KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti"

Hanna Katajakoski
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j /. θ k / z 2. Määritä kappaleen nopeuden ja kiihtvden komponenttien Lagrangen ja Eulerin esitkset, kun liikkeen kuvaus on θ θ r < j, jossa θ k z cos( ϖt) sin( ϖt) 0 X sin( ϖt) cos( ϖt) 0 <, z kt Z, ϖ ja k ovat vakioita ja t Kuvan esittämä vesiskootteri etenee vakiovauhdilla v. Veden (tihes θ ) sisäänotto tapahtuu pohjassa olevan vaakasuoran aukon kautta. Sisääntulevan veden vauhti on likimain 0. Pumppu poistaa veden vaakasuuntaisena suihkuna, jonka poikkipinta on A ja tilavuusvirta Q 3 [ Q ] < m /s. Johda moottorin töntövoiman lauseke. Sovella liikemäärän taseen periaatetta ja esitä selvästi kappale, jota tarkastelet läheisillä ajanhetkillä t ja t Χ t. L 4. Kuvan sauvat on kiinnitett nivelillä tukiin ja toisiinsa ja rakennetta kuormittaa pstsuora voima F. Vaakasauvan 2 poikkipinta-ala on A, sauvan 1 poikkipinta-ala 2A ja materiaalin kimmokerroin E. Laske sauvojen aksiaalijännitkset, aksiaalivenmät ja voiman vaikutuspisteen siirtmä. 2 F X 1 X 45 α 5. Oheisen kuvan kahden vaakasuoran tason välinen etäiss on h. lemmän tason nopeus on vakio U ja alempi taso on levossa. Tasojen välissä on nestettä, jonka tihes viskositeetti θ ja λ ovat vakioita. Mittaus lemmän levn kohdalla antaa paineen arvoksi p h. Määritä nesteen nopeus v ( ) ja paine p ( ) lähtien Navier-Stokes htälöiden Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitksistä. p h U h g

2 Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat esitksiä r θ, r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j /. θ k / z Suunnattu derivaatta on differentiaalioperaattori joka vaikuttaa kaikkeen termissä sen sijainnin oikealla puolella. Muutoin operaattoria käsitellään kuten vektoria tensorilausekkeessa. Karteesisen θ θ θ θ θθθ koordinaatiston kantavektorit ovat vakioita eli a/ < 0, a/ < 0, a/ z < 0 a { i, jk, }. Aukikirjoitettuina T θ θ θ θ θ r < j < j < i j zk, zθ θ k k z / θ θ θ θ < j / < i j k. θ z k / z 2p Paikkavektorin gradientti on toisen kertaluvun tensori. θ θ θ θ θ θ θ Sijoitetaan r < ( i j k )( i j zk ) z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Kirjoitetaan auki r < i i i j i zk j i j j j zk θ k θ θ i k θ θ j k θ zk z z z θ θθ θθ θθ θθ θθ θθ σ Lasketaan termit r < ii jj kk < ii jj kk < I. 2p Paikkavektorin divergenssi on skalaari. θ θ θ θ θ θ θ Sijoitetaan r < ( i j k ) ( i j zk ) z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Kirjoitetaan auki r < i i i j i zk j i j j j zk θ θ θ θ θ θ k i k j k zk z z z θ θ θ θ θ θ θ Lasketaan termit r < i i j j k k < 1 1 1< 3.

3 2p Paikkavektorin pörre on vektori. θ θ θ θ θ θ θ Sijoitetaan r < ( i j k ) ( i j zk ) z θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Kirjoitetaan auki r < i i i j i zk j i j j j zk θ θ θ θ θ θ k i k j k zk z z z θ θ θ θ θ θ θ Lasketaan termit r < i i j j k k < 0.

4 Määritä kappaleen nopeuden ja kiihtvden komponenttien Lagrangen ja Eulerin esitkset, kun liikkeen kuvaus on θ θ r < j, jossa θ k z cos( ϖt) sin( ϖt) 0 X sin( ϖt) cos( ϖt) 0 <, z kt Z, ϖ ja k ovat vakioita ja t 0. Kappaleen liikkeen kuvaus on kappaleen partikkelien ratojen parametriesits (aika on käräparametri). Kappalekoordinaatit ( XZ,, ) identifioivat partikkelin. Tässä kappaleen liikkeen kuvaus on (aine ja tilakoordinaatistot htvät alkutilanteessa t < 0 ) θ θ r < j, jossa θ k z cos( ϖt) sin( ϖt) 0 X sin( ϖt) cos( ϖt) 0 <,. z kt Z θ 2p Nopeuden ja ja kiihtvden komponentit saadaan kappaleen paikkavektorin r < i θ j θ zk θ osittaisderivaattoina ajan suhteen. Kiinteän koordinaatiston kantavektorit ovat vakioita, joten derivaatta puree vain komponentteihin, ϖsin( ϖt) ϖcos( ϖt) 0 X θ v < j j ϖcos( ϖt) ϖsin( ϖt) 0 <,,, t θ k zθ k 0 0 k Z 2 2 v cos( ) sin( ) 0, ϖ ϖt, ϖ ϖt X θ 2 2 a < j v < j ϖ sin( ϖt), ϖ cos( ϖt) 0. t k v Z z k 1p Nopeuden ja kiihtvden komponentit Eulerin esitksessä saadaan laskemalla ensiksi komponentit Lagrange esitksessä ja eliminoimalla tämän jälkeen ainekoordinaatit kappaleen liikkeen käänteiskuvauksen avulla. Tarvitaan siis käänteiskuvaus cosϖt sinϖt 0 X sinϖt cosϖt 0 <, z kt Z X cos( ϖt), sin( ϖt) 0 sin( ϖt) cos( ϖt) 0 <. Z 0 0 1/(1 kt) z 3p Nopeuden ja kiihtvden Eulerin esitkset, ϖsin( ϖt) ϖcos( ϖt) 0 cosϖt, sin ϖt 0 θ v < j ϖcos( ϖt) ϖsin( ϖt) 0 sinϖt cosϖt 0,, k 0 0 k 0 0 1/(1 kt) z

5 0 ϖ 0 θ v < j ϖ 0 0,. k 0 0 k /(1 kt) z 2 2, ϖ cos( ϖt), ϖ sin( ϖt) 0 cos( ϖt), sin( ϖt) 0 θ 2 2 a < j ϖ sin( ϖt), ϖ cos( ϖt) 0 sin( ϖt) cos( ϖt) 0 k /(1 kt) z 2, ϖ 0 0 θ 2 a < j 0, ϖ 0. k z Eulerin esitksen kiihtvs saadaan mös nopeuden Eulerin esitksen ainederivaattana,

6 Kuvan esittämä vesiskootteri etenee vakiovauhdilla v. Veden (tihes θ ) sisäänotto tapahtuu pohjassa olevan vaakasuoran aukon kautta, joten sisääntulevan veden vauhti on likimain 0. Pumppu poistaa veden vaakasuuntaisena suihkuna, jonka poikkipinta on A ja tilavuusvirta Q 3 [ Q ] < m /s. Määritä moottorin töntövoima. Sovella liikemäärän taseen periaatetta ja esitä selvästi kappale, jota tarkastelet läheisillä hetkillä t ja t Χt. 3p Poistuvan suihkun suhteellinen vauhti u < Q/ A. Olkoon nesteeseen kohdistuva vaakasuuntainen voima F. Tarkastellaan nestekappaletta, joka koostuu moottorin sisältämästä nesteestä ja aikavälillä Χ t moottorin imemästä nesteestä. F m Χ m< θqχt Dm=r QDt v v 0 v-u m v 3p Nestekappaleen liikemäärän muutos on htä suuri kuin ulkoisten voimien summa θqχ t( v, u) mv, mv < FΧt F < θq( v, u). Nesteeseen kohdistuu siis voima F. Nesteen moottoriin kohdistama voima on htä suuri mutta vastakkaismerkkinen eli skootterin kokema töntövoima F < θq( u, v), jossa u < Q/ A.

7 Kuvan sauvat on kiinnitett nivelillä tukiin ja toisiinsa ja rakennetta kuormittaa pstsuora voima F. Vaakasauvan 2 poikkipinta-ala on A, sauvan 1 poikkipinta-ala 2A ja materiaalin kimmokerroin E. Laske sauvojen aksiaalijännitkset, aksiaalivenmät ja voiman vaikutuspisteen siirtmä. L 2 F X 1 X 45 α 1p Sauvarakenteen analsissä sauvoja tarkastellaan erillisinä kappaleina, joilla kullakin on oma kappalekoordinaatistonsa. Sauvat vuorovaikuttavat nivelten kautta ja kantavat vain akselinsa suuntaisia voimia. Ratkaistaan aluksi sauvavoimat statiikan keinoja kättäen. Tässä riittää tarkastella voiman F kuormittaman nivelen voimatasapainoa. Vapaakappalekuvion avulla saadaan tasapainohtälöt kiinteän koordinaatiston akselien suunnille 1 F <, N1, N2 < F <, N1, F < 0 2 N 1 <, 2F ja N2 < F. N 2 N 1 F Voiman ja vastavoiman lain mukaan sauvoihin 1 ja 2 vaikuttaa htä suuret mutta vastakkaissuuntaiset voimat (siis sauvasta ulospäin). 1p Aksiaalijännits on aksiaalivoima jaettuna sauvan poikkipinnan alalla. Kappalekoordinaatiston nollasta eroava komponentti ρ XX Sauva 1: ρ N1 F XX < 2A <, A Sauva 2: ρ N2 F XX < A < A 1p Sauvan jännits on ksiaksiaalinen, jolloin leistett Hooken laki ksinkertaistuu muotoon ρ < Eδ. Sauvojen venmät aksiaalisuunnissa Sauva 1: Sauva 2: ρ XX F δ XX < <,, E ρ XX F δ XX < <. E 3p Venmä on vakio kummankin sauvan alueella, jolloin sauvan pituuden muutos on venmä kerrottuna alkuperäisellä pituudella. Sauva 1: Χ L< 2LδXX <, 2,

8 Sauva 2: Χ L< LδXX <. Saadut arvot ovat nivelen siirtmiä sauvoihin kiinnitettjen kappalekoordinaatistojen X, akseleiden θ θ θ suuntiin. Nivelen siirtmän u < ui uj komponentit kiinteän koordinaatiston komponentit u ja u saadaan ehdoista, että siirtmät sauvojen suuntiin vastaavat edellä laskettuja arvoja Sauva 1: θ θ θ 1 θ θ θ θ 1 θ θ u I < u ( i j) < ( ui uj) ( i j) <, 2, 2 2 θ θ θ θ θ θ θ Sauva 2: u I < u i < ( u i u j) i <, joista ratkaisemalla u < ja u <, 3.

9 Oheisen kuvan kahden vaakasuoran tason välinen etäiss on h. lemmän tason nopeus on vakio U ja alempi taso on levossa. Tasojen välissä on nestettä, jonka tihes θ ja viskositeetti λ ovat vakioita. Mittaus lemmän levn kohdalla antaa paineen arvoksi p. Määritä nesteen nopeus v ( ) ja h paine p ( ) lähtien Navier-Stokes htälöiden Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitksistä. p h U h g Tasovirtauksen komponenttimuodot saadaan tensorimuodoista esittämällä tensorit halutun koordinaatiston kannassa. Karteesisen koordinaatiston tasotapauksessa päädtään htälöihin v v < 0, 2 2 v v p v v <, λ 2 2 θ( v v ) ( ) f, 2 2 v v p v v <, λ 2 2 θ( v v ) ( ) f. 3p Tehtävässä f <, θ g ja oletetaan ratkaisu muotoa p, ( ) v ( ) ja v < 0. Tällöin jatkuvuushtälö toteutuu identtisesti, ja liikemäärän taseista saadaan 2 v 0 < λ 2 p ja 0 <,, θg. 3p Tädennetään differentiaalihtälöt reuna-arvotehtäväksi. Virtausnopeus tasojen kohdilla on sama kuin tasojen nopeus. Paine tunnetaan lemmän tason kohdalla 2 d v 2 d U < 0 ]0, h[, v (0) < 0 ja v( h) < U v( ) <. h dp θg < 0 ]0, h[, p( h) < ph p( ) < θg( h, ) ph. d

Samankaltaiset tiedostot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017 KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/017 1. Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin