802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
|
|
- Heli Mikkonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016
2 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Palautusaava, Pascalin olmio Binomisarja, Binomiehitelmä p-valuaatio 7 3 Rationaaliluvun jaollisuus mod n) Perusteita Rengas Q n Sovellusia Wilsonin lause Euler-Fermat Euler-Fermat'n todistus Wolstenholmen lause p 1)! ja a p 1 mod p 2 )/EI oeeseen Polynomien ongruenssi Sovellusia luujen ongruensseihin Lucasin binomierroinlause Lucasin binomierroinlauseen todistus Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovellusia Telesoopit
3 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään luvun n N ertoma n! indutiivisesti asettamalla Määritelmä 1. 0! 1, 1.1) n! n 1)! n, n Z ) Yleisesti tapausessa n 1 irjoitetaan löyhästi n! n 1) n, 1.3) missä on eräänlainen lyhennysmerintä tarasta määritelmästä 1.2). Kertoman yleistys, Pochammerin symboli a) n, saadaan seuraavasti. Määritelmä 2. Oloon a C. Tällöin a) 0 1, 1.4) Nytin tapausessa n 1 irjoitetaan a) n a) n 1 a + n 1), n Z ) a) n a a + 1) a + n 2) a + n 1). 1.6) Erityisesti 1) n n!. 1.7) Määritelmä 3. Oloot a C ja N. Tällöin luvut ) a a + 1)! ovat binomiertoimia "a yli :n". 1.8) 2
4 Huomautus 1. Aiaisempi Määritelmä ja Määäritelmä 3 ovat evivalentit eli ) a a + 1) 1) a). 1.9)!! Binomiertoimen Määritelmä 3 esitetään usein epätaremmin) muodossa Määritelmä 4. Oloot a C ja N. Tällöin luvut ) a ovat binomiertoimia "a yli :n". 1, jos 0; a +1) a +2) a 1) a!, jos Z ) Perustelu. Oloon alusi 0. Tällöin ) ) a a a + 1) 0 0 0! 1 a C. 1.11) Kun Z +, niin ) a a + 1)! a + 1)a + 2) a 1)a! a C. 1.12) Kuten yleensäin niin seuraavassain äytetään enimmäseen tätä esitystä. Oloon vielä a n Z +, jolloin ) n n + 1)n + 2) n 1)n! joten n )!n + 1)n + 2) n 1)n, 1.13)!n )! ) n n!!n )! 0 n. 1.14) 3
5 Jos n + 1, niin ) n n) n + j) n + 1) 1), 1.15)! missä 0 j 1 n. Siten, un j n, niin n + j 0 ja ) n 0 n ) Oloon a n Z, jolloin ) n nn + 1) n + 1) 1)! joten ) n n + 1)! 1), 1.17)!n 1)! ) n + 1 1) ) 1.1 Palautusaava, Pascalin olmio Lause 1. Oloon a C. Tällöin ) a ) a ) a N. 1.19) Erioistapausena saadaan Pascalin olmion sääntö Lause 2. ) ) n + 1 n ) n, n N. 1.20) Todistus. Lasetaan väitteen oiea puoli äyttäen binomiertoimien esitystä??), jolloin ) a aa 1) a + 1) + 1) + 1)! + ) a aa 1) a + 1)! 4
6 aa 1) a + 1)a ) aa 1) a + 1) +! + 1)! ) aa 1) a + 1)! a a + 1)a + 1 1) a ) + 1) + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. Pascalin olmion säännöllä voidaan todistaa Lause 3. Todistus. Indutio n:n suhteen. Alusi n 0, 1. ) a ) + 1 ) n Z + 0 n N. 1.22) ) 0 0 Indutio-oletus: Väite tosi, un n l. ) 1 0 Indutioasel: Oloon n l + 1. Tällöin ) ) ) l + 1 l l ) ) l, 1.24) missä indutio-oletusen nojalla oiea puoli Z +, joten ) l + 1 Z l. 1.25) + 1 Lisäsi Tulosen 1.22) nojalla joten mistä saadaan. ) l + 1 l + 1 ) l ) 0 n + 1)n + 2) n 1)n! Z +, 1.27)! n + 1)n + 2) n 1)n, 1.28) 5
7 Lause 4.! m + 1)m + 2) m + ), m N. 1.29) Edelleen Lause 5. Oloon p P, tällöin ) p p 1 p ) Todistus. Tulosen 1.28) nojalla! p + 1)p + 2) p 1)p, 1.31) Kosa p!, niin 1.31) johtaa relaatioon! p + 1) p 1) l!, 1.32) jollain l Z. Siten ) p p + 1)p + 2) p 1)p! 1.33) l p 0 mod p). 1.34) 1.2 Binomisarja, Binomiehitelmä Sarjaa 1 + t) a 0 sanotaan Binomisarjasi. Oloon a n N, jolloin 1 + t) n ) a t, a C 1.35) n 0 ) n t. 1.36) 6
8 Asetetaan t A/B, jolloin yhtälöstä 1.36) saadaan Binomiehitelmä: A + B) n +ln 0,l n n 0 Kun, a 1 ja t x, niin saadaan Geometrinen sarja: ) n A B n 1.37) n!!l! A B l. 1.38) 1 1 x x. 1.39) Ja yleisemmin, jos a n Z ja t x, niin 1 1 x) ) n + 1 x 1.40) n identiteetin 1.18) nojalla p-valuaatio Tarastellaan aluluvun p esiintymistä oonaisluvussa myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 5. Oloot p P, Z \ {0}, r N ja p r. 2.1) Tällöin asetetaan v p ) r. 2.2) Kertaa vielä, että p r p r c, p c Z \ {0}. 2.3) 7
9 Lause 6. Lasusääntöjä. Oloon p P ja n, m Z \ {0}, tällöin v p 1) 0; 2.4) v p n) 0; 2.5) v p nm) v p n) + v p m); 2.6) v p n!) v p 1) + v p 2) v p n), n 1; 2.7) n p vpn) p vpn) p vpn), n ) p n p n p P Määritelmä 6. Oloot p P, Z \ {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l) 1 jos p l ; 2.9) w p l) 0 jos p l. 2.10) Lause 7. Oloot p P, Z \ {0}, r N ja v p ) r. Tällöin Lause 8. Oloot n Z + ja Tällöin v p ) A p r w p i) i1 n i1 p i w p i). 2.11) i1, p P. 2.12) v p n!) A p. 2.13) p Ap n! p n!. 2.14) 8
10 n! p n p Ap. 2.15) Huomaa, että n/p i 0, un p i sums are nite. > n. Siten summat A p ovat äärellisiä/the Todistus. I osan tulosen 4.26) nojalla välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten luujen lm Toisaalta n #{ Z + 1 n, p i } p i. 2.16) #{ Z + 1 n, p i } w p i1) + w p i2) w p in). 2.17) Esimerisi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n 2.18) p missä pätee w p 1) w p 2)... w p p 1) w p p + 1) ) w p p) w p 2p)... w p n p ) p ) Oloon Siten p r n < p r+1, w p 1) + w p 2) w p n) n ) p r+1 n ; 2.22) p n w p 21) + w p 22) w p 2n) p 2 ; 2.23) 9
11 ... n w p r1) + w p r2) w p rn) p r, 2.24) Lasetaan yhtälöt ) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p 1) + v p 2) v p n) ) p p 2 p r Siten Edelleen v p n!) n A p, p P. 2.26) i1 p i n! p n p vpn!). 2.27) Huomautus 2. Aluluvulle p pätee p n! p n. 2.28) Esimeri 1. v 2 11!): w 2 1) w 2 2) w 2 3) v 2 ) Toisaalta, < 2 4, joten r 3 ja v 2 11!) i1 2 i Lauseen 4.3 todistus/2. tapa:
12 Kertomien aluteijäehitelmien nojalla n!!n )! p Bp, 2.29) p n missä Tulosen??) B p n n. 2.30) i1 p i p i p i a + b a + b 2.31) avulla saadaan n + p i p i p + n i p i p i n p i. 2.32) Siten B p N ja p Bp Z +, 2.33) p n joa identiteetin 2.29) anssa todistaa, että ) n Z + 0 n N. 3 Rationaaliluvun jaollisuus mod n) 3.1 Perusteita Määritelmä 7. Rationaaliluu A a/b Q on supistetussa muodossa/reduced form, un a b. Edelleen, dena) b on A:n nimittäjä/denominator. Määritelmä 8. Oloon p P, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a p b Q p a 3.1) Z ja sanotaan, että p jaaa rationaaliluvun a/b. 11
13 Huomautus 3. Käytetään myös merintää p a b. 3.2) Oloon p P. Joaisella a/b Q on ysiäsitteinen esitys Tällöin saadaan Lause 9. a b pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. 3.3) a p b Q r ) Määritelmä 9. Oloon p P, a, b Z ja a b 0. Silloin asetetaan Esimeri 2. Esimeri 3. a b 0 mod p) p a b ! 3.5) 0 mod 5). 3.6) 0 mod 5). 3.7) Laajennetaan Määritelmä 8 vapaasti valittavalle moduluselle n Z 2. Määritelmä 10. Oloon n Z 2, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a n b Q n a b ja sanotaan, että n jaaa rationaaliluvun a/b. n a 3.8) Z Huomautus 4. Lause 10. a n b Q n b. 3.9) 12
14 Oloon n Z 2 annettu ja oloon rationaaliluvun a/b Q aluteijäesitys a b ±pr 1 1 p r q v 1 1 q v l l ; 3.10) missä q j / {p 1,..., p }. Jos p i, q j P r i Z +, v i Z, 3.11) n p s 1 1 p s, s i N, 3.12) ja 0 s i r i i 1,...,, 3.13) niin a n Q b. 3.14) Määritelmä 11. Oloon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos n a b c d, 3.15) niin asetetaan a b c d mod n) 3.16) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat ongruentteja mod n). Huomautus 5. a 0 mod n) a 0 mod n), b n. 3.17) b Lause 11. Oloot n Z 2 ja a/b, c/d Q seä polynomi P x) Q[x]. Tällöin, jos niin a b c d miäli ongruenssi 3.19) on määritelty. mod n), 3.18) P a b ) P c ) mod n), 3.19) d 13
15 Lause 12. Oloot n Z 2 ja a/b, c/d Q seä rationaalifuntio Rx) Qx). Tällöin, jos niin a b c d miäli ongruenssi 3.21) on määritelty. Esimeri 4. mod n), 3.20) R a b ) R c ) mod n), 3.21) d mod 2 5); 3.22) missä p 1 2, p 2 5, q 1 3 ja r 1 2, r 2 1, v 1 1. Esimeri 5. Esimeri mod 20), 3.23) ! 0 mod 52 ). 3.24) Esimeri 7. Oloon p P, p 5, tällöin 1 p Huomaa, että ongruenssi 3.26) ei ole määritelty mod 5). Esimeri 8. Oloon p P, tällöin 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) mod 5 3 ). 3.25) mod p). 3.26) p 1)p 2) 2 1 p 1)! mod p), 3.27) joten 2p ) p 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) 2 p 1)! 2 mod p). 3.28) 14
16 Lause 13. Kongruenssi mod n) on evivalenssirelaatio jouossa { c d Q d n}. 3.2 Rengas Q n Määritelmä 12. Oloot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b { c d Q c d a b on edustajan a/b määräämä jaojäännösluoa mod n)} 3.29) mod n) ja Q n {a/b a/b Q, n b}. 3.30) Asetetaan vielä lasutoimituset binary operations) x + y x + y, x y xy 3.31) aina, un x, y Q n. Lause 14. a) Lasutoimituset { + : Q n Q n Q n, 3.32) ovat hyvinmääriteltyjä well dened) eli binäärioperaatiot ovat funtioita. b). Nolla-alio zero) on 0 { ln l, d Z, d n} 3.33) d ja vasta-alio x x x Q n. 3.34) 15
17 c). Yösalio unity) 1 { d + ln l, d Z, d n} 3.35) d ja äänteisalio inverse) x 1 x 1 x, x 1 Q n. 3.36) d) Kolmio Q n, +, ) muodostaa yösellisen ommutatiivisen renaan. Lause 15. Oloon n Z 2. Tällöin uvaus F a/b) a b ) 1 F : Q n Z n on rengasisomora eli Q n Zn. 3.37) Todistusta EI ysytä oeessa. Todistus: Lasemalla saadaan 1) F a b + c ) F d ) ad + bc bd ad + bc bd ) 1 ad + bc) b ) 1 d ) 1 a b ) 1 + c d ) 1 F ) a + F b joten F on ryhmien Q n, +) ja Z n, +) välinen homomora. ) c, 3.38) d 2) F a b c ) F d ) ac bd 16
18 ac bd ) 1 a b ) 1 c d ) 1 F ) a F b ) c. 3.39) d 3) F 1 ) F ) ) ) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorsmi. 4) Asetetaan nyt missä b n, joten F ) a 0, 3.41) b a b ) ) Kerrotaan 3.42 puolittain aliolla b, jolloin saadaan a b ) 1 b 0 b a 0 a 0 mod n) a b ) Siten F : Q n Z n on injetio. 5) Oloon vielä Z n. Tällöin, jos valitaan a, b 1, niin ) ) a F F 1 ) ) b 1 Siispä F : Q n Z n on surjetio. Kohtien 4) ja 5) nojalla on bijetio ja edelleen rengasisomora. F : Q n Z n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa/can be identied, jolloin meritään Q n a/b ab) 1 Z n. 3.45) 17
19 ESIM: Lasetaan 2/3 renaassa Q 7. Alusi saadaan l 7 3 mod 7) l Z. 3.46) Valitaan l 4, jolloin mod 7). 3.47) Täten Toisaalta Z 7 :ssa. 2/ ) ) 3.3 Sovellusia Lemma 1. Oloon G ryhmä ja a G. Tällöin uvauset ι : G G, ιx) x ) ja τ : G G, τx) ax 3.51) ovat bijetioita. Todistus. Kohta 3.50): Asetetaan josta saadaan x 1 x 2. Siten ι on injetio. ιx 1 ) ιx 2 ) x 1 1 x 1 2, 3.52) Oloon sitten y G annettu. Valitaan nyt x y 1, jolloin ιx) ιy 1 ) y 1 ) 1 y. 3.53) Täten ι on surjetio ja edelleen bijetio. 18
20 Seuraus 1. Oloon H {a 1,..., a m } 3.54) äärellinen ryhmä. Tällöin ιh) H eli {a 1 1,..., a 1 m } {a 1,..., a m }. 3.55) Edelleen, oloon a H annettu. Tällöin τh) H eli {a a 1,..., a a m } {a 1,..., a m }. 3.56) Wilsonin lause Lause 16. WILSONIN LAUSE: Oloon p P. Tällöin Esimeri 9. Oloon H Z 11, missä p 1)! 1 mod p). 3.57) 1 1 1, 2 1 6, 3 1 4,, 4 1 3, 5 1 9, 6 1 2, 7 1 8, 8 1 7, 9 1 5, ) Siten Lause 17. Oloon p P 3. Tällöin ) p 1 0 mod p). 3.60) 19
21 Todistus. Lemman 3.50 nojalla ιz p) Z p eli {1 1,..., p 1 1 } {1,..., p 1}. 3.61) Täten p 1 p 1 a 1 b, 3.62) a1 b1 Seuraavassa äytetään samaistusta 3.45). Yhtälön V.P. vasen puoli) 1/1 + 1/ /p / /p 1) 1 + 1/ /p 1). 3.63) Toisaalta Yhtälön O.P. oiea puoli) p p 1 pp 1)/2 0, 3.64) missä p pp 1)/2, sillä p 3. Evivalenssiluoien 3.63) ja 3.64) identtisyydestä seuraa edustajien välinen ongruenssi 3.60) Euler-Fermat Lause 18. Oloot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a ϕm) 1 mod m). 3.65) Seurausena saadaan Lause 19. FERMAT'N PIKKULAUSE: Oloot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 mod p). 3.66) 20
22 3.3.3 Euler-Fermat'n todistus Todistus. Asetetaan τx) a x. Kosa a Z m, niin Lemman 3.50 nojalla τz m) Z m eli {a a 1,..., a a ϕm) } {a 1,..., a ϕm) }. 3.67) Siten a a 1 a a ϕm) a 1 a ϕm) 3.68) a ϕm) a 1 a ϕm) a 1 a ϕm), 3.69) josta a ϕm) ) Todistetaan seuraavasi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 20. Oloot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Oloon a Z p r p r 1 1,p 1 mod p r ). 3.71) oma äänteisalionsa eli a a 1 a ) Siten josta a 2 1 0, 3.73) a 1)a + 1) l p r, 3.74) jollain l Z. Välttämättä p a 1 tai p a ) 21
23 Jos niin p a 1 ja p a + 1, 3.76) p 2a p a. 3.77) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarastellaan siis tapauset 1.) p a 1 ja p a ) ja 2.) p a 1 ja p a ) Tapaus 1. Yhtälön 3.74) nojalla p r a 1 a ) Tapaus 2. Yhtälön 3.74) nojalla p r a + 1 a ) Siten a Z pr on oma äänteisalionsa täsmälleen silloin, un a ±1. Edelleen missä jouon alioille pätee Täten Z pr {1, 1} B, 3.82) B {b 1,..., b m }, m ϕp r ) 2, 3.83) b i 1 bi, i 1,..., m. 3.84) B {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c m/2 1 } 3.85) 22
24 ja siten a Z p r a 1 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/ ) Esimeri p r. Jolloin mod 3 2 ). 3.87) 3.4 Wolstenholmen lause Lause 21. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Oloon p P 5. Tällöin Tätä todistusta EI ysytä oeessa.) Todistus, I tapa: Tarastellaan polynomia p 1 0 mod p2 ). 3.88) Gx) x 1)x 2) x p 1)) Z[x]. 3.89) Auaistaan tulo, jolloin Gx) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... missä W i Z. Välittömästi saadaan +W 2 x 2 W 1 x + W 0, 3.90) xx 1)x 2) x p 1)) x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, 3.91) 23
25 johon sijoitetaan x y 1 ja siten y 1)y 2) y p 1))y p) y 1) p W p 2 y 1) p 1 + W p 3 y 1) p 2 W p 4 y 1) p W 2 y 1) 3 W 1 y 1) 2 + W 0 y 1). 3.92) Yhtälössä 3.92) V.P. y p)gy) y p)y p 1 W p 2 y p 2 + W p 3 y p W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) y p p + W p 2 )y p 1 + pw p 2 + W p 3 )y p 2 pw p 3 + W p 4 )y p pw 2 + W 1 )y 2 + pw 1 + W 0 )y pw ) Toisaalta yhtälön 3.92) O.P. ) ) ) p p p 1 y p + W p 2 )y p W p 2 + W p 3 )y p ) ) ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4 )y p ) ) ) p p W p W 1 + W 0 )y p 1 p W p W 1 + W 0 ). 3.94) Verrataan seuraavasi vastinpotenssien ertoimia yhtälöissä 3.93) ja 3.94), jolloin y p : 1 1, 3.95) 24
26 y p 1 : p + W p 2 ) p + W p 2, 3.96) 1 y p 2 : pw p 2 + W p ) ) ) p p 1 + W p 2 + W p 3, y p 3 : pw p 3 + W p ) ) ) ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, y 1 : pw 1 + W ) ) ) ) p p W p W 1 + W 0, p 1 p 2 1 y 0 : pw W p W 1 + W ) Kasi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautusaavat: 3W p 4 p 2)W 1 2W p 3 ) p + 4 ) p + p 1 W p 2 ) p + 3 p 1 3 ) p, 3.101) 2 p 1 2 ) W p 2 + ) W p 2, 3.102) p 2 2 ) p 1 W p p 2 ) W p 3, ) ) 3 W 2, 3.104) 2 25
27 p 1)W W p W ) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa ) p jw p j j j p ) Käytetään tulosta 1.30), jolloin ) p p ) ja siten Seuraavasi joten Edelleen joten... Siten j 1. p W p ) ) p p 3 ja p W p 2, 3.109) j 2. p W p ) ) p p, 4 p W p 2 ja p W p 3, 3.111) j 3. p W p ) j p 2. p W ) p W 1, W 2,..., W p 2, 3.114) josta tulosen 3.105) anssa seuraa j p 1. p 1)W 0 1 mod p) 3.115) 26
28 eli Mutta W 0 1 mod p) ) W 0 p 1)!, 3.117) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x p yhtälöön p 1 p 1 Gx) x j) 1) i W i x i, W p 1 1, 3.118) j1 i0 josta saadaan W 1 W 2 p W 3 p p p ) Kosa p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W ) Toisaalta W 1 p 1 p 1 j1 i1,i j i 2 3 p 1) p 1) p 3) p 1) p 2) Siten p 1)! ) ) p 1 p p ) II todistus Fermat'n piulauseelle. Oloot p P, a Z ja p a. Tällöin a j mod p), 3.123) 27
29 jollain j 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x a yhtälöön 3.118), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 + W p 3 a p W 2 a 2 W 1 a + W 0 0 mod p), 3.124) missä Siten W p 2,..., W 1 0 mod p) ) a p 1 W 0 p 1)! 1 mod p) ) 3.5 p 1)! ja a p 1 mod p 2 )/EI oeeseen Tiedetään, että p 1)! 1 mod p 2 ), 3.127) un p 5, 13, 563,... Wilsonin aluluuja) ja a p 1 1 mod p 2 ), 3.128) un p 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla ohtien 3.127) ja 3.128) jaojäännösien mod p 2 ) äyttäytymistä ei tunneta. Ehdon 3.128) tutiminen on ollut täreää liittyen Fermat'n suuren lauseen todistusyritysiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 mod p 2 ), 3.129) niin x p + y p z p x, y, z Z ) 28
30 Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics )] on todistanut, että 3.130) pätee ilman lisäoletusta 3.129). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten äyrien ominaisuusiin. Oloon p P 3, tällöin Piu Fermat'n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 l p, 3.131) jollain l Z, joten on luonnollista tutia Fermat'n osamääriä Lause 22. Oloon p P 3. Tällöin q p 2) 2p 1 1 p Z ) q p 2) 2p 1 1 p p 2 mod p) ) Huomaa, että 3.133) on yhtäpitävää ehdon 2 p p ) p 2 mod p 2 ) 3.134) anssa. Todistus. Alusi binomiaavalla saadaan p ) p 1 p ) p 2 p 2 +, 3.135) i i jossa tulosen 1.30) nojalla i0 i1 jollain h i Z aina, un i 1,..., p 1. Edelleen h i ) p ph i, 3.136) i p 1)p 2) p i + 1) i! 1) i 1 i 1)! i! 1)i 1 i mod p) 3.137) 29
31 eli jollain m i a/b Q, p b. h i 1)i 1 i + m i p, 3.138) Siten 3.136) ja 3.138) antavat ) p 1) i 1 p i i ) + m i p 1) i 1 p i Yhtälöiden 3.135) ja 3.139) nojalla 2 p 2 + p p 2 1 ) p 1 Toisaalta p 2 1 p ) p p ) p ) p 2 tulosen 3.88) nojalla. mod p 2 ) ) mod p 2 ) ) mod p 2 ) 3.141) Yhdistämällä 3.140) ja 3.141) saadaan 2 p 2 + 2p ) p 2 missä p 2, joten 3.134) seuraa. mod p 2 ), 3.142) Esimeri 11. Oloon p 7. Nyt 2 p ) ) 5 mod 7 2 ) ) Huomaa, että 1/3 5 ja 1/5 3 mod 7). 30
32 4 Polynomien ongruenssi Määritelmä 13. Oloot n Z 2 ja P x) n p x Q[x], 0 jolloin asetetaan n Qx) q x Q[x], 0 P x) Qx) mod n) p q mod n) 0, 1,..., n. 4.1) Seuraavassa äytetään jaojäännösluoia a Z n. Huomaa, että un p P, niin Z p on unta. Määritelmä 14. Oloon n Z 2 ja ax) a 0 + a 1 x a d x d Z[x]. Kuvaus r n a 0 + a 1 x a d x d ) a 0 + a 1 x a d x d 4.2) r n : Z[x] Z n [x], r n ax)) ax), on redutio mod n). Lause 23. Redutio r n : Z[x] Z n [x], r n ax)) ax), on rengasmorsmi. Lause 24. a a d x d b b d x d 4.3) a a d x d b b d x d mod n) 4.4) 31
33 Lause 25. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Oloon p P 5. Tällöin p 1 0 mod p2 ). 4.5) II Todistus. Tämä todistus nojautuu Fermat'n piulauseeseen 19. Tarastellaan polynomeja Gx) x 1)x 2) x p 1)) Z[x]; 4.6) F x) x p 1 1 Z[x] 4.7) ja niiden redutioita mod p) Gx), F x) Z p [x]. 4.8) Välittömästi Fermat'n piulauseeseen 19 nojalla F j) 19 0, j 1, 2,..., p ) Täten F x) jaaantuu polynomirenaassa Z p [x] teijöihin seuraavasti F x) x 1)x 2) x p 1) Gx) 4.10) polynomialgebran tulosten nojalla Katso: Merintöjä ja algebrallisia raenteita). Kirjoitetaan Gx) aui polynomisi p 1 p 1 Gx) x j) 1) i W i x i 4.11) j1 i0 x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + W 0, W p 1 1. Tulosen 4.10) nojalla x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p
34 +W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 mod p). 4.12) eli W 0 mod p), 1, 2,..., p 2, W 0 1 mod p). 4.13) Siirrytään taaisin polynomirenaaseen Z[x] ja auaistaan 4.11): x 1)x 2) x p 2))x p 1)) 4.14) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p W 2 x 2 W 1 x + p 1)!. Sijoitetaan x p yhtälöön 4.14), jolloin p 1)! p p 1 W p 2 p p 2 + W p 3 p p W 2 p 2 W 1 p + p 1)!. 4.15) Tällöin saadaan W 1 W 2 p W 3 p W p 2 p p 3 + p p ) Kosa p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W ) Toisaalta W 1 p 1 p 1 j1 i1,i j i 2 3 p 1) p 1) p 3) p 1) p 2) Siten p 1)! ). 4.18) p 1 p p ) 33
35 Esimeri 12. p 5. 4 Gx) x j) j1 x 4 W 3 x 3 + W 2 x 2 W 1 x + W 0, W , W , 4.20) ja W , W 0 4!. W ! ), 5 2 4! ). 4.21) 4 Esimeri 13. Tapausessa p 3 lauseen väite ei päde uten nähdään seuraavasta: Gx) 2 x j) x 2 W 1 x + W 0 x 2 3x + 2, j1 Terävöitetään Esimerin 8 tulosta. Esimeri 14. W 1 3 2! ), ). 4.22) 2 Oloon p P p 5, tällöin ) 2p 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) 2 2 p p 1)! mod p 3 ). 4.23) 34
36 Todistus. Kerrataan alusi, että W 1 v 1 p 2 ja W v p, missä v Z aina, un 1,..., 2. Sijoitetaan nyt x 2p yhtälöön 4.14), jolloin 2p 1)2p 2) p + 2)p + 1) 2p) p 1 W p 2 2p) p W 2 2p) 2 W 1 2p + p 1)! 2p) p 1 v p 2 2) p 2 p p v 2 2) 2 p 3 v 1 2p 3 + p 1)! p 1)! mod p 3 ). 4.24) Lause 26. Oloon p P, tällöin x + 1) p x p + 1 mod p). 4.25) polynomirenaassa Q[x]. Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla x + 1) p p 0 ) p x 4.26) x p + 0 x p x p x + 1 x p + 1 mod p). Lause 27. Oloot n Z 2 ja fx), gx), hx) Q[x] ja gx) hx) mod n). 4.27) Tällöin Lause 28. Oloot p P ja r N. Tällöin fgx)) fhx)) mod n). 4.28) x + 1) pr x pr + 1 mod p). 4.29) polynomirenaassa Q[x]. 35
37 Todistus. Indutiolla. r 1. Lause 26. Indutioaseleessa lasetaan V.P. x + 1) pr+1 x + 1) pr ) p x pr + 1) p 4.30) x pr ) p + 1 x pr mod p) 4.31) O.P. Kohdassa 4.30) sovellettiin indutio-oletusta ja Lausetta 27 seä ohdassa 4.30) Lausetta 26. Seurausena saadaan Lause 29. Oloot p P ja r Z +. Tällöin ) p r 0 mod p) 1,..., p r ) Lause 28 voidaan yleistää ahdenmuuttujan polynomeille. Lause 30. Oloot p P ja r N. Tällöin x + y) pr x pr + y pr mod p) 4.33) polynomirenaassa Q[x, y]. Ja edelleen useanmuuttujan tapauseen. Lause 31. Oloot p P ja r N. Tällöin polynomirenaassa Q[x 1,..., x m ]. x x m ) pr x pr x pr m mod p) 4.34) 36
38 4.1 Sovellusia luujen ongruensseihin Määritelmä 15. Oloon p P ja Tällöin asetetaan joa on luvun A esponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. A a b c pr, p cd. 4.35) d v p A) r, 4.36) Sovelletaan Lausetta 31 antamalle muuttujille rationaaliluuarvot. Lause 32. Oloot p P, r N ja A i Q, v p A i ) 0 aina, un i 1,..., m. Tällöin A A m ) pr A pr A pr m mod p). 4.37) Huomaa, että 4.37) on Piu-Fermat'n yleistys Lucasin binomierroinlause Lause 33. Oloot p P, n, N seä n i 0 n i p i, i 0 i p i, 0 i, n i p ) Tällöin ) n i 0 ni i ) mod p). 4.39) Lucasin binomierroinlauseen todistus Huomautus 6. Oloot p P ja n N. Tiedetään, että p-antaehitelmä n n i p i, 0 n i p ) i 0 on ysiäsitteinen. 37
39 Lauseen 33 Todistus: Alusi huomataan, että 1 + x) n 1 + x) n x) pn x) p2 n2 1 + x) n x p ) n x p2 ) n2 mod p) 4.41) Lauseen 28 nojalla. Sama binomiehitelmillä n 0 n0 i i p 1 n0 i 0 0 i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 n 0 n 1 n1 i i p 1 n1 ) n x ) x pi 1 ) x pi 1 i i i 2 0 ) ) n0 n1 n2 i 0 i 1 n 2 n2 i i p 1 n2 i 2 i 2 ) x p2 i2 ) x p2 i2 ) x i 0+i 1 p+i 2 p mod p). 4.42) Tutitaan V.P. polynomin termiä x ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p , joa saadaan, un p + 2 p i 0 + i 1 p + i 2 p ) Luvun ysiäsitteisen p-antaesitysen nojalla havaitaan, että i 0 0, i 1 1,.... Täten vertaamalla ongruenssin 4.42) V.P. ja O.P. termejä x, saadaan ongruenssi ) n i 0 ni i ) mod p). 4.44) 38
40 Esimeri 15. p 7, n , , joten ) ) ) ) ) 11 n0 n mod 7). 4.45) Esimeri 16. ) mod 3) 4.46) Summausmenetelmiä 5.1 Polynomialgebran sovellusia Esimeri 17. Lähdetään identiteetistä joa irjoitetaan muotoon n ) n x j j j0 Nyt Caychyn ertosäännöllä n+m josta x) n 1 + x) m 1 + x) n+m, 5.1) j+l n j m l0 j+l,0 j,l j0 ) m x l l ) m l ) ) x ) ) n m j l n+m 0 n+m 0 n + m n + m ) n + m Edelleen, asettamalla n m, saadaan m ) ) ) n m 2m j m j m eli m j0 ) 2 m j ) x. 5.2) ) x, 5.3) 5.4) 5.5) ) 2m. 5.6) m 39
41 5.2 Telesoopit Telesooppisumma ja telesooppitulo n a i+1 a i ) a n+1 a 0 5.7) i0 n i0 a i+1 a i a n+1 a 0 5.8) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n 0 nn + 1) 2 5.9) n 2 0 nn + 1)2n + 1) ) n ) 2 nn + 1) ) 2 0 n 2 + 1) n + 1) ) 0 Johdetaan 5.12) valitsemalla a 2 ja lähtemällä identiteetistä a +1 a + 1) ) Otetaan summat 5.13) molemminpuolin, jolloin n 2 + 1) 0 Edelleen josta saadaan 5.9). n a +1 a ) a n+1 a 0 n + 1) ) 0 n n n + 1) 2, 5.15)
42 Valitsemalla a 3 ja telesopoimalla identiteettiä a +1 a + 1) ) päästään tuloseen 5.10). JNE. 41
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 22. marraskuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Sekalaisia merkintöjä......................... 6 2.3 Porrasfunktiot.............................
Lisätiedot(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedotq =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotEulerin φ-funktion ominaisuuksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä
Lisätiedot