KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme"

Hannu-Pekka Parviainen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

sekä osata esittää ne skalaari- ja vektorimuodossa Osata analysoida pisteen ympyräliikettä Sisältö Määritellään, mitä on pyörimisliike

2 Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän kappaleen pyörimisliikettä kiinteän akselin ympäri Ymmärtää käsitteet: kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys sekä osata esittää ne skalaari- ja vektorimuodossa Osata analysoida pisteen ympyräliikettä Sisältö Määritellään, mitä on pyörimisliike Määritellään kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys Tarkastellaan pisteen liikettä jäykän kappaleen rotaatioliikkeessä Kinematiikan yhtälöiden esittäminen normaali- ja tangentiaalikoordinaatistossa Sovellusesimerkkejä

3 Jäykän kappaleen tasoliike

4 Kulmanopeus ja -kiihtyvyys Tarkastellaan pyörivän kappaleen pisteen P liikettä. Piste P liikkuu ympyräradalla kappaleen pyörimisakselin ympäri. Pisteen P kulma-asema ilmoitetaan kulman θ avulla. Kulman muutos, dθ, on pisteen P kulma-aseman muutos. Kulma-aseman muutosnopeus eli muutos ajan suhteen on kulmanopeus, ω. ω = dθ [ω] = rad s

5 Kulmanopeus ja -kiihtyvyys Kulmanopeuden muutos ajan suhteen on kulmakiihtyvyys, α. α = dω α = d2 θ 2 Koska ω = ω(θ) ja θ = θ(t), niin ω = ω(θ(t)). Yhdistetyn funktion derivaatasta α = dω = dω dθ dθ = dω dθ ω αdθ = ωdω Johdettiin yhtälö, joka yhdistää kulmakiihtyvyyden, kulmaaseman ja kulmanopeuden. Koska kappale on jäykkä, kaikilla kappaleen pisteillä on sama kulmanopeus ja kiihtyvyys. Siten koko kappaleella on sama kulmanopeus ja kiihtyvyys (lukuunottamatta pisteitä, jotka sijaitsevat pyörimisakselilla).

Esimerkki Vauhtipyörä pyörii kulmanopeudella ω = (4θ 1/2 ) rad/s, missä θ = rad. Määritä, kuinka pitkä aika kuluu kulmanopeuden ω = 150 rad/s saavuttamiseen.

6 Esimerkki Vauhtipyörä pyörii kulmanopeudella ω = (4θ 1/2 ) rad/s, missä θ = rad. Määritä, kuinka pitkä aika kuluu kulmanopeuden ω = 150 rad/s saavuttamiseen. Olkoon kulmaasema alussa (t = 0) θ = 1 rad. Tehtävässä tunnetaan kulmanopeus ja halutaan ratkaista aika tietyn nopeuden saavuttamiseen. Ratkaisu saadaan kulmanopeuden yhtälöllä: Järjestellään termit ja integroidaan. = 1 ω dθ 0 t = 1 θ 1 ω dθ ω = dθ t = 1 θ 1 4 θ dθ θ = 1 2 θ 1 = 1 2 θ 1 2 Voimme ratkaista kulma-aseman lopussa, kun tunnemme kulmanopeuden lopussa. ω = 4 θ = 150 θ = (150/4) 2 = rad t = = (s)

7 Käyräviivainen liike: Normaali- ja tangentiaalikomponentit (Kirjan luku 12.7) Partikkelin asema on kaaren pituus s, mitattuna kiinteästä pisteestä O. Partikkeli liikkuu tunnetulla käyräviivaisella reitillä. Määritellään (n,t)-koordinaatisto, joka liikkuu partikkelin mukana, origo partikkelissa. t-akseli on käyrän tangentin suuntainen ja sen positiivinen suunta, jota merkitään yksikkövektorilla u t, on kasvavan etäisyyden s suuntaan. n-akseli on kaarevuussäteen suuntainen ja tangenttia vastaan kohtisuorassa. Sen positiivinen suunta, jota merkitään yksikkövektorilla u n, on aina käyrän koveralle puolelle.

8 Pisteen liike ympyräradalla Pisteen P kulma-asema voidaan ilmoittaa kulman θ avulla. Pisteen P asema ympyräradallaan voidaan ilmoittaa rata-aseman s avulla. s = rθ Derivoimalla puolittain ajan suhteen saadaan nopeuden ja kulmanopeuden yhteys. s θ dθ ds = r dθ v = rω Nopeusvektori on aina liikeradan tangentin suuntainen: v = vu t

9 Pisteen liike ympyräradalla Nopeuden ja kulmanopeuden yhteys voidaan ilmoittaa myös vektorimuodossa ristitulon avulla v = ω r P Missä r P on etäisyys pyörimisakselilta pisteeseen P. v = ωr P sinφ = ωr = ω r

10 Pisteen liike ympyräradalla Pisteen P kiihtyvyys on nopeuden aikaderivaatta. a = v v = vu t Nopeudella on suuruus ja suunta, jotka molemmat muuttuvat ajan funktiona, kun piste liikkuu ympyräradalla. Nopeuden aikaderivaatta on tulon derivoimissäännön mukaan Dfg = fdg + gdf v = vu t + v u t Tangentin suuntaisen yksikkövektorin aikaderivaatta, u t, on u t = v r u n Kiihtyvyys on (Todistus kirjassa, luku 12.7, sekä seuraavalla kalvolla) Kiihtyvyyden komponentit Kiihtyvyyden suuruus a = vu t + v2 r u n = a t u t + a n u n a t = v a n = v2 r a = a t 2 + a n 2

11 *) Ei käyty luennolla Käyräviivainen liike: Normaali- ja tangentiaalikomponentit. Miksi u t = v r u n? Katso myös kirjan luku 12.7 Partikkeli liikkuu matkan ds ajassa. Tangentin suuntaisen yksikkövektorin suunta muuttuu, ja on ajan jälkeen u t. Kaaren pituutta ds vastaa infinitesimaalinen kulman muutos dθ. Yksikkövektori u t siis kiertyy kulman dθ verran ja sen suunta ajan jälkeen on u t. Yksikkövektorin muutosta kuvaa vektori du t. Vektorien summasta saadaan u t = u t + du t Vektorin du t pituus on dθ ja sen suunta ajan jälkeen on u n. du t = dθ du t = dθu n Siten du t = dθ u n = ωu n = v r u n

12 Pisteen liike ympyräradalla Pisteen kiihtyvyys voidaan ilmoittaa myös vektorimuodossa ristitulon avulla. Muistetaan nopeuden ja kulmanopeuden yhteys Siten kiihtyvyys on v = ω r P a = dv = d (ω r P) = dω r P + ω dr P Tulon derivaatta! Tarkastellaan ristitulotermejä = α = v = ω r P α r P = αr P sinφu t = αru t = α r = α r P + ω (ω r P ) = α r ω 2 r = a t + a n ω r P = ωr p sinφu t = (ωru t ) ω ω r P = ωr ω u t = ωr ωu n = ω 2 ru n = ω 2 r

13 Pisteen liike ympyräradalla Kiihtyvyyden komponentit voidaan kirjoittaa kulmanopeuden ja kiihtyvyyden avulla yhdistämällä yhtälöt. a t = v a n = v2 r v = rω α = dω Kiihtyvyyden tangentin suuntainen komponentti a t = dv = r dω = rα a t = rα Kiihtyvyyden normaalin suuntainen komponentti a n = v2 r = (rω) 2 r = ω 2 r a n = ω 2 r Kiihtyvyysvektori on siten: a = a t + a n = a t u t + a n u n = rαu t + ω 2 ru n = r α ω 2 r (kuten edellä)

14 Yhteenveto Pyörimisliikkeen yhtälöt Kulmaliikettä kuvaavat yhtälöt. Perusyhtälöt Kulmanopeus ω = dθ Kulmakiihtyvyys α = dω Perusyhtälöistä johdettu kulmakiihtyvyyden, -aseman ja kulmanopeuden yhteys Pisteen P liikettä ympyräradalla kuvaavat yhtälöt. Nopeus v = rω Tangentin suuntainen kiihtyvyys a t = rα Normaalin suuntainen kiihtyvyys a n = ω 2 r αdθ = ωdω

Esimerkki Pyörän kulma-asema on θ = 0.5t 3 + 15t rad, missä t = s. Määritä ämpärin nopeus ja kiihtyvyys ajanhetkellä t = 3s.

15 Esimerkki Pyörän kulma-asema on θ = 0.5t t rad, missä t = s. Määritä ämpärin nopeus ja kiihtyvyys ajanhetkellä t = 3s. P Pyörän kehällä olevan pisteen P nopeus ja tangentin suuntainen kiihtyvyys ovat yhtä suuret kuin köyden ja ämpärin nopeus ja kiihtyvyys. Ratkaistaan siis pisteen P nopeus ja tangentin suuntainen kiihtyvyys ajanhetkellä t = 3s. Ensin ratkaistaan kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys kulma-aseman yhtälöstä. ω = dθ = d 0.5t3 + 15t = 1.5t (rad/s) α = dω = d 1.5t = 3t (rad/s 2 ) Pisteen nopeus ja kiihtyvyys ympyräradalla saadaan kulmanopeuden ja kiihtyvyyden avulla. v = rω: v(t = 3s) = 0.2m rad/s = 5.7 m/s a t = rα: = 1.8 m/s 2 a(t = 3s) = 0.2m 3 3 rad/s 2

16 Pyörimisliikkeen sovellus - hammasrattaat Hammasrattaiden kontaktipisteiden nopeus ja tangentin suuntainen kiihtyvyys ovat samat. v A = v A (a A ) t = (a A ) t ω B r B = ω C r C α B r B = α C r C (a A ) n (a A ) n a A a A

17 Esimerkki Moottori pyörittää ratasta A hetkellisesti vakiokulmakiihtyvyydellä α A = 4.5 rad/s 2. Alussa ratas on levossa. Määritä sylinterin C nopeus ja matka, jonka se kulkee kolmessa sekunnissa. Köysi on kierretty väkipyörän D ympärille, joka on kiinnitetty rattaaseen B. Sylinterin C nopeus ja sen kulkema matka ovat yhtä suuria kuin pisteen P nopeus ja sen kulkema matka väkipyörän D kehällä. Määritetään ensin väkipyörän D kulmakiihtyvyys ja - nopeus, joista saadaan ratkaistua kysytyt suureet. Hammasrattaat A ja B koskettavat toisiaan pisteessä P. Siten niiden kulmakiihtyvyyksien välillä on yhteys: α A r A = α B r B α B = α Ar A r B = 4.5rad/s2 (75mm) 225mm = 1.5rad/s 2 Rattaan B kulmanopeus ajanhetkellä t = 3s : α = dω α = dω = 0 ω Bdω ωb = 4.5 ( rad s ) Sylinterin C nopeus ajanhetkellä t = 3s (= pisteen P nopeus): v = rω B = (125mm)4.5 rad = m s s

18 Esimerkki Moottori pyörittää ratasta A hetkellisesti vakiokulmakiihtyvyydellä α A = 4.5 rad/s 2. Alussa ratas on levossa. Määritä sylinterin C nopeus ja matka, jonka se kulkee kolmessa sekunnissa. Köysi on kierretty väkipyörän D ympärille, joka on kiinnitetty rattaaseen B. Ratkaistaan hammasrattaan B ja väkipyörän D kulma-asema ajanhetkellä t = 3s integroimalla kulmanopeuden yhtälöstä ω = dθ Ensin pitää lausua kulmanopeus ajan funktiona α = dω α = dω 0 t 1.5 = 0 ω dω ω = 1.5t ( rad s ) Integroidaan kulmanopeuden yhtälö ω = dθ t = 0 θ dθ θ = = 6.75 (rad) Sylinterin kulkema matka saadaan yhtälöstä: s = rθ s C = r D θ = 125mm 6.75rad = 844 mm

19 Yhteenveto Tarkastelimme jäykän kappaleen rotaation kinematiikkaa Määrittelimme kinematiikan suureet: Kulma-asema Kulmanopeus Kulmakiihtyvyys ω = dθ α = dω Tarkastelimme pisteen liikettä ympyräradalla ja johdimme yhteydet pisteen liikkeen ja kulmaliikkeen välille ω ω α α v = rω a t = rα a n = ω 2 r v = ω r a = α r ω 2 r = a t + a n Sovelsimme tuloksia hammasrattaiden liikkeen laskemiseen.

Samankaltaiset tiedostot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää