läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

Transkriptio

1 BM20A Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät Tunnemme vektorit a = [ ] ja b = [ ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien pistetulo; (iii) vektorien välinen kulma. Tunnemme pisteet P : (1,0,0), Q : (0,1,0) ja R : (0,0,2). Laske (i) vektorien PQ ja PR pituudet; (ii) vektorien PQ ja PR pistetulo; (iii) vektorien PQ ja PR välinen kulma. a = = 14. b = = 9 = 3. a b = = 10. cosθ = a b a b = = θ 27.0 PQ = ( 1) = 2. PR = ( 1) = 5. PQ PR = ( 1) ( 1) = 1. a b = = 10. cosθ = PQ Pr PQ PR = 1 = θ Tunnemme funktion f (x) = 3 x. Muodosta f :lle lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteen x = 8 läheisyydessä. Tunnemme funktion f (x) = cos x. Muodosta f :lle lineaarinen approksimaatio muodostettuna (i) pisteen x = π läheisyydessä ja (ii) pisteen x = π 2 läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? f (x) = 1 3 x 3 2 f (8) = 12 1 f (8) = 2. L(x) = f + f (x a) = (x 8) = 12 x f (x) = cos(x), f (x) = sin(x). (i) Kehityspiste a = π. f = cos(π) = 1, f = sin(π) = 0. L(x) = f + f (x a) = 1 + 0(x π) = 1. Tämä approksimaatio on siis vain vakiofunktio L(x) = 1. Tämä on järkeenkäypää, koska tämä suora sivuaa f :ää kehityspisteessä. (ii) Kehityspiste a = π 2. f = cos( π 2 ) = 0, f = sin( π 2 ) = 1. L(x) = f + f (x a) = 0 + 1(x π) = x π. Tämäkin on järkeenkäyvän näköinen, koska se sivuaa f :ää kehityspisteessä.

2 y(x) = 4x 5 = 0 = x = Muodosta funktiolle f (x, y) = ln(2x + y) lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteessä ( 1,3). lineaarinen approksimaatio muodostettuna pis- Muodosta funktiolle f (x,y) = 3 + x2 teessä ( 4,3) y2 9 Muodosta funktiolle f (x,y) = 4x 3 y 2 +2y lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteessä (1, 2). (a,b) = ( 1,3) f (x,y) = ln(2x + y) f (a,b) = 0 f 1 (x,y) = 2 2x + y f (a,b) = 2 f 2 (x,y) = 1 2x + y f (a,b) = 1 L(x,y) = f (a,b) + f 1 (a,b)(x a) + f 2 (a,b)(y b) = 0 + 2(x + 1) + 1(y 3) = 2x + y 1 (a,b) = ( 4,3) f (x,y) = 3 + x y2 9 f 1 (x,y) = x 8 f 2 (x,y) = 2y 9 f (a,b) = 5 f (a,b) = 1 2 f (a,b) = 2 3 L(x,y) = f (a,b) + f 1 (a,b)(x a) + f 2 (a,b)(y b) = (x + 4) (y 3) (a,b) = (1, 2) f (x,y) = 4x 3 y 2 + 2y f (a,b) = 12 f 1 (x,y) = 12x 2 y 2 f (a,b) = 48 f 2 (x,y) = 8x 3 y + 2 f (a,b) = 14 L(x,y) = f (a,b) + f 1 (a,b)(x a) + f 2 (a,b)(y b) = (x 1) 14(y + 2) 4. Etsi seuraavien funktioiden lokaalit maksimit/minimit. Ovatko nämä globaaleja maksimeja/minimejä? y(x) = 2x 2 5x + 3 y(x) = x 3 3x y(x) = x 2 + x 2, 2 x 2.

3 Kirjoitamme jälkimmäisen yhtälön muotoon t = y 2. Sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan x = 3 ( y ) 2 4, ja tämä voidaan sieventää muotoon x = 3 y 2 4. Koska kyseessä on polynomi, funktiolla ei ole singulaaripisteitä, ja se on myöskin jatkuva. Koska x 2 -termin kerroin on positiivinen, tämä on ylöspäin aukeava paraabeli. Näin ollen löydetty derivaatan nollakohta on globaali minimi. Suurinta arvoa funktiolla ei ole, koska paraabelin molemmat laidat saavat yhä suurempia arvoja mentäessä kohti ± :tä. y( 5 4 ) = 1 8. y(x) = 3x 2 6x = 0 = x = 0 tai x = 2. y (x) = 6x 6. y (0) = 6 < 0 = Lokaali maksimi. y (0) = 6 > 0 = Lokaali minimi. y(0) = 1. y(2) = 3. Nämä eivät ole kuitenkaan globaaleja ääriarvoja, koska kun x silloin y, ja kun x silloin y. Funktio voidaan kirjoittaa y(x) = x ; tästä muodosta nähdään selvästi, että funktiolla on singulaaripiste kohdassa x = 0. Selvästikin y kun x 0, kummalta tahansa puolelta. x 2 y (x) = 2x + 2 = 2x4 2 = 0 = x = ±1. x 3 x 3 y (x) = 2 + ( 2)( 3) = 2x4 +6 > 0, joten funktio on on kaikkialla määrittelyalueessaan konkaavi x 4 x 4 ylöspäin. Näin ollen löydetyt derivaatan nollakohdat ovat paikallisia minimejä. Voimme päätellä, että ne ovat myös globaaleja minimejä. Globaalia maksimiarvoa ei toki ole (kuten aiemmin perusteltu). Funktion miniarvot löytyvät pisteistä ( 2, ) ja (2, 4 ). 5. Eräs firma tuottaa kahta tuotetta, kutsumme niitä tuotteeksi A ja tuotteeksi B. Kun firma tuottaa määrän x tuotetta A ja määrän y tuotetta B, firman tuottama voitto on silloin P(x,y) = 8x + 10y (0.001)(x 2 + xy + y 2 ) 10,000. Millä tuotantomäärillä (x:n ja y:n arvot) firman voitto voidaan maksimoida? P(x,y) = 8x + 10y (0.001)(x 2 + xy + y 2 ) 10,000 P 1 (x,y) = 0.002x 0.001y + 8 P 2 (x,y) = 0.001x 0.002y + 10 Asettamalla sekä P 1 :n että P 2 :n nollaksi, löydämme yhden pisteen joka toteuttaa molemmat yhtälöt: tämä piste on (x, y) = (2000, 4000). Onko löydetty piste todella maksimipiste? Tähän vastaa second partial derivative test. Lasketaan toiset osittaisderivaatat: P 11 (x,y) = P 22 (x,y) = P 12 (x,y) = Selvästikin pätee P 11 P 22 P12 2 > 0 ja P 11 < 0, eli löydetty piste on funktion maksimiarvo. 6. Kussakin kohdassa on annettu parametrinen esitys jollekin tasokäyrälle. Eliminoi parametri, eli ilmoita sama tasokäyrä lausekkeena joka sisältää vain x:ää ja y:tä. Viimeisessä kohdassa kannattaa käyttää trigonometristä identiteettiä cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1. x = 3t 2 4, y = 2t. x = e t, y = e 3t. x = 1 + sin(t), y = 2 + cos(t).

4 Tämä on suoraviivaisempi kuin päällepäin luulisikaan. Kirjoitetaan jälkimmäinen yhtälö y = e 3t = (e t ) 3. Kun kerran ensimmäinen yhtälö määrittelee x = e t, voidaan jälkimmäinen kirjoittaa nyt y = (e t ) 3 = x 3. Kirjoitetaan parametrinen esitys muotoon x 1 = sin(t) y + 2 = cos(t) Käyttämällä ohjeena annettua trigonometrista identiteettiä tämä menee muotoon (y + 2) 2 + (x 1) 2 = 1. Kyseessä on siis ympyrä, jonka säde on 1, ja jonka keskipiste on pisteessä ( 2,1). 7. Pieni kappale liikkuu tasossa niin, että sen paikan ajanhetkellä t määrittelee parametrinen esitys x = 3t 2 t + 2, y = 1 3 t3 + t. (i) Missä kappale on ajanhetkellä t = 1? (ii) Mikä on kappaleen nopeus ajanhetkellä t = 1? (iii) Onko kappale levossa missään vaiheessa? Pieni kappale liikkuu tasossa niin, että sen paikan ajanhetkellä t määrittelee parametrinen esitys x = 5t 3, y = 3t 2 + 2t + 1. Laske dy. Mitä tämä edustaa graafisesti? (i) x(1) = = 4 y(1) = = 2 3 Kappale on siis pisteessä (4, 2 3 ). (ii) x (t) = 6t 1 y (t) = t x (1) = = 5 y (1) = = 2 Kappaleen nopeus on siis v = 5i + 2j. (iii) Toteutuvatko yhtälöt x (t) = 6t 1 = 0 y (t) = t = 0 yhtäaikaa millään t:n arvolla? Eivät. Tämä on helppo nähdä; ylin yhtälö toteutuu kun t = 1 6, ja eipä alempi yhtälö silloin nollaksi mene. Kappale ei siis ole koskaan levossa. Mitä dy edustaa graafisesti? Jos ajattelemme, että pieni kappale liikkuessaan piirtää xy-tasoon tasokäyrän, niin dy on tämän tasokäyrän kulmakerroin pisteessä (x,y). Tiedämme dy = dy dt dt. Lasketaan dy dt = 6t + 2. dt = 5 = dt = 1 5. Nyt siis dy = dy dt dt = 6t Etsi funktion kriittiset pisteet. Ovatko pisteet paikallisia minimejä, paikallisia maksimeja, vai satulapisteitä? f (x,y) = x 2 + 2y 2 + 2x 6 f (x,y) = 3x 2 + 2xy y f (x,y) = x 2 y 4y

5 f (x,y) = (2x + 2)i + (4y)j. f (x,y) = 0 = (x,y) = ( 1,0). Kun sekä x 2 :n että y 2 :n kertoimet ovat positiivisia, tämän funktion kuvaaja on vääjäämättä muodoltaan ylöspäin aukeava paraboloidi. Löydetty kriittinen piste on siis tämän kupin pohja, eli lokaali minimi (toki näin ollen myös globaali minimi, mutta sitähän ei kysytty). f (x,y) = (6x + y)i + (2x 1)j. f (x,y) = 0 = (x,y) = ( 1 2, 3 2 ). Second partial derivative test: Kyseisessä pisteessä f xx f yy ( f xy ) 2 = 4 < 0, joten kyseessä on satulapiste. f (x,y) = (2xy)i + ( x 2 4 ) j. f (x,y) = 0 = (x,y) = (±2,0). Second partial derivative test: Lasketaan D = f xx f yy ( f xy ) 2 molemmissa pisteissä. Molemmissa pisteissä saadaan D = 4 < 0, joten molemmat ovat satulapisteiä.