KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017

Transkriptio

1 KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/ Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin <0 p 0 < d g ilmanja veden hdrostaattisesta paineesta aiheutuva vaakasuuntainen voimaresultantti. Portin leves on. Ilmanpaine p 0 on vakio. p 0 <, h Vastaus 1 F < θ gh( H, h) (oikealle) <, H. Määritä kuvan ulokepalkin poikkileikkauksen normaalivoi- f ma N, leikkausvoima Q, ja taivutusmomentti M aksiaalikoordinaatin funktioina. Palkkiin vaikuttaa ulkoisina voimina jakautunut voima pituusksikköä kohden f, pistevoima vapaassa päässä ja tukireaktiot seinän kohdalla. F Vastaus N <, F, Q<, f(, ), 1 ( ) M <, f, 3. Bernoulli tasopalkin siirtmäkomponentit ovat u < u( ), dw( )/ d, u < 0 ja u < w ( ) ja normaalijännitkset ρ < ρ < 0. Johda palkin normaalivoiman N ja taivutusmomentin M lausekkeet lähtien määritelmistä N da M < ρ ja ρ < da, joissa integraali on poikkipinnan litse. Oleta lineaaris-elastinen isotrooppinen ja homogeeninen materiaali (E on vakio). Palkin pituussuuntainen, akseli on pintakeskiössä ja poikkipinta on smmetrinen, ja, akselien suhteen. Vastaus N du < EA ja d M d w <, EI. d 4. Isotrooppisen ja lineaaris-elastisen materiaalin kimmokerroin on E ja Poissonin luku µ < 1/3. Materiaalista valmistetun kappaleen Karteesisen koordinaatiston siirtmäkomponentit ovat u < k(3 ), u < k(, ) ja u < 0, joissa k on dimensioton vakio. Määritä kappaleen jännitstensori samassa vektorikannassa. Vastaus θ T θ i i σ θ 3 ρ j ke θ <, j 4 θ k θ k

2 5. Kuvan sauvat on kiinnitett nivelillä tukiin ja toisiinsa ja rakennetta kuormittaa pstsuora voima F. Vaakasauvan poikkipinta-ala on A, sauvan 1 poikkipinta-ala A ja materiaalin kimmokerroin E. aske sauvojen aksiaalijännitkset, aksiaalivenmät ja voiman vaikutuspisteen siirtmä. Y F X Y 1 X 45 α Vastaus u F F <, u <, 3 EA EA M, ϖ 6. Kuvan kartioviskometrin pörittämiseen akselin mpäri vakiokulmanopeudella ϖ tarvitaan momentti M. Määritä nesteen viskositeetin λ laskukaava. Oleta, että nopeusjakauma on lineaari-nen pörivän kartion ja kiinteän astianpohjan välillä. 3 M sinπ Vastaus λ < ο 3 ϖr R π r 7. Kappaleen liikkeen kuvaus on < X kty, σ σ viskoosin jännitstensorin < λd < Y, kt X ja < Z, joissa k on vakio. Määritä esits paikan (,, ) ja ajan t funktiona. Vastaus σ 3 θθ θθ σ k t < λd < 4 λ ( ii jj) 4 1 k t 8. Määritä kuvan virtajohtimen stationaarinen lämpötila T( ). Seinämien lämpötilat T 0 ja T, johtimen poikkipinnan ala A, lämmönjohtavuus k ja lämmöntuotto tilavuuusksikköä kohden vakioita. s ovat T 0 T s Vastaus T( ) < (, ) T T0 (1, ) k

3 Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin ilmanja veden hdrostaattisesta paineesta aiheutuva vaakasuuntainen voimaresultantti. Portin leves on. Ilmanpaine p 0 on vakio. <0 p 0 < d p 0 g <, h <, H θ Nestestiikan tasapainohtälö f, p< 0 on kolmen osittaisdifferentiaalihtälön rhmä paineelle, θ θ jossa painovoima f < g ajatellaan tunnetuksi. löt ainakin, jos tihes θ on vakio ja massavoimalla g θ θ on potentiaali eli g <, Ε. Tällöin, θ Ε, p < 0 p θε< C. Vakion C arvo voidaan ratkaista, jos paine ja potentiaali tunnetaan jossain kohdassa esimerkiksi pisteessä A nesteen pinnalla, jolloin C < pa θε A. Koordinaatiston, akseli olkoon θ vastakkaissuuntainen maan vetovoiman kiihtvdelle. Tällöin htälön g <, Ε ratkaisu potentiaalille on Ε < g B. Vakion B arvolla ei ole merkitstä ja voidaan valita vaikka B < 0. Jos ilmanpaine vapaalla pinnalla on p 0 ja pinnan asema 0, hdrostaattinen paine nesteessä p g p g θ < 0 θ 0 0 θ 0 p< p g(, ). Porttin vaikuttavan paineen voima ja momenttiresultantti, koostuu vasempaan puoleen vaikuttavasta hdrostaattisesta paineesta (), oikeaan puoleen vaikuttavasta hdrostaattisesta paineesta ja ilmanpaineesta. p p0, θg, H 0 < p0 0 ; d ja p R p0, θg( h ), H, h <. p0, h; d Ilmanpaine tuottaa siis tasaisen jakauman molemmille puolille, joko suoraan tai nestestatiikan tasapainohtälön kautta, joten sen osuus lopulta häviää. Tarkastellaan vain nesteen painosta johtuvaa osuutta 0 1 F <, θgd < θgh (oikealle), H FR <, g h d <, g h, h H h, H < g H, h, h θ ( ) θ [ ( ) )] θ ( ) (vasemmalle), H Olkoon positiivinen suunta oikealle, voimasumma 1 F < F, FR < θgh( H, h).

4 Määritä kuvan ulokepalkin poikkileikkauksen normaalivoima N, leikkausvoima Q, ja taivutusmomentti M (sisäisten voimien resultantteja) aksiaalikoordinaatin funktioina. Palkkiin vaikuttaa ulkoisina voimina jakautunut voima pituusksikköä kohden f, pistevoima F ja tukireaktiot seinän kohdalla. f F Palkin normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti ovat tietssä poikkipinnassa vaikuttavan jännitksen resultantteja. Ulokepalkin sisäisten voimien resultantit tietssä poikkileikkauksessa saadaan leikkaamalla palkki kahteen osaan ja tarkastelemalla vapaan pään voima ja momenttitasapainoa, F, N < 0 N <, F,, Q, fdω < 0 Q<, f(, ),, ω N M Q f F, M, f( ω, d ) ω < 0 1 ( ) M <, f,. Jakautuneen kuorman resultantin integraaleissa pitää ajatella vakioksi ja kättää esimerkiksi koordinaattia ω palkkialkion resultantin laskennassa kohdan suhteen. Poikkipinnan täsmällinen jännitsjakauma saadaan kontinuumimekaniikan keinoin ratkaisemalla palkin siirtmää ja jännitstä kuvaavat differentiaalihtälöt.

5 Bernoulli tasopalkin siirtmäkomponentit ovat u < u( ), dw( )/ d, u < 0 ja u < w ( ) ja normaalijännitkset ρ < ρ < 0. Johda palkin normaalivoiman N ja taivutusmomentin M lausekkeet lähtien määritelmistä N < ρ da ja M < ρ da, joissa integraali on poikkipinnan litse. Oleta lineaaris-elastinen isotrooppinen ja homogeeninen materiaali (E on vakio). Palkin pituussuuntainen, akseli on pintakeskiössä ja poikkipinta on smmetrinen, ja, akselien suhteen. Tasopalkin leikkausrasitussuureet N ja M ovat poikkileikkaukssen jännitsjakauman reultantit. Määritetään aluksi tarvittava jännitskomponentti ρ lähtien venmän määritelmästä ja leistetstä Hooken laista. Koska ρ < ρ < 0 Hooken laista seuraa, että δ 1 < ρ ρ < Eδ. E Venmä voidaan lausua siirtmän avulla kättämällä venmä-siirtmä htettä du du d w δ < <,. d d d Normaalijännits lausuttuna poikkipinnan translaatiokomponenttien u ( ) ja w ( ) avulla ρ du d w < Eδ < E(, ). d d Tietllä poikkipinnalla derivaatat ovat vakioita integroinnin suhteen < vakio, joten jännitksen lausekkeen funktioiden u ( ) ja w ( ) du d w du d w du d w ρ ( ), N < da < E, da < E da, E da < EA, ES d d d d d d du d w du d w du d w M < ρ da < E(, ) da < E da, E da < ES, EI d d d d d d. Resultanttien lausekkeissa esiintvät pinnan geometriaa kuvaavat suureet ovat pinta-ala A, pinnan ensimmäinen momentti S ja pinnan toinen momentti I A < da, S < da ja I < da. Pinnan ensimmäinen momentti S < 0, jos poikkipinta on smmetrinen, akselin suhteen. Tällöin

6 N du < EA ja d d w M <, EI. d

7 Isotrooppisen ja lineaaris-elastisen materiaalin kimmokerroin on E ja Poissonin luku µ < 1/3. Materiaalista valmistetun kappaleen Karteesisen koordinaatiston siirtmäkomponentit ovat u < k(3 ), u < k(, ) ja u < 0, joissa k on dimensioton vakio. Määritä kappaleen jännitstensori samassa vektorikannassa. Eliminoimalla venmät isotrooppisen materiaalin jännits-venmä ja venmä-siirtmä relaatioista, päädtään jännits-siirtmä relaation matriisiesitksiin ρ 1, µ µ µ u / E ρ µ 1 µ µ < u / (1 µ )(1 µ ),, ρ µ µ 1 µ, u / ja ρ ρ u / u / ρ < ρ < G u / u /. ρ ρ u / u / Jännits riippuu vain kimmokertoimesta E ja Poissonin luvusta µ, koska liukumoduli G < E /( µ ). Sijoitetaan annetut siirtmäkomponentit ja sievennetään ρ 1, µ µ µ 3k E 3 3 ρ µ 1 µ µ k ke 1 1 <,, <, < ke, 1 (1 µ )(1 µ ) 4,, 4 ρ µ µ 1, µ ρ ρ k 1 E 3 ρ < ρ < 0 < ke 0. (1 µ ) 4 ρ 0 0 ρ Jännitstensori saadaan komponenttimatriisin avulla θ T T i ρ ρ ρ θ θ θ i i i σ θ θ θ 3 ρ j ρ ρ ρ j j ke θ < <, j 4 θ θ θ k ρ θ. ρ ρ k k k

8 Kuvan sauvat on kiinnitett nivelillä tukiin ja toisiinsa ja rakennetta kuormittaa pstsuora voima F = 0. Vaakasauvan poikkipinta-ala on A, sauvan 1 poikkipinta-ala A ja materiaalin kimmokerroin E. aske sauvojen aksiaalijännitkset, aksiaalivenmät ja voiman vaikutuspisteen siirtmä. Y F X Y 1 X 45 α Sauvarakenteen analsissä sauvoja tarkastellaan erillisinä kappaleina, joilla kullakin on oma kappalekoordinaatistonsa. Sauvat vuorovaikuttavat nivelten kautta ja kantavat vain akselinsa suuntaisia voimia. Ratkaistaan aluksi sauvavoimat statiikan keinoja kättäen. Tässä riittää tarkastella voiman F kuormittaman nivelen voimatasapainoa. Vapaakappalekuvion avulla saadaan tasapainohtälöt kiinteän koordinaatiston akselien suunnille 1 F <, N1, N < 0 1 F <, N1, F < 0 N 1 <, F ja N < F. N N 1 F Voiman ja vastavoiman lain mukaan sauvoihin 1 ja vaikuttaa htä suuret mutta vastakkaissuuntaiset voimat (siis sauvasta ulospäin). Aksiaalijännits on aksiaalivoima jaettuna sauvan poikkipinnan alalla. Kappalekoordinaatiston nollasta eroava komponentti Sauva 1: ρ N1 F XX < A <, A (puristusta) Sauva : ρ N F XX < A < A (vetoa) Koska sauvavoimat oli merkitt ulospäin sauvasta, jännitksen positiivinen etumerkki tarkoittaa vetoa ja negatiivinen puristusta. Sauvan jännits on ksiaksiaalinen, jolloin leistett Hooken laki ksinkertaistuu muotoon ρ < Eδ. Sauvojen venmät aksiaalisuunnissa ρ XX Sauva 1: Sauva : ρ XX F δ XX < <,, E EA ρ XX F δ XX < <. E EA Venmä on vakio kummankin sauvan alueella, jolloin sauvan pituuden muutos on venmä kerrottuna alkuperäisellä pituudella. F Sauva 1: Χ < δxx <,, EA

9 Sauva : F Χ < δxx <. EA Saadut arvot ovat nivelen siirtmiä sauvoihin kiinnitettjen kappalekoordinaatistojen θ θ θ X, akseleiden suuntiin. Nivelen siirtmän u< ui ui komponentit kiinteän koordinaatiston komponentit u ja u saadaan ehdoista, että siirtmät sauvojen suuntiin vastaavat edellä laskettuja arvoja Sauva 1: θ θ θ 1 θ θ θ θ 1 θ θ F u I < u ( i j) < ( ui uj) ( i j) <,, EA θ θ θ θ θ θ θ Sauva : u I < u i < ( u i u j) i < F, EA joista ratkaisemalla u F F < ja u <, 3. EA EA

10 Kuvan kartioviskometrin pörittämiseen akselin mpäri vakiokulmanopeudella ϖ tarvitaan momentti M. Määritä nesteen viskositeetin λ laskukaava. Oleta, että nopeusjakauma on lineaarinen pörivän kartion ja kiinteän astianpohjan välillä. Tarkasteltavaan kappaleeseen eli kartioviskometriin vaikuttaa ulkoisina kuormina momentti M ja nesteen viskositeetista aiheutuva momentti. Viskometrin nesteen kanssa kosketuksissa olevaan pintaan vaikuttaa tangentiaalitraktio σ < λdv / d. Nesteen nopeus kartioviskometrin kohdalla on ε sama kuin kartioviskometrin nopeus ja nesteen nopeus pohjalla häviää. Koska nopeusjakauma on lineaarinen, kohdassa r M, ϖ M, R π r dvε Χ vε ϖr, 0 ϖ < < < d Χ rtanπ, 0 tanπ Pohjan pinta-ala alkio dvε ϖ σ < λ < λ. d tanπ 1 da < οrdr. cosπ Traktion momentti akselin suhteen ϖ 1 οϖ οϖ 1 M λ < rda < r rdr < r dr < R tanπ cosπ sinπ sinπ 3 R R 3 σ λ ο λ λ 0. 0 Tasapainotilanteessa Mλ < M 3 M sinπ λ < ο 3 ϖr.

11 Kappaleen liikkeen kuvaus on < X kty, σ σ viskoosin jännitstensorin < λd < Y, kt X ja < Z, joissa k on vakio. Määritä esits paikan (,, ) ja ajan t funktiona. Kappaleen liikkeen kuvaus on kappaleen partikkelien ratojen parametriesits (aika on käräparametri). Kappalekoordinaatit ( XYZ,, ) identifioivat partikkelin. Tässä kappaleen liikkeen kuvaus on 1 kt 0 X <, kt 1 0 Y Z, 1 1 kt 0 kt X, 1 Y <, kt 1 0 < kt 4. 1 k t Z (1 k t ) Nopeuden komponentit Eulerin esitksessä saadaan laskemalla ensiksi komponentit agrange esitksessä ja eliminoimalla tämän jälkeen ainekoordinaatit kappaleen liikkeen käänteiskuvauksen avulla v 0 kt 0 X kt kt v kt 0 0 <, Y < kt 4,. 1 k t v Z 0 Muodonmuutosnopeustensorin komponentit θ T i i 3 σ θ θ 3 θθ θθ σ 4λk t 4λk t < λd < j j ( ii jj) 4 <. 4 1 k t θ 1 k t k θ k θ

12 Määritä kuvan virtajohtimen stationaarinen lämpötila T( ). Seinämien lämpötilat T 0 ja T, johtimen poikkipinnan ala A, lämmönjohtavuus k ja lämmöntuotto tilavuuusksikköä kohden s ovat vakioita. Kun aikaderivaatat ovat nollia ja lämpöä johtuu vain, akselin suunnassa, energian taseen periaate ja Fourierin lämmönjohtumislaki ksinkertaistuvat muotoihin (sijoitetaan lämmönjohtumislaki tasehtälöön) T 0 T dq s, < 0 ja q d dt <, k d d T s k < 0. d Tehtävässä poikkipinta, lämmön tuotto ja lämmänjohtavuus ovat vakioita, jolloin päädtään reunaarvotehtävään d T k d s < 0 ]0, [, T(0) < T0 ja T( ) < T Aluksi differentiaalihtälön leinen ratkaisu integroimalla (kukin integrointi tuottaa integrointivakion) d T d s <, dt <, s A k d k s T <, A B. k ausutaan integrointivakiot päiden tunnettujen lämpötilojen avulla T(0) < B< T ja 0 s T T( ) <, A B < T B< T0 ja, T0 s A<. k k Sijoitetaan ratkaisuun s T( ) < (, ) T T0 (1, ). k