> 1. = lim. ja lisäksi oletetaan, että integraali b

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "> 1. = lim. ja lisäksi oletetaan, että integraali b"

Transkriptio

1 j lisäksi oletetn, että integrli b g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli b f (x)dx hjntuu5. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä l on suurempi kuin funktion g j x-kselin välinen pint-l, jok on ääretön. Minornttiperitett käytetään seurvsti:. Hlutn todist, että jokin integrli b f (x)dx hjntuu.. Etsitään funktio g, jok on pienempi kuin f eli g(x) f (x) j jonk integrli b g(x)dx hjntuu.. Tällöin integrli b f (x)dx hjntuu. Esimerkki 4.. Osoit minornttiperitteen vull, että integrli hjntuu. x dx Rtkisu. Nyt f (x) x. Pitäisi löytää tätä funktiot pienempi funktio g, jonk integrli hjntuu välillä [, ]. Helppo tp löytää pienempi funktio on ksvtt osoittj yhdellä: >. x x Eli nyt etsimämme funktio on g(x) / x. Tämän integrli voidn lske jälleen suorviivisesti: x dx lim M lim M M M x dx x lim M ( M ). 5 Tämä perite seur itse siss suorn mjornttiperitteest: jos f suppenisi, niin silloin mjornttiperitett voisi sovelt j myös g suppenisi. 4

2 Täten kosk x < x, niin integrli x hjntuu. 5 Tiheysfunktiot Kuten jo usen kertn on todettu, integrlill voi lske loj j tilvuuksi. Yksi määrätyn integrlin tärkeimpiä sovelluksi on lisäksi se, että sillä voi lske tphtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksen käyttäminen vtii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä. Tiheysfunktio on mtemttisesti jteltun mikä thns ei-negtiivisi rvoj sv funktio, jok integroituu relikselill lukuun yksi eli jolle pätee f (x)dx j f (x). Grfisesti tulkittun tiheysfunktio on siis funktio, jok on jtkuvsti x- kselin yläpuolell (ti x-kselill) j jonk ll olevn lueen pint-l on yksi. Tiheysfunktion ide on seurv: jos stunnismuuttujll X on tiheysfunktio f (x), niin tätä tiheysfunktiot integroimll voi lske todennäköisyyksiä. Jos merkitään P( X b) todennäköisyyttä, että stunnismuuttuj X s rvon välillä [, b], niin tämän todennäköisyyden voi lske integroimll stunnismuuttujn tiheysfunktion f (x) tällä välillä: P( X b) b f (x)dx. ll oleviss esimerkeissä käytetään lisäksi seurv integrointisääntöä : jos funktio f (x) on jollkin välillä [i, j] noll eli pätee f (x), x [i, j], niin myös tämän funktion integrli välillä [i, j] on noll eli j f (x). Trkstelln nyt funktiot f (x), jok on määritelty ploittin: { e x, kun x [, b] f (x) muulloin. i 44

3 Eli funktio f s positiivisen rvon e x joukoss [, b] j on noll muull. Kun tätä funktiot nyt integroi välillä [, ], niin se lue joss funktio on noll voidn sivutt: b f (x)dx e x dx. Eli kosk funktion integrli on noll sillä lueell joss funktio on noll, niin integroitess tämä noll-lue voidn poist eli integroinnit rjt voidn muutt siten, että noll-lue poistuu. Trkstelln nyt esimerkkien vull tiheysfunktioit j niiden integrointi. Esimerkki 5.. Stunnismuuttuj X on tsjkutunut, jos todennäköisyys että X s rvon tietyssä joukoss riippuu inostn tämän joukon koost (eikä tämän joukon sijinnist x-kselill). Jos X on esimerkiksi tsjkutunut välillä [, ], sen tiheysfunktio on {, jos x f (x) muulloin. Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j sen integrli relikselill on yksi: f (x)dx x. dx Nyt tätä tiheysfunktiot integroimll voi siis lske todennäköisyyksiä. Lsketn todennäköisyys, että X s rvon välillä [, /6]: P( X /6) /6 /6 dx x /. Esimerkki 5.. Toinen esimerkki stunnismuuttujn tiheysfunktiost on { e x, jos x f (x) muulloin. 45

4 Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j se integroituu yhteen: f (x)dx lim M lim M e x dx M M e x dx e x lim M ( e M ( e )) ( ). Tämä on erään eksponenttijkumn tiheysfunktio. Integroimll tiheysfunktiot voidn jälleen lske välien todennäköisyyksiä: joss oletetn, että >. P( X b) b e x dx ( e ( e b ) e b e, Trkstelln nyt ploittin määriteltyä funktiot { x, jos x f (x) muulloin. Tässä on jokin vkio. Kysymys kuuluu: millä :n rvoll tämä funktio on tiheysfunktio? Kosk tiheysfunktiolt vditn ensinnäkin ei-negtiiviisuus, niin on pkko oll, että, sillä muuten yllä olev tiheysfunktio sisi negtiivi rvoj. Toislt tiheysfunktiolt vditn, että se integroituu yhteen relikselill eli f (x)dx. Integroidn nyt funktio f (x) x j ktsotn millä :n rvoll se 46

5 integroituu lukuun yksi: f (x)dx x dx x dx x.. Nyt tämä funktio on siis tiheysfunktio, kun tämä integrli s rvon yksi eli pätee, eli /. Täten funktio { f (x) x, jos x muulloin on tiheysfunktio. 6 Tsointegrlit Ennen tsointegrleihin siirtymistä käsitellään hiemn integroinnin nottiot. Trkstelln jälleen tvllist yksiulotteist integrli b f (x)dx. Tässä siis integrointi tphtuu välillä x [, b]. Tätä väliä [, b] voidn kuitenkin merkitä [, b], jolloin yllä olev integrli voidn merkitä vstvsti: b f (x)dx f (x)dx. Integrli f (x)dx ilmisee, että funktio f (x) integroidn joukoss. Tässä tpuksess kosk [, b], niin tämä on sm si kuin integrli b f (x)dx. 47

6 Tälle uudelle lyhyemmälle nottiolle tulee käyttöä, kun trkstelemme usemmn muuttujn funktion integroimist. Trkstelln khden muuttujn funktiot f : R R R, (x, y) f (x, y). Tämän muuttujn lähtöjoukko on nyt tso eli R R. Sen mlijoukko on puolestn reliluvut eli R. Yksi esimerkki tällisest khden muuttujn funktiost on f (x, y) x + y, jolle pätee siis esimerkiksi että f (, ). Nyt tällist funktiot f (x, y) voi integroid tsoss eli khden muuttujn x j y suhteen. Syntynyt integrli on nimeltään tsointegrli. Seurvksi tsointegrli pitäisi määritellä. Plutetn luksi mieliin, että yhden muuttujn tpuksess määrätty integrli b f (x)dx määriteltiin l- j yläsummien vull. Esimerkiksi lsumm stiin lskettu jkmll ensin integrointiväli [, b] osiin j lskemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osiss. Esimerkissämme väli [, b] jettiin kolmen osn, joiden jokisen pituus oli /. Lskimme seurvksi funktion f pienimmän rvon jokisess näistä osiss: merkitsimme näitä m, m j m. lsumm stiin tämän jälkeen summn m + m + m, joss siis jokisen välin pituus kerrottiin funktion pienemmällä rvoll kyseisellä välillä. Kuten yhden muuttujn tpuksess, määrätty integrli tsoss määritellään ylä- j lsummien vull. Nyt emme kuitenkn voi enää pelkästään ositt väliä, kosk tsointegrli on nimensä mukisesti määritelty tsoss eikä välillä. Vlitn integroitvksi funktioksi f (x, y) x + y. Tutkitn kuitenkin helppo esimerkkiä, joss integrointi tphtuu joukoss [, ] [, ], eli joukoss joss x [, ] j y [, ]. Tämä joukko on sikäli helppo, että se määritellään khden välin krteesisen tulon. Kyseinen joukko on siis yksinkertinen suorkulmio, jok näyttää kuvn seurvlt: 48

7 Tsointegrlin ylä- j lsummi lskettess tämä suorkulmio jetn osiin. Muodostetn ll olevss kuvss näkyvä mhdollisimmn yksinkertinen jko eli jetn väli [, ] khti keskeltä: 4 Tästä näkyy, että suorkulmio [, ] [, ] jettiin nyt neljään osn: osiin,, j 4. lsumm määritellään vlitsemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osist j kertomll se näiden osien pint-lll. Olkoon siis m( i ) funktion f pienin rvo joukoss i, joss luonnollisesti i on,, ti 4. Kosk jokisen näiden joukon pint-l on, niin lsumm on tässä tpuksess m( ) + m( ) + m( ) + m( 4 ). 49

8 Nyt integroitvn on funktio f (x, y) x + y. Kuv ktsomll huomtn, että tämän pienin rvo joukoss on yhtä kuin +. Vstvsti tämän funktion pienin rvo joukoss on +, joukoss tämä pienin rvo on smoin + j joukoss 4 tämä pienin rvo on + 4. Täten lsumm s rvon m( ) + m( ) + m( ) + m( 4 ) Vstvsti yläsumm sdn vlitsemll jokisest joukost i funktion suurin rvo tässä joukoss. Merkitään tätä suurint rvo joukoss M( i ), jolloin yläsumm sdn jälleen helposti ktsomll yllä olev kuv: M( ) + M( ) + M( ) + M( 4 ) Näin krkell osituksell ylä- j lsummt siis erovt toisistn melko pljon. Nämä summt ntvt siis ylä- j lrjn tsointegrlille, jot merkitään khdell integroimismerkillä f (x, y)dxdy joss joukko on suorkulmio [, ] [, ]. (x + y)dxdy, Esimerkki 6.. Lsketn vielä ylä- j lsummien ntmt rviot tsointegrlille (x y)dxdy, joss [ [, ] ] [[, ]. Tehdään nyt jko, joss x-rvojen väli [, ] jetn [ ] väleihin, j, ] j y-rvojen väli [, ] jetn neljään väliin:,, [ [ ] [, ],, j, ]. Nyt tällä joll suorkulmio [, ] [, ] sdn jettu khdeksn osn (piirrä kuv, tästä ei ot muuten selvää): [, ] [, ] [ ] [,, ] [, ] [ ], [ ] [ ] 4,, 5 [ 5, ] [, ] [ ] [ 6,, ] [ 7, ] [ ], [ ] [ ] 8,,

9 Näiden jokisen osn l on /4. Kosk integroitv funktio on f (x, y) x y, niin kyseisen funktion pienin rvo jokisess näistä joukost löytyy vlitsemll mhdollisimmn pieni x-rvo j mhdollisimmn suuri y- rvo. Täten lsummksi sdn 4 (m( ) + m( ) + m( ) + m( 4 ) + m( 5 ) + m( 6 ) + m( 7 ) + m( 8 )) ( 4 + ) 9 4. Vstvsti yläsumm sdn järkeiltyä siten, että vlitn osituksen jokisess joukoss mhdollisimmn suuri x-rvo j mhdollisimmn pieni y-rvo. Täten tämä yläsumm on 4 (M( ) + M( ) + M( ) + M( 4 ) + M( 5 ) + M( 6 ) + M 7 ) + M( 8 )) ( ). Jälleen siis ylä- j lintegrli tuottvt huomttvn erilisi tuloksi. Todellisuudess kyseinen integrli on. 7 Tsointegrlin lskeminen iemmin tutkimme ylä- j lsummien ntmi rvioit tsointegrlille f (x, y)dxdy. Tässä siis funktio f (x, y) integroidn muuttujien x j y suhteen jossin tson R osjoukoss. ikisemmiss esimerkeissä tämä integrointijoukko on ollut suorkulmio eli [, b] [c, d]. l- j yläsummien lskemisess iden oli ositt tämä suorkulmio osiin j lske tämän vull rvio tälle tsointegrlille. Kun tätä ositust hienonnetn, niin tämä rvio prnee j on lähempänä integrlin todellist rvo. Jos tsointegrli f (x, y)dxdy on olemss, niin se 5

10 voidn määritellä näiden ylä- j lsummien rj-rvon. Tsointegrlin f (x, y)dxdy geometrinen intuitio on, että se nt funktion f (x, y) j xy-tson välissä olevn lueen tilvuuden, kun x j y rjoitetn joukkoon. Esimerkki 7.. Jos integroinnin lue on suorkulmio [, ] [, ] j integroitvn on vkiofunktio f (x, y), niin integrli f (x, y)dxdy nt funktion f (x, y) j xy-tson suorkulmion [, ] [, ] välissä olevn lueen tilvuuden, jok selvästi on. Toinen intuitiivinen tulkint tsointegrlille on, että se nt funktion f keskirvon joukoss kerrottun tämän joukon pint-lll. Eli f (x, y)dxdy (Funktion f keskirvo joukoss ) (joukon pint-l). Tästä seur suorn, että funktion f keskirvo joukoss sdn jkmll integrli f (x, y)dxdy joukon lll: f (x, y)dxdy Funktion f keskirvo joukoss Joukon pint-l Esimerkiksi yllä olevss esimerkissä joukon [, ] [, ] pint-l oli, joten funktion keskirvo tässä joukoss oli /. Nyt kun tsointegrlille on esitetty intuitiivinen tulkint, käsittelemme kuink tämä tsointegrli käytännössä lsketn. Tämä on yllättävän helppo, kun integrointilue on suorkulmio [, b] [c, d]. Tällöin funktion f (x, y) integrointi joukoss voidn lske integroimll tämä funktion ensin x:n suhteen j integroimll tämän jälkeen syntynyt luseke y:n suhteen. Merkitään integrli seurvsti: xydxdy d b c f (x, y)dxdy. Nyt tämä integrointi sujuu lskemll luksi sisäintegrli, jot merkitään ll sulkujen sisässä olevn lusekkeen: d b d ( b ) f (x, y)dxdy f (x, y)dx dy c Eli lsketn luksi sisäintegrli b f (x, y)dx. Tämän jälkeen integroidn syntynyt luseke y:n suhteen, kuten ll olev esimerkki vlisee: c 5

11 Esimerkki 7.. Lske tsointegrli xydxdy, kun on suorkulmio [, ] [5, 6]. Rtkisu. Nyt tehtävän suorkulmioll on rjt x j 5 y 6. Täten tämä tsointegrli voidn kirjoitt muodoss xydxdy 6 5 xydxdy. Tämä on helppo lske: integroidn ensin x:n suhteen j tämän jälkeen integroidn syntynyt luseke y:n suhteen: 6 6 ( ) xydxdy xydx dy y 5 ( x y (y) dy ) Voit integroid tämän tsointegrlin myös toisess järjestyksessä eli lske integrlin ( 6 ) xydy dx. Tästä stv tulos on sm. 5 Kun integrointilue on suorkulmio, lsketn tsointegrli integroimll funktio f (x, y) ensin joko x:n ti y:n suhteen j tämän jälkeen jäljellä olevn muuttujn suhteen. Esimerkki 7.. Lske tsointegrli y dxdy integroimll ensiksi y:n suhteen, kun on suorkulmio [, ] [, 4]. Nyt tätä tsointegrli voidn jälleen merkitä seurvsti: y dxdy 4 5 dy y dxdy.

12 Integroinnin järjestystä voi nyt viht vpsti: 4 ( ) ( 4 ) y dx dy y dy dx ( ) 4 y 4 dx 4 ( 4 4 ) 4 4 dx 4 ( 54 7 ) dx 4 ( ) 89 dx x Yllä oleviss esimerkeissä integrointi sujui yhtä helposti kummsskin järjestyksessä: integrointi ensin x:n suhteen j sen jälkeen y:n suhteen oli yhtä helppo kuin integrointi ensin y:n suhteen j tämän jälkeen x:n suhteen. Käytännössä näin ei kuitenkn in ole, joten jos integrointi ei tunnu sujuvn tietyssä järjestyksessä, knntt yrittää viht integrointijärjestystä. Yllä olevist esimerkeistä nähtiin, että tsointegrlin lskeminen on yleensä helppo, jos integrointilue on suorkulmio. Ikävä kyllä integrointi muuttuu huomttvsti vikemmksi heti, kun tämä integrointilue ei enää ole yksinkertinen suorkulmio. ll kppleess 8 käsittelemme tpust, joss integrointi yli monimutkisempien lueiden onnistuu vlitsemll sopiv integrointijärjestys. Kppleess 9 ts käsitellään tpus, joss integrointi onnistuu muuttujnvihdoksell. 8 Tsointegrlin lskeminen monimutkisemmss joukoss Tsointegrlin f (x, y)dxdy lskeminen suorkulmioss [, b] [c, d] ei ole sen vikemp kuin yhden muuttujn funktion integroiminen. Tässä tpuksess tämä yhden muuttujn integrointi pitää vin suo- 54

13 ritt kksi kert peräkkäin: ensin x:n j sen jälkeen y:n suhteen ti toisin päin. Jtkoss käsitellään vikemp tpust, joss ei ole suorkulmio. Käsitellään luksi esimerkkitpus, joss integrointi tphtuu kolmioss, jonk kärkipisteinä ovt (, ), (, ) j (, ). Tämä integrointilue näyttää nyt seurvlt: Huomtn luksi, että kolmion kärjet (, ) j (, ) yhdistää viiv, jok on os suor y x. Tämän jälkeen huomtn, että tämä kolmio voidn esittää lueen, joss x on välillä [, ] j y on välillä y x. Tämä huomio mhdollist integroinnin tässä kolmioss. Esimerkki 8.. Integroidn tässä kolmioss funktio f (x, y) xy. Kuten yllä minittiin, tämä kolmio voidn esittää lueen, joss x j y x. Täten hluttu integrli sdn lskemll seurv integrli: x xydydx. Huom, että tässä sisäintegrlin on y:n suhteen integroitv luseke x xydy. Tämä johtuu siitä, että y:n rjt ovt monimutkiset eli si- 55

14 sältävät x:n termejä. Nyt tämän integrointi sujuu suorviivisesti: x ( x ) xydydx xydy dx ( ) x x y dx ( x ( x ) (x x )dx ( x x4 4 ) ( 4 ) 8. ) dx Yllä olevss esimerkissä siis integrointilue esitettiin muodoss, joss x oli khden vkion välissä eli x b smll kun y oli khden x:ää sisältävän lusekkeen välissä eli g (x) y g (x). Yllä olevss esimerkissä siis g (x) j g (x) x. Usein siis integrointilue voidn esittää nimenomn tällisess muodoss eli lueen x b g (x) y g (x). Tällisen lueen yli integrointi suoritetn lskemll integrli b g (x) g (x) f (x, y)dydx. Esimerkki 8.. Tutkitn nyt ll olevss kuvss näkyvää integrointiluett, joss x on välillä [, ] j y on välillä x y x: 56

15 Integroidn tällä lueell funktio f (xy) xy. Tämän integrointi sujuu yllä esitellyllä tvll: b g (x) g (x) (xy)dydx x x x x (xy)dydx (xy )dx x (x x4 )dx (x x 5 )dx ( x ) 6 x6 ( ) 6 Näissä khdess esimerkissä siis x oli yksinkertisell välillä [, b] j y oli x:n funktioiden välillä. Pltn nyt kolmioon, joss x j y x. Huomtn, että täsmälleen smn kolmion voi esittää myös lueen y j x y. Eli tässä y on tietyllä yksinkertisell välillä [, b] j x on khden y:n funktion välissä eli g (y) x g (y). Nyt 57

16 tällä välillä voi integroid esimerkiksi funktion f (x, y) x: y y xdxdy x dy ( y) dy ( y + y )dy (y y + y ) ( + ) 6. Monet lueet voi siis esittää khdess muodoss: joko muodoss joss x on välillä [, b] j y välillä [g (x), g (x)] ti muodoss y on välillä [c, d] j y välillä [g (x), g 4 (x)]. Näiden lueiden muodostminen on usein vike ellei niitä piirrä pperille. Jos tehtävän integroimislue voidn esittää khdess eri muodoss (kuten yllä), niin usein integrointi on helpomp toisell näistä lueist. Täten jos integrointi ei onnistu tietyllä lueell helposti, knntt miettiä josko tämän lueen voisi esittää eri muodoss. 9 Muuttujien vihto: siirtyminen npkoordintteihin Yhden muuttujn funktioiden tpuksess integrlit rtkesivt usein muuttujnvihdoll, joss integrliin b f (x)dx tehtiin korvus x g(t). Tämän jälkeen korvttiin vielä termi dx termillä g (t)dt j lskettiin integrli g (b) f (g(t))g (t)dt, g () joss integroinnit rjt on myös muutettu, kuten in muuttuj vihdettess on muistettv tehdä. Yhden muuttujn tpuksess muuttujn vihdoss iden on siis litt x:n piklle t:tä sisältävä luseke g(t), jonk vull integrli on usein 58

17 helppo lske. Yhden muuttujn muuttujnvihdos sisältää siis kolme elementtiä:. Jokinen integroitvn lusekkeen termi x korvtn termillä g(t) eli jollkin t:n lusekkeell.. Termi dx korvtn termillä g (t)dt.. Integroinnin rjt ovt lun perin x j x b. Nyt kun tehdään sijoitus x g(t), niin myös nämä rjt muuttuvt. Kun lkuperäinen rj on x, niin sijoituksest x g(t) sdn g(t) t g (). Smoin rjst x b sdn rj t g (b). Täten integrli sdn muotoon b f (x)dx g (b) g () f (g(t))g (t)dt. Tsointegrlin muuttujnvihdoksess on myös mukn nämä kolme elementtiä. Trkstelln nyt tsointegrli (xy)dxdy. Ensimmäinen muuttujnvihdoksen elementti on sijoitus. Tässä siis x j y korvtn joillkin muill termeillä. Nyt x korvtn termillä jot merkitään x(u, v) eli x korvtn khden muuttujn funktioll x(u, v). Smoin y korvtn khden muuttujn funktioll y(u, v). Otetn esimerkiksi muunnos, joss x(u, v) u + v j y(u, v) u v Tällöin integroitv luseke xy sdn muotoon (u + v)(u v) u v. Toinen muuttujnvihdoksen elementti on, että termi dxdy korvtn jollkin toisell termillä. Tämä termi on monimutkisempi kuin yhden muuttujn tpuksess, kosk sijoitetut funktiot ovt nyt khden muuttujn funktioit. Trkstelln yleistä sijoitust x x(u, v) y y(u, v). Nyt termi dxdy korvtn termillä J dudv. Tässä termi J on Jkobin determinntti, jok on yhtä kuin J x(u, v) u y(u, v) v x(u, v) v y(u, v). u 59

18 Jos esimerkiksi x(u, v) u + v y(u, v) u v, niin x(u,v) u, x(u,v) v, y(u,v) u j y(u,v) v. Tällöin Jkobin determinntti on ( ) (). Täten tämän muuttujnvihdoksen tpuksess termi dxdy korvtn termillä dudv eli termillä dudv. Esimerkki 9.. Trkstelln edelleen muuttujnvihdost x(u, v) u + v, y(u, v) u v. Lsketn integrli (x + y)dxdy tällä muuttujnvihdoksell. Olkoon integrointilue suorkulmio [, ] [, ]. Ensin pitää ktso miten tämä lue muuntuu tässä muuttujnvihdoksess. Rtkistn ensin yhtälöt x u + v j y u v muuttujien u j v suhteen. Tästä sdn rtkistu u x + y v x y. Täten, kun x on välillä x j y on välillä y, niin yllä olevist yhtälöistä nähdään, että u on välillä ( /, /) j v on välillä [ /, /]. 6

19 Lisäksi pitää muist sijoitt termin dxdy piklle termi J dudv dudv: / / (x + y)dxdy ((u + v) + (u v))dudv / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (u)dudv (4u)dudv (u )dv (9/ /)dv (4)dv (4v)dv ( ) 5. Tässä siis tehtiin kohtlisen yksinkertinen muuttujnvihto: siinä siirryttiin muuttujist x j y muuttujiin u j v. Usein tehdään kuitenkin kunninhimoisempi muuttujnvihtoj. Tsointegrlin tpuksess tyypillisin lienee siirtyminen npkoordintteihin. Tässä iden on viht muuttujt x j y muuttujiin r j θ tekemällä muuttujnvihto x(r, θ) r cos θ y(r, θ) r sin θ. Tämä muuttujnvihto voi vikutt nopesti ktsottun hiemn eksoottiselt, mutt tässä on iden se että kun summtn näiden neliöt eli x + y, niin sdn (x(r, θ)) + (y(r, θ)) r cos θ + r sin θ r (cos θ + sin θ) r kosk cos θ + sin θ. Täten jos integroitvss lusekkeess on termi x + y, niin npkoordinttimuunnoksell x(r, θ) r cos θ y(r, θ) r sin θ 6

20 tämä termi x + y voidn korvt termillä r. Tämä mhdollist monien integrlien lskemisen. Npkoordinttimuunnoksess termi dxdy pitää luonnollisesti korvt termillä J drdθ. Lsketn siis nyt Jkobin determinntti: x(r, θ) y(r, θ) x(r, θ) y(r, θ) J r θ θ r cos θ(r cos θ) ( r sin θ)(sin θ) r cos θ + r sin θ r(cos θ + sin θ) r. Täten Jkobin determinntti on npkoordinttimuunnoksen tpuksess r. Esimerkki 9.. Integroi x + y dxdy, kun on yksikköympyrä eli {(x, y) : x + y }. Rtkisu. Siirrytään npkoordintteihin, mikä tässä tpuksess onnistuu sijoituksell x + y r. Tällöin integroitv luseke x + y sdn muotoon r r. Nyt integroinnin rjt pitää myös muutt. Kosk lueen on x + y, niin r. Täten litetn r väille [, ]. Vstvsti npkoordinttimuunnoksess θ tulkitn kulmn. Kosk integrointilueen on koko yksikköympyrä, nnetn tämän kulmn θ kulke koko mtkns eli 6

21 θ π. Täten integrointi suoritetn seurvsti: π x + y dxdy π π π π π. (r)rdrdθ r drdθ r dθ θ dθ Esimerkki 9.. Olkoon joukko {(x, y) : x + y } eli yksikköympyrä. Lsketn nyt integrli e x +y dxdy. Tätä on vike integroid ilmn muuttujnvihto. Kosk integroitv luseke sisältää termin x + y, on npkoordinttimuunnos luonnollinen tp edetä. Eli tehdään korvus x r cos θ, y r sin θ, jolloin termi x + y voidn korvt termillä r. Jkobin determinntti J lskettiinkin jo yllä: se on r. Lopuksi muunnetn vielä integrointirjt: kun x + y niin luonnollisesti r. Täten sdn rj r. 6

22 Vstvsti θ π. Täten integrointi sujuu seurvsti: e x +y dxdy π e r J drdθ ) e r rdr dθ ( ) dθ π ( π π π er (e ) dθ (e ) θ (e ) π π (e ) Näissä esimerkeissä integrointilue oli siis koko yksikköympyrä. Käsitellään seurvksi tpus, joss integroitvn on khden ympyrän välissä olev lue. Esimerkki 9.4. Integroi x + y dxdy, kun on lue {(x, y) : x + y 4}. Rtkisu. Nyt integrointilue on x + y 4 eli r 4 eli 64

23 r. Lisäksi kulmn θ nnetn jälleen oll välillä [, π]: π x + y dxdy r rdrdθ π π π π π (r)rdrdθ r drdθ r dθ ( 8 )dθ ( 7 )θ 4π. Toinen tp, joll integroinnin rjt voivt erot iemmst, on että meillä ei ole integrointilueen enää täysi ympyrä, vn inostn tietty ympyrän os. Tällöin kulm θ ei enää mene täyttä kierrost [, π], vn inostn osn tästä. Esimerkki 9.5. Integroi x + y dxdy, kun on nyt lue {(x, y) : x + y 9, y }. Rtkisu. Nyt integrointilueell pätee x + y 9 eli r. Nyt on kuitenkin voimss lisärjoitus y. Tällöin integrointilueen on puoliympyrä eli kuvss näkyvä lue: 65

24 Tällöin kulm θ kulkee puoliympyrän verrn, jolloin θ π. Lsketn nyt tämä integrli näillä rjoill: π x + y dxdy π π π π 9θ 9π. (r)rdrdθ r drdθ r dθ (9)dθ vruusintegrli iemmin lskimme yksiulotteisi integrlej b f (x)dx, joss integrointilue on x-kselin väli [, b]. Lisäksi lskimme kksiulotteisi integrlej g(x, y)dxdy, joss integrointilue puolestn löytyi tsost eli R. Nyt siirrymme kolmnteen ulottuvuuteen j lskemme integrlej, joiss integrointilue on kolmiulotteisess vruudess eli R :ss. Tällist vruusintegrli merkitään f (x, y, z)dxdydz. Tässä siis kolmen muuttujn funktio f (x, y, z) integroidn kikkien kolmen muuttujns x:n, y:n j z:n suhteen. Integrointilueen muoto rtkisee jälleen, kuink helppo integrointi käytännössä on. Helppo tämä integrointi on silloin, jos on suorkulminen särmiö eli [, b] [c, d] [p, q]. Eli toisin snottun on tässä joukko, joss x [, b], y [c, d] j z [p, q] eli kikki muuttujt rjoitetn vkioväleille. Tällöin integrointi sujuu suorviivisesti integroimll funktio jokisen muuttujns suhteen 66

25 vuoron perään: f (x, y, z)dxdydz q d b p c f (x, y, z)dxdydz. Esimerkki.. Integroidn funktio f (x, y, z) xyz joukoss [, ] [, 4] [, ]. Tässä siis integroinnin rjt ovt nyt x [, ], y [, 4] j z [, ]. Käytetään integrointiin yllä olev kv: f (x, y, z)dxdydz q d b p c 4 f (x, y, z)dxdydz (xyz)dxdydz. Nyt tämän integrlin voi lske missä järjestyksessä hlu. Integroidn tämä ll ensin x, sitten y:n j lopult z:n suhteen: 4 (xyz)dxdydz (x yz)dydz yz (x )dydz yz()dydz 4 (y z)dz 4 z y dz z(7)dz z ( ) Tämä lsku siis on kohtlisen pitkä, mutt suorviivinen. 67

26 Esimerkki.. Edellisessä esimerkissä integrli lskettiin integroimll ensin x:n, sitten y:n j lopuksi z:n suhteen. Tämän integroinnin voi suoritt tällisen suorkulmisen särmiön tpuksess myös muuss järjestyksessä. Tulos on sm. Lsketn tämä integrli ll integroimll ensin y:n, sitten z:n j lopuksi x:n suhteen: 4 (xyz)dxdydz xdx 4 8 x dx. (xyz)dydzdx (xy z)dzdx 4 xz (y )dzdx xz(7)dzdx xz dx Tulos on siis sm. Huom, että termien dx, dy j dz järjestys kertoo integrointijärjestyksen. Täten esimerkiksi dzdxdy trkoitt, että integrointi suoritetn ensin z:n, sitten x:n j lopuksi y:n suhteen. vruusintegrli yli monimutkisempien lueiden Yllä todettiin, että vruusintegrlien lskeminen suorkulmisiss särmiöissä on kohtlisen suorviivist. Integrointilueen on kuitenkin usein jokin vruuden R monimutkisempi osjoukko. Integrointirjojen muodostminen on tällöin usein vike. Trkstelln nyt integrointi yleisessä vruuden joukoss R. H- 68

27 lumme siis lske integrlin f (x, y, z)dxdydz. Tämän lskeminen onnistuu smll tekniikll kuin ikisemmin esimerkiksi silloin, kun pystymme esittämään lueen seurvnlisen joukkon: x b, φ (x) y φ (x), v (x, y) z b v (x, y). Tässä siis x on vkiovälillä [, b]. Muuttujn y puolestn sllitn olevn khden x:n funktion välissä. Muuttujn z ts sllitn oll funktioiden v (x, y) j v (x, y) välissä. Tässä on siis kolme ehto:. Muuttujn x rjt eivät s riippu muist muuttujist: x on vkiovälillä.. Muuttujn y rjt svt riippu x:stä: y on funktioiden φ (x) j φ (x) välissä.. Muuttujn z rjt svt riippu x:stä j y:stä. Muuttuj z on funktioiden v (x, y) j v (x, y) välissä. Jos lue pystytään esittämään tässä muodoss, niin hluttu integrli sdn lskettu seurvll kvll: f (x, y, z)dxdydz b φ (x) v (x,y) φ (x) v (x,y) f (x, y, x)dzdydx. Eli: Integroidn funktio f (x, y, z) ensin z suhteen integrointirjoill v (x, y) j v (x, y). Seurvksi integroidn syntynyt luseke y:n suhteen integrointirjoill φ (x) j φ (x). Lopuksi integroidn tästä syntynyt luseke x:n suhteen välillä [, b]. Esimerkki.. Lsketn vruusintegrli ()dxdydz, kun on joukko jot rj tso x + y + z j koordinttitsot x, y j z. Nyt tämä lue pitäisi kirjoitt yllä esitellyssä muodoss. Rtkistn luksi yhtälö x + y + z muuttujn z suhteen: z ( x y). 69

28 Tämä on nyt z:n ylärj. Sen lrj sdn ehdost z, joten z ( x y). Muuttujn y rjt puolestn sdn rtkisemll luseke x + y + z muuttujn y suhteen: x + y + z y x z. Tässä y on suurimmilln, kun z on pienimmillään: kun z. Yllä olevst yhtälöstä nähdään että tällöin y x. Tämä on y:n ylärj. Muuttujn y lrj on. Täten y on välillä [, x]. Muuttujn x rjt nähdään myös ktsomll yhtälöä x + y + z. Tästä nähdään, että x on integrointilueell suurimmilln silloin kun y j z ovt minimissään, eli silloin kun y j z. Tällöin x 6. Täten x 6. Nyt kun rjt on rtkistu, tämän funktion integrointi voidn suoritt suorviivisesti: b ()dxdydz φ (x) v (x,y) ()dzdydx φ (x) v (x,y) x ( x y) ()dzdydx Tässä oli integroinnin vike osuus: kun rjt on muodostettu, etenee integrointi suorviivisesti: ensin integroidn funktio f (x, y, x) muut- 7

29 tujn z suhteen, sitten y:n suhteen j lopuksi x:n suhteen: x ( x y) x x ( x y) ()dzdydx (z)dydx ( x y) dydx x (y xy ) y dydx x (4y xy 6 ) y dx (4 ( x) x ( x) 6 ) ( x) dx ( ) x 8x + 4 dx ( ) 9 x 4x + 4x Yllä olevss esimerkissä siis meillä oli neljä tso: x, y, z j x + y + z 4. Nämä tsot rjoittivt integrointilueen. Tehtävän hste oli löytää sopivt integroinnin rjt. Yhtälöistä z j x + y + z 4 oli kohtlisen suorviivist rtkist z:n rjt. Muuttujn y rjt puolestn stiin rtkistu vlitsemll z yhtälössä x + y + z 4. Muuttujn vihto: sylinterikoordintit Myös kolmen muuttujn funktiot f (x, y, z) integroitess voidn tehdä muuttujnvihdos. Nyt muuttujt x, y j z korvtn lusekkeill, jotk sisältävät muuttuji u, v j w: x x(u, v, w) y y(u, v, w) z z(u, v, w). 7

30 Nyt siis x korvtn funktioll x(u, v, w), y korvtn funktioll y(u, v, w) j z korvtn funktioll z(u, v, w). Esimerkki tällisest muuttujnvihdoksest on x u + v y u v z z, joss siis z pysyy omn itsenään, mutt muuttujt x j y muuntuvt. Tämä on kuitenkin hyvin yksinkertinen muuttujnvihdos. Käytännössä kksi käytetyintä muuttujnvihdost vruusintegrleille ovt siirtyminen sylinterikoordintteihin j siirtyminen pllokoordintteihin. Seurvss oletmme, että determinntin lskukv on tuttu. Jos näin ei ole, knntt hyväksyä tulokset sellisinn. Sylinterikoordinttimuunnos on melkein sm kuin iemmin käsitelty siirtyminen npkoordintteihin. Se on seurv muunnos: x r cos θ y r sin θ z z. Tässä siis muuttujt x j y korvtn täsmälleen smoill muuttujill kuin npkoordinttimuunnoksen tpuksess. Muuttuj z ei tässä muunnoksess muunnu. Tämän muunnoksen Jkobin determinntti on sm kuin npkoordinttimuunnoksell: (x, y, z) (r, θ, z) x x x r θ z y y y r θ z z z z r θ z cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ (r cos θ) ( r sin θ(sin θ)) ( ) r cos θ + sin θ r. 7

31 Täten sylinterikoordintteihin siirryttäessä integrli muuttuu seurvsti: f (x, y, z)dxdydz D f (r cos θ, r sin θ, z) rdrdθdz, joss lkuperäinen integrointilue muuntuu sylinterikoordintteihin siirryttäessä lueeksi D. Sylinterikoordintteihin siirryttäessä on sm etu kuin npkoordintteihin siirryttäessä: termi x + y voidn korvt yksinkertisell termillä r. Tätä muunnost knntt käyttää muun muss silloin, kun integrointilue on muoto x + y j c z d, eli jos integrointilue on sylinterin muotoinen. Esimerkki.. Lsketn integrli (xy) dxdydz, joss lue on sylinteri x + y j z. Kosk x + y r, niin muuttujn r rjt ovt r. Puolestn muuttuj θ on tuttuun tpn välillä [, π], kosk integrointilueen on koko sylinteri eikä esimerkiksi sylinterinpuoliks. Kosk muuttuj z ei muunnu sylinterimuunnoksess mihinkään, sen rjt eivät muutu eli z. Täten integrointi sujuu tällä kert seurvsti: (xy) dxdydz 4 4. π π π π π (r cos θ) (r sin θ) rdrdθdz ( ) r cos θ sin θ drdθdz ( ) 4 r4 cos θ sin θ dθdz (cos θ sin θ) dθdz (sin θ) dz Tässä integrointi suoritettiin siis koko sylinterissä, kosk kulm θ oli täydellä välillään [, π]. Huom lisäksi, että tulos kertoo että funktio 7

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Pinta-alan laskeminen

Pinta-alan laskeminen Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

2 Epäoleellinen integraali

2 Epäoleellinen integraali ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot