Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13"

Transkriptio

1 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes ti vrus:hes pikn funk:on ti korkeus krdkoordinmen funk:on Esim: funk:o f(,) kertoo mus:en pllojen :heden kentällä. Pc- Mn liikuu kärää pitkin pisteestä pisteeseen j sö plloj. Kuink mont pllo Pc- Mn sö? Vstus on (suunnilleen) viivintegrli f(,) ds (ds on ääredömän pieni pl kärää) ds Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Tämä tulkint ud hhmodmn, mistä on kse, mud ei vielä vrsinises: ut lskemn integrli. Kuvst nähdään kuitenkin suorn ksi keskeinen si: Viivintegrlin rvo (Pc- Mnin sömien pllojen lukumäärä) riippuu leisessä tpuksess lku- j loppupisteiden lisäksi mös integroin:rei:stä. f(,) ds f(,) ds "Perinteisempi" tulkint: D Funk:o f():n kuvj on kärä. f():n rvo :n eri pisteissä kuvtn plväinä oheisess kuvss. Integrlin f()d tulkint: kärän lle jäävä pint- l. Voidn jtell edä lue jetn (ääredömän kpeisiin) siivuihin, joiden pint- l lsketn hteen. f()d D Funk:o f(,):n rvo pisteessä, kuvtn mös plvään korkeuten (vsen kuv). Funk:on kuvj on siis pint. Kärä kulkee, tsoss. Jokisess :n pisteessä f(,):llä on jokin rvo nämäkin voidn piirtää plväinä/siivuin siivuin kuten oikenpuoleisess kuvss. Viivintegrli kärällä summ siivujen pint- lt ("idn pint- ln") ivn kuten "tvllinen" integroin:kin Tvllinen integrli on ikään kuin viivintegrli kärällä =0. f(,) ds

2 Viivintegrlin lskeminen () Viivintegrlin lskeminen edelldää leensä integrlin muuntmist "tvllisten" integrlien mutoon. Tähän on mont vihtoehto. Oppikirjss esitellään leinen (joskin kätännössä usein töläs) kikk, joss ds muunnetn Pthgorn luseen vull :n j :n funk:oksi (huom: merkinnän knss tulee oll vrovinen; (d) /(d) ei trkoit toist deriv:): ds = d + d ds = d + d = d (+ (d) (d) ) = (+ (d) ) d= (+ (d (d) d ) ) d Viivintegrlin lskeminen () ds = (+ ( d d ) ) d Mikäli kärä on nnedu muodoss = (), voidn tästä lske d/d, j integrlist tulee tvllinen integrli :n suhteen. Esim: integroi f(,)= kärää = / pitkin pisteestä (,)=(0,0) pisteseen (,)=(,0.5). Rtkisu: = 3 f(,) = = ; d d = = 3 f(,)ds = + ( d d ) d = =0 = =0 3 + d Viivintegrlin lskeminen () Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () = =0 3 + d Tämä voidn lske muudujnvihdoll u = + ; tällöin du = d d = du/, j sdn = 3 + d = =0 = 4 = 4 u= u u= u= u= 3 (u du = 4 -u u= 3 u= u= u du (u -) du u= 5 u u )du = u (+ ) + = 5 Jos kärää ei void ilmist helpos: muodoss =(), joudutn usein kädämään kolmd muuduj t siten, edä kärän määridelee =g(t), =h(t), t. Esim jos kärä on suor viiv pisteestä (,) pisteeseen (4,), niin voidn kirjoid = t, = t, j integroid t:n suhteen rvost t= rvoon t=. ds è dt muunnos nädää tältä: ds = d + d = dt ( d dt + d dt ) = ( d dt ) + ( d dt ) dt d/dt j d/dt voidn lske, kosk =g(t) j =h(t) (,) (4,)

3 Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds f(,) Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds f(,) Viivintegrlin rvo on tämä pint- l Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds Rtkisu: = t, = t d d =, dt dt = f(,) = = t t = t t= f(,) ds = t t= t= ( d dt ) + ( d dt ) dt = t + dt = 5 t dt t= t= t= t 3 = 5 3 = 5( ) =

4 Viivintegrlin lskeminen (3) Usein (etenkin kemillisiss sovelluksiss) viivintegrli nnetn "ds - muodon sijn muodoss, joss esiint jo vlmiiksi d j d: f(,) ds = [ F(,)d + G(,)d] $ R RT Esim: ΔV = & dt % p p dp ' ) ( Tämän muodon grfinen hhmodminen on joskus vikemp, mud lskeminen usein helpomp: viivintegrli sdn usein helpos: muunnedu tvllisten integrlien (:n ti :n suhteen) summksi. Viivintegroin:: esimerkki Esim. lske integrli [ d + d] kun reim on sellinen edä = j : 0. Rtkisu: d d( ) = = d = d d d [ d + d] = ( )d + ( )( d) =0 =0 = [ ] = $ %( + + )d& ' = ( )d = = =0 = =0 = ( 3 3 )=0 (3 3 ) = 3 (0,) (,0) Esim. lske integrli [ d + d] kun reim on (,0) (,) (0,) Nt voidn lske integrli khden osn summn: (0,) (,) lku:lnne loppu:lnne Rtkisu: Käsitellään rei:n ost erikseen. Osss pätee: (0,) =, jolloin d = 0. : 0 Osss pätee: =, jolloin d = 0 : 0 (,) (,0) [ d + d] = =0 = ( 0 + d)+ ( d + 0) =0 = = = d + = =0 =0 = = =0 =0 + = d = ( ) = 3 (,0) ReiMosll : =, d = 0 : 0 ReiMosll : =, d = 0 : 0 4

5 Viivintegrli j eksk differenli Viivintegrli j eksk differenli Otetn viivintegrli muoto f(,) ds = [ F(,)d + G(,)d] Jos F(,)d + G(,)d on eksk: differen:li, viivintegrlin rvo ei riipu kärän muodost, vn inostn sen lku- j loppupisteistä. Kutsutn lku- j loppupisteitä vikk kirjimill j, ts = (, ), = (, ). Perustelu: jos F(,)d + G(,)d on eksk:, on olemss funk:o z(,) jonk kokonisdifferen:li dz = F(,)d + G(,)d jolloin [ F(,)d + G(,)d] = dz = z() z() Tällöin [ F(,)d + G(,)d] = [ F(,)d + G(,)d] Mille thns kärille, joill on smt lku- j loppupisteet. Eksk differenli j sulje<u viivintegrli Jos kärällä on sm lku- j loppupiste, nähdään he: edä eksk:n differen:lin viivintegrli tämän kärän li (suljedu integrli) on noll: [ F(,)d + G(,)d] = dz = z() z() 0 SuljeDu integrli merkitään usein integrlimerkissä olevll plloll: dz Epäeksk:n differen:lin suljedu viivintegrli ei väldämädä ole noll. Grfinen tulkint Olkoon z = z(,) mston korkeus pikn, funk:on Esim. on sijin: Pohjois Etelä- kselill j sijin: Itä Länsi- kselill kuten krtoiss leensä. z:n kokonisdifferen:li: dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d OsiDisderivtt kertovt mston jrkkden Itä Länsi j Pohjois Etelä- suunniss kusskin mston pisteessä. Kokonisdifferen:lin luseke siis kertoo, kuink pljon korkeus z muuduu, kun kuljetn pieni mtk d Itä Länsi- suunnss j pieni mtk d Pohjois Etelä- suunnss. 5

6 Grfinen tulkint dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d d d Grfinen tulkint Korkeuden muutos Δz jollkin pidemmällä mtkll pisteestä pisteeseen kärää pitkin sdn integroimll dz: Δz = dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d = z() z() Tulos riippuu inostn lku- j loppupisteistä, eikä vlitust rei:stä (kuten krtstkin voi päätellä). Huom: Δz on siis korkeuden "nedomuutos" (lähtö- j päätepisteen korkeuksien erotus), kiipeilijät (ms) lskevt usein "rudomuutost" eli kuink mont metriä päivässä on noustu tämä sd :ets: riippu rei:stä mikäli välillä kävellään lspäin j siden ts lös. Korkeuden muutos ei riipu reistä. Korkeuden differenli on eksk Korkeuden muutos Δz ei siis riipu vlitust rei:stä, kosk korkeuden differenli dz on eksk. Voidn helpos: kuvitell mös moni muit pikst riippuvi differen:limuotoisi lusekkeit muoto F(,)d + G(,)d, jotk eivät ole eksktej. Esimerkiksi epäeksk: differen:li F(,)d + G(,)d voisi oll todennäköiss, edä pienellä mtkll d, d pikst (,) tulee vstn lppitäh: (kukk). Epäeksk:en differen:lien viivintegrlit (esimerkissä siis lödedjen lppitäh:en lukumäärä, kun p:koidn joku vuoristoreim ) riippuvt rei:stä, ivn kuten rkijärjelläkin voi päätellä. 6

7 Lötääkö Asteri lppitähden? Lötääkö Asteri kukn? F(,)d + G(,)d =00% F(,)d + G(,)d = 0% Fsiklinen esimerkki Aiemmin trkstel:in differen:lej dv = RT p dp + R p dt j dw = pdv = RT dp + RdT p Molemmt kuvvt ksu, jonk pined j lämpö:l muutetn josskin prosessiss. dv on :lvuuden muutoksen differen:li, j dw ksun tekemän tön differen:li. Tilvuuden muutos ΔV ti ksun tekemä tö ΔW sdn odmll dv:n j dw:n viivintegrlit p,t vruudess kuljetun "polun" li. Aiemmin näh:in edä dv on eksk: mud dw ei. Mitä tämä trkoid? Ideliksu jonk lämpöl j pine< nostetn. p T Polku : ensin lämmitetään, siden nostetn pined. Polku : ensin nostetn pine, siden lämmitetään. Tilvuuden muutos ei riipu polust! ΔV = dv = ΔV = dv Teht tö riippuu polust! ΔW = dw ΔW = dw 7

8 p Sulje<u kierto 3 T Kuljetn nt polku 3 pitkin, jok joht tkisin lkupisteeseensä. Kosk dv on eksk:, voidn päätellä suorn, edä :lvuus ei muutu prosessiss. Kosk dw ei ole eksk:, ksun tekemä tö prosessiss ei (väldämädä) ole noll. p Fsiklinen tulkint T Se, edä :lvuuden differen:li dv on eksk: trkoid edä on olemss funk:o V(p,T) jok kertoo V:n rvon jokisess p,t pisteessä. Se, edä tön differen:li dw on epäeksk: kertoo edä vstv funk:ot W(p,t) ei (väldämädä) ole olemss. On mielekästä puhu ksun :lvuudest :etssä pineess j lämpö:lst, mud ei ole mielekästä sno esimerkiksi edä "ksun tö tässä lämpö:lss on 3 joule". Tön suhteen voidn puhu vin muutoksist (ΔW, dw). Fsiikss j kemiss viivintegrlill kuvtn jonkin suureen (esim :lvuus, tö, vrus...) muutost, kun kht (ti usemp) ssteemin muuduj muutetn jotin polku pitkin. Jos ko. suureen differen:li on eksk:, polull ei ole merkitstä, vn inostn lku- j loppupisteillä. Jos ko. suureen differen:li ei ole eksk:, polull ts on merkitstä. Termodnmiikss epäeksk:n differen:lin d- kirjin merkitään usein poikidisell viivll (esim dw) jod muistedisiin premmin edä integroin:reim vikud tulokseen. Esimerkiksi ssteemin tekemä tö ei siis väldämädä ole noll, vikk se plisikin tkisin lkupisteeseensä. Arkielämän sovellus: juoksulenkki Kumpulst Turkuun j tkisin kulud kllä kloreit, vikk onkin "suljedu" reim... Ekskuden hödntäminen integroitess Aiemmin näh:in tpoj, millä viivintegrlej voi lske "hnkls:". Mikäli integroitvn on eksk: differen:li, voidn lskuj usein helpod kädämällä hväksi sitä, edä tulos ei riipu rei:stä. è Vlitn siis lskemisen knnlt mhdollisimmn helppo reim! Tpillises: helpoin reim on sellinen, missä pidetään in jompikumpi muuduj kerrlln vkion. [ Fd + Gd] Fd + Gd ekskti ' d=0 d=0 8

9 Esimerkki Lsketn integrli [(4 + )d + ( + 6)d], missä kärä on kuvss näkvä monimutkinen funk:o, jok kulkee pisteestä 0,0 pisteeseen,. Rtkisu: Trkistetn, onko integroitv differen:li eksk:. [(4 + )d + ( + 6)d] on (4 + ) ( + 6) ( ) =, ( ) = 0,0, Voidn siis unoht hnkln näköinen käpprä, j vlit mikä thns reim pisteiden 0,0 j, välillä. Vlitn kuvss näkvä reim. Sdn siis: [(4 + )d + ( + 6)d] + (Kärällä : = 0,d = 0. Kärällä : =,d = 0) = = (4 + 0) d + ( + 6) d =0 = =0 = + ( + 3 ) 0 0 = (8 0) + ( ) = 4 0,0, 9

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Pinta-alan laskeminen

Pinta-alan laskeminen Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö j mgnetismi (5 op) Henrik Wllén Kevät 2018 Tämä luentomterili on suurelt osin Smi Kujln j Jri J. Hännisen tuottm Luentoviikko 3 Sähköpotentili (YF 23) Oppimistvoitteet Sähköinen potentilienergi

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm

Kiertomatriisi Erikoistyö. Petri Rönnholm Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus

Rekursioyhtälön ratkaisutapa #1: iteratiivinen korvaus NodeCount(v /* lskee solmun v lipuun solmujen lukumäärän */ if solmu v on null return 0 else return + NodeCount(v.left + NodeCount(v.right Rekursio: lgoritmi kutsuu itseään Usein hjot j hllitse -perite:

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

2 Epäoleellinen integraali

2 Epäoleellinen integraali ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2. Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot