ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

Transkriptio

1 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu myös geometrisesti (b) Millä vakioiden a ja b arvoilla yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja? 2 Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa (a) Tunnemme virtauksen suuruuden ja suunnan viidessä kohdassa joihin se on merkitty Muodosta yhtälöryhmä joka kuvaa virtauksia ja muotoile se matriisimuodossa (b) Voidaanko virtaus ratkaista kohdissa, jotka on kuvassa merkitty x x 4? Jos voidaan, mikä tämä ratkaisu on? Onko ratkaisu yksikäsitteinen? (c) Jos tuntisimmekin kuvaan x i :illä merkityt virtaukset mutta emme muita, voitaisiinko nämä muut virtaukset ratkaista yksikäsitteisesti? Perustele vastauksesi (a) Tutkitaan reaktioyhtälöä x CaCO + x 2 HCl x CaCl 2 + x 4 H 2 O + x 5 CO 2 Muodosta yhtälö Ax b jossa x siis sisältää siis reaktiossa esiintyvien molekyylien määrät silloin kun atomitasapaino pysyy voimassa ja kaikki vasemman puolen molekyylit muuttuvat oikean puolen molekyyleiksi Huom Yleensä reaktioyhtälöitä kirjoitettaessa ei lukuja x i kirjoiteta näkyviin, tässä teimme sen selvyyden vuoksi (b) Mieti mikä täytyy edellisen kohdan matriisin A aste olla kun molekyylit toki muodostuvat reaktiossa aina samojen sääntöjen mukaan 4 Oletetaan nyt että edellisen tehtävän yhtälöryhmä on ratkaistu Gauss-Jordan eliminaatiolla siten että alkuperäinen yhtälöryhmää kuvaava laajennettu matriisi A b on pyöritelty Gauss-Jordan eliminaation loppumuotoon, ja olkoon tämä lopullinen matriisi B Ajattelemme nyt että B:n alkiot ovat tunnettuja (toki voit itse ne laskea, mutta voi olla vähän työlästä) Viittaamalla sopivasti B:n alkioihin ja käyttämällä sopivaa käänteismatriisia, anna ratkaisu x tapauksessa jossa x 0 9 Vastuksen voi siis jättää symboliseen muotoon 5 Tasossa liikkuvaan kappaleeseen kohdistuu kolme voimaa joita kuvaavat vektorit f 5 2, f 2 2 ja f (a) Määritä vektoreiden f ja f 2 välinen kulma (b) Määritä vektori f jos tiedetään että kappaleella ei ole kiihtyvyyttä, eli voimavektoreiden summa on nollavektori

2 (c) Nyt kappaleella onkin kiihtyvyyttä Määritä kaikki vektorit f joilla kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on vektorin f suuntainen (eli kiihtyvyys on myös vektorin f suuntainen) 6 Lentokone lähtee pisteestä r 0 i + j + k ja lentää vektorin v i + 2j + k suunnassa Kuinka lähellä lentokone lähimmillään käy taloa joka on pisteessä (2,,0)? 7 Ajatellaan tilannetta missä kahdella eri alueella elää samoja eliöitä Eliöt kuitenkin siirtyvät alueelta toiselle vuosittain seuraavasti: x i "eliöiden lukumäärä vuonna i alueella " y i "eliöiden lukumäärä vuonna i alueella 2" { xi+ 09x i + 02y i y i+ 0x i + 08y i (a) Merkitään tilavektoria t i x i, y i T Kirjoita yllä oleva yhtälöryhmä matriisimuodossa At i t i+ (b) Onko sellaista tilaa että seuraavana vuonna populaatio on jakautunut täsmälleen samoin alueille ja 2 mitä se oli edellisenä vuonna? Eli voiko olla t i+ t i? (c) Miten systeemi käyttäytyy jos alkutila t 0? Ratkaisu: (a) (b) xi+ y i Huomaa että käytännössä matriisin sarakkeen arvot kertovat aina kuinka paljon alueen entisistä asukkaista muuttaa millekin alueelle seuaavaksi vuodeksi Asukkaiden yhteismäärä alueilla ei vähene eikä koska sarakkeen alkioiden summa on aina At i t i 0 At i It i 0 (A I)t i 0 xi y i R ( 0) ( ) xi 2y i 0 x i 2y i xi 2yi t i y i y i 2 y i,y i R +

3 Alueen populaation suhde alueen 2 populaatioon on oleva 2y i y i 2 (c) t At 0 t 2 At AAt 0 A 2 t 0 t At 2 AA 2 t 0 A t 0 t n A n t 0 ( ) Käyttämällä hyväksi matriisin A ominaisarvoja ja ominaisvektoreita saadan näppärästi laskettua A n t 0 : Etsitään ensin ominaisarvot ja ominaisvektorit λ λ v v 2 ja kirjoitetaan sitten t 0 matriisiiin A ominaisvektoreiden avulla: t 0 C v + v 2 2 C +C 2 2 C }{{}}{{}}{{} b B C b BC ( B ) B b } B {{ B} C I B b C Kun muistetaan että eli 2 C 4 C A n v i A n Av i A n λ i v i λ i A n 2 Av i λ i A n 2 λ i v i λ 2 i A n 2 v i λ n i v i t n A n t 0 A n (C v + v 2 ) C A n v + A n v 2 4 v 07n v 2 07 n n 0

4 Ajan kuluessa populaatiot konvergoivat kohti tilaa 4 v Jatketaa edellisen tehtävän eliöiden pohtimista Oletetaanpa että alueella syntyvyys on sellainen että populaatio lisääntyy vuosittain -kertaiseksi ja alueella 2 syntyvyys on niin heikko että vain 70% jää vuosittain henkiin (a) Kirjoita matriisimuodossa populaatioiden tilan kehitystä kuvaavat yhtälöt kun oletetaan että siirtymisiä ei tapahdu (b) Miten tilanne muuttuu kun kuolemien/syntymien jälkeen tehdään edellisessä tehtävässä kuvatun kaltaisia populaatioiden siirtelyjä? Etsi siis kerroinmatriisi B se t i+ Bt i (c) Onko nyt sellaista alkutilaa että populaatiot eri alueilla pysyvät vakioina? Eli onko tilaa t i se t i+ t i? (d) Mikä on tila n vuoden jälkeen jos alussa se on t 0? Ratkaisu: (a) xi+ y i (b) Olkoon nyt matriisi C Syntymien ja kuolemien jälkeen tilavektori on siis Ct 0 07 i ja nyt tämän jälkeen siis tulee siirtymät eli syyrtymien jälkeinen tilavektori t i+ ACt i Siis matriisi B AC (c) t i+ ACt i t i ACt i t i 0 xi (AC I)t i 0 ( ) xi y i 0 ( ) xi y i xi y i xi y i x 0 y i 0 y i

5 (d) t ACt 0 t 2 ACt ACACt 0 (AC) 2 t 0 t ACt 2 AC(AC) 2 t 0 (AC) t 0 t n (AC) n t 0 Voidaan tehdä kuten ennenkin hajottamalla t 0 muotoon t 0 C v + v 2 missä v ja v 2 ovat matriisin AC ominaisvektoreita, olettaen että tälläiset vektorit löytyy matlab: λ 985 λ v v t 0 C v + v }{{} V C V t n (AC) n t 0 (AC) n (C v + v 2 ) (AC) n C v + (AC) n v 2 C (AC) n v + (AC) n v 2 C λ n v + λ n 2 v n C n

6 Vastauksia: Teht#: Teht#2: Teht#: Teht#4: Teht#5: Teht#6: Teht#7: a) b) t i y i 2 c) 4 v Teht#8: a) b) c) x 0, y i 0 d) t n n n