KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit"

Transkriptio

1 KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos

2 Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan, käsittelemään ja soveltamaan momenttia vektorimuodossa. Tuntee käsitteet samanarvoinen (ekvivalentti) voimasysteemi ja jakaantunut voima Osaa yksinkertaistaa voimasysteemejä redusoimalla ne ekvivalenteiksi voimasysteemeiksi.

3

4 Voiman momentti Voima pyrkii kiertämään kappaletta vaikutussuoransa ulkopuolisen pisteen suhteen Tämä on voiman momentti tai momentti. Momenttia kutsutaan myös väännöksi (ylhäällä) tai taivutusmomentiksi (alhaalla). Momentin suuruus: Suoraan verrannollinen voiman suuruuteen sekä pisteen ja vaikutussuoran väliseen kohtisuoraan etäisyyteen, voiman varteen.

5 Voiman momentti Momentilla on suuruus ja suunta: Momentti on siis vektori Merkintä: voiman! aiheuttama momentti pisteen " suhteen on # $. Momentin suuruus on voima kertaa varsi: % $ = '( Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti: Vastapäivään positiivinen, myötäpäivään negatiivinen (oikean käden sormet antavat positiiviseen kiertosuunnan peukalon osoittaman vektorin suhteen).

6 Esimerkki Mikä on voiman varsi!, kun halutaan laskea momentti pisteen " ympäri?

7 Momentin skalaarimuoto Tasossa (2D) on kätevää tarkastella momenttia skalaarimuodossa, jolloin yhtälöt ovat yksinkertaisempia, kuin vektorimuotoiset yhtälöt. Tasossa momentin resultantti saadaan laskemalla yhteen kaikkien voimasysteemin voimien aiheuttamat momentit + $ % & = Σ) * + * $ % & = ), +, ) ) / + / Huomaathan näissä etumerkin! Positiivinen suunta vastapäivään!

8 Momentin skalaarimuoto Laske resultanttimomentti, kun! " =! $ =! % = 100 N, * " = 1 m, * $ = 1,3 m, * % = 1,2 m =! " * "! $ * $ +! % * % = Nm = 90(Nm) Laske resultanttimomentti, kun! " =! % = 100 N,! $ = 200 N, * " = * % = 1 m, * $ = 1,2 m = Nm = 40(Nm) Mihin suuntaan positiivinen ja negatiivinen resultanttimomentti pyrkivät pyörittämään kappaletta?

9 Momentin vektorimuoto Momenttivektori pisteessä on voiman paikkavektorin (pisteen suhteen) ja voimavektorin ristitulo! " = $ &

10 Momentin vektorimuoto Ristitulo Kahden vektorin ristitulo tuottaa vektorin! = # %! = '( sin,. / Vektorin! suuruus (itseisarvo): & = '( sin, Vektori! on kohtisuorassa vektoreiden # ja % muodostamaa tasoa vastaan ja sen suunta määräytyy oikean käden säännön avulla. Huomaa myös, että % # =!

11 Momentin vektorimuoto Kantavektoreiden i ja j ristitulo! # : Suuruus: i j sin 90 = = 1 Suunta: oikean käden säännön mukaisesti! # = (! ( = # ( # =?!! = # # = ( ( =? (ks. määritelmä edellä!)

12 Momentin vektorimuoto Helpohkoa kantavektoreiden ristitulojen avulla / 0 = # $ & + # ) * + # +, % $ & + % ) * + % +, = # $ % $ & & + # $ % ) & * + # $ % + &, + = # ) % + # + % ) & # $ % + # + % $ * + # $ % ) # ) % $, Tai sitten determinantin avulla / 0 = & *, # $ # ) # + % $ % ) % +

13 Momentin vektorimuoto!-alkiolle:! " # $ % $ & $ ' ( % ( & ( ' =!($ & ( ' $ ' ( & ) Determinantti: $ )) $ )* $ *) $ ** = $ )) $ ** $ )* $ *) "-alkiolle:! " # $ % $ & $ ' ( % ( & ( ' = "($ % ( ' $ ' ( % ) Muista miinus-merkki! #-alkiolle:! " # $ % $ & $ ' ( % ( & ( ' = #($ % ( & $ & ( % ) Lopuksi lasketaan tulokset yhteen.

14 Momentin vektorimuoto - esimerkki Laske! #, kun! = 2& + ( * ja # = 5( + 2* Tapa 1. Sijoitetaan tunnettuun kaavaan:! # =, -. /, /. - &, 0. /, /. 0 ( +, 0. -, -. 0 * = (1)(2) ( 1)(5) & (2)(2) ( 1)(0) ( + (2)(5) 1 0 * = 7& 4( + 10* Tapa 2. Ratkaise (2& + ( *) (5( + 2*) käyttäen kantavektoreiden ristituloja. Tapa 3. Ratkaise determinantti & ( *, 0, -, / = / & ( * = 2 5 & 4 0 ( * = 7& 4( + 10*

15 Momentin vektorimuoto Momenttivektori: paikkavektorin ja voimavektorin ristitulo.! " = $ & Momentti lasketaan aina jonkin pisteen suhteen (tässä '). Momentin suuruus on ristitulon määritelmän mukaan ( " = $ & = *+ sin / = +(* sin /) = +2 Suunta: oikean käden sääntö. Paikkavektori $ voi osoittaa mileivaltaiseen voiman vaikutussuoran pisteeseen (vastaavasti voima voi myös liikkua vaikutussuorallaan) momentti säilyy vakiona.

16 Momentin vektorimuoto! " = $ & = ' ( ) * ' * ) (, ' - ) * ' * ) -. + ' - ) ( ' ( ) - 0 = (2 " ) -, + (2 " ) (. + (2 " ) * 0 Momentti x-akselin ympäri pisteessä 4 (2 " ) - = ' ( ) * ' * ) ( Huomaa: Momenttivektorin komponenteilla on fysikaalinen merkitys! Ne kertovat voiman momentin koordinaattiakselien ympäri siten, että esimerkiksi x-komponentti on momentti x-akselin ympäri (siksi x-akselin suuntainen voima ei voi esiintyä siinä).

17 Momentin vektorimuoto Voimasysteemi aiheuttaa resultanttimomentin! "# = % & ( & + % * ( * + % + ( + =. & % - ( - (Tässä tapauksessa summalausekkeessa n=3)

18 Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti putken kiinnityspisteen! suhteen. Tapa 1. Skalaarimenetelmä Lasketaan jokaisen voiman momentti pisteen! ympäri ja summataan ne: = Σ: ; < ;, johon saadaan etäisyydet kuvasta " ( cos 45 ) m = 600N 1m 300N m + 500N(( ) m) 2.5 sin 45 m # = Nm = 1254 Nm? 7 = Nm Huomaa momenttivektorin suunnan miettiminen: Skalaarimenetelmässä joudut päättelemään tämän.

19 Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti putken kiinnityspisteen! suhteen. " ( cos 45 ) m Tapa 2. Vektorimenetelmä Määritetään paikkavektorit (tässä siis pisteen O suhteen) ja sekä voimavektorit 4 5 = 9 m 4 6 = 4 8 = ; m < 5 = 600; N < 6 = 3009 N < 8 = 500; N = sin 45 m # A BC = Σ 4 < = 4 5 < < < 8 = 600F F F = F = 1254F Nm Momenttivektorin suunta tulee suoraan ristituloista! Jos olo tuntuu epävarmalta ristitulojen suhteen: laske käsin auki ristitulot edeltä ja tarkasta tulos.

20 Momenttiperiaate Voiman aiheuttama momentti pisteen suhteen on yhtä suuri kuin saman voiman komponenttien aiheuttamien momenttien summa saman pisteen suhteen. Laske voiman momentti pisteen! ympäri. ) ( Tapa 1. Laske geometrian avulla voiman vaikutussuoran (punainen katkoviiva) etäisyys pisteestä! $ % = '(. * Tapa 2. Jaetaan voima komponentteihin, lasketaan komponenttien aiheuttamat momentit pisteen! suhteen ja summataan saadut komponentit (tässä esimerkissä helpompi tapa).

21 Momentti tietyn akselin ympäri Pisteessä O olevan pultin akseli on y-akselin suuntainen: pulttia avaavan momentin on myös oltava y-akselin suuntainen! ". Ratkaise avaava momentti! ", kun tunnetaan voima F (z-akselin suuntainen), etäisyys ( ja työkalun varren pituus ( " = ( cos.. Huomaa, että! "! $. Momentin % $ suuruus % $ = '(. Momentin! $ suunnan määrittely selkeästi helpoin tehdä vektorimuotoisten yhtälöiden avulla. Momentin komponentin! " suuruus määräytyy voiman vaikutussuoran y-akselia kohtisuoraan vastaan olevan komponentin kohtisuoran etäisyyden mukaan. % " = '( " = '( cos.

22 Esimerkki Määritä oheisen kuvan mukaisessa laatan kuormitustapauksessa voimien aiheuttama momentti kuvan x-, y- ja z- akselien ympäri. Momentti x-akselin ympäri. + $ % = 100N 3m = 300 Nm z 100 N Momentti y-akselin ympäri. 50 N 200 N y + $ - = 200N 2m = 400 Nm 2 m Momentti z-akselin ympäri. x 3 m 300 N + $ 0 = 300N 2m = 600 Nm

23 Momentti tietyn akselin ympäri Pisteessä O olevan pultin akseli on y-akselin suuntainen: pulttia avaavan momentin on myös oltava y-akselin suuntainen! ". Ratkaise avaava momentti! ", kun tunnetaan voima F (z-akselin suuntainen), etäisyys $ ja työkalun varren pituus $ " = $ cos ). Yleisempi (parempi) tapa on käyttää vektoreita = * - = $ cos ) / + $ sin ) 3 4 5! 6 = 4$ sin ) / + 4$ cos ) 3 Skalaariprojektion avulla (pistetulo) saadaan 7 " = 3! 6 = 4$ cos ) ja kun vielä huomioidaan projektion suunta! " = 4$ cos ) 3

24 Momentti tietyn akselin ympäri Jos tunnetaan voiman & aiheuttama momentti! ' = ( & akselilla * olevan mielivaltaisen pisteen + suhteen, saadaan akselin ympäri vaikuttavan momentin suuruus skalaariprojektiolla $ " = % "! ' = % " (( &) jossa % " on akselin * suuntainen yksikkövektori. Edellä esiintyy skalaarikolmitulo, joka saadaan vaikkapa determinantista (tai ihan vaan laskemalla auki risti- ja pistetulo) $ " = % " (( &) = 0 " 1 0 " 2 0 " Momentin suunnan antaa akselin suuntainen yksikkövektori % ", joten! " = $ " % "

25 Esimerkki Kuvan mukaista rakennetta kuormittaa voima! = 300% 200( + 150, N pisteessä B. Ratkaise momentti x-akselin suhteen. Määritetään voiman paikkavektori / 01 (O on x-akselilla) / 01 = 0.3% + 0.4( 0.2, m 8 0 = / 01! Yksikkövektori 5 6 x-akselin suuntaan on kantavektori %. / 01 = 6 = % 8 0 = % (/ 01!) = = = 20 (Nm) 8 6 = 20 % (Nm)

26 Voimaparin momentti Voimapari = kaksi samansuuruista ja yhdensuuntaista, mutta erimerkkistä voimaa Resultanttivoima on nolla (# # = 0). Voimapari aiheuttaa ainoastaan momentin, jota kutsutaan voimaparin momentiksi ja joka riippuu ainoastaan voimien suuruudesta ja niiden välisestä kohtisuorasta etäisyydestä on ). Voimaparin momentti mielivaltaisen pisteen O suhteen on * = +, = (+, + 0 ). = +. Voimaparin momentti on vapaa vektori: momentti ei riipu voimien etäisyydestä pisteestä O, ainoastaan voimien välisestä etäisyydestä r (esim. kappaleeseen vaikuttaisi kaikkialla sama momentti *).

27 Voimaparin momentti Voimaparin momentin suuruus (d on voimien kohtisuora etäisyys)! = #$ Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti. Voimaparien sanotaan olevan ovat samanarvoisia, kun niiden momentit ovat yhtä suuria ja samansuuntaisia.

28 Esimerkki Määritä kuvan tapauksessa voimaparin aiheuttama momenttivektori (Huom! Kaikkien pisteiden suhteen yhtä suuri!). Määritetään tässä pisteen B paikkavektori pisteen A suhteen # $% = 0.43 m Kirjoitetaan voimavektori ' % (kuvan perusteella) ' % = 4 % % %7. = ( )+ + ( 3 450). = N 5 # $% Voimaparin momentti on! = # $% ' % = Nm

29 Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Voimasysteemit ovat samanarvoisia, jos ne aiheuttavat kappaleeseen saman ulkoisen vaikutuksen Voimasysteemin ulkoinen vaikutus tarkoittaa: (1) kappaleen tukien reaktiovoimia, jos kappaleen liike on estetty tuilla (statiikka) (2) kappaleen liikettä ja rotaatiota, jos kappale on vapaa liikkumaan (dynamiikka)

30 Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Korvataan ylemmän kuvan kahdesta voimasta ja voimaparin momentista koostuva voimasysteemi samanarvoisella, mutta pisteessä! vaikuttavalla voimasysteemillä. Voima " # korvataan pisteessä! vaikuttavalla voimalla " # sekä voimaparin momentilla (% & ) # = ) # " #. Voima " + korvataan pisteessä! vaikuttavalla voimalla " + sekä voimaparin momentilla (% & ) + = ) + " +. Voimaparin momentti % on vapaa vektori, joka voidaan siirtää sellaisenaan pisteeseen!.

31 Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Edellistä voimasysteemiä voidaan yksinkertaistaa edelleen muodostamalla pisteessä O vaikuttava resultanttivoima! " ja resultanttimomentti ($ " ) &.! " = Σ! =! ( +! * ($ " ) & = ($ & ) ( + ($ & ) * + $

32 Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Jos voimasysteemi vaikuttaa tasossa (2D), voi olla nopeampi määrittää ekvivalentti voimasysteemi käyttämällä skalaarimenetelmää: 1. Voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihin, ja resultanttivoiman komponentit (" # ) % = Σ" % (" # ) ( = Σ" ( 2. Määritetään momentti (momentit) voimien komponenteista Jos voimasysteemi on kolmiulotteinen (3D), kannattaa aina laskea voimaresultantti karteesisilla vektoreilla ja momentti ristitulolla.

33 Esimerkki Määritä kuvan voimasysteemiä vastaava resultanttivoima ja resultanttimomentti pisteessä A. Tehtävän voimat tasossa, käytetään skalaarimenetelmää. Jaetaan kaikki voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihin ja ratkaistaan resultanttivoima. B (0.3m) 5 +(0.4m) 5 = 0.5 m 100 N 0.4 m + (% & ) ( = Σ% ( = 200N + 100N = 140 N + (% & ) 7 = Σ% 7 = 150N + 100N = 70 N % & = (% & ( )5 +(% & 7 )5 = ( 140N) 5 +( 70N) 5 = 157N 0.3 m 0.3 m 200 N C 9 = tan => (% &) 7 70N = tan => (% & ) ( 140N = 26,6 150 N

34 Esimerkki Määritä kuvan voimasysteemiä vastaava resultanttivoima ja resultanttimomentti pisteessä A. 100 N Määritetään voimien momentit pisteen A ympäri = Σ3 5 = 150N 0.3m + 100N = 45 Nm + 48 Nm 24 Nm = 21 Nm 0.6m 100N (0.4m) - (0.3m) ' +(0.4m) ' = 0.5 m 0.4 m Pisteeseen A redusoitu ekvivalentti voimasysteemi = 21 Nm 0.3 m 0.3 m 200 N. 26, N : 4 = 157N

35 Samanarvoiset voimasysteemit Voimavektorit vaikuttavat saman pisteen kautta. Yhtyvässä voimasysteemissä kaikkien voimien vaikutussuorat leikkaavat yhdessä vaikutuspisteessä!. ei momenttia pisteessä!. Samanarvoinen voimasysteemi voidaan esittää resultanttivoimana pisteessä!.

36 Samanarvoiset voimasysteemit Voimavektorit vaikuttavat samassa tasossa. ($ % ) ' =!( %! = ($ % ) ' ( % Tasossa vaikuttavan voimasysteemin resultanttivoima on samassa tasossa, mutta voimaparin momentin resultantin (+ % ) ' suunta on tasoa vastaan kohtisuorassa. Voimaparin momentin resultantti voidaan korvata siirtämällä resultanttivoima momentin varren,!, matkan pisteestä,, jolloin resultanttivoima tuottaa saman momentin pisteen, ympäri.

37 Samanarvoiset voimasysteemit Voimavektorit ovat yhdensuuntaisia. ($ % ) ' =!( %! = ($ % ) ' ( % Yhdensuuntainen voimasysteemi koostuu yhdensuuntaisista voimista voimaresultantti yhdensuuntainen ja voimaparin momentin resultantti on resultanttivoimaa kohtisuorassa ja momenttiakselin + suuntainen. Voimasysteemiä voidaan yksinkertaistaa siirtämällä resultanttivoima pitkin +:ta vastaan kohtisuorassa olevalla --akselilla etäisyyden! päähän momenttiakselista +.

38 Esimerkki Kuvan voimasysteemi on mahdollista korvata yhdellä samanarvoisella resultanttivoimalla. Määritä sen vaikutussuoran x- ja y-koordinaatit. Kuvan voimasysteemi on yhdensuuntainen. Se voidaan sieventää yhdeksi resultanttivoimaksi. + # $ = 100N 500N 400N = 800N Resultanttivoiman paikka saadaan momenttitasapainoista x-akselin ja y-akselin ympäri. Resultanttivoiman momentti x-akselin ympäri on oltava yhtä suuri kuin voimasysteemin voimien aiheuttama momentti x-akselin ympäri. (. $ ) 0 = Σ N 4 = 400N 4m 500N(4m) 4 = 4,5 m

39 Esimerkki Kuvan voimasysteemi on mahdollista korvata yhdellä samanarvoisella resultanttivoimalla. Määritä sen vaikutussuoran x- ja y-koordinaatit. Kirjoitetaan momenttitasapainoyhtälö y-akselin ympäri ja määritetään resultanttivoiman x-koordinaatti: (" # ) % = Σ" % + 800N. = 100N 3m + 500N(4m). = 2,125 m Resultanttivoima 8 # = 800N pisteessä (2,125 m; 4,5 m) on samanarvoinen voimasysteemi. 8 # = 800N 4,5 m 2,125 m

40 Jakaantunut voima Paine: kuorma / pintalayksikkö Viivakuorma: kuorma / pituusyksikkö! =! # N/m ( )(#) =! #, N/m! = Pa = N/m (.

41 Jakaantunut voima Ajattelutapa: jakaantunut voima koostuu vierekkäisistä pienistä pistevoimista!", jotka vaikuttavat lyhyillä!%:n mittaisilla pätkillä.!" = $ %!% Resultanttivoima on kaikkien systeemin voimien summa + " ) = Σ!" " ) =,!" =, $ %!% Voima = viivakuorman jakaumakuvion pinta-ala A - =,!- ". ~ - Resultanttivoiman vaikutussuora kulkee jakaumakuvion painopisteen 0 kautta

42 Jakaantunut voima Voiman -/ aiheuttama momentti pisteen. suhteen +-/ = +, + -+ Jakaantuneen voiman momentti pisteen. suhteen (integroi hyvin pienet momentit yli kuorman pituuden) + $ % & = * +, + -+ Jakaantunut voima ja resultanttivoima jakaumakuvion painopisteen kautta ovat samanarvoisia voimasysteemejä + / % = * +, = * +, + -+ = * +, + -+ / % *, + -+ * +-2 * -2

43 Jakaantunut voima Huomaa tapausten yhtäläisyys! Ensimmäisessä suuri määrä hyvin pieniä voimia. " $ % = ( ") " *" " = ") " *" ( = ") " *" ( $ % ( ) " *" ( "*, ( *, (. % ) 0 = *$ % * = (. % ) 0 $ %

44 Jakaantunut voima Jakaantuneen voiman jakaumakuvio on usein muodoltaan hyvin yksinkertainen, kuten suorakulmio, jolloin sen pinta-ala voidaan helposti laskea ilman integrointia.! 2 Tasainen jakaantunut kuorma " # vaikuttaa palkin pituudella b. Resultanttivoima vastaa kuormituskuvion pinta-alaa: $ % = " #!.! Resultanttivoima vaikuttaa kuormituskuvion painopisteessä, eli pituuden b puolivälissä.

45 Esimerkki Määritä resultanttivoima ja sen paikka suhteessa palkin tukeen pisteestä A. Resultanttivoiman suuruus vasta kuormituskuvion pinta-alaa. Jaetaan pinta-ala kahteen osaan (helpottaa laskentaa), ja lasketaan osien resultanttivoimat. Kolmio: + $ % = kn/m 4.5m = 6.75 kn Suorakaide: 3 kn/m 3 kn/m + $ 3 = 3 kn/m 6 m = 18 kn $ % $3 5 % 5 3 Resultanttivoimien vaikutussuorat kuvioiden painopisteiden kautta. 5 % = m = 1.5 m 5 3 = m = 3 m

46 Esimerkki Määritetään tehtävän kuormitustapaukselle resultanttivoiman paikka momenttitasapainon avulla. + 4 % 5 = Σ4 5 $ % 7 = $ ' 7 ' $ ( 7 ( kn = 6.75kN 1.5 m + 18 kn(3 m) 7= = 2.59 m Kahden jakaumakuvion resultanttivoimista saadaan koko kuormituksen resultantti. + $ % = $ ' + $ ( = 6.75 kn + 18 kn = kn

47 Yhteenveto Uusia käsitteitä: Samanarvoinen voimasysteemi Jakaantunut voima Voimasysteemien yksinkertaistukset Voimasysteemi redusoitiin samanarvoiseksi joko resultanttivoimaksi tai resultanttivoiman ja momentin resultantin pariksi. Jakautunut kuorma sievennettiin yhdeksi resultanttivoimaksi.

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 25.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voimasysteemien samanarvoisuus ja jakaantuneen voiman käsite (Kirjan luvut 4.7-4.9) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mikä on

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti

KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Statiikan välikoe 12.3.2018 Ajankohta ma 12.3.2018 klo 14:00 17:00 Salijako

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 1.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Jäykän kappaleen tasapaino ja vapaakappalekuva (Kirjan luvut 5.1-5.4) Osaamistavoitteet: 1. Ymmärtää, mitä tukireaktiot ovat

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 2.3.2016 Susanna Hurme äivän aihe: Staattisesti määrätyn rakenteen tukireaktiot (Kirjan luvut 5.7 ja 6.6) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mitä tarkoittaa staattisesti

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 8.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Normaalivoiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin käsitteet (Kirjan luku 7.1) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, millaisia sisäisiä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

VEKTORIT paikkavektori OA

VEKTORIT paikkavektori OA paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 1. välikoe ke 27.2. LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op 1. välikoealue luennot 21.2. asti harjoitukset

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

STATIIKKA. TF00BN89 5op

STATIIKKA. TF00BN89 5op STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Voimapari ja sen momentti

Voimapari ja sen momentti Rakenteiden Mekaniikka Vol. 49, Nro, 06, s. 78-55 rmseura.tkk.fi/rmlehti/ Kirjoittajat 06. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Voimapari ja sen momentti Tapio Salmi Tiivistelmä. Artikkelissa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Voiman momentti M. Liikemäärä, momentti, painopiste. Momentin määritelmä. Laajennettu tasapainon käsite. Osa 4

Voiman momentti M. Liikemäärä, momentti, painopiste. Momentin määritelmä. Laajennettu tasapainon käsite. Osa 4 Osa 4 Liikemäärä, momentti, painopiste Voiman momentti M Voiman vääntövaikutusta mittaava suure on momentti. Esim. automerkkien esitteissä on mainittu moottorin momentti ("vääntö"). Moottorin antama voima

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 3.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Ristikon sauvavoimat (Kirjan luvut 6.1-6.4) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, mikä on ristikkorakenne Osata soveltaa aiemmin kurssilla

Lisätiedot

SUORAN PALKIN TAIVUTUS

SUORAN PALKIN TAIVUTUS SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

SUORAN PALKIN RASITUKSET

SUORAN PALKIN RASITUKSET SUORAN PALKIN RASITUKSET Palkilla tarkoitetaan pitkänomaista rakenneosaa, jota voidaan käsitellä yksiulotteisena eli viivamaisena. Palkkia kuormitetaan pääasiassa poikittaisilla kuormituksilla, mutta usein

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op

RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat Osaamistavoitteet

Lisätiedot

Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit

Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit A. Sinin, kosinin ja tangentin laajennetut määritelmät 1. Määritä ao. yksikköympyrän avulla a) sin(120 o ) b) cos(180 o ) (piirrä kulman kylki, ja lue kuvasta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Harjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 1 Voimat mekanismeissa Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) 12.2.2016 Sisältö Staattiset voimat Staattinen tasapainotila Vapaakappalekuva Tasapainoyhtälöt Kitkavoimat Hitausvoimat Hitausvoimien

Lisätiedot

PUHDAS, SUORA TAIVUTUS

PUHDAS, SUORA TAIVUTUS PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso

Lisätiedot

KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA

KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r

Lisätiedot

RAK-31000 Statiikka 4 op

RAK-31000 Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat: MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot