KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Transkriptio

1 KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento Susanna Hurme

2 Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut ) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten yleinen tasoliike koostuu yhtäaikaisesta translaatio- ja rotaatioliikkeestä Osata analysoida yleistä tasoliikettä eri menetelmillä Absoluuttinen liike Suhteellinen liike Hetkellinen nopeusnapa Ymmärtää, mitä kinemaattiset rajoitteet ovat ja miten ne huomioidaan kappaleen liikkeen analysoinnissa Sisältö Absoluuttinen liike: muodostetaan pisteen translaation ja kappaleen rotaation välinen matemaattinen yhteys Määritellään suhteellinen nopeus Nopeusanalyysi hetkellisen nopeusnavan avulla Määritellään suhteellinen kiihtyvyys

3 Jäykän kappaleen tasoliike

4 Absoluuttinen liike (Kirjan luku 16.4) Kappaleen tasoliike voidaan täysin määritellä, kun tunnetaan kappaleen jonkin viivan rotaatioliike sekä kappaleen jonkin pisteen translaatioliike. Joskus näille liikkeille voidaan määritellä yhteys kappaleen geometrian avulla. α ω A B = rθ ds G dt = d dt rθ = r dθ dt G B s G r θ A A G A B = AB = s G s G = rθ v G = rω dv G dt = r dω dt a G = rα

5 Absoluuttinen liike (Kirjan luku 16.4) Myös kappalesysteemin liikettä voidaan tarkastella määrittämällä geometrian avulla yhteys translaatiossa tai rotaatiossa olevan kappaleen, ja yleisessä tasoliikkeessä olevan kappaleen välille. Mikä on sauvan AB kulma-asema pystysuoran koordinaatin y funktiona, kun ohjuri liikkuu ylöspäin? y = (0.3m) cosθ Mikä on sauvan AB kulmanopeus, kun ohjurin nopeus on 2 m/s ylöspäin, ja kulma θ = 50? d dt y = d (0.3m) cosθ dt Yhdistetyn funktion derivaatta! v = 0.3m d dt cosθ = 0.3m d dθ cosθ dθ dt = 0.3m sinθ ω

6 Absoluuttinen liike (Kirjan luku 16.4) ω = 2m/s 0.3m sin50 = 8.7 rad s Mikä on sauvan AB kulmakiihtyvyys, kun ohjurin kiihtyvyys on 3 m/s 2 ylöspäin, ja kulma θ = 50? v = 0.3m sinθ ω Tulon derivaatta! dv dt = 0.3m d dt sinθ ω = 0.3m ω d dt sinθ + sinθ dω dt Yhdistetyn funktion derivaatta! a = 0.3m ω cosθω + sinθ α = (0.3m)(ω 2 cosθ + αsinθ) α = 3 m s 2 rad m s sin50 2 cos50 = 50.5 rad s 2

7 Suhteellinen liike nopeus (Kirjan luku 16.5) Yleinen tasoliike voidaan kuvata tarkastelemalla liikkeen translaatio- ja rotaatiokomponentteja erikseen. r B = r A + r B/A dr B = dr A + dr B/A

8 Suhteellinen liike nopeus (Kirjan luku 16.5) dr B dt = dr A dt + dr B/A dt v B = v A + v B/A v B = v A + ω r B/A

9 Suhteellinen liike nopeus (Kirjan luku 16.5) v Ay r A/B x v A = v B + ω r A/B v Ax i + v Ay j = 0 + ωk r A/B ( sin θ i + cos θ j) v Ax HUOM! Yksikkövektoreiden ristitulo. Tehtävässä y-akseli osoittaa alaspäin. k i v Ax i + v Ay j = ωr A/B ( sin θ j cos θ i) Jotta vektorit ovat yhtä suuret, i- ja j- komponenttien on oltava yhtä suuret. j Kinemaattinen rajoite: v Ay = v = 2 m s j (2m/s) = ω(0.3m)( sin 50 ) ω = 8.7 rad/s v Ax = ωr A/B cos θ = 8.7rad/s 0.3m cos 50 = 1.68 m/s

10 Hetkellinen nopeusnapa (Kirjan luku 16.6) Nopeus tietyllä hetkellä voidaan määrittää helposti valitsemalla referenssipisteeksi A hetkellinen nopeusnapa (instantaneous center of zero velocity, IC). Se on piste, jonka nopeus kyseisellä hetkellä on nolla. = 0 v B = v IC + ω r B/IC = ω r B/IC v B = ωr B/IC

11 Hetkellinen nopeusnapa (Kirjan luku 16.6) IC:n paikan määrittäminen onnistuu, kun pidetään mielessä: v B = ω r B/IC : v B = ωr B/IC : Nopeusvektori on aina kohtisuorassa paikkavektoria vastaan. Paikkavektorin pituus tunnetaan, jos nopeus ja kulmanopeus tunnetaan. v B 2m d v B r B/IC IC r B/IC IC IC r B/IC v B d v A

12 Suhteellinen liike kiihtyvyys (Kirjan luku 16.7) v B = v A + v B/A dv B dt = dv A dt + dv B/A dt a B = a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n = +

13 Suhteellinen liike kiihtyvyys (Kirjan luku 16.7) a B = a A + (a B/A ) t +(a B/A ) n Kinemaattiset rajoitteet: (a B/A ) t = α r B/A (a B/A ) n = ω 2 r B/A a B = a A + α r B/A ω 2 r B/A

14 Suhteellinen liike kiihtyvyys (Kirjan luku 16.7) a (B/A)t a A = rα = 2m 2 rad s 2 = 4 m s 2 a A = a A i = 4 m s 2 i y r B/A a (B/A)n a A r B/A = 2m cos 45 i + sin 45 j = 2i + 2j m a (B/A)t = α r B/A x = 2 rad ( k) 2i + s2 2j m = 2 2 m (j + i) s2 a B = a A + a B/A = a A + a (B/A)t + a (B/A)n a (B/A)n = ω 2 r B/A = a A + α AB r B/A ω 2 r B/A = 4rad/s 2 2i + 2j m a Bx i + a By j = a A i + a (B/A)tx i + a (B/A)ty j + a (B/A)nx i + a (B/A)ny j = 16 2 m (i j) s2 i: a Bx = a A + a (B/A)tx + a (B/A)nx = ( ) m s m s 2 j: a By = a (B/A)ty + a (B/A)ny = m s m s 2

15 Suhteellinen liike kiihtyvyys (Kirjan luku 16.7) a An r A a (B/A)t = α AB r B/A = α AB k (2m)( cos 30 i sin 30 j) y a B α AB r B/A a At = (1.7321α AB j α AB i) m s 2 = a (B/A)ty j + a (B/A)tx i a (B/A)n = ω 2 r B/A x a B = a A + a B/A = a A + a (B/A)t + a (B/A)n = a A + α AB r B/A ω 2 r B/A = 1.15rad/s 2 (2m)( cos 30 i sin 30 j) = m s 2 i m s 2 j = a (B/A)nx i + a (B/A)ny j a A = a At + a An = α r A ω 2 r A = 8 rad s 2 k 0.5m i 4 rad s 2 ( 0.5m i) a Bx i + 0j = {8i 4j α AB i α AB j i j} m s 2 j: 0 = ( α AB ) m s 2 α AB = rad s 2 = 4 m s 2 j + 8 m s 2 i = a Ay j + a Ax i i: a Bx = ( ) m s m s 2

16 Yhteenveto α ω Tarkastelimme yleistä tasoliikettä absoluuttisen ja suhteellisen liikkeen menetelmillä Määrittelimme yhteyden kappaleen pisteen translaatiolle ja kappaleen rotaatiolle, eli tarkastelimme absoluuttista liikettä Määrittelimme pisteen nopeuden ja kiihtyvyyden translaation ja suhteellisen rotaation summana, eli tarkastelimme suhteellista liikettä Nopeuden määrittämiseen tietyllä hetkellä voidaan käyttää hetkellistä nopeusnapaa, IC Yhtälöt yksinkertaisia G B s G r θ A A G