Jatkoa lineaarialgebrasta

Transkriptio

1 Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit Karteesiset tensorit Determinantti, osa II Yleiset tensorit Koordinaatistomuunnokset David Hestenes 9 1 Singulaariarvohajotelma Ei-symmetrisille lineaarikuvauksille voidaan löytää joitakin kanonisia muotoja. Käytännöllisin kanoninen muoto lienee singulaariarvohajotelma. Olkoon F lineaarinen funktio n-dimensionaalisessa avaruudessa. Oletetaan, että missä I on pseudoskalaari. Olkoon det(f ) = F (I)I 1 0, D(a) = F F (a). Funktio D(a) on symmetrinen, joten sillä on n ortogonaalista ominaisvektoria ja n reaalista ja positiivista ominaisarvoa. Funktio D voidaan tällöin (kappale 4.4.7) esittää spektriesityksenä D(a) = n λ i a e i e i, i=1 1

2 missä {e k } n i=1 on ortonormaali joukko ominaisvektoreita. Funktiolle D määritellään neliöjuuri n D 1/2 (a) = λ 1/2 i a e i e i ja sille inverssi Merkitään nyt D 1/2 (a) = i=1 n i=1 S = F D 1/2. Operaattori S on ortogonaalinen, sillä λ 1/2 i a e i e i. SS = D 1/2 F F D 1/2 = D 1/2 DD 1/2 = I. Funktio F voidaan siis esittää muodossa F = SD 1/2. Funktio F voidaan esittää jossakin ortonormaalissa kannassa. Toisaalta funktio F voidaan esittää myös ominaisvektoreista muodostetussa ortonormaalissa kannassa. Yleisyyttä loukkaamatta voidaan olettaa, että kantojen origot ovat samassa pisteessä. Olkoon R rotaatio, joka kiertää ominaisvektorien kannan alkuperäiseksi kannaksi. Rotaatio R on luonnollisesti ortogonaalinen. Merkitään Λ 1/2 = D 1/2 R, mistä ortogonaalisuuden perusteella D 1/2 = Λ 1/2 R. Symmetrisen lineaarifunktion F singulaariarvohajotelma on hajotelma F = SΛ 1/2 R. 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit Useat modernin fysiikan kirjat on kirjoitettu tensorien kielellä. Tensori on koordinaatisto riippumaton olio, jolla on hyvä mallintaa fysikaalista maailmaa. Fysikaaliset suureet on lähes poikkeuksitta tulkittavissa tensoreiksi, esim. skalaarit (0-asteen tensori), vektorit (1-asteen tensorit) ja dyadit 2

3 (2-kertaluvun tensorit). Dyadeista voidaan ottaa esimerkkeinä Hitaustensori, jännitystensori ja muodonmuutostensori. Vaikka tensorien komponentit muuttuvat koordinaatistomuunoksissa, itse tensori on koordinaatistosta riippumaton Karteesiset tensorit Karteesiset tensorit esiintyvät karteesisissa koordinaatistoissa. Olkoon {e i } n i=1 ortonormaali kanta, siis e i e j = δ ij. Olkoon {e i} n i=1 ortonormaali kanta, joka on saatu kiertämällä kantaa {e i } n i=1, eli kantavektoreille pätee e i = Re i R = Λ ij e j. Kun otetaan pistetulo vektorin e j kanssa puolittain, saadaan Tästä seuraa, että Λ ij = (Re i R ) e j. ja vastaavasti Λ ij Λ ik = (Re i R ) e j (Re i R ) e k = (e i e j )(e i e k ) = (e i R e j R)(e i R e k R) = (R e j R) (R e k R) = δ jk Λ ik Λ jk = δ ij. Tarkastellaan seuraavaksi, miten vektorit muuttuvat koordinaatiston muunnoksissa. Vektorilla a on kannassa {e i } n i=1 komponentit a i = e i a. Koordinaatiston muunnoksessa komponentit muuuttuvat siten, että a i = e i a = Re i R a = Re i R e j (e j a) = Λ ij (e j a) = Λ ij a j. 1 Tensoreista ja lujuusopista tensorien kielellä löytyy klassikkoteoksesta: Sokolniko: Tensor analysis : theory and applications to geometry and mechanics of continua 3

4 Vektori pysyy kuitenkin samana vaikka komponentit muuttuvat. Tutkitaan seuraavaksi, miten lineaarikuvaukset muuttuvat koordinaatistomuunnoksessa. Olkoon F lineaarikuvaus ja merkitään F ij = e i F (e j ). Kun sovelletaan summaussääntöä ja lineaarisuutta, saadaan e i F (a) = e i F (a j e j ) = F ij a j. Olkoon F ja G lineaarikuvauksia. Tällöin Lineaarikuvausten tulon komponenteiksi saadaan (F G) ij = (F G(e j )) e i = G(e j ) F (e i ) = (G(e j ) e k )(e k F (e i )) = F ik G kj. Yllä oleva kaava on tuttu matriisitulosta. Kun suoritetaan koordinaatistomuunnos lineaarikuvaukselle, muuttuvat lineaarikuvauksen komponentit F ij = Λ ik Λ il F kl. Karteesisten tensorien joukossa on kaksi tärkeää invarianttia tensoria. Invariantilla tarkoiteitaan tässä tilanteessa sitä, että edes komponentit eivät muutu koordinaatistomuunnoksessa. Ensimmäinen näistä on Kroneckerin Delta δ, jonka komponentit ovat { 1, i = j, δ ij = 0, i j. Kroneckerin delta on todellakin invariantti, sillä δ ij = Λ ik Λ jl δ kl = Λ ik Λ jk = δ ij. Toinen invariantti tensori on permutaatiotensori 1, i, j,..., k on parillinen määrä permutaatioita, ɛ ij...k = 1, i, j,..., k on pariton määrä permutaatioita, 0, muulloin. 4

5 Määritelmässä i, j,..., k on parillinen määrä permutaatioita tarkoittaa, että permutoitaessa n:n alkion jono i, j,..., k jonoksi 1, 2,..., n vaihdoksia on parillinen määrä. Vastaavasti parittomat permutaatiot. Invarianssi todistamiseksi tarvitaan identiteettiä F αi F βj F γk ɛ αβ...γ = det(f )ɛ ij...k. Kun sovelletaan tätä tulosta tensorin ɛ ij...k koordinaatistomuunnoksessa, saadaan joten ɛ ij...k on invariantti. ɛ ij...k = Λ iα Λ jβ Λ kγ ɛ αβ...γ = det(λ) }{{} 2.2 Determinantti, osa II =1,Λkierto ɛ ij...k, Tarkastellaan determinantteja ja pyritään antamaan determinantille perinteinen permutaatiosummaesitys. Permutaatiotensori voidaan antaa muodossa ɛ ij...k = e i e j e k I. Tällöin Merkitään eli F αi F βj F γk ɛ αβ...γ = F αi F βj F γk e i e j e k I Funktion F determinantti on tällöin = F (e i ) F (e j ) F (e k )I = det(f )e i e j e k I = det(f )ɛ ij...k. f i = F (e i ) F ij = e i f j. det(f ) = (f 1 f 2 f }{{ n ) (e } n e n 1 e 1 ). }{{} =F (I) I Jos vaihdetaan kahden f k :n paikka, vaihtuu determinantin etumerkki, tämä vastaa matriisin determinantissa sarakkeiden vaihtamista. Kun kuljetetaan e j terässä ensimmäiseksi, saadaan e 1 e 2 e n = ( 1) j+1 e j e 1 ě j e n, 5

6 missä ě j tarkoittaa poistettua alkiota. Kun sovelletaan tätä edellä saatuun determinantin lausekkeeseen, saadaan det(f ) = ( 1) j+1 (e n ě j e 1 ) (e j (f 1 f 2 f n )) n = ( 1) j+k e j f k (e n ě j e 1 ) (f 1 ˇf j f n ), k=1 mikä vastaa perinteistä determinantin määritelmää. 2.3 Yleiset tensorit Olkoon {e k } mielivaltainen kanta n-dimensioissa avaruudessa. Kannan {e k } käänteiskanta {e k } määritellään siten, että kantavektorit toteuttavat ehdon e i e j = δ i j. Olkoon vektorilla a komponentit (a 1, a 2,..., a n ) kannassa {e k } ja komponentit (a 1, a 2,..., a n ) kannassa {e k }. Vektorien a ja b pistetulo on summasäännön nojalla a b = (a i e j ) (a j e j ) = a i b j e i e j = a i b j δ j i = a i b i. Toinen tapa laskea sisätulo on käyttää ns. metristä tensoria. Metrinen tensori on identiteettikuvauksen yleistys ei-ortonormaaliin kantaan. Ortonormaalissa kannassa metrinen tensori palaa identiteetikuvaukseksi. Metrisen tensorin komponentit määritellään g ij = e i e j ja käänteiskannassa g ij = e i e j. Kannan ja käänteiskannan metriset tensorit ovat toistensa inverssit, sillä Tällöin pistetulo voidaan laskea g ik g kj = e i e k e k e j = e i e j = δ i j. a b = a i b i = a i b i = a i b j g ij = a i b j g ij. 6

7 Olkoon F lineaarikuvaus. Kuvauksen komponentit kannassa ja käänteiskannassa ovat F ij = e i F (e j ) ja Komponenttien välinen yhteys on F ij = e i F (e j ). F ij = e i F (e j ) = e i e k e k F (e l e l e j ) = e i e k e l e j e k F (e l ) = g ik g lj F kl. Adjungoidun operaattorin komponentit ovat F ij = F (e j ) e i = e j F (e i ) = F ji. Lineaarikuvaus voidaan antaa myös ns. sekaindeksisessä muodossa (mixed index) F j i = F (e j ) e i = e j F (e i ) = F j i. Jos S on symmetrinen lineaarikuvaus, eli S = S, niin Vastaavasti voidaan osoittaa, että Kahden lineaarikuvauksen tulo S ij = S(e j ) e i = e j S(e i ) = S ji. S j i = Si j ja S ij = S ji. (F G) ij = F G(e j ) e i = G(e j ) F (e i ) = G(e j ) e k e k F (e i ) = F k i G kj.) 2.4 Koordinaatistomuunnokset Olkoot {e k } ja {f k } ei-ortonormaaleja kantoja. Merkitään f αi = f α e i 7

8 ja Tällöin ja f αi = f α e i. f αi f αj = f α e i f α e j = e i e j = δ j i f αi f βi = f α e i f β e i = f α f β = δ β α. Vektori a voidaan antaa kannan {e k } komponenttien ja kannan {f k } käänteiskannan avulla a = a i e i = a i f α e i f α = a i f αi f α, milloin muunnetut vektorin komponentit ovat a α = a i f αi. Vastaavasti voidaan muuntaa lineaarikuvauksia. Lineaarikuvausten muuntokaavat ovat F αβ = f αi f βj = F ij ja F β α = f i αf β j F j i. 8

9 3 David Hestenes Geometriset algebrat kehitti tunnetusti W. Cliord 1800-luvulla. Kuitenkin alun jälkeen algebrojen kehitys pysähtyi lähes tyystin luvulla fyysikko David Hestenes Ph.D. (1933-) palautti geometriset algebrat takaisin suuren kansan tietoisuuteen ja teorian kehitys onkin ollut tästä eteenpäin melko nopeaa. Hestenesiä voikin syystä pitää yhtenä geometristen algebrojen teoriaan vaikuttaneista merkittävistä henkilöistä. Hestenes teki elämäntyönsä Arizonan yliopiston fysiikan ja astronomian tiedekunnassa, missä hän on nykyisin emerituksena. Hestenesin tutkimusalueita ovat matematiikka, teoreettinen fysiikka, analyysi geometristen algebrojen avulla (geometric calculus), kognitiivinen tutkimus ja fysiikan opetus. (Lähde Wikipedia) Vuodesta 1976 vuoteen 1979 Hestenes toimi American Journal of Physics:ssä Associate Editor:ina Vuonna 2002 American Association of Physics Teachers myönsi Hestenesille Oerstedin mitallin 2 Huomattavasta vaikutuksesta fysiikan opetukseen. Linkkejä: Hestenesin kotisivut Hestenesin emeritus-sivut 2 Hans Christian Ørsted, , Tanskalainen fyysikko ja kemisti. Mitalleja jaettu vuodesta 1936 lähtien. Muita kuuluisia mitalin saajia mm. Hans A. Bethe, Richard Feynman, Carl Sagan ja Frank Oppenheimer, joista kolme ensimmäistä on saanut myös Nobelin palkinnon. 9