STATIIKKA. TF00BN89 5op

Transkriptio

1 STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit ja kehät. Rasitukset ja rasituskuviot eri kuormituksilla Rakenteiden rasituskuviot Robot ohjelmistolla 1

2 Kirjallisuus: Salmi Tapio, Statiikka, 2005, Pressus Oy Salmi Tapio, Teknillisen mekaniikan perusteet, 2006, Pressus Oy Hannu Outinen, Statiikka tekniikan opiskelijoita varten, osat I ja II, , Pressus Oy Opintojakson suorittaminen: Oppitunnit ja laskuharjoitukset Henkilökohtaiset harjoitustehtävät Koe (ei välikokeita) 2

3 Mekaniikan jaottelu: 3

4 Peruskäsitteitä 1. Avaruus on kaikkiin suuntiin rajattomasti ulottuva alue. Siihen liittyy käsite paikka, jonka selvittämiseen tarvitaan koordinaatisto sekä pituuden mittaus. Perusyksikkö on metri. 2. Aika käsitteeseen sisältyy tapahtumien järjestys. Sitä mitataan kelloilla. Perusyksikkö on sekunti. 3. Massa on kappaleen ominaisuus vastustaa liiketilansa muutosta. Sen mittaamiseen käytetään vaakaa. Perusyksikkö on kilogramma. 4. Voima edustaa kappaleiden välistä vuorovaikutusta. Se pyrkii muuttamaan kappaleen liiketilaa ja vaikuttaa joko kosketusvoimana tai kaukovoimana (esimerkiksi gravitaatiovoima). Voimalle on ominaista vaikutuspiste, suuruus ja suunta. Perusyksikkö on newton. 5. Partikkeli (massapiste) on kappale, jonka mitat ovat epäoleellisia kyseessä olevan tehtävän kannalta. 6. Jäykkä kappale on sellainen partikkelien kiinteä yhdistelmä, jossa kaikki välimatkat pysyvät muuttumattomina, kuormitetaan kappaletta miten tahansa. 4

5 7. Vapaakappalekuva (vkk) on piirros, jossa on esitetty tutkittavana oleva kappale (tai sen osa) tai kappaleryhmä vapautettuna ympäristöstään. Ympäristön vaikutus otetaan huomioon piirtämällä kaikki siitä aiheutuvat voimat (ulkoiset voimat) näkyviin vaikutuskohtiinsa. Peruslait 1. Voiman suunnikaslaki 2. Voiman siirtolaki 3. Hitauden laki 4. Dynamiikan peruslaki F ma 5. Voiman ja vastavoiman laki 6. Yleinen gravitaatiolaki F fm m r

6 Voiman suunnikaslaki Matemaattisesti: R F F Jos kaksi voimaa F 1 ja F 2 vaikuttavat jäykän kappaleen pisteeseen P, niin niiden yhteisvaikutus (vektorisumma) eli resultantti R voidaan esittää suuntaisjanalla, jonka pituus ja suunta yhtyvät sen suunnikkaan lävistäjään, jonka sivuina ovat annettuja voimia F 1 ja F 2 esittävät suuntaisjanat. 1 2 Voiman siirtolaki Jos jäykkään kappaleeseen vaikuttaa voima F siirretään pitkin vaikutussuoraansa, niin sen ulkoinen vaikutus pysyy muuttumattomana. Hitauden laki Partikkeli on levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä aina, kun siihen ei vaikuta voimia tai siihen vaikuttavien voimien summa eli resultantti on nolla. 6

7 Dynamiikan peruslaki Jos partikkeliin vaikuttavien voimien resultantti on R, niin partikkeli saa kiihtyvyyden a siten, että on voimassa R ma Kerrointa m sanotaan massaksi. Voiman ja vastavoiman laki Jos partikkeli A vaikuttaa partikkeliin B ilman muiden partikkelien välitystä jollakin voimalla, niin partikkeli B vaikuttaa aina partikkeliin A partikkelien yhdysjanan suuntaisella yhtä suurella, mutta vastakkaissuuntaisella voimalla. Yleinen vetovoimalaki Kaksi partikkelia, joiden massat ovat m 1 ja m 2, vetävät aina toisiaan puoleensa partikkelien yhdysjanan suuntaisella voimalla, jonka suuruus on suoraan verrannollinen partikkelien välisen etäisyyden neliöön eli mm F r m kgs missä = 6, (yleinen gravitaatiovakio) 7

8 Trigonometrian kaavoja: Suorakulmainen kolmio b sin c a cos c tan b a c a b sin cos Vinokulmainen kolmio Kosinilause c 2 a 2 b 2 2abcos Sinilause a b c sin sin sin 8

9 Voima kappaleiden välisen vuorovaikutuksen vaikutuskohtaa, voimakkuutta ja suuntaa kuvataan käsitteellä voima kosketusvoimat (kappaleet koskettavat toisiaan) kenttävoimat (sähkömagneettinen voima, gravitaatiovoima) Voima on vektorisuure vaikutuspiste suunta suuruus 9

10 Voimien resultantti Voima on aito vektori, toisin sanoen voimien yhteenlasku noudattaa suunnikaslakia. Voimavektoria R, jolla on sama ulkoinen vaikutus jäykkään kappaleeseen kuin kahdella samaan pisteeseen vaikuttavilla voimilla F 1 ja F 2 yhdessä, sanotaan näiden voimien resultantiksi. Alkuperäisiä voimia F 1 ja F 2 kutsutaan resultantin R komponenteiksi. Voimien F 1 ja F 2 yhteisvaikutus eli yhteenlasku R F F tehdään siis 1 2 suunnikaslain mukaisesti. Kahden voiman resultantti saadaan, kun piirretään yhteenlaskettavien voimien vektorit peräkkäin ja edellisen perästä piirretään vektori jälkimmäisen kärkeen. 10

11 Esimerkki Määritä voimien F1 15 kn ja F2 25 kn resultantti, kun voimien välinen kulma on 40. Ratkaisu: Graafisesti (piirtämällä) Kuviosta saadaan mittaamalla: R 38 kn 25 Trigonometrian avulla: Kosinilause: R F F 2 F F cos ( cos 140 )( kn) = 1424,53 ( kn) 2 R 1424,53 ( kn) 37, 7 kn 2 11

12 Sovelletaan sinilausetta: R sin140 F2 sin sin R sin140 sin F2 sin 140 R sin140 sin F2 R sin kn 0, , 7kN 25, 2 Tehtävä Laske kahden voiman F1 25kN ja F2 35kN, jotka ovat kulmissa 15 ja 25 vaakasuuntaan nähden (kuvan mukaisesti), resultantti ja sen suuntakulma. 12

13 Tehtävä Palkissa olevaan kiinnityslenkkiin vaikuttaa kaksi voimaa kuvan mukaisesti. Määritä näiden voimien resultantti R a) graafisesti b) trigonometrian avulla Tehtävä Kiinnityslenkkiin vaikuttaa kaksi voimaa kuvan mukaisesti. F 10kN ja F 6kN 1 2 Määritä a) resultantti R, kun 20 b) kulma, kun halutaan, että resultantti R on pystysuora. Vast: a) R 12, 5kN b) 31, 3 tai

14 Jos samaan vaikutuspisteeseen kohdistuu useita voimia F, F,... F mukaisesti, niiden summa eli resultantti R saa lausekkeen R F F... F n F 1 2 n i i=1 1 2 n kuvan Voiman jakokomponentteihin Pisteeseen P vaikuttaa alkuperäinen voima F. Jos on voimassa F F1 F2 voimia F 1 ja F 2 sanotaan voiman komponenteiksi. Komponentteihin jako voidaan tehdä äärettömän monella tavalla. 14

15 Suorakulmaiset komponentit Yleisin tapa jakaa komponentteihin on siten, että toinen komponenteista on vaakasuora ja toinen pystysuora Alemmasta kuvasta nähdään helposti, että F F F x Fx Fcos Fy Fsin y Esimerkki Kuvan kaltevalla tasolla olevaa lenkkiä vedetään köydellä voimalla F 10kN. Määritä a) x ja y akselien suuntaiset komponentit b) kaltevan tason ja sen normaalin suuntaiset komponentit Ratkaisu a) F 10cos60 5kN x F 10sin 60 8, 660kN y 2 2 ( F F F 10, 0) x y 15

16 b) F 10cos 40 7, 66kN t F 10sin 40 6, 43kN n 2 2 F 7, 66 6, 43 kn = 10,0kN Tehtävä Määritä edellisen esimerkin komponentit suuntiin t ja y, siis F ja F. t y Tehtävä Jaa kuvan voima F 20kN ristikon sauvojen AB ja AC suuntaisiin komponentteihin. 16

17 Samaan vaikutuspisteeseen kohdistuvien voimien resultantti R F F... F n F 1 2 n i i=1 saa komponenttimuodossa lausekkeet R F F... F R F F... F x 1x 2x nx y 1y 2y ny Tehtävä Palkissa olevaan kiinnityslenkkiin vaikuttaa kaksi voimaa kuvan mukaisesti. Määritä näiden voimien resultantti R voimien komponenttien avulla 17

18 Partikkelin tasapaino Määritelmä Partikkeli on tasapainossa, jos siihen vaikuttavien voimien resultantti häviää. Siis R 0 Kuvassa R F1 F2 F3 0 eli voimien F1, F2 ja F3 voimamonikulmio sulkeutuu. Tasapainoyhtälöt komponenttimuodossa (suorakulmainen koordinaatisto): R F F... F F 0 x 1x 2x nx ix i=1 n R F F... F F 0 y 1y 2y ny iy i=1 n 18