MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

Transkriptio

1 MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen vuodelta 215. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

2 Napakoordinaatit 1/2 Piste (x, y) R 2 voidaan kirjoittaa muodossa (r, θ), missä r ja θ < 2π. Napakulma θ on yksikäsitteinen jos r >. y r (x,y) Alkeisgeometriasta saadaan kaavat { { x = r cos θ, r 2 = x 2 + y 2 y = r sin θ, tan θ = y/x. Vrt. kompleksiluvun polaarimuoto x + iy = re iθ. θ Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19 x

3 Napakoordinaatit 2/2 Koordinaatistomuunnoksen (r, θ) (x, y) Jacobin determinantille saadaan kaava (x, y) (r, θ) = x x r θ = cos θ r sin θ sin θ r cos θ = r. y r y θ Siten muuttujanvaihtokaavaa varten saadaan pinta-alan venytys dx dy = (x, y) (r, θ) dr dθ = r dr dθ. Piirrä kuva! Tasointegraali napakoordinaateissa f (x, y) dx dy = missä g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ). D G g(r, θ)r dr dθ, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

4 Esimerkki 1 Olkoon D = {(x, y) R 2 : 1 < x 2 + y 2 < 4}. Lasketaan napakoordinaateissa integraali 1 I = x 2 dx dy. + y 2 Saadaan I = ˆ 2π ˆ 2 1 D ˆ 1 2π ˆ 2 dr r dr dθ = dθ r 2 1 r = 2π ln r 2 r=1 = 2π ln 2. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

5 Esimerkki 2 1/2 Integraali ˆ e x2 dx on erittäin tärkeä mm. todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Tämä integraali on vaikea, koska integraalifunktiota ei ole mahdollista kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla. Integraali on kuitenkin mahdollista laskea seuraavan tempun avulla: Huomataan aluksi, että I = ˆ ˆ ( ˆ e x2 y 2 dx dy = 2 e dx) x2. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

6 Esimerkki 2 2/2 Laskemalla epäoleellinen tasointegraali napakoordinaateissa I = ˆ 2π ˆ = 2π ˆ e r 2 r dr dθ = ˆ 2π re r 2 dr = π lim R dθ ˆ R ˆ re r 2 dr ( 2r)e r 2 dr jossa viimeinen askel on ovela. Nyt d dr e r 2 = 2re r 2, joten integraali saadaan analyysin peruslauseella antiderivaatan hypystä integroimisvälillä: ˆ R ( 2r)e r 2 dr = e R2 1 Viemällä R tulee I = π ja siitä alkuperäisen integraalin arvo ˆ e x2 dx = I = π. Miksi temppu toimi? Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

7 Muuttujanvaihto avaruusintegraalissa (kertaus) Muunnoskaavat (u, v, w) (x, y, z) x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w). Tällöin missä dx dy dz = (x, y, z) (u, v, w) du dv dw, (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w Jos siis g(u, v, w) = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), niin f (x, y, z) dx dy dz = g(u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw. D G. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

8 Sylinterikoordinaatit 1/2 Koordinaatit (r, θ, z), missä r, θ < 2π, z R. Suoralla r = (eli z-akselilla) napakulma θ ei ole yksikäsitteinen. z v (x,y,z) θ r y x Sylinterikoordinaateissa on helppo esittää pyörähdyskappaleita z-akselin ympäri muodossa r = f (z), jossa z [a, b] ja θ [, 2π), missä f on ei-negatiivinen funktio. Sylinterisymmetriset tehtävät! Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

9 Sylinterikoordinaatit 2/2 Muunnoskaavat (r, θ, z) (x, y, z): x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. Muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan dx dy dz = (x, y, z) (r, θ, z) dr dθ dz = r dr dθ dz. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

10 Esimerkki 3 Lasketaan funktion f määräämän pyörähdyskappaleen Ω tilavuus = Ω ˆ b mikä lienee tuttu kaava. a dx dy dz = ˆ b ˆ 2π ˆ f (z) a r dr dθ dz ( 2π 1 ) ˆ b 2 f (z)2 dz = π f (z) 2 dz, a Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

11 Pallokoordinaatit 1/2 Koordinaatit (r, θ, φ), missä r, θ < 2π, φ π. z v (x,y,z) φ r θ y x Kulmaa π/2 φ kutsutaan korotus- eli napakulmaksi, ja sitä käytetään usein φ:n sijasta. Atsimuuttikulma θ ja korotuskulma ovat yksikäsitteisiä jos pisteen etäisyys z-akselista >. Pallosymmetriset ja eräät sylinterisymmetriset tehtävät! Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

12 Pallokoordinaatit 2/2 Muunnoskaavat: x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ. Muunnoksen Jacobin determinantiksi saadaan dx dy dz = (x, y, z) (r, θ, φ) dr dθ dφ = r 2 sin φ dr dθ dφ. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

13 Esimerkki 4 Lasketaan R-säteisen pallon B 3 (R) tilavuus: = B 3 (R) ˆ R ˆ 2π = 1 dx dy dz = r 2 cos φ ˆ R ˆ R ˆ 2π ˆ π π φ= dθ dr = 4πr 2 dr = 4πr 3 3 R r= r 2 sin φ dφ dθ dr ˆ R ˆ 2π = 4πR3 3. 2r 2 dθ dr Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

14 Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 1/3 z k n γ y x Tutkitaan kaksiulotteista kaareutuvaa pintaa S, joka on (piirtämisen helpottamiseksi) xy-tason yläpuolella avaruudessa R 3. Tarkastellaan aluksi xy-tason neliön yläpuolelle jäävän osan pinta-alaa. Se on ilmeisesti suurempi tai yhtäsuuri kuin vastaavan neliön pinta-ala. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

15 Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 2/3 Tästä johtuen pinta-aladifferentiaali ds on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuin dx dy. Itseasiassa dx dy saadaan, jos ds projisoidaan xy-tasoon. Projektio voidaan kirjoittaa kaavana dx dy = cos γ ds, missä γ on pinnan S normaalivektorin n ja z-akselin suuntaisen yksikkövektorin k välinen kulma. Toisaalta pistetulon määritelmästä saadaan n k = n k cos γ, ja siis ds = 1 n k dx dy = dx dy. cos γ n k Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

16 Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 3/3 Aikaisemmin on johdettu pinnan (ylöspäin suunnatulle) normaalivektorille esitys Saadaan n = n = z x i z y j + k. 1 + ( z x ) 2 ( z ) 2 + y Lisäksi k = 1 ja n k = 1, joten ( z ) 2 ( z ) 2 ds = dx dy. x y Kaarevuuden huomioiva korjaustekijä yleistää tasointegraalin pintaintegraaliksi. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

17 Esimerkki 5 1/3 Tarkastellaan sylinterin x 2 + y 2 = a 2, a > leikkaamaa palasta hyperbolisesta paraboloidista z = x 2 y 2. Mikä on palasen pinta-ala? Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

18 Esimerkki 5 2/3 Lasketaan x z = 2x, y z = 2y. Siten pinta-aladifferentiaaliksi saadaan ( z ) 2 ( z ) 2 ds = dx dy x y = 1 + 4(x 2 + y 2 ) dx dy napakoordinaateissa ilmaistuna. = 1 + 4r 2 r dr dθ, Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19

19 Esimerkki 5 3/3 Lasketaan nyt integraali napakoordinaateissa: = π 4 Ala(S) = = π 4 a r= ˆ 2π ˆ a ˆ a r 1 + 4r 2 dr dθ 8r 1 + 4r 2 dr 2 3 (1 + 4r 2 ) 3/2 = π [ (1 + 4a 2 ) 3/2 1 ]. 6 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 19