Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Transkriptio

1 Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään vaiheessa saa asettaa pienemmän päälle. Miä on pienin määrä tarvittavia siirtoja?

2 Hanoin tornit Meritään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle ieolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

3 Hanoin tornit Entäpä a n? Jotta pohjimmaista ieoa voitaisiin siirtää, täytyy yhden tangoista olla tyhjä ja muut n 1 ieoa siirrettynä olmanteen tanoon. Tähän vaiheeseen päästäsemme tarvitsemme a n 1 siirtoa. Siirretään sitten isoin ieo tyhjään tanoon. Tehdään lopusi tarvittavat a n 1 siirtoa, jotta pienemmät ieot saadaan isoimman päälle. Siis a n = 2a n

4 Hanoin tornit Reursiorelaatiosta a n = 2a n saamme tiedon a 1 = 1 avulla lasettua luvut a n : a 1 = 1, a 2 = 2 a = = 3, a 3 = 2 a = = 7, a 4 = 2 a = = 1,... Näyttää siltä, että a n = 2 n 1. Todistetaan tämä: a n = 1 + 2a n 1 = 1 + 2(1 + 2a n 2 ) = a n 2 = (1 + 2a n 3 ) = a n 3 =... = n n 1 a 1 = n n 1 = 2 n 1.

5 Legenda Legendan muaan maailmanloppu tulee, un erään vietnamilaisen temppelin papit ovat saaneet siirrettyä yllä olevan pulman tavoin järjestetyt 64 ultaista ieoa tangosta toiseen. Ei uitenaan syytä huoleen, sillä vaia papit siirtäisivät yhden ieon seunnissa, uluisi heiltä tähän eli noin, vuotta! = seuntia

6 Polun laatoitus Polu on 2 metriä leveä ja n metriä pitä. Se on taroitus laatoittaa 1m 2m laatoilla. Monellao eri tavalla tämä voidaan tehdä? Rataisu: Meritään n metrin pituisen polun erilaisten laatoitusten luumäärää p n :llä. Selvästi p 1 = 1, sillä ysi laatta riittää. Huomataan lisäsi, että p 2 = 2 ja p 3 = 3. Ono p n = n? Ei, p 4 = : Miä p n sitten on?

7 Polun laatoitus 2 n ooisen polun laatoitus täytyy aloittaa jommalla ummalla seuraavista tavoista: Ensimmäisessä tapausessa (vasen) se voidaan jataa loppuun p n 1 tavalla, un taas toisessa tapausessa (oiea) se voidaan jataa loppuun p n 2 tavalla. Siis summaperiaatteen muaan p n = p n 1 + p n 2. Saatu reursiorelaatio ottaa siis huomioon paitsi edellisen, myös sitä edellisen vaiheen. Voidaan lasea: p = p 4 + p 3 = + 3 = 8, p 6 = p + p 4 = 8 + = 13, p 7 = p 6 + p = = 21, ja niin edelleen.

8 Fibonaccin jono Saatua jonoa (1, 1, 2, 3,, 8, 13, 21, 34,, 89,...) sanotaan Fibonaccin jonosi (alussa on ysi yönen lisää poieusena edelliseen). Tähän jonoon voi törmätä useissa paioissa luonnossa! Esim. uien terälehtien luumäärissä: 3 liljat ja iiriset aileijat, leiniit ja ritarinannus 8 uonannus 13 eltainen päivänaara 21 asteri 34, aunoaiset Leonardo Pisalainen alias Fibonacci

9 Kultainen suhde Etsi annetulta janalta piste, joa jaaa janan ahteen osaan siten, että oo janan ja suuremman osan pituusien suhde a x on sama uin suuremman ja pienemmän osan pituusien suhde x b. Kultainen suhde ϕ on suuremman ja pienemmän osan pituusien suhde tässä ultaisessa leiausessa. Määritetään ϕ:n arvo: Oloon b = 1, jolloin ϕ = x ja oo janan pituus a = x + 1. Nyt joten a x = x b x + 1 = x x 1 x + 1 = x 2 x 2 x 1 = 0, ϕ = x = = , 618.

10 Kultainen suhde ja Fibonaccin jono Tarastelimme aiaisemmin Fibonaccin jonoa (1, 1, 2, 3,, 8, 13, 21, 34,, 89,...) reursiivisesti eli asel errallaan. Voidaano jonon luvut esittää suljetussa muodossa? Voidaan: F n = ϕn (1 ϕ) n, missä ϕ = Todistetaan tämä indutiolla: Tapaus n = 1: ϕ (1 ϕ) = 2ϕ 1 = = 1 = F 1 Tapaus n = 2: (äytetään tietoa ϕ 2 = ϕ + 1 ja (1 ϕ) 2 = 2 ϕ) ϕ 2 (1 ϕ) 2 ϕ + 1 (2 ϕ) = = 2ϕ 1 = 1 = F 2

11 Kultainen suhde ja Fibonaccin jono Indutio-oletus: F = ϕ (1 ϕ) aiilla n, n 3 Indutioväite: F n+1 = ϕn+1 (1 ϕ) n+1 Todistetaan indutioväite: i.o. F n+1 = F n + F n 1 = ϕn (1 ϕ) n + ϕn 1 (1 ϕ) n 1 = 1 (ϕ n 1 ϕ ) 2 (1 ϕ) n 1 (2 ϕ) (Muista: ϕ+1 = ϕ 2 ja 2 ϕ = (ϕ 1) 2 ) = 1 ( ϕ n+1 (1 ϕ) n 1 (ϕ 1) 2) = ϕn+1 (1 ϕ) n+1 Indutioväite on siis tosi. Indutioperiaatteen nojalla väite pätee aiilla n 1.

12 Fibonaccin luujono ja Pascalin olmio Lasetaan yhteen Pascalin olmion diagonaaleilla olevat luvut: = = = = 8 Oiealle näyttäisi muodostuvan Fibonaccin luujono! Kuina tästä muotoillaan väite? Muista, että ( n ) on Pascalin olmion n + 1:nnen rivin + 1:s luu. Näyttää siltä, että n:s Fibonaccin luu F n saadaan lasemalla yhteen n:nnen rivin ensimmäinen luu ( ) n 1 0, sitä edeltävän rivin toinen luu ( ) ( n 2 1, edelleen sitä edeltävän rivin olmas luu n 3 ) 2, jne. unnes luvut loppuvat.

13 Fibonaccin luujono ja Pascalin olmio Väitämme siis, että ( ) n 1 F n = aiilla n 1. Todistetaan tämä indutiolla. Tapausessa n = 1 on ( ) n 1 = ( ) 0 = 1 = F 1, 0 eli väite pätee un n = 1. Tehdään indutio-oletus: Jollain n 1 on voimassa F m = ( ) m 1, un m n. Todistetaan, että tällöin on voimassa indutioväite: F n+1 = ( ) n.

14 Fibonaccin luujono ja Pascalin olmio Käyttämällä Fibonaccin luujonon määritelmää ja indutio-oletusta saadaan F n+1 = F n + F n 1 = ( ) n 1 + ( ) n 2, josta muuttamalla ensimmäisen termin summausindesiä saadaan = 1 + ( ) n 2 + ( ) n Pascalin indentiteetin nojalla = 1 + ( ) n 1 = 1 + ( ) n = ( ) n, eli indutioväite on tosi. Indutioperiaatteen nojalla väite on tosi aiilla n 1.

15 Reursiiviset määritelmät Useat tähän mennessä esillä olleistä äsitteistä voidaan määritellä reursiivisesti: Aritmeettinen jono: a 1 annettu, a +1 = a + d, 1 Geometrinen jono: a 1 annettu, a +1 = ra, 1 Kertoma: 1! = 1, (n + 1)! = n! (n + 1), n 1 Binomiertoimet: ( ( n 0) = n ( n) = 1, n 0, n ) ( = n 1 ) ( 1 + n 1 ), 0 < < n