2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ

Transkriptio

1 2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ 2.1 KAPPALEEN LIIKE LAGRANGEN JA EULERIN ESITYSTAVAT SIIRTYMÄ JÄNNITYS VENYMÄ JA VENYMÄNOPEUS Viikko 45/1

2 VIIKON 45 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 45 jälkeen kurssin osallistuja osaa ratkaista viikon luentotehtävät, kotitehtävät ja esimerkkitehtävät aiheista ς Lagrangen ja Eulerin esitystavat. Suureen muutosnopeuden määrittäminen eri koordinaatistoissa ja ainederivaatta Lagrangen ja Eulerin esityksissä. ς Traktion, jännityksen, suunnatun pinta-alkion ja pinnan ulkoisen normaalin väliset relaatiot sekä suureiden komponentti ja tensoriesitykset. Yksinkertaiseen rakenteeseen vaikuttavat jännitykset staattisesti määrätyssä tilanteessa. Pääjännitysten ja niiden suuntien määrittäminen. ς Kiinteän aineen kappalealkion siirtymän jakaminen translaatioon, rotaatioon ja muodonmuutokseen. Nestealkion nopeuden jakaminen translaationopeuteen, kulmanopeuteen ja muodonmuutosnopeuteen. Viikko 45/2

3 PERUSLAIT Mekaniikka soveltaa peruslakeja eri muodoissaan sekä muuta kokemusperäistä tietoa kappaleeseen vaikuttavien voimien ja kappaleen liikkeen tutkimiseen: Massan säilymisen periaate Kappaleen massa on vakio (kappaleen määritelmä) Liikemäärän taseen periaate Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien summa. Liikemäärän momentin taseen periaate Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttisumma. Energian taseen periaate Kappaleen sisäenergian ja liike-energian muutosnopeuksien summa on sama kuin kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien tehon ja lisätyn lämpötehon summa. Entropian kasvun periaate Viikko 45/3

4 2.1 KAPPALEEN LIIKE Kappaleella tarkoitetaan koko ajan samoista partikkeleista koostuvaa joukkoa. Massan suhteen avoimet tilanteet palautetaan aina koskemaan massalta suljettua systeemiä. Partikkelin nopeudella ja kiihtyvyydella tarkoitetaan suureita inertiaalikoordinaatiston suhteen, joka on levossa tai liikkuu korkeintaan vakionopeudella esim. aurinkokunnan massakeskipisteen suhteen. r O r v i ϖ Viikko 45/4

5 PARTIKKELIJOUKON LIIKE Partikkelijoukon tietyn partikkelin identifiointiin käytetään numerointia. Partikkelijoukon liikkeen kuvaus koostuu sen kunkin partikkelin i Ο liikkeen kuvauksesta. Asema T T i i i () t r < j y < j yi() t, k z k zi () t Ο Nopeus v < dr, dt y r i Kiihtyvyys a dv < < dt 2 d r. 2 dt z Tietyn partikkelin rata, nopeus jne. saadaan pitämällä indeksiä vakiona. Viikko 45/5

6 KONTINUUMIN LIIKE Kontinuumin partikkelin identifiointiin käytetään kappaleeseen sidottua kappalekoordinaatistoa, jonka kappalekoordinaatit ( XYZ,, ) identifioivat tietyn partikkelin kaikilla ajan 3 hetkillä. Kontinuumin liikkeen kuvaus koostuu sen partikkelien ( XYZ Κ,, ) liikkeiden kuvauksista: Asema T T i i ( XYZt,,,) r< j y < j y( XYZt,,,), k z k z( XYZt,,,) Nopeus r v <, t Kiihtyvyys 2 v r a < <. t 2 t z y r ( XYZ,, ) Κ Tietyn partikkelin rata, nopeus jne. saadaan pitämällä kappalekoordinaatteja vakioina. Viikko 45/6

7 SUHTEELLINEN LIIKE Mekaniikan peruslait pätevät inertiaalikoordinaatistossa. Miten inertiaalikoordinaatistossa ja ei-inertiaalikoordinaatistossa tehdyt havainnot partikkelin P liikkeestä ( rva,, ) ja (, v r, a r) liittyvät toisiinsa? z ϖ Asema r < ro r O O Nopeus v < vo vr ϖ y Kiihtyvyys a ao a ( ) 2 r < ϖ ϖ ϖ v P r r Suhteellisen liikkeen kaavoissa ϖ on koordinaatiston kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys. Todellisella nopeudella ja kiihtyvyydellä v ja a tarkoitetaan inertiaalikoordinaatistossa mitattuja liikesuureita ja suhteellisella nopeudella ja kiihtyvyydellä koordinaatistossa mitattuja liikesuureita Viikko 45/7 v r ja a r liikkuvassa

8 ESIMERKKI Purjevene liikkuu itään vauhdilla v < 2m/s. Veneestä suoritettu tuulimittaus osoittaa tuulevan koillisesta. Mikä on tuulen todellinen vauhti, kun tiedetään tuulevan pohjoisesta? Vihje: Ilmapartikkelin todellinen nopeus v p < v v u p. y Y u p P N NE O X W E S Vastaus v < 2ms Viikko 45/8

9 Tarkastelun kohteena on tässä ilmapartikkeli! Tehtävässä viitataan liikkuvassa koordinaatistossa (kiinni veneessä) suoritettuun mittaukseen ja puhutaan todellisesta tuulen vauhdista siis vauhdista inertiaalikoordinaatistossa. Olkoon ilmapartikkelin todellinen nopeus v ja veneessä mitattu eli suhteellinen nopeus liikkuva ( XY, ), koordinaatisto veneeseen kuvan mukaisesti, jolloin v O < 2(m s) i, ϖ < 0, v<, vj ja 1 vr <, vr ( i j ) 2 ja nopeuksien välisestä relaatiosta v < vo vr ϖ saadaan v r. Kiinnitetään 1, v j < 2( m/ s) i, vr ( i j) 2 v r < 2 2(m/s) ja v < < 2(m s). 2 v r Viikko 45/9

10 ESIMERKKI Kuvan säiliö pyörii vakiokulmanopeudella ς pystyakselin ympäri. Laske säiliössä olevan nesteen nopeus ja kiihtyvyys, kun liike on jatkunut riittävän kauan. Tällöin neste pyörii kuten jäykkä kappale astian mukana. Kuvan (ei-inertiaali) koordinaatisto on kiinnitetty pyörivään säiliöön. z ς y Vastaus v <ς ( j, yi ) ja 2 a <,ς ( i yj) Viikko 45/10

11 Partikkelin nopeudella ja kiihtyvyydella tarkoitetaan suureita inertiaalikoordinaatiston suhteen, joka on levossa tai liikkuu korkeintaan vakionopeudella esim. aurinkokunnan massakeskipisteen suhteen. Inertiaalikoordinaatiston ja pyörivän koordinaatiston tarkastelijoiden näkymyksiä yhdistää relaatiot v < v v ϖ, O r a ao a r ( ) 2 < ϖ ϖ ϖ vr. Pyörivän koordinaatiston tarkastelijan näkemys nopeudesta ja kiihtyvyydesta ovat vr < ar < 0. Koordinaatiston liikesuureet ovat vo < ao < < 0 ja ϖ <ςk. Kohdassa < i yj zk olevan partikkelin todellinen nopeus ja kiihtyvyys eli inertiaalikoordinaatiston tarkastelijan näkemys on v <ςk ( i yj zk ) <ς ( j, yi ), 2 a < ϖ ( ϖ ) <ςk [ ςk ( i yj zk )] <,ς ( i yj). Viikko 45/11

12 2.2 LAGRANGEN JA EULERIN ESITYSTAVAT Kontinuumin liikkeen kuvaus voidaan ajatella relaatioksi tilakoordinaattien ( yz,, ) ja materiaalikoordinaattien ( XYZ,, ) välillä. Relaatiossa aika t on parametrin roolissa. Kontinuumimekaniikan suure f (esimerkiksi lämpötila) voidaan esittää joko tila- tai materiaalikoordinaattien funktiona ja siirtyä esityksestä toiseen käyttäen liikkeen kuvausta. ς Lagrangen esitystavalla tarkoitetaan funktion f esitystä fl( XYZt,,,,) jossa materiaalikoordinaatit siis identifioivat partikkelin. Esitys on luonteva lähtökohta, koska peruslait koskevat kappaleita. ς Eulerin esitystavalla tarkoitetaan funktion f esitystä fe (, yzt,,), jossa tilakoordinaatit määrittävät kiinteän koordinaatiston pisteen. Pisteen kautta kulkee eri partikkeleita eri ajanhetkillä. Esityksille pätee fe(, yzt,,) < fl( XYZt,,,), kun < ( XYZt,,,), y< y ( XYZt,,,) ja z< z ( XYZt,,,)! Viikko 45/12

13 Eulerin esitys muunnetaan Lagrangen esitykseksi sijoittamalla liikkeen kuvaus. Lagrangen esitys muunnetaan Eulerin esitykseksi sijoittamalla käänteinen kuvaus. Kuvauksen kääntäminen ei kuitenkaan välttämättä onnistu edes paikallisesti. Käytännössä muuntamista tarvitaan partikkelin mukana liikkuvan tarkastelijan mittaaman muutosnopeuden laskennassa. Koska Lagrangen esityksessä koordinaatit identifioivat partikkelin, suureen f näin määritelty muutosnopeus fl fe fe fe y fe z < t t t y t z t f t L fe < v f t E, jossa v on kappaleen nopeus. Viikko 45/13

14 AINEDERIVAATTA D / Dt Ainederivaatalla tarkoitetaan tietyn partikkelin mukana liikkuvan tarkkailijan mittaamaa suureen muutosnopeutta. Ajatellaan funktion f esityksiä fl( XYZt,,,) < fe(, yzt,,), jossa < ( XYZt,,,), y< ( XYZt,,,) ja z< ( XYZt,,,). y Lagrangen esitystavassa fl( XYZt,,,) koordinaatit identifioivat partikkelin. Tietyn partikkelin kokema muutosnopeus on siis z Df Dt f < L. t Eulerin esitystavassa fe (, yzt,,) koordinaatit identifioivat kiinteän koordinaatiston pisteen. Tässä pisteessä olevalla partikkelilla ja sen mukana liikkuvalla tarkastelijalla on nopeus v, joten Df Dt fe < v f t E. Viikko 45/14

15 SUUREEN MUUTOSNOPEUS Yleisemmin suureen f muutosnopeudella tarkoitetaan joko levossa tai liikkeessä olevan tarkastelijan mittaamaa muutosta Χ f jaettuna ajan muutoksella Χ t, kun Χt 0. Näin saatuun muutosnopeuteen vaikuttaa sekä tarkastelijan nopeus että suureen muutos ajan ja paikan suhteen. Suureen f(, yzt,,) muutos aikayksikköä kohden (differentiaali) f f f f Χ f < Χt Χ Χy Χz t y z Χ f f f f f Χt t y z < v vy vz df Χf f < limχ t 0 < v f. dt Χt t Jossa tarkastelijan nopeus v< vi vy j vk z. Kappaleen partikkelin mukana liikkuvan tarkastelijan näkemystä muutosnopeudesta kutsutaan siis ainederivaataksi. Viikko 45/15

16 ESIMERKKI Kappaleen liikkeen kuvaus ja sen lämpötila ovat T T i i X kty r < j y < j Y, ktx k z k Z T ja T < 0 ( kty), joissa k, h ja T 0 ovat vakioita. h a) Määritä liikkeen käänteiskuvaus b) Laske nopeuden ja kiihtyvyyden komponentit Lagrangen ja Eulerin esityksissä. c) Laske lämpötilan muutosnopeus (ainederivaatta) Lagrangen ja Eulerin esityksissä. Vastaus X, kty 1 Y < y kt 22, Z 1 k t 22 (1 k t ) z v Y y kt a k vy < k, X < kty, 22, ay < 0. 1 k t v 0 0 z az DT 2 kt(, kty) (1 k)( kt y) <, 2 ktx (1 ky ) <, Dt k t 1 k t Viikko 45/16

17 Kappaleen liikkeen kuvaus ja sen käänteiskuvaus (löytyy tässä lineaarisessa tapauksessa) 1 kt 0 X y kt 1 0 <, Y z Z, 1 X 1 kt 0 1, kt 0, kty 1 1 Y kt 1 0 y kt 1 0 <, < y y kt 22 < k t 1 k t Z z z 22 (1 k t ) z Kappaleen nopeus ja kiihtyvyys saadaan paikkavektorin tai sen komponenttien osittaisderivaattoina ajan suhteen, jos tilakoordinaatiston paikkavektorit oletetaan vakioiksi, Viikko 45/17

18 v 0 k 0 X Y vy y k 0 0 < <, Y < k, X t v z Z 0 z a v ja ay < vy < 0. t az vz Kappaleen nopeus ja kiihtyvyys Eulerin esityksessä saadaan Lagrangen esityksestä eliminoimalla kappalekoordinaatit liikkeen käänteiskuvauksen avulla v 0 A 0, kty y kt a 1 k v y A 0 0 <, y kt kty 1 22 < 22,, ay < 0. k t 22 1 k t v (1 ) 0 z k t z az Kiihtyvyys Eulerin esityksessä saadaan myös nopeuden ainederivaattana (nopeuden Eulerin esitys pitää kuitenkin muodostaa käänteismuunnoksen avulla), mutta y.o. tapa on tässä helpompi Kappaleen lämpötila Eulerin ja Lagrangen esityksissä Viikko 45/18

19 T 1 TE < t y 0 z ja T kt 0 X 1, kt X TL < t kt 1 0, Y < t(1 k) Y Z 0 Z T Kappaleen partikkelin kokema lämpötilan muutosnopeus Lagrangen ja Eulerin esityksissä (partikkelin mukana liikkuvan tarkkailijan mittaama lämpötilan muutos) T, 2kt X, 2kt 1, kt 0 DT TL 1 < < 1 k Y 1 k kt 1 0 < y Dt t k t 0 Z z T Muutosnopeus voidaan laskea myös suoraan eri esityksissä laskettujen muutosnopeuksien välisestä yhteydestä DT TL TE < < v T Dt t t E. Viikko 45/19

20 INTEGRAALIN AINEDERIVAATTA Peruslakien matemaattisissa manipulaatioissa tarvitaan integraalisuureen ainederivaattaa. Tarkastellaan kappaletta, joka sijaitsee ajanhetkillä t ja t Χ t kiinteän koordinaatiston alueissa ς, <ς() t ja ς <ς( t Χ t) ( ς, <ς <ς, kun Χt 0) F() t < f (, y, z,) t dv D Dt D Dt ς f F() t < dv f v nda ς t ς f F( t) < [ ( fv)] dv. ς t Jälkimmäisessä muodossa on käytetty Gaussin lausetta pintaintegraalin muuntamiseen tilavuusintegraaliksi. Edellinen perusmuoto on yleisempi ja siten varman päälle lähtökohta integraalin ainederivaatalle. z Viikko 45/20 y ς, ς ς P vχt nda P

21 Tarkastellaan alueen reunalla sijatsevaa partikkelia P, jolla on nopeus on v. Partikkelin kohdalla oleva suunnattu pinta-ala-alkio da < nda ja alueen ( ς ς, )\ ς lieriöalkion tilavuus dv < nda ( vχt). Edellä n on alueen ς ulkoinen yksikkönormaali ja da reunan ς pinta-ala-alkio. Integraalin ainederivaatta saadaan määritelmän perusteella < Ft () f(, yztdv,,) ς() t Χ F< Ft ( Χ t), Ft ( ) < f( yzt,,, Χ tdv ), f( yztdv,,, ) ς( t Χt) ς() t Χ F < f (, y, z, t Χ t) dv, f (, y, z, t) dv f (, y, z, t Χt)( n v) ΧtdA ς ς ς ΧF Χt < f (, y, z, t) dv f (, y, z, t Χt)( n v) da ς t ς DF ΧF < lim Χ t 0 < f(, yztdv,,) f(, yzt,,)( nvda ) Dt Χt ς t. ς Viikko 45/21

22 2.3 SIIRTYMÄ Kiinteän aineen mekaniikassa tarkastellaan liikettä suhteessa kappaleen alkuasemaan hetkellä t < 0. Partikkelin identifioi alkutilanteen tilakoordinaatit ( yz.,, ) Siirtymä u(, yzt,,) kuvaa alkutilanteessa pisteessä ( yz,, ) olleen partikkelin (suhteellista) rataa. T T i i ( XYZt,,,) Yleinen r j y < j y( XYZt,,,), k z k z( XYZt,,,) T i u (, yzt,,) Kiinteä aine r< j ( y uy ( yzt,,, ) ) k z uz (, yzt,,) z y r r ( XYZ,, ) u Κ Yleensä tila- ja kappalekoordinaatisto yhtyvät alkutilanteessa t < 0 eli < ( X, Y, Z,0) < X, y < ( X, Y, Z,0) < Y ja z < z ( X, Y, Z,0) < Z. y Viikko 45/22

23 Kiinteän aineen esityksessä siirtymä u(, y, z,) t < r, r kuvaa tietyn partikkelin asemaa ajanhetkellä t suhteessa alkuasemaan. Esitys alkutilanteen koordinaattien ( yz,, ) funktiona saadaan eliminoimalla kappalekoordinaatit liikkeen kuvauksen avulla hetkellä t < 0. Yleensä koordinaatistot yhtyvät alkutilanteessa, joten ( XYZ,, ) ( yz,, ). Viikko 45/23

24 ESIMERKKI Tarkastellaan palkkia, joka pyörii vakiokulmanopeudella tilakoordinaatiston origon ympäri s.e. kulma-asema () t < ϖt. Palkin pituus ht () < h0 δ () th0, jossa suhteellinen venymä δ ( t) < sin kt. Määritä siirtymä uy (, ) alkutilanteen t < 0 suhteen, kun kappaleen ( XY, ) Κ< [0, h], [ dd, ] liikkeen kuvaus on r T T i i (1 δ )cos, sin X < j y j (1 δ)sin cos. Y Y y h h 0 X Vastaus T T i u i (1 δ )cos, 1, sin u < r, r j u < y j (1 δ)sin cos, 1 y Viikko 45/24

25 2.4 JÄNNITYS Traktio ρ <ΧF / ΧA (vektori) on kontinuumimekaniikan tapa kuvata kappaleen sisäistä ainealkioiden välistä pintavoimaa. Jännitys ρ σ (tensori) kuvaa ainealkioon vaikuttavia pintavoimia kokonaisuudessaan. ρ z ρ zz ρ zy ρ y ρ z ρ yz z ρ z ρ y ρ ρ y ρ y ρ yy Jännityskomponentin ensimmäinen indeksi kertoo mihin tahkoon vaikuttavasta traktiosta on kysymys (pinta-alkion normaalin suunta) ja toinen indeksi traktion komponentin suunnan. Vastakkaisilla tahkoilla vaikuttavat traktiot ovat vastakkaissuuntaisia. Viikko 45/25

26 Lausutaan vasemmanpuoleisen kuvan kolme traktiovektoria käyttäen oikeanpuoleisen kuvan komponentteja ρ ρ i ρy j ρzk ρ ρy ρz i ρy < ρyi ρyy j ρyzk < ρy ρyy ρyz j. ρz ρzi ρzy j ρzzk ρz ρzy ρzz k Jännitys on tensorisuure, jonka komponentit ovat vasemman puolen kolme traktiovektoria T T i ρ i ρ ρy ρz i σ ρ < j ρy < j ρy ρyy ρyz j. k ρz k ρz ρzy ρzz k Jännitys kuvaa ainealkioon vaikuttavaa pintavoimaa ottamatta kantaa pinnan suuntaan. Viikko 45/26

27 Traktio ja jännitys kuvaavat siis kahden kappalealkion toisiinsa kohdistamia pintavoimia. Kappalealkion oletetaan olevan pieni suhteessa tarkastelualueen kokoon L ja toisaalta suuri suhteessa atomien tai molekyylien välimatkaan h tai yleisemmin aineen mikrorakenteen skaalaan. Tiettyyn ainealkioon (valkoiset partikkelit) pinnan ΧA kautta vaikuttavien voimien resultantin ΧF ja pinnan alan Χ A suhteen ajatellaan olevan likimain vakio ρ, kun kappalealkio ei ole liian suuri eikä toisaalta liian pieni. Tällä vaihteluvälillä Χ F < ρχa. Kontinuumimekaniikassa relaation ajatellaan pätevän myös muodossa df < ρ da. Viikko 45/27

28 TRAKTIO-JÄNNITYSRELAATIO Kappalealkion suunnatun pinta-alan da, pinnan ulkoisen normaalin n, pinta-alan da, pinta voiman df, jännityksen ρ σ (tensorisuure) ja pintaan vaikuttavan traktion ρ (vektorisuure) välillä on yhteydet n Suunnattu pinta-ala da < nda da ρ σ Voima-jännitys df < da ρ, Traktio-jännitys ρ < n ρ σ. Traktion jako ρ < nn ρ ( ρ, nn ρ) < ρn ρt Tarkasteltavan kappaleen kannalta sen sisältä valitun kappalealkion pintaan vaikuttava traktio ρ on sisäinen voima, jolle pätee voiman ja vastavoiman laki. Kappaleen ulkopintaan vaikuttavalle traktiolle, joka on annettu ulkoinen voima pinta-ala yksikköä kohden, käytetään myöhemmin symbolia t. Viikko 45/28

29 σ Traktio-jännitysrelaatio ρ < n ρ pätee yleiselle pinnan suunnalle. Tämä voidaan osoittaa esimerkiksi tarkastelemalla kuvan tetraedrin voimatasapainoa. Tahkojen pintaalat ovat suunnatun pinnan da < nda projektioita tahkon ulkoisen normaalin suunnalle. Muodostetaan voimatasapainot eri suunnille, kun koko δ 0, z n ρ da < ( dan ) ρ ( dan ) ρ ( dan ) ρ, da y y z z ρ da < ( dan ) ρ ( dan ) ρ ( dan ) ρ, y y y yy z zy ρ da < ( dan ) ρ ( dan ) ρ ( dan ) ρ. z z y yz z zz Vektorina T T T ρ i n i i ρ ρy ρy i σ ρ < ρy j < ny j j ρy ρyy ρyy j < n ρ. ρz k nz k k ρz ρzy ρyy k Viikko 45/29 nyda ρ yy ρ y ρ yz ρ z ρ z ρ zz ρ ρ y ρ zy y df <ρda

30 ESIMERKKI Kuvan pilaria kuormittaa vastakkaissuuntaiset voimat suuruudeltaan P sekä oma paino. Määritä normaalijännitys ρ < ρ pilarissa,koordinaatin funktiona. Poikkipinnan ala on vakio A ja materiaalin tiheys. g P P L L y Vastaus, g(2 L, ) [0, L[ F ρ < A < P, g (2 L, ) ] L,2 L [ A Viikko 45/30

31 Ratkaistaan aluksi pilarin poikkipintaan vaikuttava voima statiikan keinoin vapaakappalekuvion ja voimatasapainon F < 0 avulla. Jännitys saadaan tämän jälkeen määritelmästä ρ < F / A. Voima on epäjatkuva kohdassa < L, joten jaetaan tarkastelu kahteen osaan [0, L[ ja ] L,2 L] P ga(2 L, ) P ga(2 L, ) P F F F ga(2 L, ) < 0 F ga(2 L, ), P < 0 Viikko 45/31

32 JÄNNITYSRATKAISUJA Paineen kuormittama ohut pallokuori 1 R 1 R ρ εε < p ja ρ ππ < p 2 t 2 t r 0 e n e ε e π σ 1 R 1 Rσ ρ< p ( eεeε eπeπ) < p I 2 t 2 t ε Paineen kuormittama pitkä sylinterikuori 1 R ρ zz < p ja 2 t R ρ εε < p t σ 1 R ρ < p ( ee z z 2 ee ε ε) 2 t Viikko 45/32 ε e n r 0 e z z e ε

33 PÄÄJÄNNITYKSET Pääjännitysten ja niihin liittyvien suuntien määrittämisessä tavoitteena on löytää taso, jolla traktiovektori on tason suuntainen. Tälloin traktion tangentiaalikomponentti häviää. Täsmällisemmin tavoitteena on löytää parit ( ρ, n ), joille n ρ σ < ρn σ σ ( ρ, ρi) n < 0. c Komponenttimuodossa esitettynä pääjännitykset ja suunnat saaadaan matriisiyhtälöstä T y z n ρ, ρ ρ ρ ρy ρyy, ρ ρyz ny < ρz ρzy ρzz, ρ nz 0. Koska jännitys ajatellaan symmetriseksi (tähän palataan myöhemmin), pääjännitysten ratkaiseminen palautuu siis matematiikan kursseista tuttuun symmetrisen reaalisen matriisin ominaisarvotehtävään. Viikko 45/33

34 Ominaisarvotehtävän ratkaiseminen koostuu kahdesta askeleesta. a) Ensiksi ratkaistaan ominaisrvot ρ yhtälöstä (yleensä kolme ratkaisua) ρ, ρ ρy ρz det ρy ρyy, ρ ρyz < 0. ρz ρzy ρzz, ρ Jännitystensorin komponenttiesityksen determinantin pitää häviä, jos halutaan eitriviaali ratkaisu ominaissuunnalle (eri kuin nollavektori). b) Kun ominaisarvot on ratkaistu, palataan alkuperäiseen tehtävään, sijoitetaan yksi kerrallaan saadut ominaisarvot ja ratkaistaan vastaavan suunnan komponentit n, n y ja n z. Ratkaisu ei ole yksikäsitteinen, koska matriisi on singulaarinen. Ominaisvektorit pitää kuitenkin valita siten, että ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Viikko 45/34

35 ESIMERKKI Ainealkioon vaikuttaa kuvan mukaiset jännityskomponentit. Esitä jännitystensori ρ σ kuvan vektorikannassa. Laske myös jännityksen ominaisarvot, niihin liittyvät ominaissuunnat sekä esitä jännitystensori ominaisarvohajotelman avulla. Oletetaan, että jännitys on symmetrinen. ρ j 4ρ i ρ Vastaus T T, 1 σ i ρ, 4ρ i i 1 1 5ρ i ρ < j 4ρ ρ <, j j, 1 1 0, 3ρ, 1 1 j Viikko 45/35

36 Jännitystensorin komponentin ensimmäinen indeksi viittaa pinnan ulkoisen normaalin suuntaan ja toinen traktion komponentin suuntaan. Jännitys oletetaan tässä symmetriseksi. Siis T i ρ ρy ρz i T σ i ρ, 4ρ i ρ < j ρy ρyy ρyz j < j 4ρ ρ., j k ρz ρzy ρzz k Suurin ja pienin normaalijännitys sekä niihin liittyvät suunnat saadaan jännityksen komponenttimatriisin ominaisarvotehtävän ratkaisuna. Aluksi ominaisarvot det ρ, κ, ρ < ( ρ, κ), 16ρ < 0, 4ρ ρ, κ κ {5 ρ,, 3 ρ}. Sitten ominaissuunnat Viikko 45/36

37 κ < ρ : 1 5 ρ, 5ρ, 4ρ n, 4ρ, 4ρ n 4ρ ρ 5ρ n < < y 4ρ 4ρ n,,,, y 0 n 1 n <, y, 1 1 κ <, ρ: 2 3 ρ 3ρ, 4ρ n 4ρ, 4ρ n 4ρ ρ 3ρ n < < y 4ρ 4ρ n,, y 0 n 1 n <. y 1 2 Jännityksen ominaisarvohajotelma [ ρ] < [ n][ κ][ n], 1 T T, 1 σ i ρ, 4ρ i i 1 1 5ρ i ρ < j 4ρ ρ <, j j, 1 1 0, 3ρ, 1 1. j Viikko 45/37

38 2.5 VENYMÄ JA VENYMÄNOPEUS Pienen kappalealkion siirtymän voidaan ajatella koostuvan jäykän kappaleen liikkeestä ja muodonmuutoksesta. Edellinen voidaan vielä jakaa translaatioon ja rotaatioon. h = h Χh α siirtymä translaatio rotaatio pituus muutos kulma muutos Ainealkion geometria riippuu 12 parametrista, joista 3 kuvaa keskipisteen translaatiota, 3 jäykän kappaleen rotaatiota, ja loput 6 muodonmuutosta. Muodonmuutos koostuu pituusmuutoksista δ <Χ h/ h (3 kpl) ja kulmamuutoksista φ < α (3 kpl). Viikko 45/38

39 PITUUS- JA KULMAMUUTOS u u u y dy dy d u y y u uy u d u d u d δ < u ( d u d, u, d) d φ y u ( u u ) y dy, u ( uy d, uy) y < dy d Viikko 45/39

40 Vastaavalla tavalla saadaan (suhteellinen) pituusmuutos y,suunnassa. Edellä käytettiin insinöörimääritelmää φ kulmamuutokselle. Kontinuumimekaniikan kulmamuutos on puolet tästä eli δy < φy /2. Pienten siirtymien tapauksessa (kts. kulman laskenta edellä) päädytään y,tason venymäkomponentteihin lausuttuina siirtymän avulla δ u <, δ yy u y < ja y δ y 1 u u y < ( ). 2 y Tarkastelu yz, ja z,tasoissa tuottaa esitykset δ yy u y u <, δ z zz < ja y z δ yz 1 u y u < ( z ), 2 z y δ zz u z u < ja < z, δ δ z 1 u ( z u < ). 2 z Saadut suureet ovat lineaarisen venymän σ δ < ( u) Viikko 45/40 s komponentit!

41 LINEAARINEN VENYMÄ Lineaarinen muodonmuutosmitta soveltuu tilanteeseen, jossa kappalealkioiden rotaatiot ovat pieniä. Tällöin ainealkion muodonmuutosta σ δ (tensori) kuvaa siirtymän u(, yzt,,) gradientin symmetrinen osa T i δ δy δz i ii δ ij ji δy σ 1 δ < [ u ( u )] c < j δy δyy δyz j < jj δyy jk kj δyz. 2 k δz δzy δzz k kk δzz ki ik δz Pituusmuutokset: δ u <, δ yy uy u <, δ z zz < y z Kulmamuutokset: δ y 1 uy u < ( ), 2 y δ yz 1 u u y < ( z ), 2 y z δ z 1 u ( z u < ) 2 z Viikko 45/41

42 Venymä-siirtymä relaatioon päädytään myös jonkin verran vakuuttavammin seuraavasti. Tarkastellaan pienen r 0, keskisen kappalealkion siirtymää ajanhetkellä t. Koska kappalealkio oletetaan pieneksi, siirtymää kappalealkion alueessa kuvaa Taylorin sarjan kaksi ensimmäistä termiä u( r) < u ( u) h.o.t., 0 0 jossa suhteellinen paikkavekktori < r, r 0. Jaetaan siirtymän gradientti (tensori) σ σ antisymmetriseen ja symmetriseen osaan ja merkitään δ < ( u) ja π < ( u) σ σ σ u( r) < u π δ < u π δ jälkimmäisessä π on tensorin π σ assosioitu vektori (kts. Viikko 44/40). Ensimmäinen termi kuvaa translaatiota, toinen pientä rotaatiota ja viimeinen termi muodonmuutosta, kun rotaatio on pieni. Suurten rotaatioiden tapaus johtaa monimutkaisempaan käsittelyyn. s u Viikko 45/42

43 ESIMERKKI Lineaarinen venymä δ σ saadaan siirtymän gradientin symmetrisenä osana. määritä venymän komponenttien lausekkeet tasotapauksessa lähtien määritelmästä. Tasotapauksessa T σ i δ δy i δ <, j δy δyy j T i / < ja j / y u T T i u( y, ) u( y, ) i < j uy( y, ) < uy( y, ). j Vastaus δ u <, δ yy uy <, y δ y 1 u uy < ( ) 2 y Viikko 45/43

44 Muodostetaan aluksi siirtymän gradientti ja sen konjugaatti (konjugaatilla tarkoitetaan toisen kertaluvun tensoria, jossa kaikkien dyadien kantavektoreiden paikat on vaihdettu. Tämä vastaa komponenttimatriisin transponointia.) u uy uy ( )( ) u u < i j u i uy j < ii ij ji jj ) y y y u uy u ( ) u u c < ii ji ij jj y y y. Lineaarisen venymän määritelmästä σ 1 δ < [ u ( u )] c 2 seuraa σ u uy 1 u y u 1 uy ( u δ < ii jj ij ) ji ( ). y 2 y 2 y Josta päätellään komponentit: δ y on dyadin ij kerroin jne. Viikko 45/44

45 ESIMERKKI Koekappaleen muodonmuutoksen mittaamiseen tasossa käytetään venymäantureita 1, 2 ja 3, jotka on asetettu kulmiin 0, 45 ja 90 suhteessa kappaleen akseliin vastaavassa järjestyksessä. Laske kappaleen venymä, kun mittaustuloksena saadaan anturien suhteelliset pituuden muutokset δ 1 <Χ L1/ L1, δ 2 <Χ L2 / L2 ja δ <Χ L / L (siis anturien suunnissa). Pituuden muutokset oletetaan pieniksi F y 2 3 F 1 Vastaus T i δ1 ( δ1 δ3, δ2)/2 i δ < j ( δ1 δ3, δ2)/2 δ 3 j Viikko 45/45

46 Tasotapauksessa venymällä on kolme riippumatonta komponenttia, joten kolme mittausta riittää venymän määrittämiseen. Venymä tietyssä suunnassa δn < n σ δ n (sama juttu kuin jännityksen kanssa). Tässä suunnat ovat n 1 < i, n2 < i, j ja n 3 < j. Tiedetään siis σ δ1 < n1 δ n1 < i ( δ ii δ ij δ ji δ jj ) i < δ y y yy σ δ2 < n2 δ n2 < ( i, j) ( δ ii δ ij δ ji δ jj) ( i, j) < δ, δ, δ δ y y yy y y yy σ δ3 < n3 δ n3 < j ( δ ii δ ij δ ji δ jj) j < δ y y yy yy Ratkaistaan muodonmuutoksen komponentit mitattujen suureiden avulla T i δ1 ( δ1 δ3, δ2)/2 i δ < j ( δ1 δ3, δ2)/2 δ. 3 j,., Viikko 45/46

47 GREEN-LAGRANGE VENYMÄMITTA u u u uy uy u u uy u u u y uy uz u E y y y y y E y y yy uz u u uy uy u u E zz z 1 z z z z z z < E y 1 u u y 2 ( ) u u uy uy u u E 2 y yz y y y E 1 uy u z ( z ) u u uy uy u u 2 z y y z y z y z 1 u ( z u ) u u uy uy u u 2 z z z z z z z z z z z z z z z. Viikko 45/47

48 Jäykän kappaleen liikkeen ei pitäisi aiheuttaa muodonmuutosta. Green-Lagrange muodonmuutosmitta toimii tässä suhteessa myös suurten rotaatioiden tapauksessa, mutta riippuu epälineaarisesti siirtymästä. Jos siirtymien suhteen neliöllinen termi on pieni, Green-Lagrange ja lineaarinen venymä ovat lähellä toisiaan. Lineaarinen σ 1 δ < [ u ( u )] c, 2 σ Green-Lagrange 1 1 σ [ ( ) 1 E < u u c] u ( u) c < δ u ( u) c Suurten siirtymien teorian täsmällinen käsittely ei kuulu kurssialueeseen! On kuitenkin hyvä muistaa lineaarisen pienten siirtymien teorian rajoitteet ja mitä suurten rotaatioiden käsittely edellyttää mm. venymämitalta. Viikko 45/48

49 ESIMERKKI Tarkastellaan palkkia, joka pyörii vakiokulmanopeudella tilakoordinaatiston origon ympäri s.e. kulma-asema () t < ϖt. Palkin pituus ht () < h0 δ () th0, jossa suhteellinen venymä δ ( t) < sin kt. Laske aksiaalivenymät δ ja E. Kappaleen ( XY, ) Κ< [0, h], [ dd, ] siirtymä alkutilanteen t < 0 suhteen u T i (1 δ )cos, 1, sin < j (1 δ)sin cos, 1. y Y y h h 0 X Vastaus 1 2 E < δ δ δ, kun δ < 1 2 δ < (1 δ)cos, 1 δ, kun < 1 Viikko 45/49

50 Siirtymien osittaisderivaatat u u y u < (1 δ)cos, 1, < (1 δ)sin, <, sin ja < cos, 1 y y u y Lineaarinen ja Green-Lagrange venymä palkin akselin suunnassa u δ < < (1 δ)cos, 1 ja E u 1 u 1 u 1 < ( ) ( ) < δ δ y 2 2. Lineaarinen venymä riippuu vahvasti rotaatiokulmasta, vaikka palkki venyy vain akselinsa suunnassa. Green-Lagrange venymä ei riipu rotaatiokulmasta. Venymämitta on myös lähellä suhteellista pituuden muutosta δ, kun venymä on pieni. Viikko 45/50

51 VENYMÄNOPEUS Nesteen kinematiikassa tärkeitä suureita ovat mm. virtausnopeus vyzt (,,,) ja σ nestealkion muodonmuotosnopeus d(, yzt,,)(kiinteälle aineelle suureet olivat siirtymä ja muodonmuutos). T i d dy dz i ii d ij ji d y σ 1 d < [ v ( v )] c < j d y d yy d yz j < jj dyy jk kj dyz. 2 k dz dzy dzz k kk dzz ki ik dz Pituusmuutosnopeudet: d v <, d yy vy v <, d z zz < y z Kulmamuutosnopeudet: d y 1 vy v < ( ), 2 y d yz 1 v vy < ( z ), 2 y z d z 1 v ( z v < ) 2 z Viikko 45/51

52 Muodonmuutosnopeus-nopeus relaatioon päädytään samalla tavalla kuin muodonmuutos-siirtymä relaatioon. Tarkastellaan pienen r 0, keskisen kappalealkion nopeutta ajanhetkellä t. Koska kappalealkio oletetaan pieneksi, nopeutta kappalealkion alueessa kuvaa Taylorin sarjan kaksi ensimmäistä termiä v( r) < v ( v) h.o.t., 0 0 jossa suhteellinen paikkavektori < r, r 0. Jaetaan nopeuden gradientti (tensori) σ σ antisymmetriseen ja symmetriseen osaan ja merkitään d < ( v) ja ϖ < ( v) σ σ σ v( r) < v ϖ d < u ϖ d Jälkimmäisessä muodossa kulmanopeus (nopeuden pyörteisyys) ϖ on tensorin σ ϖ assosioitu vektori (kts. Viikko 44/40). Lopullinen muodon perusteella ainealkion nopeus koostuu translaatiosta nopeudella v 0, jäykän kappaleen rotaatiosta kulmanopeudella ϖ ja muodonmuutosnopeudesta d σ.. s u Viikko 45/52

53 Muodonmuutosnopeuden ja pyörteisyyden komponenttiesitykset Karteesisessa koordinaatistossa v 1 v y v 1 ( v ) ( z v ) 2 y 2 z 1 vy v vy 1 vy [ ] ( v d < ) ( z ), 2 y y 2 y z 1 v 1 vy ( z v v ) ( z v ) z 2 z 2 y z z 1 vy v 1 0 ( v ) ( z v,, ) 2 y 2 z 1 vy v 1 vy [ ] ( v ϖ < ) 0 ( z,,, ), 2 y 2 y z 1 v 1 vy ( z v v,, ), ( z, ) 0 2 z 2 y z Viikko 45/53 1 v v ( z y, ) 2 y z 1 v { } ( z v ϖ <,, ). 2 z 1 vy v (, ) 2 y