KJR-C2002. Kontinuumimekaniikan perusteet. Viikko 44/1
|
|
- Sinikka Korhonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet 017 Viikko 44/1
2 KONTINUUMIMEKANIIKAN PERUSLAIT (first principles) Mekaniikka soveltaa peruslakeja eri muodoissaan sekä muuta kokemusperäistä tietoa kappaleeseen vaikuttavien voimien ja kappaleen liikkeen tutkimiseen: Massan säilymisen periaate Kappaleen massa on vakio (kappaleen määritelmä) Liikemäärän taseen periaate Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien summa. Liikemäärän momentin taseen periaate Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttisumma. Energian taseen periaate Kappaleen sisäenergian ja liike-energian muutosnopeuksien summa on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien tehon ja lisätyn lämpötehon summa. Entropian kasvun periaate Viikko 44/
3 PERUSLAKIEN OLETUKSET Kappaleella tarkoitetaan koko ajan samoista partikkeleista koostuvaa joukkoa. Massan suhteen avoimen systeemin käsittely palautetaan aina koskemaan massalta suljettua systeemiä. Partikkelin nopeudella ja kiihtyvyydella tarkoitetaan suureita inertiaalikoordinaatiston suhteen, joka on levossa tai liikkuu korkeintaan vakionopeudella esim. aurinkokunnan massakeskipisteen suhteen. r O r v i ϖ Viikko 44/3
4 PARTIKKELI JA KONTINUUMIMALLIT Kontinuumimallissa tarkastellaan aineen keskimääräistä käyttäytymistä ainealkiossa. Edustavan ainealkion oletetaan olevan pieni suhteessa tarkastelualueen kokoon L ja toisaalta suuri suhteessa atomien tai molekyylien välimatkaan h tai yleisemmin aineen mikrorakenteen skaalaan. Kontinuumimekaniikan mallintamisen kannalta aine esiintyy kiinteänä tai nesteenä (varsinainen neste tai kaasu). Kiinteässä aineessa partikkelien suhteellisen etäisyyden muutos on rajoitettu. Nesteessä etäsyyden muutos ei ole rajoitettu, vaan alunperin läheiset partikkelit voivat ajautua kauas toisistaan. Viikko 44/4
5 Kiinteän aineen tapauksessa edustavan ainealkion oletetaan olevan pieni suhteessa alueen kokoon ja toisaalta suuri suhteessa aineen mikrorakenteen skaalaan ja että mallinnuksen edellyttämät aineen keskimääräiset ominaisuudet voidaan määrittää kokeellisesti tai laskennallisesti. Säännölliset solurakenteet täyttävät usein nämä ehdot. y x / / / , 3 1, ( 3 ) , 1 3 1, Viikko 44/5
6 Kontinuumimallissa aineen ominaisuuksien kuvaamiseen käytetään tiheyssuureita kuten massa tilavuuyksikköä kohden <Χm/ Χ V (tiheys) tai voima pinta-alayksikköä kohden ρ <ΧF / Χ A (traktio/jännitys). Taustalla on ajatus, että määritelmän osamäärä on likimain vakio, kun kappalealkion koko δ on sopiva: ei liian suuri muttei liian pienikään. δ / h Kontinuumimalli voidaan ajatella kompromissiksi mallin yksinkertaisuuden ja mallinnusvirheen välillä. Täsmällisempi molykyyli tai mikrorakenteen mekaniikan suora mallintaminen ei oikein toimi insinööriskaalassa. Viikko 44/6
7 MEKANIIKAN SUUREET Mekaniikan lait ovat perussuureita ja johdannaisuureita koskevia yleisiä taseyhtälöitä tai suureiden välisiä kokemusperäisiä yhteyksiä. Suureet ovat luonteeltaan skalaareita (suuruus), vektoreita (suuruus ja suunta), tensoreita (suuruus ja kaksi suuntaa) jne. Suure symboli [ ] n Suure Symboli [ ] n Pituus L m 0 Paine p Viikko 44/7 N/m 0 Massa m kg 0 Lämpötila T K 0 Aika t s 0 Momentti M Nm 1 Voima F N 1 Jännitys σ Siirtymä u m 1 Elastisuus E N/m N/m 4 Nopeus v m/s 1 Teho P W 0 Kiihtyvyys Tiheys a m/s 1 Työ W J 0 3 kg/m 0 Sisäenergia U J 0
8 MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ g R m π S r r 1 ϖ B R B ϖ A R A N WM < kπ / B A Viikko 44/8
9 TEHTÄVÄ 1 Kuormittamaton uimahyppylauta on vaakasuora ja jäykästi kiinnitetty toisesta päästään. Laudan pituus olkoon L ja poikkipinta-ala A < bh. Millä ehdoilla taipuma päässä ei ylitä arvoa χ eikä jännitys kiinnityskohdassa arvoa ρ cr, jos uimarin paino on W? W z L x Vastaus 3 4 WL Ebh 3 χ ja 6 WL ρ cr bh Viikko 44/9
10 TEHTÄVÄ Tarkastellaan voiteluöljyn viskositeetin λ määrittämistä putkivirtauksen tilavuusvirran Q, putken halkaisijan d, putken pituuden L, sekä putken päiden paine-eron p1, p avulla (mitattavia suureita). Mikä on viskositeetin riippuvuus mitatuista putkivirtauksen suureista? d p 1 L p L L Vastaus λ < ο 18 4 d ( p1, p) LQ Viikko 44/10
11 TEHTÄVÄ 3 Uunin seinämä koostuu kolmesta materiaalista, joiden lämmönjohtavuudet ovat k a, k b ja k c. Kerrosten paksuudet ovat h a, h b ja h c. Uunin ja sen sisäseinämän lämpötila on T 1 ja uunin ulkopinnan lömpötila on mittausten mukaan T ; T 1. Mikä on lämpöhäviö Q ajassa Χ t seinämän pinta-alan A lävitse? A T 1 a b c T h Vastaus a hb h Q < A( T c 1, T) Χt /( ) k k k a b c Viikko 44/11
12 KURSSIN SISÄLTÖ ς Kontinuumimekaniikan skalaari, vektori, tensorisuureet ja esitykset ortonormaalissa kannassa. Ulko-, sisä- ja ristitulot tensoreille. Suunnattu derivaatta (nabla) tensorilausekkeissa. ς Lagrangen ja Eulerin esitystavat. Suureen muutosnopeus ja ainederivaatta. Kappaleen jännitys ja pintaan vaikuttava traktio. Kiinteän aineen muodonmuutos ja nesteen muodonmuutosnopeus. ς Massan, liikemäärän, liikemäärän momentin ja energian taseet ja niiden käyttö massalta suljettujen ja avoimien tehtävien ratkaisussa. ς Sisäisten ja ulkoisten voimien mallintaminen. Hooken laki, Newtonin neste ja Fourierin lämmönjohtumislaki. ς Siirtymä, virtaus- ja lämmönsiirto reuna-arvotehtävän kirjoittaminen yksinkertaisille tapauksille. Viikko 44/1
13 Viikko 44/13
14 1 MEKANIIKAN SUUREET 1.1 VEKTORIT JA TENSORIT TENSORITULOT GRADIENTTI GAUSSIN LAUSE Viikko 44/14
15 VIIKON 44 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 44 jälkeen kurssin osallistuja osaa ratkaista viikon luentotehtävät, kotitehtävät ja esimerkkitehtävät aiheista ς Mekaniikan vektorit ja tensorit. Tensoreiden esitys ortonormaalissa kannassa ja muuntaminen kannasta toiseen. ς Vektorien ja tensorien ulko-, sisä-, risti-, ja kaksinkertaisten sisätulojen laskenta käyttäen komponenttiesityksiä ortonormaalissa kannassa. ς Suunnatun derivaatan (nabla) komponenttiesitys ortonormaalissa kannassa ja gradientin, divergenssin, roottorin esitykset ortonormaalissa kannassa. Viikko 44/15
16 1.1 VEKTORIT JA TENSORIT Mekaniikan vektorit ja tensorit (vektorin yleistys) edustavat fysikaalisia suunnattuja suureita eivätkä edellytä koordinaatiston käsitettä. Käytännön laskelmissa suunnatut suureet esitetään kuitenkin valitun koordinaatiston kantavektoreiden avulla. Tiheys: kertaluku 0 Siirtymä: u< ue x x ue y y ue z z kertaluku 1 σ ρ < ρ ee ρ ee ϑ ρ ee kertaluku Jännitys: xx x x xy x y zz z z σ E< E eeee E eeee ϑ kertaluku 4 Elastisuus: xxxx x x x x xxxy x x x y Termiin liittyvien kantavektoreiden lukumäärää sanotaan tensorin kertaluvuksi. Aineen elastisia ominaisuuksia kuvaavan tensorin kertaluku on 4. Kurssin tensorisuureiden kertaluku osoitetaan vektorinuolien lukumäärällä symbolin yläpuolella. Viikko 44/16
17 ESIMERKKI Mekaniiikan vektorit ja yleisemmin tensorit ovat koordinaatistosta riippumattomia fysikaalisia suureita, joten koordinaatisto ja siihen liittyvät kantavektorit voidaan valita vapaasti. Komponentit riippuvat kuitenkin valitusta kannasta! Muodosta gravitaatiokiihtyvyyden g esitykset kuvan koordinaatistoissa (tasotapaus). Kannat ovat ortonormaaaleja (kantavektorit kohtisuoria ja pituudet 1). e y e α e e ω g e x ο/4 e γ g Vastaus g <, gey <, ( e e ) <, ge α ω Viikko 44/17
18 ORTONORMEERATTU KANTA Karteesisen koordinaatiston (suorakulmainen ja suoraviivainen) kantavektorit ex i, ey j ja ez k ovat vakioita ja ne muodostavat ortonormeeratun kannan. Tällöin kantavektoreiden pituus on 1 ja kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kantavektoreiden piste- ja ristituloille pätee Pistetulot: i i < 1, j j < 1, k k < 1, muille kombinaatioille 0 i Ristitulot: i j < k, j i <, k, j k < i, k j <, i k i < j, i k <, j, muille kombinaatioille 0 j + k Kantavektoreiden ristituloon liittyvä muistisääntö on kätevä käsinlaskennassa! Ortonormaalin kannan pistetuloon ja ristitulon laskenta sujuu samalla tavalla esimerkiksi käyräviivaisen sylinterikordinaatiston kantavektoreille ( e, e, e ). r ε z Viikko 44/18
19 i O KARTEESINEN KOORDINAATISTO Suorakulmaisessa ja suoraviivaisessa (Karteesisessa) koordinaatistossa piste tai partikkeli määritetään etäisyyksillä ( xyz,, ) kohtisuorista tasoista x < 0, y < 0 ja z < 0. Karteesisen koordinaatiston kantavektorit ( i, jk, ) ovat vakioita. Suorakulmaisen ja käyräviivaisen (ei-karteesinen) ( r, ε, z) koordinaatisto voi yksinkertaistaa mekaniikan yhtälöitä. Hintana on kuitenkin kantavektoreiden ( e r, e ε, e z) riippuvuus paikasta. k k e z e P ε r r P e r y z x j i O ε z r j Viikko 44/19
20 KÄYRÄVIIVAISET KOORDINAATISTOT Mekaniikan yhtälöt pätevät riippumatta koordinaatistosta. Komponenttiyhtälöiden muoto riippuu kuitenkin koordinaatiston valinnasta ja joku tietty valinta voi olla tässä suhteessa edullisin. Suoraviivainen ja -kulmainen (karteesinen) ja käyräviivainen ja suorakulmainen ovat tavanomaisia valintoja. j O r e ε ε r P e r Napa koordinaatisto i i O ε k r e z P z r Sylinteri koordinaatisto Viikko 44/0 e ε e r j i O ε k P r e r e ε e π z Pallo koordinaatisto j
21 Koordinaatistomuunnoksissa karteesisen ( xyz,, ),koordinaatiston ja käyräviivaisen koordinaatiston välillä tarvitaan kantavektoreiden välinen relaatio. Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatiston kantavektoreiden orientaatiot määräytyvät annetuista kulmista. Kuvien perusteella esimerkiksi er cosε sinε 0 i e ε sinε cosε 0 <, j e z k ja eπ cosπcosε cosπsinε, sinπ i e ε sinε cosε 0 <, j. e sinπcosε sinπsinε cosπ r k Käyräviivaisten koordinaatistojen kantavektorit eivät ole siis vakioita, vaan niiden suunnat riippuvat tarkasteltavan pisteen kulma-asemasta. Tämä pitää ottaa huomioon mm. derivoitaessa käyräviivaisessa koordinaatistossa esitettyjä tensoreita. Esimerkiksi er, sinε cosε 0 i eε e ε cosε sinε 0 <,, j <, er, ε e z k Viikko 44/1 er 0 eε < 0 ja r e 0 z er 0 eε < 0. z e 0 z
22 VEKTORIALGEBRA Olkoon A, B ja C vektoreita. Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen tulee toteuttaa 1) A B < B A ) ( A B) C < A ( B C) 3) A 0 < A 4) A (, A) < 0 5) ( α A) < ( α ) A 6) ( α)a< A αa 7) ( A B) < A B 8) 1A< A1< A ja 0A < 0 Vektoritulot eivät ole vaihdannaisia, joten vektoreiden ja/tai kantavektoreiden järjestystä ei voi vaihtaa. Komponentti edustaa skalaaria, joten sitä voidaan liikutella termissä tarpeen mukaan. Samat säännöt pätevät yleisemmin. Tällöin kantavektoreiden kombinaatiot - dyadit, triadit, jne.- muodostavat kokonaisuuden, jota käsitellään sellaisenaan kuten kantavektoreita vektorin esityksessä. Viikko 44/
23 TENSORI- JA MATRIISIESITYKSET Tensorin komponenteilla tarkoitetaan eri kantavektorikombinaatioiden kertoimia kokonaisuutena. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun tensorin tapauksissa kertoimet voidaan esittää komponenttimatriiseina käyttäen sulkuja { } (pystymatriisi) tai [ ] (neliömatriisi). T T ux i i ux ux u < uy j < j uy, jossa komponentit {} u < uy uz k k uz uz indeksi 1 rivi indeksi sarake T i ρxx ρxy ρxz i ρxx ρxy ρxz σ ρ < j ρyx ρyy ρyz j, jossa komponentit [ ρ] < ρyx ρyy ρyz k ρzx ρzy ρzz k ρzx ρzy ρzz Huom. Matemaattisissa esityksissä pystymatriisia kutsutaan usein vektoriksi. Viikko 44/3
24 MATRIISILASKENTAA I Yhteenlasku [ C] < [ A] [ B] Cij < Aij Bij Skalaarilla kertominen [ C] [ A] < ij ij C < A Kertolasku [ C] < [ A][ B] C < ϑ A B ij k {1 n} ik kj Yksikkö [ I ] χ ij < 1 i < j, χ ij < 0 i j Transpoosi T [ A] A T ij < A ji Symmetria Vinosymmetria Positiivisuus T < A Aij < Aji [ A] [ ] T <, A Aij <, Aji [ A] [ ] T {}[ x A]{} x = 0! { x} 0 Viikko 44/4
25 MATRIISILASKENTAA II Transpoosi Käänteismatriisi T [ A] Derivaatta [ A], 1, 1 [ A][ A] < [ A] [ A] < [ I] A T ij < A ji, 1 A k {1 n} ik Akj χ ϑ < ij ( [ A]) ij < A ij Lineaarinen yhtälösysteemi Etsi {} x s.e. [ A]{} x < {} b Ominaisarvotehtävä Etsi parit ( κ,{ x}) s.e. ([ A], κ[ I]){ x} < 0 Ominaisarvohajotelma [ A] < [ x][ κ [ x], 1 Matriisifunktio Jos, 1 [ A] < [ x][ κ [ x], niin f([ A]) < [ x] f([ κ] ([ x], 1 Viikko 44/5
26 ESIMERKKI Muodosta matriisin [ A ] neliö [ A ] ja käänteismatriisi 1 [ A ],, kun 5 [ A] <, 1 3 ([ ] a b A < c d [ A], 1 1 d, b < ad, bc, c a, jos ad, bc 0 ) Matriisin neliö saadaan kertolaskulla [ A] < <, 1 3, 1 3, 8 7 Käänteismatriisi saadaan determinanttisäännöllä [ A], 1, 1, < <, Kertaa matriisilaskennan perusteet, jos matriisikertolaskun tai matriisin käänteismatriisin muodostamisen yksityiskohdat ovat päässeet unohtumaan. Matriiseilla operointia tarvitaan myöhemmin. Viikko 44/6
27 ESIMERKKI Määritä symmetrisen [ A ] matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ja, 1 ominaisarvohajotelma [ A] < [ x][ κ][ x]. Osoita laskemalla matriisitulot, että ominaisarvohajotelma vastaa alkuperäistä matriisia. Matriisi 5, 1 [ A] <, 1 5 Vastaus, , 1 [ A] < < < 1, , 1 1, , 1, 1 5 Viikko 44/7
28 Ratkaistaan aluksi ominaisarvot ja tämän jälkeen ominaisvektorit. Ominaisarvohajotelman matriisi [ x ] koostuu ominaisvektoreista ja diagonaalimatriisi [ κ ] ominaisarvoista vastaavassa järjestyksessä. 5, κ, 1 det([ A], κ[ I]) < det < (5, κ), 1 < 0, 1 5, κ κ {4, 6}, κ 1 < 4: 5, 4, 1 x1 1, 1 x < < x 1 1,,, x 0 1 {} x 1 < 1 (esimerkiksi), κ < 6: 5, 6, 1 x1, 1, 1 x < < x 1 1,,,, x 0 1 {} x <, 1 (esimerkiksi),, 1,, [ A] < [ x][ κ][ x] < < 1, , 1, 1 5. Viikko 44/8
29 TENSORIN ESITYS ERI VEKTORIKANNOISSA Käytännössä kaikki tehtävään liittyvät tensorisuureet pitää esittää samassa kannassa. Koska tensorit sinänsä eivät riipu koordinaatistosta (kantavektorit ja komponentit riippuvat), kaikki muunnokset kertaluvusta ja kannasta riippumatta sujuvat samalla reseptillä. Lähtökohtana on tunnettu esitys jossain kannassa (vanha kanta jatkossa). ς Lausutaan vanhat kantavektorit uusien kantavektoreiden avulla. Tässä tarvitaan tietoa koordinaattoakselien suunnista esimerkiksi kuvan muodossa. ς Sijoitetaan vanhojen kantavektoreiden esitykset uusien kantavektoreiden avulla lausuttuina tensorin lausekkeeseen. ς Lopuksi yhdistetään samaan kantavektoriin (i, j,...), kantavektoreiden dyadiin (ii, ij, ik, ji,...) jne. liittyvät termit Suoraviivainen resepti toimii riippumatta tensorin kertaluvusta. Viikko 44/9
30 ESIMERKKI Määritä gravitaatiokiihtyvyyden lähtien ensimmäisen koordinaatiston esityksestä (kantavektorit kohtisuoria ja pituudet 1). g esitykset kuvan koordinaatistoissa g <, ge. Kannat ovat ortonormaaaleja y e y e α e e ω g e x ο /4 e γ g Vastaus g <, gey <, ( e e ) <, ge α ω (kuvasta 1 ey < ( e eα ) ja e e ) ω < y Viikko 44/30
31 ESIMERKKI Toisen kertaluvun tensorin komponenttiesitys ( xy,koordinaatiston, ) kannassa on a σ < aee. Muunna tensorin esitys kuvan ( α, ), ja ( ωγ, ),koordinaatistojen kantoihin. y y e y e α e e ω g e x ο /4 e γ Vastaus σ 1 1 a a < aeyey < a ( e eα) ( e eα) < ( e e e eα eαe eαeα) σ a < ae e < ae e y y ω ω (kuvan perusteella 1 ey < ( e eα ) ja e < ) y e ω Viikko 44/31
32 ESIMERKKI Piirrä oheisten kappaleiden vapaakappalekuviot kuvien tilanteissa ja laske kappaleisiin vaikuttavien voimien vektorisumma F ja momenttisumma M C massakeskipisteen suhteen kuvien ortonormaaleissa kannoissa a) Sylinteriä vedetään ylöspäin. Ei liukumista. b) Partikkeli liukuu kitkallisella tasolla alaspäin. j i g F g m m R j i Vastaus a) F < mg(, cos j, sin i ) ( F, Fλ) i Nj ja MC <, Fλ Rk b) F <, mgj N(cos j sin i) λn(, cos i sin j) Viikko 44/3
33 Vapaakappalekuvio on piirros, jossa tarkasteltava kappale irroitetaan ympäristöstään. Ympäristön ja kappaleen vuorovaikutus esitetään kappaleeseen kohdistuvina ulkoisina voimina. Vaikuttavan voimasysteemin resultantilla tarkoitetaan voimien vektorisumma ja voimien momenttien vektorisummaa jonkin tietyn pisteen suhteen (statiikan käsitteitä). C F mg N F F λ j i j λn N i mg Voiman momentti saadaan momenttipisteestä voiman vaikutuspisteeseen piirretyn suhteellisen paikkavektorin ja voiman ristitulona M < F. Kontinuumimekaniikassa esiintyy myös muita tensorien tuloja. Viikko 44/33
34 1. TENSORITULOT Mekaniikan yhtälöissä esiintyy tensorien ulkotulo ab, ristitulo a b, sisätulo a b ja σ kaksinkertainen sisätulo a: b σ erilaisina versioina. Ulkotulo merkitään ilman operaattoria muodossa ab, kuten dyadit toisen kertaluvun tensorin komponenttiesityksissa. Tensoritulot muodostetaan kertolaskun säännöillä säilyttäen kantavektoreiden järjestys ja kertolasku-operaattorin sijainti suhteessa kantavektoreihin. Olkoon jokin tilanteen kannalta mielekäs tensoritulo, tällöin mm. a b < ae b e < ab ( e e ), i i i j j j i, j i j i j σ a b < ( a ee ) ( b e ) < a b e ( e e ), i, j ij i j k k k i, j, k ij k i j k σ σ a b< ( aee) ( b ee) < ab ( ee ee). i, j ij i j kl, kl k l i, jkl,, ij kl i j k l Sama laskutapa pätee myös muille tensorikombinaatioille. Viikko 44/34
35 Laskennassa sijoitetaan komponenttiesitys ja sovelletaan vektorialgebran pelisääntöjä. Yleiset muodot yksinkertaistuvat huomattavasti ortonormaalin kannan tapauksessa, kun suurin osa kantavektoreiden piste- ja ristituloista häviää ( e x < i, ey < j, ez < k ) a b ab ( e e < ) < a b a b a b < ab, i, j i, j i j i j x x y y z z i i i a b< ab( e e) < ( ab, ab) i ( ab, ab) j ( ab, ab) k, i, j i j i j y z z y z x x z x y y x ab < ab( ee) < abii abij abik ab ji abkj ϑ abkk i j i j x x x y x z y x z y z z σ σ a: b< ab ( ee : ee) < ab ( e e)( e e) < ab i, jkl,, ij kl i j k l i, jkl,, ij kl j k i l i, j ij ji σ ab < ( aee) ( be) < abe( e e) < eab i, j ij i j k k k i, j, k ij k i j k i, j i ij j Kertolasku-operaattorin pitää säilyttää koko ajan paikkansa suhteessa kantavektoreihin, ne jotka olivat alunperin vasemmalla pysyvät siellä jne.! Viikko 44/35
36 Ristitulon a b komponenttiesitys saadaan seuraavilla askeleilla. Sijoitetaan aluksi komponenttiesitykset ( xyz,, ),koordinaatiston kannassa a b< ( ai a j ak) ( bi b j bk) x y z x y z Kirjoitetaan tulo auki termi termiltä ja siirretään skalaarit eteen. Kantavektoreiden järjestystä ei saa vaihtaa, koska dyaditulot eivät ole vaihdannaisia a b< abi i abi j abi k abj i ab j j abj k x x x y x z y x y y y z abk i abk j abk k z x z y z z a b< 0 abk, ab j, abk 0 abi ab j, abi 0 x y x z y x y z z x z y a b < ( a b, a b ) i ( a b, a b ) j ( a b, a b ) k. y z z y z x x z x y y x j i + k Viikko 44/36
37 Tulon a b komponenttiesitys saadaan vaihtoehtoisesti järjestämällä komponentit ja kantavektorit pysty- ja vaakamatriisiin (tai toisinpäin) T T ax i i ax a < ay j < j ay a k k a z z ja T T i bx bx i b < j by < by j k b b k z z T T T a 0 x i i b k j x ax, b x a b < ay ( j j ) by < ay, k 0 i by a j i 0 z k k bz a, z bz a b < ( a b, a b ) i ( a b, a b ) j ( a b, a b ) k. y z z y z x x z x y y x Viikko 44/37
38 σ ESIMERKKI Laske S A vektorikannassa ovat kun vektorin A ja tensorin S σ komponentit ( i, jk, ) 1 { A} <, 1 0 ja [ S] <, σ Vastaus S A < ii ij jk, kk Viikko 44/38
39 Vektori ja tensori saadaan komponenttien ja kantavektoreiden tuloina T i 1 A< j, 1 < i, j k 0 ja T T i i i k A j <, j < j, i < ik, ji kj k k k j i Sijoitetaan, kirjoitetaan auki, lasketaan termit ja järjestellään σ S A< ( ik, ji kj) ( i, j) σ S A< i( k i), j( i i) k( j i), i( k j) j( i j), k( j j) σ S A < ij, 0, kk ii jk, 0 σ S A < ii ij jk, kk. j + k Viikko 44/39
40 Konjugaattitensori c MÄÄRITELMIÄ JA IDENTITEETTEJÄ a σ : vaihdetaan tensorin a σ kaikkien dyadien järjestys ij Toisen kertaluvun yksikkötensori I σ σ σ : I a < a I < a! a σ σ σ σ σ σ σ Neljännen kertaluvun yksikkötensori I : I : a < a: I < a! a Antisymmetrisen tensorin a σ assosioitu vektori a σ σ σ : b a < a b, jossa a <, ac Skalaarikolmitulo: a ( b c) < ( a b) c Vektorikolmitulo: a ( b c) < b( a c), c( a b) σ Symmetrinen-antisymmetrinen kaksoistulo: a σ <, a c ja σ σ b < b c σ σ a: b < 0 σ σ σ 1 σ σ 1 σ σ Symmetrinen ja antisymmetrinen osa: a < as au < ( a ac) ( a, ac) ji jne. Viikko 44/40
41 1.3 GRADIENTTI Mekaniikan peruslakien paikalliset muodot ja konstitutiiviset yhtälöt ovat luonteeltaan differentiaaliyhtälöitä. Tarvittavat paikkaderivaattojen muodot voidaan esittää derivaatan d / dx vektorivastineen (Nabla operaattori) avulla. Karteesisessa ( xyz,, ), koordinaatistossa T T i / x / x i < i j k < j / y ( < / y j ). x y z k / z / z k Operaattorin derivaatat vaikuttavat kaikkeen sen oikealla puolella, jälkimmäinen muoto suluissa edellyttää että kantavektorit ovat vakioita. Muutoin manipulaatiot vastaavat tensoritulojen laskemista. Vektorina nabla voidaan esittää eri koordinaatistoissa ja muuntaa koordinaatistosta toiseen. Viikko 44/41
42 Usein tarvittavia ovat skalaarin gradientti v, vektorin gradientti v, vektorin divergenssi v, vektorin pyörre v sekä kaksi kertaa operaattorin sisältävät v ( ) v ja v ( ) v. Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitykset ovat v v v v < i j k, x y z v v v v v v v v v v < ii ji ki ij jj kj ik jk kk x y z x y z x y z x x x y y y z z z, v v x y v v < x y z z, v vy y ( z v v ) ( x v z v v < i, j, ) k(, x). y z z x x y Viikko 44/4
43 v v v v < x y z, vx vx v vy vy v x y vz vz vz v < ( ) i ( ) j ( ) k. x y z x y z x y z Viikko 44/43
44 ESIMERKKI Liikemäärän ja liikemäärän momentin taseen ajasta riippumattomat yleiset σ lokaalit muodot ovat ρ f < 0 ja ρ σ < ρ σ σ c, jossa ρ on jännitystensori ja f tilavuusvoima (voima tilavuusyksikköä kohden). Muodosta taseyhtälöiden komponenttimuodot Karteesisessa ( xy,koordinaatistossa,, ) kun < i x j y σ f < f i f j, ja ρ < ρxxii ρxyij ρyx ji ρyy jj., x y ρ ρyx ρ Vastaus xx xy ρyy f x < 0, f y < 0 x y x y ja ρ, ρ < 0. xy yx Viikko 44/44
45 Taseyhtälöt, jotka tässä vastaavat tasapainoyhtälöitä, voidaan johtaa vektorialgebran pelisäännöillä lähtien invarianteista lokaaleista (vektori)muodoista koordinaatistosta riippumatta. Sijoitetaan Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitykset ja järjestellään: σ ρ ρxy ρyx ρyy ρ f < i ( xx ii ij ji jj) x x x x ρ ρxy ρyx ρyy j ( xx ii ij ji jj ) fxi f y j < 0 y y y y σ ρ ρyx ρxy ρyy ρ f < ( xx fx) i ( fy) j < 0. x y x y σ σ ρ, ρc < ( ρ ii ρ ij ρ ji ρ jj),( ρ ii ρ ji ρ ij ρ jj ) < 0 xx xy yx yy xx xy yx yy σ σ ρ, ρc < ( ρxy, ρyx ) ij ( ρyx, ρxy ) ji < 0. Viikko 44/45
46 Samaan lopputulokseen päädytään piirtämällä kappalealkion vapaakappalekuvio ja kirjoittamalla voima- ja momenttitasapainoehdot (tähän palataan myöhemmin) ρ yy ( ρ yy Χy) Χx y ρ xx Χy fy ΧΧ x y ρ yx ( ρ yx Χy) Χx y ρ xy ( ρ xy Χx) Χy x ρ xy Χy fx ΧΧ x y ρ ( ρ xx xx Χx) Χy x ρ yx Χx ρ yy Χx Differentiaaligeometrinen päättely ja vapaakappalekuvion käyttö toimii hyvin karteesisen koordinaatiston tasotapauksessa ja huonommin, kun koordinaatisto on käyräviivainen ja tarkastellaan 3D tapausta. Viikko 44/46
47 Viikko 44/47
48 SYLINTERIKOORDINAATISTON ESITYKSIÄ 1 1 aε a a < ( ra ) z r r r r ε z 1 1 a a a < a < ( r a) r r r r ε z 1 a a 1 <,,, r r ε r ε r ε a ( a ) ( r r a ) ( ) r e r aε a e a ε α z ez ar 1 ar 1 ar ar aε, aε az T r r ε r z er aε 1 aε 1 aε a a < eε ar aε aεar az r r ε r z ez az 1 az a a z r aε az r r ε z Viikko 44/48
49 ar 1 1 a a 1 ( r ε aε a ) ( r az, ) T r r r r z r e ε r er 1 1 a a a 1 a 1 a 1 ( ) ( r ε ε ε a ) r ε a a ( z s < eε, ) eε r ε r r r ε r z r ε ez ez 1 a 1 a 1 ( r a z ε a ) ( z a ) z z r z r ε z a 1 a rr rε a a rz rr, aεε T r r ε z r er σ aεr 1 aεε aεz aεr a < eε r r ε z r ez azr 1 azε azz a zr r r ε z r Viikko 44/49
50 1.4 GAUSSIN LAUSE Integraalilauseiden avulla voidaan muuntaa pintaintegraaleja tilavuusintegraaleiksi, pintaintegraaleja viivaintegraaleiksi jne. Perusversioista saadaan hyödyllisiä lauseita eri tilanteisiin. Yleinen muoto: adv < n ada ς ς ς z n z Gradienttilause: adv < nada ς ς ς Divergenssilause: adv < n ada ς ς Pyörrelause: adv < n ada ς ς Integraali-identiteetit pätevät kaikissa dimensioissa. Yksidimensioisessa tapauksessa integraali alueen reunan ylitse pitää korvata summauksella reunan (kaksi pistettä) ylitse. Viikko 44/50
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017 1 Piirrä vapaakappalekuviot kuvien partikkeleille/äykille kappaleille a muodosta vaikuttavien voimien resultantit massakeskipisteiden suhteen Käytä
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
Lisätiedot2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ
2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ 2.1 KAPPALEEN LIIKE... 4 2.2 LAGRANGEN JA EULERIN ESITYSTAVAT... 12 2.3 SIIRTYMÄ... 22 2.4 JÄNNITYS... 25 2.5 VENYMÄ JA VENYMÄNOPEUS... 38 Viikko 45/1 VIIKON 45 OSAAMISTAVOITTEET
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
Lisätiedot5 REUNA-ARVOTEHTÄVÄ 5.1 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SIIRTYMÄTEHTÄVÄ VIRTAUSTEHTÄVÄ LÄMMÖNJOHTUMISTEHTÄVÄ...
5 REUNA-ARVOTEHTÄVÄ 5.1 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT... 4 5. SIIRTYMÄTEHTÄVÄ... 14 5.3 VIRTAUSTEHTÄVÄ... 7 5.4 LÄMMÖNJOHTUMISTEHTÄVÄ... 4 L5/1 VIIKON 48 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 48 jälkeen kurssin osallistuja
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
Lisätiedot4 MATERIAALIMALLIT 4.1 JOHDANTO ELASTINEN KIINTEÄ AINE VISKOOSI NESTE LÄMMÖN JOHTUMINEN...
4 MATERIAALIMALLIT 4.1 JOHDANTO... 6 4.2 ELASTINEN KIINTEÄ AINE... 19 4.3 VISKOOSI NESTE... 33 4.4 LÄMMÖN JOHTUMINEN... 42 Viikko 47/1 VIIKON 47 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 47 jälkeen kurssin osallistuja
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 48/2017
KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 48/017 1. Kilpailun aikana moottoripörän avaitaan lentävän matkan lätökulman ollessa. Mallinnetaan moottoripörä kuskeineen partikkeliksi (massa m) ja unodetaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
LisätiedotVektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.
49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki)
KJR-00 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki) 1. Liikemäärän momentin taseen periaatteen soeltaminen kappalealkioon johtaa lokaaliin muotoon σ θ ( ρ r ) < 0, jossa alaindeksi tarkoittaa akiota
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotJatkoa lineaarialgebrasta
Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot