joten kohdat ovat lokaaleja maksimikohtia (koska Hessen matriisit ovat ± [ negatiivisesti definiittejä, ominaisarvot ovat ja 8) ja kohta ei ole ääriarvokohta koska Hessen matriisi on indefiniitti (ominaisarvot ovat ja 4) } ja

6 Ratkaisu tehtävään : Olkoon suorakulmaisen särmiö hdestä ja samasta kärjestä alkavien kolmen särmän hteenlaskettu pituus l > Laske särmien pituudet siten, että särmiön tilavuus on mahdollisimman suuri Perustelu vastauksesi Olkoon >, > ja > särmiön kseessä olevat särmien pituudet Olkoon l > ko särmien hteenlaskettu pituus, nt = l Joten särmiön tilavuus on joten derivaatan nollakohdat ovat f(,) = (l ), f (,) = [ l l = T eli kun { l = ja l = >,> { l = ja l = llä olevat htälöt toteutuvat kun = l ja = l (l (l ) = = l ) Lasketaan Hessen matriisi ko pisteessä ([ H ) [ = l Ko matriisin ominaisarvot ovat ([ l det λ l ) l l λ = l l ) [ l H([ = l l l l ( l ) ( λ = l ) λ = ± l l eli ominaisarvot ovat l < ja l < siis matriisi on negatiivisesti definiitti [ l (smmetriss on selvä) ja kohta on funktion lokaalimaksimikohta Joten särmiön l tilavuus on mahdollisimman suuri kun särmiö on kuutio eli = = = l

7 ( ) Ratkaisu tehtävään : Laske paraabelien f() = + ja g() = rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala Ko alueen pinta-ala on Z (g() f())d = f() = g() + = + +7 = 8 = ± Z ( + 8 ) d = / ( ) + 8 = ( ) = 64 Harmaan alueen pinta ala on n f() g() Ratkaisu tehtävään : Laske pallon tilavuus R-säteinen pallo voidaan esittää joukkona T = { R R} Pallon tilavuus saadaan laskemalla integraali R T d

8 Integraali on huomattavasti helpompi laskea pallokoordinaateissa = pallokoordinaateista suorakulmaiseen koordinaatistoon on (esim) = g g det g r θ r θ r θ = = r cos(θ) cos() r sin(θ) cos() r sin() cos(θ) cos() r sin(θ) cos() r cos(θ) sin() sin(θ) cos() r cos(θ) cos() r sin(θ) sin() sin() r cos() r θ Kuvaus = sin()(r cos()sin())+rcos()(r cos() ) = r cos(), missä r R, π ja π < θ π, merkitään r S = θ R r R, π ja π < θ π Joten r cos() = r cos() Lauseen 75 perusteella, s 5 saadaan Z T Z d = r cos()d = = S Z π Z π π π Z π Z π Z R π π R cos()ddθ = Z π r cos()dr ddθ π R dθ = 4 πr Toinen tapa laskea pallon pinta-ala Koska pallo on pörähdssmmetrinen niin sen tilavuus voidaan laskea kaavalla Z R ) Z R ( π ( R d = π R ) d = π (R ) R = 4 R πr R

Samankaltaiset tiedostot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x