MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Transkriptio

1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

2 Johdanto (1/2) Luonnolliset luvut N = {1, 2, 3, 4, 5,...} ovat luonnollinen joukko aloittaa laskeminen. Jos halutaan ratkaista muotoa x + n = m, n, m N, olevat yhtälöt, kaipaa lukujen joukko kuitenkin laajennusta kokonaislukujen joukoksi: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Tämäkään ei riitä muotoa nx = m, m, n Z, n 0, olevien yhtälöiden ratkaisemiseen, vaan tarvitaan laajennus rationaalilukuihin: { m } Q = n m, n Z, n 0. 2 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

3 Johdanto (2/2) Rationaalilukujenkaan joukosta ei löydy ratkaisua yhtälölle x 2 = 2. Tätä varten tehdään vielä laajennus, otetaan mukaan myös irrationaaliluvut, jolloin saadaan reaalilukujen joukko R. Onko kaikki nyt hyvin? Mikä on yhtälön x 2 = 1 ratkaisu? 3 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

4 Määritelmä Määritellään imaginääriyksikkö i olemaan luku, jolle pätee i 2 = 1. Imaginääriyksikköä i voitaisiin siis tavallaan kutsua myös 1:n neliöjuureksi. Määritelmä 1 Kompleksiluku on muotoa a + ib oleva esitys, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja i imaginääriyksikkö. C = {a + ib a, b R} on kompleksilukujen joukko. 4 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

5 Esitys tason pisteenä Samaistetaan vektori (x, y) R 2 ja kompleksiluku x + iy C, eli R 2 = {(x, y) : x, y R} = C = {x + iy : x, y R} Esimerkki 2 Piirrä kompleksiluvut 1 + 2i, 2 i, i, 2 ja 3 2i koordinaatistoon. Tulkitsemalla kompleksiluvut tason vektoreiksi nähdään heti, miten niiden yhteenlasku pitää suorittaa. 5 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

6 Laskutoimitukset Olkoot z = x + iy ja w = a + ib kompleksilukuja. Tällöin lukujen w ja z summa on erotus ja tulo w + z = (a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i(b + y), w z = (a + ib) (x + iy) wz = (a + ib)(x + iy) = (a x) + i(b y), = ax + a iy + ibx + ib iy (Muista: i 2 = 1!) = (ax by) + i(ay + bx). 6 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

7 Esimerkki Esimerkki 3 Olkoot w = 2 + 3i ja z = 2 i. Laske w + z, w z ja wz. Tarkista piirtämällä kuvat. Ratkaisu: w + z = (2 + 2) + i(2 1) = 4 + i, w z = (2 2) + i(2 ( 1)) = 3i, wz = ((2)(2) (2)( 1)) + i ((2)( 1) + (2)(2)) = 6 + 2i. 7 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

8 Esimerkki, kuva ratkaisuista w z = 3i w = 2 + 2i w + z = 4 + i z = 2 i wz = 6 + 2i arg wz = arg w + arg z wz = w z 8 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

9 Kompleksilukuihin liittyviä termejä Määritelmä 4 Luvun z = z 1 + i z 2 C reaaliosa on Re(z) := z 1 R ja imaginaariosa on Im(z) := z 2 R. Luku z = z 1 i z 2 = Re(z) i Im(z) on luvun z kompleksikonjugaatti tai liittoluku. Määritelmä 5 (Itseisarvo ja argumentti) Jos z = z 1 + iz 2 C, olkoon z := z1 2 + z2 2 ja arg(z) := arg((z 1, z 2 )). 9 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

10 Esimerkkejä Esimerkki 6 Nyt z = z ja arg( z) = arg(z), joten zz = z 2. Tarkistus: zz = (z 1 iz 2 )(z 1 + iz 2 ) = (z z2 2 ) + i(z 1z 2 z 2 z 1 ) = z 2. Huom. Jos 0 z C, niin z = ( z1 z z + i z ) 2 z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) missä ϕ = arg(z). 10 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

11 Käänteisluku Käänteisluku: Kompleksiluvun z = x + iy käänteisluvulle saadaan laskusääntöjen avulla muoto 1 z = z z z = x + iy x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2, jos z 0. Yleisemmin kompleksiluku w/z voidaan sieventää muotoon a + ib laventamalla se nimittäjän liittoluvulla z: w z := w 1 z = w z/ z 2. Siis w/z = w / z ja arg(w/z) = arg(w) arg(z). 11 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

12 Jakolasku ja potenssi Esimerkki i (2 + 3i)(4 + 5i) i = = = 7 4 5i (4 5i)(4 + 5i) i. Esimerkki 8 Jos n Z, niin z n = z n ja arg(z n ) = n arg(z). Tapauksessa z = cos(ϕ) + i sin(ϕ) saadaan de Moivren kaava: (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ). 12 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

13 Polaariesitys Tekniikassa kompleksiluvut kirjoitetaan usein ns. polaarimuodossa re iϕ. Tämä tarkoittaa tason pistettä, jonka napakoordinaatit ovat (r, ϕ). e iϕ on yksinkertaisesti lyhyempi merkitätapa kompleksiluvulle cos ϕ + i sin ϕ. Siis re iϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos ϕ + ir sin ϕ = x + iy. Fakta e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ voidaan osoittaa esim. sarjakehitelmien avulla. 13 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

14 Esimerkki Esimerkki 9 Mitkä kompleksiluvut toteuttavat yhtälön z 3 = 1? Vastaus: Ratkaise kirjoittamalla luvut polaarimuodossa z = re iϕ, 1 = 1e in2π, n Z. Tällöin yhtälö saa muodon (re iϕ ) 3 = r 3 e i3ϕ = 1e in2π, josta r 3 = 1 ja 3ϕ = n2π. Yhtälön toteuttavat siis pisteet, joille r = 1 ja ϕ = n 2 3 π, n Z, eli z = 1, z = i ja z = i. Nämä kolme pistettä sijaitsevat tasavälein yksikköympyrällä. 14 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

15 Algebran peruslause Seuraava tulos on seurauksiltaan järisyttävä (vaikkei ehkä heti uskoisi). Sen mukaan ei-vakiolla polynomilla on nollakohta: Lause 10 (Algebran peruslause) Olkoon p : C C polynomi eli p(z) = n a k z k, k=0 missä a k C ja a n 0. Jos n 1, niin p(w) = 0 jollakin w C. 15 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut

16 Algebran peruslause Seuraus: Jos polynomi p on kuten edellä, niin missä r 1, r 2,..., r n C. Esimerkki 11 p(z) = a n (z r 1 )(z r 2 ) (z r n ), p(z) = z = (z i)(z + i) eli polynomin p juuret ovat i, i C (eivät reaalisia!). Esimerkki 12 Etsi polynomi, jolla on sekä reaalisia että imaginäärisiä juuria. 16 / 16 R. Kangaslampi Kompleksiluvut