1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z)"

Transkriptio

1 1. Käyrän kierrosluvust Kompleksinlyysin tärkeimpiä tuloksi on pri Cuchyn luse j Cuchyn integrlikv. Näistä jälkimmäinen on seurv (useimmt käsitteet knntt nyt sivuutt; vin kierrosluku on tärkeä): Olkoot f lueess A C holomorfinen (ti nlyyttinen) funktio, : I A lueen A nollhomologinen polku j z 0 A \ (I). Tällöin missä 1 2πi f(z) z z 0 dz = W (, z 0 ) f(z 0 ), W (, z 0 ) := 1 2πi dz z z 0 on polun kierrosluku pisteen z 0 suhteen. Ks. [10, luku IV, 2]. Tässä esiintyvä kompleksinen käyräintegrli on helposti plutettviss relisiksi käyräintegrleiksi (poimimll reli- j imginrios). Useimmiss kompleksinlyysin esityksissä polun kierrosluvun käsittely jää (kompleksi-)nlyyttiseksi eikä kierrosluvun hyvin yksinkertinen (relinen) geometrinen puoli s pljo snn sij. Seurvss on trkoitus trttu kierrosluvun tähän puoleen j selvittää, miten se voidn lske geometrisesti Eksktit differentilimuodot. Avoimen joukon G R n x jtkuv differentilimuoto ω = f 1 (x) dx f n (x) dx n on ekskti joukoss G, jos on olemss C 1 -funktio u: G R siten, että j u = f j, 1 j n, t.s. jos du = ω. Tälle yhtäpitävää on, että u = (f 1,..., f n ). 2 Välttämätön ehto C 1 -differentilimuodon ω eksktiudelle on seurv osittisderivttehto: j f k = k f j, 1 j, k n (ks. [2, luse 1.3.4]). Ekstille differentilimuodolle ω j joukon G C 1 -polulle on ω = u((b)) u(()), kun funktiolle u on du = ω j polun määrittelyväli on [, b]. Nimittäin, funktion u derivtt on ketjusäännön nojll du((t))( (t)) = ω((t); (t)). Siis ω = b (u ) (t) dt = b (u )(t). Erityisesti siis jokiselle joukon G umpiniselle C1 -polulle (jolle (b) = ()) on ω = Npkoordinttikuvuksen kulmfunktio. Tson origon komplementiss R 2 \ {(0, 0)} määritelty differentilimuoto ω := y dx + x dy x 2 + y 2 1 Viimeksi muutettu Tämä vektorimuotoinen ehto trkoitt, että funktio u on vektorikentän (f 1,..., f n ) potentili. Differentilimuodoille nimitystä ei käytetä, kosk ylempisteisen eksktin differentilimuodon potentili vstv olio ei ole relirvoinen funktio, vn stett lempi differentilimuoto. Vektorikentille ts nimityksen ekskti vstinett ei ole, ellei sitä lint kolmiulotteisest tpuksest: vektorikenttä f on pyörteetön, jos rot f = f = 0. 1

2 j sitä vstv vektorikenttä f = (f 1, f 2 ), ( y f(x, y) := x 2 + y, x ), 2 x 2 + y 2 toteuttvt integroituvuusehdon 2 f 1 = 1 f 2 (tote suorll lskull), mutt differentilimuoto ω ei ole ekskti (eli vektorikentällä f ei ole potentili) lueess R 2 \{(0, 0)} (tote tämä lskemll ω, kun (t) := (cos t, sin t), 0 t 2π). Mutt jos tsost jätetään pois negtiivinen x-kseli X := {(x, y) R 2 y = 0, x 0}, on differentilimuoto ω ekskti lueess A := R 2 \ X (eli vektorikentällä f on potentili joukoss A). Joukko A on nimittäin tähtimäinen minkä thns positiivisell x-kselill sijitsevn pisteen suhteen. (Ks. [2, luse 1.3.4/huomutus]). Vektorikentän f potentilill θ on selkeä geometrinen merkitys: lueess A funktio θ on npkoordinttikuvuksen käänteiskuvuksen (x, y) (r, θ) kulmfunktio. Tämä nähdään helpoiten seurvsti: Alueess A = R 2 \X pisteen (x, y) kulmfunktio θ = θ(x, y) on jtkuvsti differentioituv j kulm θ määräytyy yksikäsitteisesti ehdoist (r cos θ, r sin θ) = (x, y), r = x 2 + y 2 j π < θ < π. Differentioimll npkoordintit määrittelevät yhtälöt x = r cos θ, y = r sin θ, puolittin sdn jost dx = dr cos θ r sin θ dθ, dy = dr sin θ + r cos θ dθ, y dx + x dy = r sin θ (dr cos θ r sin θ dθ) + r cos θ (dr sin θ + r cos θ dθ) = r 2 dθ. (Näissä lskuiss r j θ tulkitn muuttujien x j y funktioiksi sekä x j y xy-tson koordinttikuvuksiksi, x(, b) = j y(, b) = b. Smn tulokseen päästäisiin tietysti myös lskemll yhtälöistä puolittin osittisderivtt x j y j rtkisemll sduist yhtälöistä x θ j y θ.) Kosk r 2 = x 2 + y 2, lueess A on voimss ω = y dx + x dy x 2 + y 2 = dθ eli θ = f Origon kiertäminen. Olkoon : I = [, b] R 2 \ {(0, 0)} ploittin sileä polku. Jos polun käyrä sijitsee lueess A, (I) A, on f d s = ω = dθ = θ((b)) θ(()). Alueen A polulle, jollinen ei siis leikk negtiivist x-kseli, käyräintegrli ω nt polun päätepisteisiin piirrettyjen säteiden välisen kulmn. Mitä tphtuu, jos käyrä (I) leikk negtiivisen x-kselin? Differentilimuodon ω luseekkeen nojll integrli ω on olemss jokiselle ploittin jtkuvsti differentioituvlle polulle, jok ei kulje origon kutt. Oletetn luksi, että polku on sileä j käyrä (I) leikk negtiivisen x-kselin täsmälleen kerrn. Leikkuspiste olkoon p 1 = (t 1 ), < t 1 < b. Jetn integrointiväli 2

3 osiin [, t 1 ] j [t 1, b] j käytetään integrlin jtkuvuutt integrointirjn suhteen: t1 b ω = ω((t); (t)) dt + ω((t); (t)) dt = lim t1 δ t 1 ω((t); (t)) dt + lim b t 1 +δ ω((t); (t)) dt. Jälkimmäiset integrlit voidn lske potentilin θ vull, kosk (t) A kikille t [, t 1 ] [t 1, b] (mieti, mitä leikk trkoitt; määrittele oikein). Siis t1 δ b ω = lim ω((t); (t)) dt + lim ω((t); (t)) dt t 1 +δ = lim (θ((t 1 δ)) θ(()) + lim (θ((b)) θ((t 1 + δ)) = θ((t 1 )) θ((t 1 +)) + θ((b)) θ(()). Kun t t 1, on θ((t)) ±π, missä merkki määäytyy sen mukn, lähestyykö piste (t) negtiivist x-kseli ylemmästä vi lemmst puolitsost (mieti npkoordinttikulmn geometri huolellisesti). Siis sdn ω = ±2π + θ((b)) θ(()), missä merkki on +, jos polku kulkee ylemmästä puolitsost lempn, j vstkkisess tpuksess. Merkitään (i = lgebrllinen leikkusindeksi; lgebrllinen: ei lsket vin lukumäärää, vn otetn huomioon kulkusuunt) { +1, jos hetkellä t 1 polku kulkee ylemmästä puolitsost lempn, j i(, t 1 ) := 1, jos hetkellä t 1 polku kulkee lemmst puolitsost ylempään. Siis i(, t 1 ) = 1 (θ((t 2π 1 )) θ((t 1 +))). Umpiniselle polulle sdn siis ω = 2π i(, t 1 ). On helppo trkist, että edelliset päättelyt käyvät myös ploittin sileälle polulle, j että leikkuspiste p 1 voi oll ei-sileä ( ei ole jtkuv hetkellä t 1 ). Erityisesti umpiniselle polulle voi oll t 1 = ti t 1 = b, t.s. käyrä voi leikt negtiivisen x-kselin lku- ti päätepisteessään. Jos polku ei leikk negtiivist x hetkellä t 1, vn vin heijstuu tkisin (eli (t 1 ) X, mutt (t 1 δ) j (t 1 + δ) sijitsevt smss puolitsoss kikille riittävän pienille δ > 0), niin θ((t 1 )) θ((t 1 +)) = 0. Tälliselle heijstumispisteelle on luonnollist sett i(, t 1 ) := Polun kierrosluku. Oletetn seurvksi, että polku leikk negtiivisen x-kselin k kert. Leikkuspisteet olkoot p j = (t j ), < t 1 < < t k < b. Olkoot t 0 := j t k+1 := b. Jetn integrointiväli osiin [t 0, t 1 ], [t 1, t 2 ],..., [t k 1, t k ], [t k, t k+1 ] j integrli vstvsti summksi k tj+1 ω = ω((t); (t)) dt j=0 t j 3

4 Edellisestä yhden leikkuspisteen trkstelust sdn ω = θ((t 1 )) θ((t 0 )) + θ((t 2 )) θ((t 1 +)) θ((t k )) θ((t k 1 +)) + θ((t k+1 )) θ((t k +)) = 2π i(, t 1 ) + 2π i(, t 2 ) + + 2π i(, t k ) + θ((t k+1 )) θ((t 0 )) Erityisesti siis umpiniselle polulle ω = 2π i(, t 1 ) + 2π i(, t 2 ) + + 2π i(, t k ) Asetetn Määritelmä 1.1. Ploittin sileän umpinisen polun : I R 2 \ {(0, 0)} kierrosluku origon suhteen on W (, (0, 0)) := 1 ω. 2π Pisteelle (, b) R 2 j ploittin sileälle umpiniselle polulle : I R 2 \ {(, b)} kierrosluku pisteen (, b) suhteen määritellään integrlin W (, (, b)) := 1 (y b) dx + (x ) dy. 2π (x ) 2 + (y b) 2 Pltn luss minittuun kompleksisen käyräintegrlin vull määriteltyyn kierroslukuun. Kun merkitään z = x + i y, dz = dx + i dy j lsketn normlisti, sdn (yksinkertisuuden vuoksi z 0 := 0) 1 2πi dz z = 1 2πi x dx + y dy x 2 + y π y dx + x dy x 2 + y 2. Tässä relios on W (, (0, 0)) j imginriosss esiintyvä differentilimuoto on helppo todet eksktiksi. Umpiniselle käyrälle kompleksinen käyräintegrli nt siis tässä trkstellun, relisesti määritellyn polun kierrosluvun. Ploittin sileän umpinisen polun : I R 2 \{(0, 0)} kierrosluku origon suhteen voidn siis lske leikkusindeksien vull W (, (0, 0)) = i(, t 1 ) + i(, t 2 ) + + i(, t k ), kun polku leikk negtiivisen x-kselin hetkillä t 1,..., t k. Kv pätee myös silloin, kun jokin pisteistä (t j ) ei ole leikkuspiste, vn heijstumispiste. Edelliset trkstelut on helppo muutt tilnteeseen, missä negtiivisen x-kselin sijst trkstelln polun j origost lähtevän, kiinnitetyn säteen leikkuksi. Olkoot θ 0 [ π, π), S := {r (cos θ 0, sin θ 0 ) r [0, )} (kulmn θ 0 suuntn origost lähtevä säde) j A := R 2 \ S. Tällöin A on tähtimäinen minkä thns säteen S jtkeell olevn pisteen suhteen, joten ω on ekskti lueess A. Alueeseen A liittyvä npkoordinttikuvuksen kulmfunktio θ on luonnollist määritellä niin, että (cos θ, sin θ) = (x, y)/ (x, y) j θ 0 < θ < θ 0 +2π. Kulmfunktioll θ on siis jokisess säteen S pisteessä vstvnlinen epäjtkuvuuskäyttäytyminen kuin tpuksess S = X. Jos polku leikk säteen S hetkellä t 1, on θ((t 1 )) θ((t 1 +)) = ±2π, missä etumerkki määräytyy sen mukn, tphtuuko leikkus vst- vi myötäpäivään. Jos 4

5 polku heijstuu tkisin smlle puolelle sädettä S, on θ((t 1 )) θ((t 1 +)) = 0, Kun leikkusindeksi määritellään oikein, pätevät edelliset trkstelut, kun negtiivinen x-kseli korvtn säteellä S. Kun trkstelln polun kierrosluku pisteen (, b) suhteen, pitää negtiivinen x-kseli korvt pisteestä (, b) negtiivisen x-kselin suuntn lähtevällä säteellä. Vstvsti suuntn θ 0 lähtevä säde pitää siirtää lkmn pisteestä (, b). 2. Greenin luseest 2.1. Muuttujnvihdost. Kertust kurssist Vektorifunktioiden nlyysi 2A ([1, 3.2]): Olkoot W j W tsolueit j g : W W diffeomorfismi (t.s. g on bijektiivinen C 1 -kuvus, jonk käänteiskuvus on myös C 1 ). Olkoon U W rjoitettu Jordn-joukko, jolle U W, j f : g(u) R integroituv. Tällöin (f g) J g on integroituv joukoss U j (MVK) f(y) dy = f(g(x)) J g (x) dx. g(u) Tässä J g on kuvuksen g Jcobin determinntti, J g (x) = det Dg(x) = 1g 1 (x) 2 g 1 (x) 1 g 2 (x) 2 g 2 (x) = 1g 1 (x) 2 g 2 (x) 2 g 1 (x) 1 g 2 (x). U Yksiulotteisess tpuksess muuttujnvhto integrliin d f(y) dy voidn jtell tehtäväksi seurvsti: sijoitetn y = g(x), jolloin dy = g (x) dx j integroimis- c rjt c = g() j d = g(b) korvtn vstvill rvoill: d c f(y) dy = b f(g(x)) g (x) dx. Onko muuttujnvihtokv (MVK) tulkittviss vstvnlisell tvll? Ongelmi tuott lähinnä Jcobin determinntin muknolo. Yksinkertisuuden vuoksi oletetn, että J g (x) > 0 (diffeomorfismille on jok tpuksess J g (x) 0 kikkill j yhtenäisessä joukoss on joko J g (x) > 0 ti J g (x) < 0). Snotn, että diffeomorfismi g on suunnistuksen säilyttävä. (Jos J g (x) < 0, snottisiin, että g on suunnistuksen kääntävä.) Integrointimuuttujn merkintä dy on lyhenne Riemnnin summiss esiintyvistä y 1 - j y 2 -kselien suuntisten välien pituuksien tulost, f(y) dy f(η α ) y 1,α y 2,α. g(u) α Kvn (MVK) vsemmn puolen dy = dy 1 dy 2 korvutuu sijoituksess y = g(x) lusekkeell (2.1) J g (x) dx 1 dx 2 = ( 1 g 1 (x) 2 g 2 (x) 2 g 1 (x) 1 g 2 (x)) dx 1 dx 2. Jos korvtn y 1 = g 1 (x) j y 2 = g 2 (x), niin tulo dy 1 dy 2 muuttuu lusekkeeksi (2.2) dy 1 dy 2 = ( 1 g 1 (x) dx g 1 (x) dx 2 ) ( 1 g 2 (x) dx g 2 (x) dx 2 ). Sdut lusekkeet J g (x) dx 1 dx 2 j dy 1 dy 2 ovt smoj, jos kvn (2.2) oiken puolen differentilien dx 1 j dx 2 kertolsku tulkitn lternoivksi (eli vuorottelevksi ti 3 Viimeksi muutettu

6 ntikommuttiivikseksi). Merkitään tällist tulo symbolill ; stv tulo kutsutn (differentilisten 1-muotojen) väkätuloksi. Vditn siis, että relirvoisten funktioiden differentileille on voimss du dv = dv du. Erityisesti siis dx 1 dx 1 = dx 2 dx 2 = 0. Differentilisten 1-muotojen väkätuloj kutsutn differentilisiksi 2-muodoiksi. Kun differentilien tulo tulkitn väkätuloksi, sdn (järjestyksen suhteen pitää oll huolellinen) dy 1 dy 2 = ( 1 g 1 (x) dx g 1 (x) dx 2 ) ( 1 g 2 (x) dx g 2 (x) dx 2 ) = 1 g 1 (x) dx 1 1 g 2 (x) dx g 1 (x) dx 1 2 g 2 (x) dx g 1 (x) dx 2 1 g 2 (x) dx g 1 (x) dx 2 2 g 2 (x) dx 2 = 1 g 1 (x) 2 g 2 (x) dx 1 dx g 1 (x) 1 g 2 (x) dx 2 dx 1 = 1 g 1 (x) 2 g 2 (x) dx 1 dx 2 2 g 1 (x) 1 g 2 (x) dx 1 dx 2 = J g (x) dx 1 dx 2. Riittää siis sopi, että f(y) dy 1 dy 2 := f(y) dy 1 dy 2. U U Tässä muuttujien järjestyksen pitää oike. Vkiofunktiolle f = 1 oiken puolen integrli nt joukon U pint-ln; vsemmn puolen integrli dy U 1 dy 2 nt pint-ln, mutt dy U 2 dy 1 pint-ln vstluvun. Mikä on muuttujien oike järjestys? Tämä ei in ihn selvää; mieti esimerkiksi npkoordinttej r j θ. Muuttujille x 1 j x 2 järjestys sovitn, jonk jälkeen muuttujien y 1 = g 1 (x) j y 2 = g 2 (x) järjestys määräytyy suunnistuksen säilymisvtimuksest (Jcobin determinntin J g (x) merkki vihtuu, jos sen rivit vihdetn keskenään). Kun siis muuttujnvihtokvss (MVK) differentilien tulo dy 1 dy 2 tulkitn lternoivksi, voidn muuttujnvihto tehdä vstvll tvll kuin yksiulotteisess tpuksess (kunhn muuttujnvihtokuvus g on suunnistuksen säilyttävä). Seurvss esiintyvien kksiulotteisten integrlien integrointidifferentilit merkitään väkätuloin Greenin luseest. Luentomonisteen [2, luse 1.4.3] Greenin luseen mukn on (f 1 dx 1 + f 2 dx 2 ) = ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 1 dx 2, A+ kun A on positiivisesti suunnistetun umpinisen ploittin sileän Jordn käyrän A+ sisäpuoli j f on josskin joukon A ympäristössä määritelty C 1 -kuvus. Kvn oiken puolell esiintyvä integroitv voidn sellisennkin tulkit kuvuksen f (ei-tvlliseksi) derivtksi, mutt kuniimpi versio sdn seurvsti. Lsketn luksi df 1 = 1 f 1 dx f 1 dx 2, jost df 1 dx 1 = 1 f 1 dx 1 dx f 1 dx 2 dx 1 = 2 f 1 dx 2 dx 1 = 2 f 1 dx 1 dx 2. Vstvsti sdn df 2 dx 2 = 1 f 2 dx 1 dx f 2 dx 2 dx 2 = 1 f 2 dx 1 dx 2. A 6

7 Siis df 1 dx 1 + df 2 dx 2 = ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 1 dx 2. Differentiliselle 1-muodolle ω = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 määritellään ulkoinen derivtt dω settmll (järjestyksen suhteen pitää jälleen oll huolellinen) dω := df 1 dx 1 + df 2 dx 2. Näillä merkinnöillä Greenin luseen kv s vrsin yksinkertisen muodon ω = dω A+ Greenin luseen kvn esittäminen tässä muodoss s lisämerkitystä, kun nähdään, että myös Stokesin luseen j (Gussin) divergenssiluseen kvt voidn esittää smss muodoss. A Kirjllisuutt [1] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden nlyysi 2A, luentomuistiinpnoj keväältä [2] Petri Juutinen: Vektorifunktioiden nlyysi 2B, luentomuistiinpnoj keväältä [3] Tom M. Apostol: Mthemticl nlysis. A modern pproch to dvnced clculus, Addison Wesley, ensimmäinen litos, viides pinos, 1971 (lunperin 1957). [4] Richrd Cournt j Fritz John: Introduction to clculus nd nlysis, Volume I, uusintpinos vuoden 1989 litoksest, Clssics in Mthemtics, Springer, [5] Richrd Cournt j Fritz John: Introduction to clculus nd nlysis, Volume II/1 j II/2, uusintpinos vuoden 1989 litoksest, Clssics in Mthemtics, Springer, [6] Jen Dieudonné: Infinitesiml Clculus, Hermnn, Pris [7] Ernst Hirer j Gerhrd Wnner: Anlysis by its history, Undergrdute Texts in Mthemtics, Redings in Mthemtics, kolms korjttu pinos, Springer, [8] Victor J. Ktz: The history of Stokes theorem, Mthemtics Mgzine 52 (1979), no. 3, [9] Serge Lng: Undergrdute nlysis, toinen litos, Undergrdute Texts in Mthemtics, Springer, 1997 (korjttu neljäs pinos 2005). [10] Serge Lng: Complex nlysis, neljäs litos, Grdute Texts in Mthemtics 103, Springer, [11] Jcqueline Lelong-Ferrnd j Jen-Mrie Arnudiès : Cours de mthémtiques 1 4. Dunod. 1. Algèbre, 3 e édition, 1978 ; 2. Anlyse, 4 e édition, 1977 ; 3. Géométrie et cinémtique, 2 e édition, Equtions différentielles, intégrles multiples, fonctions holomorphes, 2 e édition, [12] Jmes R. Munkres: Anlysis on mnifolds, Advnced Book Clssics, Westview Press, [13] Theodore Shifrin: Multivrible mthemtics. Liner lgebr, multivrible clculus, nd mnifolds, John Wiley & Sons, [14] Michel Spivk: Clculus on mnifolds. A modern pproch to clssicl theorems of dvnced clculus, Addison-Wesley, 1965; korjttu pinos, [15] Dirk J. Struik (toim.): A source book in mthemtics, , Princeton University Press, [16] John A. Thorpe: Elementry topics in differentil geometry, Undergrdute Texts in Mthemtics, Springer-Verlg,

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on 1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

Pinta-alan laskeminen

Pinta-alan laskeminen Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

2 Epäoleellinen integraali

2 Epäoleellinen integraali ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi

Esimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi . Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Integraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Integraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin ntegraalilaskenta 2 liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien laskusääntöjä.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita.

Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. Tähän kirjoitelmaan on poimittu joitakin kurssiin Vektorifunktioiden analyysi 2B liittyviä, kurssin luentomonistetta [2] täydentäviä asioita. 1. Differentiaalimuodon integraalista 1.1. Differentiaalien

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

> 1. = lim. ja lisäksi oletetaan, että integraali b

> 1. = lim. ja lisäksi oletetaan, että integraali b j lisäksi oletetn, että integrli b g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli b f (x)dx hjntuu5. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Leibnizin integraalisääntö

Leibnizin integraalisääntö Leibnizin integrlisääntö Pro grdu -tutkielm Smi Kokko 267586 Fysiikn j mtemtiikn litos Itä-Suomen yliopisto 19. kesäkuut 219 Tiivistelmä Tämän tutkielmn iheen on Leibnizin integrlisääntö, jok käsittelee

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot