MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

Transkriptio

1 MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen vuodelta Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

2 Osittaisderivaatat Olkoon D R n, n 2 ja f : D R funktio. Tällöin kaikille j = 1,..., n funktion f osittaisderivaatta muuttujan x j suhteen on f (x + he j ) f (x) f j (x) = lim, h 0 h jos kyseinen raja-arvo on määritelty. Tässä e j on j:s yksikkökantavektori. Käytännössä osittaisderivointi jonkin muuttujan suhteen tapahtuu samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapauksessa, muistetaan vain pitää muita muuttujia ikäänkuin ne olisivat vakioita. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

3 Esimerkki 1 Olkoon funktio f : R 2 R f (x, y) = x 2 sin y. Sen osittaisderivaatat ovat: f 1 (x, y) = 2x sin y ja f 2 (x, y) = x 2 cos y. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

4 Merkintätavat osittaisderivaatoille Funktion f : D R n R osittaisderivaattaa muuttujan x j suhteen merkitään mm. seuraavilla tavoilla f x j = x j f (x 1,..., x n ) = f j (x 1,..., x n ) = D j f (x 1,..., x n ). Tapauksessa n = 2 usein kirjoitetaan z = f (x, y), jolloin voidaan myös käyttää merkintöjä f 1 (x, y) = x, f 2(x, y) = y. Osittaisderivaatalle käytetään erillistä symbolia, jotta se ei sekoittuisi tavalliseen (n.k. totaali)derivaattaan. Palaamme tähän ketjusäännön yhteydessä. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

5 Osittaisderivaatan arvo Funktion f : D R n R osittaisderivaatan f j arvoa pisteessä x 0 D merkitään ( ) f x j = x0 x j x 0 = f j (x 0 ) = D j f (x 0 ) jossa muuttuja z määritellään z = f (x 1, x 2,..., x n ). Esim. Jos f (u, v) = u 2 v ja w = x 2 i + xyj, niin ( v)) f 1 (w) = f 1 (x 2, xy) = u (x f (u, 2,xy) = 2uv = u=x 2, v=xy 2(x2 )(xy) = 2x 3 y. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

6 Esimerkki 2 Etsitään kun z = x 3 y 2 + x 4 y + y 4. Saadaan ja x ja y, x = 3x2 y 2 + 4x 3 y y = 2x3 y + x 4 + 4y 3. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

7 Esimerkki 3 Etsitään f 1 (0, π), kun f (x, y) = e xy cos(x + y). Saadaan f 1 (x, y) = ye xy cos(x + y) e xy sin(x + y). Siten f 1 (0, π) = πe 0 cos(π) e 0 sin(π) = π. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

8 Ketjusäännön soveltaminen Tavallisiin derivaattoihin liittyvä ketjusääntö (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x) on voimassa myös osittaisderivaattojen tapauksessa. Esimerkiksi jos f : R R ja g : R 2 R, niin ja x f ( g(x, y) ) = f ( g(x, y) ) g 1 (x, y) y f ( g(x, y) ) = f ( g(x, y) ) g 2 (x, y). Myöhemmin esitetään myös ketjusääntö monen muuttujan funktioille. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

9 Esimerkki 4 Osoitetaan, että derivoituva funktio f : R R toteuttaa seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön, kun z = f (x/y): Ketjusäännön perusteella ( )( ) x 1 x = f y y x x + y y = 0 ja y = f ( x y )( ) x y 2. Siten x x + y ( )( x y = f x 1 y y + y x ) y 2 = 0. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

10 Pinnan tangentit ja normaali Yhden muuttujan tapauksessa derivaatan avulla voidaan löytää lauseke derivoituvan funktion tangentille annetussa pisteessä. Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Pinnalle z = f (x, y) saadaan kaksi tangenttivektoria pisteessä (a, b): T 1 = i + f 1 (a, b)k ja T 2 = j + f 2 (a, b)k. Piirrä kuva, josta selviää miksi näin on! Pinnan normaalivektori n = n(a, b) on kohtisuorassa näitä molempia tangentteja vastaan. Siksi se saadaan ristitulona Mikä on yksikkönormaali? n = T 2 T 1 = i j k 0 1 f 2 (a, b) 1 0 f 1 (a, b) = f 1 (a, b)i + f 2 (a, b)j k. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

11 Tangenttitaso Olkoon D R 2, f : D R ja (a, b) D. Pinnan z = f (x, y) tangenttitaso pisteessä (a, b) on aina (i) kohtisuorassa normaalia n = n(a, b) vastaan, ja se (ii) kulkee pisteen P = (a, b, f (a, b)) kautta. Tällaisen tason vektorit r = (x, y, z) R 3 toteuttavat yhtälön (r P) n = 0. Piirrä kuva, jotta selviää miksi! Tangenttitasolle saadaan siis yhtälö z = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

12 Normaalisuoran yhtälöt Normaalisuora pinnalle z = f (x, y) pisteessä P = (a, b, f (a, b)) on normaalivektorin n(a, b) = f 1 (a, b)i + f 2 (a, b)j k suuntainen. Suoran pisteet ovat siis pistejoukko Piirrä kuva, jotta selviää miksi! {P + tn(a, b) : t R}. Jos sekä f 1 (a, b) 0 ja f 2 (a, b) 0, niin voidaan eliminoida parametri t ja saadaan yhtälöt x a f 1 (a, b) = y b f 2 (a, b) z f (a, b) =. 1 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

13 Esimerkki 5 1/2 Etsitään tangentti ja normaali pinnalle z = sin(xy), kun x = π/3 ja y = 1 Tangentti ja normaali kulkevat pisteen (π/3, 1, 3/2) kautta. Lasketaan osittaisderivaatat: x Pisteessä (π/3, 1) saadaan = y cos(xy) ja y = x cos(xy). x = 1 2 ja y = π 6. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

14 Esimerkki 5 2/2 Siten kyseisellä pinnalla on normaalivektori Tangenttitaso on z = 3 2 n = (1/2)i + (π/6)j k. 1 2 Normaalisuoran yhtälöiksi saadaan ( x π ) + π (y + 1) x 2π 3 = 6y + 6 π = 6z Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

15 Korkeammat osittaisderivaatat Funktiolle f : R n R voidaan määritellä myös korkeampia osittaisderivaattoja. Jos z = f (x, y), niin saadaan esimerkiksi ja 2 z x 2 = x x = f 11(x, y) 2 z x y = x y = f 21(x, y). Vastaavasti, jos w = f (x, y, z), saadaan esimerkiksi 5 w y x y 2 = y x y w y = f 32212(x, y, z). Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16

16 Esimerkki 6 Etsitään funktion f (x, y) = x 3 y 4 toiset osittaisderivaatat. Saadaan aluksi f 1 (x, y) = 3x 2 y 4 f 2 (x, y) = 4x 3 y 3. Siten f 11 (x, y) = x 3x2 y 4 = 6xy 4, f 21 (x, y) = x 4x3 y 3 = 12x 2 y 3, f 12 (x, y) = y 3x2 y 4 = 12x 2 y 3, f 22 (x, y) = y 4x3 y 3 = 12x 3 y 2. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A0205/MS-A0206 Kevät / 16