Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Transkriptio

1 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa ei saa käyttää laskimia. TEHTÄVÄ Olkoon funktio f(x, y, z) = x 3 2xy 2 z+5yz 4. a) Mihin suuntaan f(x, y, z) kasvaa nopeimmin pisteessä (2, 2, )? Mikä on funktion derivaatta tähän suuntaan? b) Laske f(x, y, z) dv, kun = [, ]3 (yksikkökuutio). RATKAISU a) Funktio kasvaa nopeiten gradientin suuntaan f = ( 3x 2 2y 2 z, 4xyz + 5z 4, 2xy 2 + 2yz 3), jonka arvo pisteessä (2, 2, ) on f(2, 2, ) = (4, 2, 56). erivaatta nopeimman kasvun suuntaan on suunnattu derivaatta gradientin suuntaan eli ja annetussa pisteessä f f f = f f f = f 2 f = f f(2, 2, ) = = Pisteytys: Kerrottu nopein kasvusuunta (p), laskettu gradientti annetussa pisteessä (p), laskettu suunnattu derivaatta (p).

2 b) Integroidaan muuttuja kerrallaan f(x, y, z)dv = x 3 2xy 2 z + 5yz 4 dx dy dz = = = y2 z + 5yz 4 dy dz 4 z z4 dz Pisteytys: p jos lähdetty laskemaan väärää integraalia. Lähtökohta oikein (p), integroinnit ainakin osittain oikein (p), laskut ja tulos oikein (p), pienistä huolimattomuusvirheistä ei vähennetä pisteitä. TEHTÄVÄ 2 Millä vakion a arvoilla funktiolla f(x, y) = e x2 2 cos y + axy on suhteellinen minimikohta origossa? RATKAISU 2 Tarkastellaan, onko origo funktion kriittinen piste. Gradientti on f = ( ) 2xe x2 + ay, 2 sin y + ax ja sen arvo origossa on f(, ) = (, ), joten origo on kriittinen piste. Tarkastellaan kriittisen pisteen laatua Hessen matriisin avulla. ( ) ( ) xx f Hf = xy f 2e x 2 + 4x = 2 e x2 a xy f yy f a 2 cos y Origossa saadaan Hf(, ) = ( ) 2 a. a 2 Ratkaistaan ominaisarvot muodostamalla karakteristinen yhtälö det(hf(, ) λi) = (2 λ) 2 a 2 = λ 2 4λ + (4 a 2 ) =. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla λ = 2 a ja λ 2 = 2 + a. Kriittinen piste on funktion paikallinen minimikohta, jos molemmat

3 näistä ovat positiiviset eli pätee 2 a > ja 2 + a >. Näin ollen kysytyt parametrin arvot ovat 2 < a < 2. Pisteytys: Laskettu gradientti ja todettu origon olevan kr. piste (p), laskettu Hessen matriisi yleisesti (p) ja origossa (p), kerrottu ominaisarvojen luokittelevan kr. pisteet (p), määritetty ominaisarvot (p) ja oikea väli parametrille a (p). TEHTÄVÄ 3 Etsi ne käyrän 7x 2 + 2xy + 8y 2 = pisteet joiden etäisyys origosta on a) pienin, b) suurin. RATKAISU 3 Tehtävässä on tarkoitus minimoida/maksimoida etäisyyttä tai sen neliötä origon suhteen rajoitusehdolla f(x, y) = x 2 + y 2 g(x, y) = 7x 2 + 2xy + 8y 2 =. Tarkastetaan, missä pisteissä g(x, y) = : { 34x + 2y = x = y =, 2x + 6y = joka ei toteuta yhtälöä g(x, y) =. Muodostetaan tilannetta vastaava Langrangen funktio: L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = x 2 + y 2 + λ(7x 2 + 2xy + 8y 2 ). Ratkaistaan tämän funktion kriittiset pisteet L = : 2x + λ(34x + 2y) = 2y + λ(2x + 6y) = 7x 2 + 2xy + 8y 2 =. Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä voidaan ratkaista λ ja asettaa yhtäsuuruus: 2x 34x + 2y = 2y 2x + 6y x = 2y x = y 2.

4 Sijoittamalla nämä viimeiseen yhtälöön saadaan yhtälöryhmän ratkaisut: x = 2y y 2 = y = ± (2, ) ( 2, ) x = y 2 y2 = 6 y = ±4 ( 2, 4) (2, 4). Tarkastetaan näiden pisteiden etäisyydet origosta: f(2, ) = f( 2, ) = 5 f( 2, 4) = f(2, 4) = 2. Käyrällä g(x, y) = lähimpänä origoa ovat siis pisteet (2, ) ( 2, ) ja kauimpana pisteet ( 2, 4) (2, 4). Pisteytys: Määritelty kohdefunktio ja rajoitusehto oikein (p), tarkastettu rajoitusehdon gradientin nollakohdat (p), muodostettu Langrangen funktio ja sen gradientin nollakohtaa vastaava yhtälöryhmä (p), ratkaistu minimietäisyyttä vastaavat pisteet (p) ja maksimietäisyyttä vastaavat pisteet (p), tarkistettu niiden ääriarvoluonne sijoittamalla ne kohdefunktioon (p). TEHTÄVÄ 4 Tason kolme pistettä (, ), (, 2), (3, 3), muodostavat kolmion. Laske integraali xy dx dy. RATKAISU 4 Ratkaistaan joukkoa rajoittavien käyrien kuvaajat y:n funktiona. Kulmakertoimet voidaan päätellä päätepisteiden erotuksista joiden avulla voidaan konstruoida suorien yhtälöt: y = 5 2 x 9 2 y = 2 x y = 3 2 x 2. Valitaan x vapaaksi muuttujaksi. Tällöin x 3. Nyt haluttu integraali voidaan laskea osissa:

5 3 2 x 2 = 2 xy dxdy = 2 x x x 2 xy dxdy = 2 2x 2x 3 dx = xy dxdy + 2 x x 9 2 xy dxdy x(( x )2 ( 3 2 x 2 )2 ) dx 2 x+ 3 2 xy dxdy = 2 x(( x )2 ( 5 2 x 9 2 )2 ) dx 5 2 x 9 2 = 2 6x x 2 8x dx = 6 2 = 8 xy dxdy = 8. Pisteytys: Määritelty integroimisjoukon suorat (p jokaisesta), muodostettu oikea iteroitu integraali (p), ratkaistu integraalin osaintegraalit (p kummastakin). Mikäli integroimisjoukko ei ollut oikea tai integrandi väärä, p.

6 Kuva : Integroimisjoukko