KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Statiikan välikoe Ajankohta ma klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen B-Sali: Materiaali ja välineet Ei pakollinen P-Ö (sukunimen alkukirjaimen mukaan) o Opiskelijalla saa tuoda mukanaan ainoastaan kirjoitusvälineet (kynät, pyyhekumi ja viivain) ja laskimen (kaikki laskintyypit hyväksytään) o Opiskelijalle jaetaan tehtävä- ja vastauspaperit o Tehtäväpapereissa kysymykset ovat suomeksi, ruotsiksi ja englanniksi Sisältö Koealue Yleisiä sääntöjä 3 tehtävää Statiikan luennot ja tehtävät ja kurssikirjan luvut kurssiesitteen mukaan ENGin tenttiohjesääntöä noudatetaan soveltuvin osin

3 Päivän aihe: Statiikan kertausluento Osaamistavoitteet: Ymmärtää statiikan kurssi kokonaisuutena Mitä on statiikka? Sisältö: Mekaniikan mallit: partikkeli ja jäykkä kappale Ulkoiset kuormitustyypit: voima, voiman momentti ja jakaantunut voima Tasapainon käsite ja mitä se tarkoittaa eri tapauksissa Partikkeli Jäykkä kappale Kappalesysteemi eli rakenne Sisäiset voimat Esimerkkitehtäviä (Huomioita voimasysteemien ulkoisista vaikutuksista ja sisäisistä voimista)

4 Mitä on statiikka? Mekaniikka: Tutkii kappaleiden käyttäytymistä voimien vaikutuksen alaisena. Statiikka: Tutkii kappaleita tasapainossa. Dynamiikka: Tutkii kappaleita kiihtyvässä liikkeessä

5 Mekaniikan mallit: partikkeli ja jäykkä kappale Mikä on partikkeli? Partikkelilla on massa, mutta sen geometriaa ei huomioida. Kaikki voimat vaikuttavat yhdessä pisteessä. Mikä on jäykkä kappale? Kappale, jossa ei tapahdu mitään muodonmuutoksia Materiaalin ominaisuuksia ei tarvita

6 Kuormitustyypit Voima Voiman momentti Jakaantunut voima

7 Voima vektorimuodossa r AB Voimavektori F = Fu u = r r Esimerkki: Kuvan ketjua vedetään 300 kn suuruisella voimalla. Pisteiden koordinaatit ovat A = (2,0,2) ja B = (2,5,5). r A = 2i + 2k r A + r AB = r B r B = 2i + 5j + 5k r AB = r B r A r AB = 2 2 i j k r A r B = 5j + 3k r AB = r AB = = 34 (m) F = Fu = 300kN 5j + 3k 34 = j + k kn 34

8 Momentti vektorimuodossa Voiman momentti M O = r F M O = Fd Määritä momentti pisteen O ympäri, kun F = 300i 200j + 150k N. Määritetään voiman paikkavektori r OB : r OB = 0.3i + 0.4j 0.2k m r OB M O = r OB F = i j k = ( 0.2) ( 200) i ( 0.2) 300 j k = 20i 105j 180k

9 Momentti vektorimuodossa Määritä momentti -akselin ympäri, kun F = 300i 200j + 150k N. Momentti -akselin ympäri on momenttivektorin -akselin suuntainen komponentti. M O = 20i 105j 180k r OB = M i + M y j + M z k Momentti -akselin ympäri Vastaus: M = 20 Nm M = 20i Nm

10 Momentti vektorimuodossa Määritä momentti pisteiden O ja A kautta kulkevan akselin ympäri, kun F = 300i 200j + 150k N. Momentti akselin ympäri on momenttivektorin projektio akselille. Eli momenttivektorin ja akselin suuntaisen yksikkövektorin pistetulo: M OA = u OA M O u OA = r OA r OA = 0.3i + 0.4j m = 0.6i + 0.8j (0.3m) 2 +(0.4m) 2 u OA M O = (0.6i + 0.8j) (20i 105j 180k)

11 Momentti vektorimuodossa Pistetulon määritelmä: A B = AB cos θ u OA M O = (0.6i + 0.8j) (20i 105j 180k) = ( 105) = 72 cos 0 = 1 ja cos 90 = 0, joten kantavektoreille: i i = j j = k k = 1 i j = i k = j k = 0 Vastaus: M OA = 72 Nm M OA = M OA u OA = 72 Nm 0.6i + 0.8j = 43.2i 57.6j Nm

12 Momentti vektorimuodossa Määritä momentti pisteiden O ja A kautta kulkevan akselin ympäri, kun F = 300i 200j + 150k N. Momentti akselin ympäri voitaisiin ratkaista suoraan (laskematta ensin momenttia pisteen O ympäri) skalaarikolmitulon avulla: M OA = u OA (r OB F) = u OA M O M OA = u OA (r OB F) = u OA u OA y u OA z r OB r OB y r OB z F F y F z = = ( 200) = 72 M OA = 72 Nm

13 Jakaantunut voima Jakaantunut voima esitetään yleensä resultanttinsa avulla, joka on yhtä suuri kuin kuormituskäyrän ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Jakaantuneen voiman resultantin vaikutussuora kulkee alan painopisteen kautta. F R = 0 L w d = A

14 Jakaantunut voima F R = 6 kn m 2m = 12 kn y 6 kn/m y A B A B = 2m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

15 Tuennat Tukireaktioita tasossa Kolmiulotteisia tuentoja

16 Tasapaino Partikkeli tai jäykkä kappale on tasapainossa, kun se on paikallaan tai liikkuu vakionopeudella. ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0

17 Statiikan tehtävän ratkaiseminen 1. Piirrä vapaakappalekuva 1. Piirrä kappaleen ääriviivat 2. Piirrä kaikki ulkoiset voimat: kuormitukset ja tukireaktiot 3. Merkitse kaikki voimat: tunnetut ja tuntemattomat 2. Ratkaise tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla Kolme yhtälöä tasossa Kuusi yhtälöä avaruudessa

18 Vapaakappalekuva Näin piirrät vapaakappalekuvan: 1. Piirrä kappaleen ääriviivat 2. Piirrä kaikki partikkeliin vaikuttavat voimat Aktiiviset voimat ja tukivoimat 3. Merkitse kaikki voimat Tunnetut ja tuntemattomat

19 Esimerkki (Luku 3.3) Laatikko painaa 2,75 kn. Mitkä voimat vaikuttavat köysissä BA ja AC? Piirretään vapaakappalekuvat: Laatikko Köysi AD Lenkki A T AD T DA = T AD T AB T AC W = 2,57kN T AD T AD

20 Esimerkki (jatkuu) y Tasapainoehto: T AB T AC ΣF = 0 ΣF i + ΣF y j = 0 ΣF = 0 ΣF y = 0 T AD = W = 2,75kN Jaetaan voimat T AB ja T AC - ja y-akselin suuntaisiin komponentteihinsa (voimalla T AD on vain y-akselin suuntainen komponentti)

21 Esimerkki (jatkuu) ΣF = 0 ΣF y = 0 T AB 30 y T AC Jaetaan voimat T AB ja T AC - ja y-akselin suuntaisiin komponentteihinsa ΣF = 0 T AC, T AB, = 0 T AD = W = 2,75kN T AC 4 5 T AB cos 30 = 0 ΣF y = 0 T AC,y + T AB,y 2,75kN = 0 T AC T AB sin 30 2,75kN = 0

22 Esimerkki (jatkuu) Tasapainoyhtälöt: T AC 4 5 T AB cos 30 = 0 T AC = 5 4 T AB cos 30 T AC T AB sin 30 2,75kN = T AB cos T AB sin 30 2,75kN = 0 T AB 2,39 kn T AC 2,59kN

23 Esimerkki Radiaalilaakerin tukireaktiot ovat: Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Piirretään rakenteen vapaakappalekuva. A z A y B z B C z C y

24 Esimerkki Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Rakenteen vapaakappalekuva. Ratkaistaan kaikki tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. ΣF = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 Summataan voimat -akselin suuntaan: + ΣF = 0 B = 0 ΣM = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0 A z A y Summataan momentit z-akselin ympäri: + ΣM z = 0 C y 1m = 0 C y = 0 B z B C z C y Summataan voimat y-akselin suuntaan: + ΣF y = 0 A y = 0

25 Esimerkki Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Rakenteen vapaakappalekuva. Ratkaistaan kaikki tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. ΣF = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 Summataan momentit -akselin ympäri: + ΣM = 0 ΣM = 0 ΣM y = 0 ΣM z = 0 A z B z 1800 N B z 0.6m 450N 1.2m + C z (1.2m) = 0 Summataan momentit y-akselin ympäri: + ΣM y = 0 C z 1350 B z 0.6m + 450N 0.6m C z (1m) = 0 B z = 1800 N C z = 1350 N

26 Esimerkki Määritä tukireaktiot kitkattomissa radiaalilaakereissa A, B ja C. Rakenteen vapaakappalekuva. Ratkaistaan kaikki tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. ΣF = 0 ΣF y = 0 ΣF Z = 0 Summataan voimat z-akselin suuntaan: + ΣF z = 0 ΣM = 0 ΣM y = 0 ΣM z = N A z 1800 N A z 1800N N 450N = 0 A z = 900 N 1350

27 Tasapaino Partikkeli tai jäykkä kappale on tasapainossa, kun se on paikallaan tai liikkuu vakionopeudella. ΣF = 0 ΣF = 0 ΣM = 0

28 Tasapaino Rakenne on tasapainossa, kun se on paikallaan tai liikkuu vakionopeudella. F BA (vetoa) F BA (vetoa) F BC (puristusta) F BC (puristusta) F BA (vetoa) F BC (puristusta) Kun rakenne on tasapainossa, myös kaikki sen osat ovat tasapainossa. A F BA A y A F CA F CA F CA F CA C y F BC C

29 Rakenteen vapaakappalekuvasta Koko rakenteen vapaakappalekuva. Koko rakenne on jäykkä kappale. Yksittäisten rakenneosien vapaakappalekuvia. Osat ovat partikkeleita tai jäykkiä kappaleita. Yksittäisten osien vapaakappalekuvista ratkaistaan osissa vaikuttavat voimat. F BA (vetoa) F BA (vetoa) F BC (puristusta) F BC (puristusta) A A y C y Koko rakenteen vapaakappalekuvasta ratkaistaan tukireaktiot. F BA (vetoa) F BC (puristusta)

30 Tasapaino Kun kappale on tasapainossa, myös sisäiset voimat ovat tasapainossa

31 Voimasysteemin ulkoiset vaikutukset ja rakenteen sisäiset voimat Kun tarkastellaan voimasysteemin aiheuttamia ulkoisia vaikutuksia, eli kappaleen liikettä tai tukireaktioita, voidaan useasta voimasta koostuva voimasysteemi korvata resultanttivoimalla ja resultanttimomentilla HUOM! Kun tarkastellaan kappaleen sisäisiä voimia, voimien vaikutuspisteitä ei saa muuttaa.

32 Voimasysteemin ulkoiset vaikutukset ja rakenteen sisäiset voimat A y F F B Kun tarkastelemme voimasysteemin ulkoisia vaikutuksia, voimme korvata voimasysteemin toisella samanarvoisella voimasysteemillä Ratkaistaan tukireaktiot ensin kuvan voimasysteemillä. A y a a M = Fa a B Sen jälkeen korvataan kuvan voimasysteemi samanarvoisella voimaparin momentilla ja ratkaistaan tukireaktiot. Sen jälkeen tarkastellaan sisäisiä voimia kuvan voimasysteemillä ja samanarvoisella voimaparin momentilla. a a a

33 Voimasysteemin ulkoiset vaikutukset ja rakenteen sisäiset voimat A A y F F B Ratkaistaan tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. Piirretään ensin palkin vapaakappalekuva. A y a a a B y + ΣF = 0 A = 0 + ΣM A = 0 Fa + F2a + B y 3a = 0 B y = 1 3 F + ΣF y = 0 A y F + F 1 3 F = 0 A y = 1 3 F

34 Voimasysteemin ulkoiset vaikutukset ja rakenteen sisäiset voimat A A y M = Fa B Korvataan voimapari samanarvoisella voimaparin momentilla ja ratkaistaan tukireaktiot tasapainoyhtälöiden avulla. Piirretään ensin palkin vapaakappalekuva. A y a a a B y + ΣF = 0 A = 0 + ΣM A = 0 Fa + B y 3a = 0 Voimasysteemit ovat samanarvoisia. Ne tuottivat saman ulkoisen vaikutuksen, eli tukireaktiot + ΣF y = 0 B y = 1 3 F A y 1 3 F = 0 A y = 1 3 F

35 Voimasysteemin ulkoiset vaikutukset ja rakenteen sisäiset voimat A y F F B Tarkastellaan palkin sisäisiä voimia. Piirretään leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat. 1 a a a 3 F 1 3 F V V = F 1 3 F 1 3 F V = 1 3 F M dm d = 1 3 F dm d = 1 3 F 2 3 F V = F dm d = 2 3 F

36 Voimasysteemin ulkoiset vaikutukset ja rakenteen sisäiset voimat A y M = Fa 1 a a a 3 F 1 3 F V 1 3 F V = 1 3 F B Tarkastellaan palkin sisäisiä voimia. Piirretään leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat. dm d = 1 3 F M a M = Fa a dm d = 1 3 F a Leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat eivät ole samanlaiset kahdella samanarvoisella voimasysteemillä!

37 A y F F B A y M = Fa B 1 a a a 3 F 1 3 F V 1 a a a 3 F 1 3 F V M M

38 Yhteenveto Kertasimme statiikan kurssin sisältöä Partikkelin ja jäykän kappaleen mallit Kuormitukset, joita kappaleisiin kohdistuu Voima ja voiman momentti Harjoiteltiin esittämistä vektorimuodossa Jakaantunut voima Tukireaktiot Tasapainon periaate ja esimerkkitehtäviä Partikkelin tasapaino Jäykän kappaleen tasapaino Rakenteen tasapaino Sisäisten voimien tasapaino Tarkasteltiin voimasysteemin ulkoisia vaikutuksia ja sen aiheuttamia sisäisiä rasituksia