4 MATERIAALIMALLIT 4.1 JOHDANTO ELASTINEN KIINTEÄ AINE VISKOOSI NESTE LÄMMÖN JOHTUMINEN...

Transkriptio

1 4 MATERIAALIMALLIT 4.1 JOHDANTO ELASTINEN KIINTEÄ AINE VISKOOSI NESTE LÄMMÖN JOHTUMINEN Viikko 47/1

2 VIIKON 47 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 47 jälkeen kurssin osallistuja osaa ratkaista viikon luentotehtävät, kotitehtävät ja esimerkkitehtävät aiheista ς Sisäisten ja ulkoisten voimien mallit ς Kiinteän aineen jännityksen riippuvuus venymästä. Yleistetyn Hooken lain jännitysmuodonmuutos relaation komponentti ja tensoriesitykset. Isotrooppisen kiinteän aineen materiaaliparametrit. ς Nesteen jännityksen riippuvuus paineesta ja venymänopeudesta. Newtonin nesteen jännitys-paine-muodonmuutosnopeus relaation komponentti ja tensoriesitykset. Isotrooppisen nesteen materiaaliparametrit. ς Lämpövuon rippuvuus lämpötilasta. Fourierin lämmönjohtumislain komponentti ja tensoriesitykset. Isotrooppisen aineen materiaaliparametrit. Viikko 47/2

3 KIINTEÄN AINEEN LOKAALIT MUODOT Kiinteän aineen esityksissä ratkaisualue on kappaleen alkutilanteen rajaama kiinteän koordinaatiston alue ς. Perustuntemattomia ovat siirtymä u θ, tiheys θ ja lämpötila T. Taseyhtälö Alue Reuna Dm < 0 θ < J θ Dt θ Dp Dt < F θ 2θ u σ θ θ σ θ < ρ f n ρ < t θ 2 t θ DL Dt < M θ σ σ ρ < ρ c D( U K) Dt e σ σ θ < d s, q t < PW PQ θ ρ : c n θ q θ < h Viikko 47/3

4 LOKAALIT MUODOT NESTEELLE Nesteen esityksissä ratkaisualue on kiinteän koordinaatiston alue ς. Perustuntemattomia ovat virtausnopeus v θ, tiheys θ tai paine p ja lämpötila T (useita vaihtoehtoja). Taseyhtälö Alue Reuna Dm θ θ < 0 ( θv) < 0 Dt t θ Dp Dt < F θ θ v θ θ σ θ θ( v v) < ρ f t θ DL Dt < M θ σ σ ρ < ρ c D( U K) Dt e θ σ σ θ v e < d s, q t < PW PQ θ( ) ρ : c θ σ n ρ < t θ n θ q θ < h Viikko 47/4

5 Viikko 47/5

6 4.1 JOHDANTO Vuorovaikutukset näyttäytyvät partikkeliin, ainealkioon tai kappaleeseen vaikuttavina voimina (a) Gravitaatio (painovoima) (b) Sähkömagneettinen vuorovaikutus (kosketusvoima, kitkavoima) (c) Vahva vuorovaikutus (d) Heikko vuorovaikutus Kurssin kannalta kiinnostavia ovat lähinnä sähkömagneettisen vuorovaikutuksen ja gravitaation (makroskooppiset) seuraukset eli voimat tai lämpövirrat. Viikko 47/6

7 SISÄISET JA ULKOISET VOIMAT Peruslait koskevat kappaletta, jonka valinta jakaa voimat sisäisiin ja ulkoisiin. Sisäisillä voimilla tarkoitetaan kappaleen partikkelien tai kappalealkioiden välisiä vuorovaikutuksia, jotka esiintyvät aina vastakkaissuuntaisina pareina ja siis summautuvat nollaksi. Tyypilliselle kappaleen valinnalla ulkoisia voimia ovat painovoima sekä kappaleen pintaan vaikuttava traktio (kappaleen ulkopuolisten partikkeleiden vaikutus). Kappaleen sisältä valitun ainealkion tarkastelussa jännitys on ulkoinen voima. Viikko 47/7

8 ESIMERKKI Sylinteri kelluu veden pinnalla kuvan mukaisesti. Sylinteriä poikkeutetaan hieman alaspäin, jolloin se alkaa värähdellä harmonisesti tasapainoasemansa ympärillä. Määritä sylinteriin vaikuttavat ulkoiset voimat, kun sylinterin paino on G ja pohjan pintaala A. Nesteen tiheys θ ja ilmanpaine p 0 ovat vakioita. Nostevoiman otaksutaan vaikuttavan nestestatiikan mukaisesti. g ρ x Vastaus F θ < Gi θ θ, Fp G θ <,θgaxi (sylinterin syrjäyttämän nesteen paino) Viikko 47/8

9 Nostevoiman otaksutaan vaikuttavan nestestatiikan mukaisesti. Nestestatiikassa σ ρ <, pi σ θ θ θ, jossa paine, p f < 0 ja tilavuusvoima f < θgi < ( θgx) kuvan koordinaatiston valinnalla. Nestestatiikan tasapainoyhtälön ratkaisu paineelle (ilmanpaine p 0), ( p, θgx) < 0 p < p0 θ gx nesteessä ja p< p0 ilmassa (likimain vakio). Tarkasteltava kappale on tässä sylinteri, johon kohdistuu ulkoisina voimina maan vetovoima ja noste nesteestä. Sylinterin (s) ja nesteen (n) rajapinnalla sijaitsevan θ θ nestealkion liikemäärän tase nn ρ n < t θ n, jossa t θ n on sylinterin nesteeseen kohdistama traktio. Voiman ja vastavoiman lain mukaan sylinteriin kohdistuva traktio θ θ t <, n( p0 θgx), jossa n θ on sylinterin pinnan ς ulkoinen normaali. Paineen resultantti on traktion integraali sylinterin pinnan ylitse θ θ θ θ θ F <, np da, n( p, p ) rdεdx, iaθgx <, iaθgx. p ς x Viikko 47/9

10 VOIMAMALLEJA Mekaniikan vuorovaikutusmallit ovat eri tilanteille saatuja kokemusperäisiä ja enemmän tai vähemmän täsmällisiä massaa, voimaa, lämpövuota, lämpötilaa, siirtymää, nopeutta jne. koskevia yhteyksiä. r Yleinen gravitaatiolaki F < Maan pinnan läheisyydessä mm K r 2 R 2 F < mg( ) mg r m F M l < l0 Χl Jousi F < kχ l < k( l, l0) F F Vaimennin F < dl c dt F dl / dt F Viikko 47/10

11 Ilmanvastus θ 1 θ θ F <, C θ A v v 2 D C D < 1.28 [0.07,0.5] θ θ θ v Liikekitka Fλ( v) <, λkn θ (C.A. Coulomb ) v θ Lepokitka Fλ λsn θ (täysin kehittynyt Fλ < λsn ) Kontinuumin mallintamisessa tarvitaan erityisesti jännityksen ja lämpövuon tiheyden riippuvuudet venymästä, venymänopeudesta ja lämpötilasta. Viikko 47/11

12 PALLON VASTUSKERROIN 2 Log C D Log Re Vastuskerroin ei ole tarkasti ottaen vakio tietylle muodolle, vaan sen arvo riippuu ainakin ns. Reynoldsin ja Machin luvuista ( Re < vlθ/ λ, Ma < v/ a, jotka riippuvat mm. vauhdista v)! Viikko 47/12

13 KITKAKERTOIMIA Ainepari λ s (lepo) λ k (liuku) Teräs-teräs Kupari-teräs Kumi-betoni Teflon-teflon Lumi-sukset Lumi-sukset, 10 C : C : Taulukon arvot ovat karkeita arvioita. Kitkakertoimet λ k ja λ s riippuvat vahvasti materiaaliparista, mutta heikommin kosketuspinnan alasta ja pinnan karheudesta! Viikko 47/13

14 ESIMERKKI Kun säiliö täytetään hiekalla, havaitaan paineen pohjalla olevan likimain riippumaton täyttökorkeudesta, mutta miksi? (B.N.J. Persson, Sliding Friction Physical Principles and Applications, Springer) R g λθ, x Vastaus p θgr, 2 λx/ R < (1, e ), joten 2λ p θ gr x> R ( λ 0) 2λ Viikko 47/14

15 Hiekkaan vaikuttaa ulkoisena voimana painovoima ja säiliön pinnan kohdistama σ traktio. Ajatellaan hiekka-hiekka rajapinnat likimain kitkattomaksi, jolloin ρ <, pi σ. Tarkastellaan Χ x paksuisen kappaleen voimatasapainoa pystysuunnassa ja oletetaan täysin kehittynyt lepokitka hiekka-säiliö rajapinnalla. Liikemäärän tase (tässä tasapainoyhtälö) F x < 0 kuvan kappaleelle 2 dp 2 2, λp2 οrχx pοr,( p Χx) οr οr Χ xθg < 0. dx x 2 οr p Yhtälön yleinen ratkaisu. Ilmanpaine voidaan unohtaa, joten paine pinnalla p (0) < 0 dp 2λ p < θg dx R p( x) 2λ, x R θgr < Ce 2λ Χx θgοr 2 Χx 2 dp οr ( p Χx) dx 2οRλpΧx 2λ, x R θgr p( x) < (1, e ). 2λ Viikko 47/15

16 MATERIAALIMALLIT Materiaalimallit (konstitutiiviset yhteydet) ovat kokemusperäisiä tietyn materiaalin tai materiaaliparin käyttäytymistä kuvaavia relaatioita, joita tarvitaan yleisten kontinuumimekaniikan taseyhtälöiden lisäksi. Yleinen fysiikan yhtälöitä koskeva tieto rajaa mahdollisten (lineaaristen) mallien joukkoa. ς Koordinaatistoinvarianssi. Tensorirelaatio täyttää ehdon automaattisesti. Jos esitys tunnetaan jossain koordinaatistossa esimerkiksi mittaustuloksina, esitys jossain toisessa koordinaatistossa voidaan määrittää ilman mittausten uusimista. ς Homogeenisuus kertaluvun ja dimension suhteen. Fysiikan yhtälön termien dimensioiden ja kertalukujen pitää olla samoja. Esimerkiksi kahden toisen kertaluvun tensorin a σ ja b σ σ lineaarisen homogeenisen relaation mahdollisia muotoja ovat a < Eb σ, σ σ σ σ a < E: b kerroin E ja E kuvaavat materiaalin ominaisuuksia. Kvalitatiivinen materiaalia koskeva tieto rajaa mahdollisia muotoja vielä tehokkaammin! Viikko 47/16

17 AINETYYPPEJÄ Materiaalin luokittelun perustana voidaan käyttää esimerkiksi kappaleen eri materiaalialkioiden käyttäytymistä samassa suunnassa tai tietyn materiaalialkion käyttäytymistä eri suunnissa. ς Lineaarisen materiaalin jännitys-venymä relaatio jne. ovat lineaarista tyyppiä. Jos rajoittaudutaan pieniin venymiin jne. käyttäytyminen on usein lineaarista. ς Homogeenisen kappaleen kaikki materiaalialkiot käyttäytyvät samalla tavalla. Tällöin materiaalin kuvaus pelkistyy tyypillisen kappalealkion käyttäytymisen kuvaukseksi. ς Isotrooppisen kappaleen tietyn materiaalialkion ominaisuudet ovat samoja kaikissa suunnissa. Esimerkiksi venytys eri suuntiin tuottaa aina saman kimmokertoimen arvon. Mallinnuksen kannalta yksinkertaisin lineaarinen, homogeeninen ja isotrooppinen ainemalli kuvaan kohtuullisen hyvin esimerkiksi metallien sisäisiä voimia, kun siirtymät ovat pieniä ja lämpötila vakio. Viikko 47/17

18 Kiinteän aineen jännitystä, muodonmuutosta, nesteen jännitystä, painetta ja muodonmuutosnopeutta ja lämpövuon tiheyttä koskevat tavanomaiset mallit ovat muotoa σ ρ < σ σ E : δ σ σ σ σ θ σ ja ρ <, pi C: d, q <, k T σ σ joissa neljännen kertaluvun elastisuustensori E, viskositeettitensori C ja lämmönjohtavuustensori k σ riippuvat materiaalista. Yleisen toisen ja neljännen 2 kertaluvun tensorien komponenttien lkm ovat 3 < 9 ja 3 4 < 81. Isotrooppisen aineelle k σ riippuu kuitenkin vain yhdestä materiaaliparametrista. Neljännen kertaluvun kummankin indeksiparin suhteen symmetrinen isotrooppinen tensori riippuu vain kahdesta materiaaliparametrista (voidaan valita useilla tavoilla): θθ T θθ θθ θθ T θθ θθ ii 1 α α α ii ij ji ij ji, σ θθ E jj α 1 α α θθ θθ θ θθ θ <, jj jk kj jk kj. 1, 2α θθ 2 kk α α 1, α θθ θθ θθ θθ θθ kk ki ik ki ik Viikko 47/18

19 4.2 ELASTINEN KIINTEÄ AINE Kuormitettaessa metallisauvaa havaitaan, että tarvittava voima riippuu sauvan pituudesta L, sauvan pituuden muutoksesta Χ L ja poikkipinnan pinta-alasta A s.e. F / A< EΧ L/ L. Kimmokerroin E riippuu materiaalista. Mikäli kuormitus ei ylitä tiettyä rajaa, sauvan pituus myös palautuu kuormituksen poistuessa ja kuormitusnopeuden vaikutus on usein pieni. Lineaaris-elastinen ainemalli on näiden havaintojen kompakti esitys. F L d F Mittaustilanteessa havaitaan myös kappaleen poikkipinnan halkaisijan d muutoksen riippuvan venymästä akselin suuntaan s.e. Χ d / d <,Χ µ L/ L. Myös suppeumaluku µ riippuu materiaalista. Viikko 47/19

20 MATERIAALIOMINAISUUKSIA 3 Materiaali ρ [ kg/m ] E [ GN/m ] ν [ 1 ] 2 Teräs Alumiini Kupari Lasi Graniitti Koivu Kumi Betoni Viikko 47/20

21 JÄNNITYS-VENYMÄ KUVAAJA Viikko 47/21

22 MATERIAALIKOKEEN PERIAATE Materiaalikokeessa aine-elementtiä kuormitetaan tietyllä voimalla ja jännitys lasketaan määritelmän perusteella (voima/pinta-ala). Muodonmuutos mitataan venymäliuskoilla tai lasketaan tiettyjen partikkeleiden siirtymistä (kuvassa ). Eri kuormituksilla toistetun kokeen tuloksista päätellään aineen elastiset ominaisuudet. y x y x y x 1. Venytys 2. Venytys 3. Leikkaus Viikko 47/22

23 Yleisessä lineaarisessa riippuvuudessa kukin jännityskomponenteista voi riippua kaikista muodonmuutoskomponenteista. Kirjoitetaan riippuvuus tavanomaiseen muotoon (yleensä C13 < C31 < 0 ja C23 < C32 < 0) δ 1/ / / xx C11 C12 C13 ρ Ex, µ xx yx Ey, γyx Gxy ρ xx δ yy C21 C22 C < 23 ρ yy <, µ xy / Ex 1/ Ey, λyx / Gxy ρyy. φ C xy 31 C32 C 32 ρxy, γxy / Ex, λxy / Ey 1/ Gxy ρxy Materiaalikokeessa yksi jännityskomponentti on nollasta eroava kerrallaan ja vastaavat venymät mitataan. Jos jännityksen suuruus kaikissa kuomitustapauksissa on sama ρ, ainealkio on h hneliö ja kuormitustapaus merkitään yläindeksillä C11 C12 C13 Χux Χux Χux C21 C22 C 23 < Χuy Χuy Χu y ρh C31 C32 C ux uy ux uy ux u Χ Χ Χ Χ Χ Χ y. Viikko 47/23

24 YLEISTETTY HOOKEN LAKI Yleistetty Hooken laki kuvaa jännityksen ja venymän välistä relaatiota esimerkiksi metallien tavanomaisissa käyttötilanteissa, kun siirtymät ovat pieniä ja lämpötila on vakio. Komponentti ja tensoriesitykset ovat ρxx δxx ρxy δxy ρyx δyx Komponentti: ρyy < [ E] δyy, ρyz < 2[ G] δyz, ρzy < 2[ G] δzy, ρzz δzz ρzx δzx ρxz δxz σ σ σ Tensori: ρ < E : δ, jossa θθ T θθ θθ θθ T θθ θθ ii ii ij ji ij ji σ θθ θθ θθ θ θθ θ E < jj [ E] jj jk kj [ G] jk kj. θθ θθ θθ θθ θθ θθ kk kk ki ik ki ik σ Elastisen materiaalin ominaisuuksia kuvaavan elastisuustensorin E kertaluku on 4. Komponenttiesityksen elastisuusmatriisit [ E ] ja [ G ] ovat aina symmetrisiä. Viikko 47/24

25 Koordinaatistoinvariantti symmetrinen tensorimuoto ρ σ s saadaan seuraavilla askeleilla komponenttiesityksestä θθ T θθ T θθ T ii ρ ij xx ρxy ji ρyx σ θθ θθ θ ρ < jj ρyy jk ρyz kj ρzy θθ θθ θθ kk ρzz ki ρzx ik ρxz σ 1 σ σ ( ρs < ( ρ ρc ) ) 2 θθ T θθ θθ T ii ρxx ij ji ρxy ρyx σ θθ θθ θ 1 ρs < jj ρyy jk kj ( ρyz ρzy ) θθ θθ θθ 2 kk ρzz ki ik ρzx ρxz (sijoitetaan komponentit) θθ T θθ θθ θθ T θθ θθ ii ii ij ji ij ji σ θθ θθ σ θθ θ θθ θ σ σ σ ρs < jj [ E] jj : δ jk kj [ G] jk kj : δ < E : δ. θθ θθ θθ θθ θθ θθ kk kk ki ik ki ik Viikko 47/25

26 AINEMALLEJA Isotrooppisen aineen kuvaus riippuu kimmokertoimesta E, suppeumakertoimesta (Poisson luku) µ ja liukukertoimesta G< E /(2 2 µ ). Riippumattomien parametrien lkm on 2, 1 1, µ, µ 1, µ µ µ E [ E] < E, µ 1, µ < µ 1, µ µ (1 µ)(1, 2µ ), µ, µ 1 µ µ 1, µ ja [ G] < G Ortotrooppisen aineen (puu, komposiitit jne.) kuvaus sisältää 9 riippumatonta materiaaliparametria. Ortotropia 123-koordinaatistossa elastisuusmatriisit 1/ E, µ / E, µ / E [ E] <, µ / E 1/ E, µ / E, µ 13 / E1, µ 23 / E2 1/ E , 1 ja G < G 23 [ G] G 31. Viikko 47/26

27 ESIMERKKI Alumiinin 7075-T6 kimmokerroin ja suppeumaluku ovat E ja µ < 1/3. Määritä alumiinikappaleen jännityskomponentit, kun tarkastelukohdassa mitatut Karteesisen koordinaatiston muodonmuutoskomponentit [ δ ] < k Vastaus ρ xx 7 3 ρ yy < ke 8, 4 ρ 5 zz ρxy ρyx 1 3 ρyz < ρzy < ke 4 4 ρ 0 zx ρxz Viikko 47/27

28 Isotrooppisen materiaalin jännitys-venymä yhteys riippuu kahdesta aineparametrista, jotka voidaan valita useilla eri tavoilla. Tavanomaisia valintaa E, µ ja G sitoo yhteys G < E /(2 2 µ ). Tässä tunnetaan E, µ ja G < 3 E/8. Tehtävän venymäkomponenteista ja isotrooppisen aineen jännityksen ja venymän matriisiesityksistä saadaan δ xx 2 δ yy < k 3 δ 0 zz ja δ xy 1 δ yz < k 4 δ 0 zx ρ xx 1, µ µ µ δxx E ρ yy µ 1 µ µ δyy E <, < k 3 < ke 8, (1 µ )(1 2 µ ) 4 3, 4 ρ µ µ 1 µ , zz δ zz ρxy δxy 1 3 ρyz < 2G δyz < Ek 4. 4 ρ 0 zx δzx Viikko 47/28

29 ESIMERKKI Johda tasojännitystilan ρyz < ρzx < ρzz < 0 ja yksiaksiaalisen jännitystilan ρxy < ρyz < ρzx < ρyy < ρzz < 0 jännitys-venymä yhteys lähtien yleistetystä Hooken laista δ xx 1, µ, µ ρxx 1 δ yy µ 1 µ <,, ρyy E δ µ µ 1 zz,, ρzz ja δxy ρxy 1 δyz < ρyz. 2G δzx ρzx Vastaus ρ xx 1 µ 0 δ xx E ρ yy µ 1 0 < δ 2 yy 1 µ, ρ µ, xy δxy ja ρxx < Eδxx Viikko 47/29

30 Tasojännitystilassa ( xy, taso) kaikki jännityskomponentit, joissa esiintyy z indeksinä ovat nollia. Vastaavan muodonmuutoskomponentin ei tarvitse kuitenkaan hävitä. Siis ρ < ρ < ρ < 0 yz zx zz δ xx 1, µ, µ ρxx 1 δ yy µ 1 µ <,, ρyy E δ µ µ 1,, zz 0 ja δxy ρxy 1 δyz < 0 2G δ 0 zx ρxx E 1 µ δxx ρ < 2 yy 1 µ µ 1 δ, yy ja ρ < 2Gδ xy xy Yksiaksiaalisessa jännityksessä ( x,akseli) ρ < ρ < ρ < ρ < ρ < 0 xy yz zx yy zz δ xx 1, µ, µ ρxx 1 δ yy µ 1 µ <,, 0 E δ µ µ 1 0,, zz δ xy 0 1 ja δ yz < 0 2G δ 0 zx Viikko 47/30 ρ xx Eδ xx <.

31 ESIMERKKI Kuormittamaton uimahyppylauta on vaakasuora ja jäykästi kiinnitetty toisesta päästään. Laudan pituus olkoon L ja poikkipinta-ala A < bh. Millä ehdoilla taipuma päässä ei ylitä arvoa χ eikä jännitys kiinnityskohdassa arvoa ρ cr, jos uimarin paino on W? Käytä taivutuspalkkimallia, jolle jännityksen ja taipuman wx ( ) (siirtymä 2 2 z,akselin suuntaan) välinen yhteys on ρ <, Ezd w / dx. xx W z L x Vastaus 3 4 WL Ebh 3 χ ja 6 WL ρ 2 cr bh Viikko 47/31

32 Hooken laista ja palkkimallin oletuksista seuraa taivutuspalkin normaalijännityksen ja taipuman välinen yhteys. Jännityksen momenttiresultantti ja palkin tasapainoyhtälöstä seuraava momentti ovat samoja h/2 h/ d w bh d w M <, zρ h/2 xxbdz, Ez bdz E, <,, h/ dx dx M <, W( L, x) Taipuma ja sen derivaatta ovat nollia seinämän kohdalla 2 d w W < 12 ( ) 2 3 L, x dx Ebh W 2 w( x) < 2 x (3 L, x). 3 Ebh Taipuma päässä 3 4 WL Ebh 3 χ ja jännitys tyvessä 6 WL ρ 2 cr bh Viikko 47/32

33 4.3 VISKOOSI NESTE Vedettäessä kelluvaa levyä nestepatjalla havaitaan, että tarvittava voima F riippuu vetonopeudesta v, nestepatjan paksuudesta Χ y ja levyn pinta-alasta A s.e. F / A< λχv/ Χ y. Verranollisuuskerroin (nesteen viskositeetti) λ riippuu nesteestä. Toisaalta tiedetään, että ulkoisesta voimasta huolimatta staattinen tasapaino esim. vesilasissa on mahdollinen. Viskoosin nesteen ainemallissa nämä havainnot yhdistetään nestealkion jännitys-paine-muodonmuutosnopeus relaatioksi. A F,v µ Χy y x Viikko 47/33

34 JUNANVAUNUANALOGIA Kaksi yhdensuuntaisilla raiteilla kitkattomasti liikkuvaa junanvaunua ja v 2 = v 1. Vaunuissa olevat henkilöt heittelevät pieniä esineitä vastakkaisen vaunun avoimista ikkunoista sisään. Vaunusta 2 vaunuun 1 siirtyvät esineet lisäävät törmätessään vaunun seinämiin vaunun 1 nopeutta ja vastaavasti vaunun 2 nopeus pyrkii pienenemään törmäysten johdosta. 1 v 1 2 v 2 Makroskooppisen näkökulman mukaan vaunut vaikuttavat toisiinsa tietyllä voimalla eli vaunujen välillä esiintyy kitkaa. Jos vaunut liikkuvat samalla nopeudella, liikemäärän nettosiirtyminen vaunun liikesuunnassa katoaa ja samoin myös ulkopuolisen havaitsijan mittaama kitka. Vaunujen välillä on myös liikesuuntaa vastaan kohtisuora voimakomponentti (paine). Viikko 47/34

35 ESIMERKKI Lasketaan kuvan patorakenteeseen nesteestä kohdistuvan pintavoiman resultantti staattisessa tilanteessa (neste levossa). Liikemäärä tase kirjoitettuna θ nestealkiolle yksinkertaistuu staattisessa tilanteessa muotoon, p f < 0, jossa kuvan θ θ koordinaatiston valinnalla f <, θgk <, ( θgz). Olkoon padon leveys H ja ilmanpaine vakio p 0. h n i π ds z ˆ< x 2 yˆ< x 1 Vastaus F θ ( p h g h ) L( j k tan π) < 0 θ θ, θ Viikko 47/35

36 Voimaresultantin laskennassa tarvitaan nesteen patoon kohdistama voima, joka θ σ saadaan nestealueen reunalta valitun ainealkion liikemäärän taseesta n ρ < t θ, jossa t θ on padon nesteeseen kohdistama traktio. Staattisessa tilanteessa nesteen sisäisiä σ voimia kuvaava malli on ρ <, pi σ. Nesteen (n) patoon (p) kohdistama traktio on vastakkaissuuntainen t θ <, n θ n ρ σ < n θ np <, np θ. Viimeisessä muodossa on käytetty yhteyttä n θ p <, n θ n < n θ. Laskelmassa tarvitaan paine nesteessä (ilmanpaine oli p 0 ) ( p θ gz) < 0 p θgz < p0 θgh tai p < p0 θg( h, z). θ θ θ Voimaresultantti saadaan integroimalla da < ( L /cos π ) dz, n < ksinπ, jcosπ θ θ h θ θ F < tda <, [ p θg( h, z)] L( k tan π, j) dz 0 0 F θ ( p h g h ) L( θ j k tan π) < 0 θ, θ Viikko 47/36

37 ESIMERKKI Lasketaan nopeusjakauma pystysuoraan levyyn levitetyssä tasapaksussa maalipinnassa (tiheys θ ja viskositeetti λ vakioita). Oletaan, että virtaussuureet v θ ja p riippuvat vain koordinaatista x ja u < w< 0. Ilmanpaine on vakio p 0 ja ilman viskositeetti λ ilma < 0. y g g Vastaus p( x) < p0 ja vx ( ) < θ xx (, 2 h) 2λ h x Viikko 47/37

38 θ Sovelletaan massan ja liikemäärän taseita Dm / Dt < 0 ja Dp / Dt < F θ kuvan kontrollialueelle (neliö sivun pituus h). Oletuksista seuraa, että massan tase toteutuu automaattisesti. Kontrollialueen liikemäärän muutos häviää, joten liikemäärän tase θ yksinkertaistuu muotoon F < 0. Kontrollialueeseen vaikuttaa pintavoimina paine ja viskoosi kitka ja tilavuusvoimana painovoima.,ph v h λ x ph,( p, ) h 2 x 2 θgh 2 v v h λ(, ) h x xx2 2 v v h λ( ) h x xx2 ph,( p ) h x 2 v h λ x,ph Viikko 47/38

39 Liikemäärän taseen lokaalit muodot p h p h v v Fx <, ( p ) h ( p, ) h λ h, λ h< 0 x 2 x 2 x x dp 0 dx <, 2 2 v vh v vh 2 Fy <, ph ph λ( ) h, λ(, ) h, θgh < 0 x 2 2 x 2 x x 2 2 d v λ 2 dx, θg < 0. Neste-ilma rajapinnalla paine on sama kuin ilmanpaine ja virtausnopeus häviää seinämän kohdalla. Koska ilman viskositeetti oletetaan pieneksi, nesteeseen ei vaikuta tangentiaalivoimaa neste-ilma rajapinnalla. Reuna-arvotehtävä dp 0 dx 22 < ja d v λ dx dv, θg < 0 x ]0, h[, p( h) < p0, v (0) < 0 ja λ ( h ) < 0 dx p( x) θg < p0 ja vx ( ) < xx (, 2 h). 2λ Viikko 47/39

40 NEWTONIN NESTE Newtonin nesteen jännitys-venymänopeus relaatio on kokoonpuristumattoman viskoosin nesteen sisäisten voimien malli, joka soveltuu hyvällä tarkkuudella mm. vedelle. Komponentti ja tensorimuodot ovat Komponentti: σ σ σ Tensori: ρ <, pi 2λd ρxx 1 dxx ρyx ρxy dxy ρyy <, p 1 2λ dyy, ρzy < ρyz < 2λ dyz, ρ 1 zz dzz ρxz ρzx dzx Jännitys-paine-muodonmuutosnopeus relaatio yhdistää viskoosiin kitkaan ja nestestatiikkaan liittyvät havainnot kompaktilla tavalla. Jos virtausnopeus häviää, saadaan σ nestestatiikan muoto ρ <, pi σ. Komponentti ρyx < 2 λdyx < λ( vy / x vx / y) vastaa tasolevykokeen ( v y < 0) tulosta ρ < λ v / y. yx x Viikko 47/40

41 σ σ σ σ Yleisemmässä lähtökohdassa ρ <, pi C: d. Isotrooppisen materiaalin neljännen kertaluvun viskositeettitensori θθ T θθ θθ θθ T θθ θθ ii 1 α α α ii ij ji ij ji, σ θθ C jj α 1 α α θθ θθ θ θθ θ <, jj jk kj jk kj 1, 2α θθ 2 kk α α 1, α θθ θθ θθ θθ θθ kk ki ik ki ik sisältää materiaaliparametrit ja α, jotka valitaan s.e. malli vastaa koetuloksia. Yleinen isotrooppinen relaatio, voidaan esittää kompaktissa muodossa σ σ α σσ σ σ ρ <, pi I( I : d) d. 1, 2α σ σ θ Jos tiheys θ on vakio, massan taseen lokaali muoto I : d < v < 0 ja keskimmäinen termi häviää riippumatta materiaaliparametrien ja α arvoista. Vertaamalla kokeelliseen tulokseen F / A< λχv/ Χ y saadaan < 2λ. Viikko 47/41

42 4.4 LÄMMÖN JOHTUMINEN Kun kaksi muilta pinnoiltaan lämpöeristettyä kappaletta laitetaan yhteen havaitaan, että lämpötilaero pienenee ajan kuluessa ja lopulta tasaantuu. Lämpöä siis (energia) siirtyy pienemmän lämpötilan suuntaan. Ajassa Χ t sauvan poikkipinnan lävitse siirtynyt lämpö Χ Q riippuu sauvan päiden lämpötilaerosta Χ T < T2, T1 sauvan pituudesta L ja poikkipinnan alasta A s.e. ΧQ/( AΧ t) <, kχ T / L, jossa lämmönjohtavuus k ([ k ] < W/Km) riippuu materiaalista. T 1 A T 2 L Metallisauvalla suoritettu koe osoittaa, että sauvan lämpötila vaikuttaa vahvasti myös sauvan pituuteen s.e. ΧL/ L < ( T, T ), jossa on pituuden lämpölaajenemiskerroin. Viikko 47/42

43 MATERIAALIOMINAISUUKSIA Materiaali k [W / Km] α [μm / mk] c [J / kgk] Teräs Alumiini Kupari Lasi Graniitti Puu Kumi Betoni Viikko 47/43

44 FOURIERIN LÄMMÖNJOHTUMISLAKI Lämpö voi siirtyä kappaleiden välillä säteilyn, kulkeutumisen ja johtumisen kautta. Fourierin lämmönjohtumislaki kiteyttää lämmön johtumiseen liittyvät havainnot kompaktiin matemaattiseen muotoon. Karteesisen koordinaatiston komponenttimuoto ja tensorimuoto ovat Komponentti: θ σ Tensori: q <, k T. qx T / x qy <, [ k] T / y, q T / z z σ σ Isotrooppisen materiaalin lämmönjohtavuusmatriisi [ k] < ki [ ] ja tensori k < ki riippuvat vain materiaaliparametrista k, joka kuvaa siis lämmönjohtavuutta kaikissa suunnissa. Komponenttimuoto qx <, k T / x vastaa koetilanteen havaintoa, kun oletetaan että koesauva on lyhyt tai lämpöjakauma lineaarinen päiden välillä. Viikko 47/44

45 JÄNNITYS-VENYMÄ-LÄMPÖTILA RELAATIO Yleistetyn Hooken lain perusmuodossa oletetaan, että lämpötila kappaleessa on vakio. Lämpötilan vaikutus voidaan ottaa huomioon jakamalla venymä lämpötilanmuutoksesta ja jännityksestä riippuviin osiin. Isotrooppiselle materiaalille ( Χ T < T, T ) Komponentti: δ xx 1 1, µ, µ ρxx 1 δyy T 1 µ 1 µ, Χ <,, ρyy, E δ 1 µ µ 1,, zz ρzz δxy ρxy 1 δyz < ρyz, 2G δzx ρzx σ σ σ σ Tensori: ρ < E:( δ, I ΧT), jossa θθ T θθ θθ θθ T θθ θθ ii ii ij ji ij ji σ θθ θθ θθ θ θθ θ E < jj [ E] jj jk kj [ G] jk kj. θθ θθ θθ θθ θθ θθ kk kk ki ik ki ik Pituuden lämpölaajenemiskerroin voi riippua tarkastelusuunnasta kuten kimmokerroin tai lämmönjohtavuus. Viikko 47/45

46 ESIMERKKI Kappale on asennettu paikalleen lämpötilassa T kuvan osoittamalla tavalla ilman välystä. Jos oletetaan että ympäristö on hyvin jäykkä kappaleeseen verrattuna, määritä jännitys lämpötilassa T Χ T. Oletetaan xy,tason jännitystila. y Vastaus ρ xx 1 E ρyy <, ΧT 1 1, µ ρ 0 xy L x L Viikko 47/46

47 ESIMERKKI Uunin seinämä koostuu kolmesta materiaalista, joiden lämmönjohtavuudet ovat k a, k b ja k c. Kerrosten paksuudet ovat h a, h b ja h c. Uunin ja sen sisäseinämän lämpötila on T 1 ja uunin ulkopinnan lömpötila on mittausten mukaan T 4 ; T 1. Arvioi lämpöhäviö ajassa Χ t seinämän pinta-alan A lävitse? A T 4 1 a b c T h Vastaus ( 1 4)/( a hb h Q < AΧ t T, T c) k k k a b c Viikko 47/47

48 Eri kerrosten rajapinnoilla lämpötila ja lämpövuon tiheys ovat jatkuvia. Koska lämpöä ei tuoda kerroksiin seinämän sisällä lämpövuon täytyy olla vakio (tämä seuraa siis energian taseesta). Sisäpinnalta ulospäin rajapintojen lämpötilat olkoot T 1, T 2, T 3 ja T 4. Lämpö virtaa sisältä ulospäin koska T4 ; T1. Lämpövuon tiheys kirjoitettuna eri kerroksille q x T, T <, k 2 1 a, q 3 2 x kb ha hb T, T T <, ja 4, T q 3 x <, kc. h c Eliminoidaan rakenteen sisäisten rajapintojen lämpötilat, koska niistä ei olla kiinnostuneita qh x a k a qh < T1, T2, x b T2 T3 kb qh <, ja x c< T3, T4 (summataan puolittain) k c h h h qx( ) T T k k k a b c < 1, 4 Q qxa t A t T1 T4 a b c h ( )/( a hb h < Χ < Χ, c). k k k Viikko 47/48 a b c

49 ESIMERKKI Laske kuvan ulkopinnaltaan eristetyn sauvan stationaarinen lämpötila T( x) ja siirtymä ux( x ), kun kiinteiden seinämien lämpötilat ovat T 0 ja 2T 0. Sauvan jännitys häviää asennuslämpötilassa T < T0. Oletetaan, että lämpö johtuu vain akselin suuntaan ja että lämpölaajeneminen on vain akselin suuntaista. Materiaalin lämmönjohtavuus k, pituuden lämpölaajenemiskerroin ja poikkipinnan ala A ovat vakioita. T 0 L T L x x x Vastaus T( x) < T0 (1, ) TL L L ja T ( ) L, T ux x < 0 x( x, L) 2L Viikko 47/49

50 Lasketaan aluksi sauvan lämpötila lähtien energian taseesta ja Fourierin lämmönjohtumislaista. Lämpövuolla on vain x,akselin suuntainen komponentti, tarkastellaan stationaarista tilannetta, lämmöntuottoa ei ole dq x 0 dx < ja qx dt <, k dx 2 d T dx 2 < 0 T( x) < Ax B. Lämpötilat tunnetaan reunoilla T(0) < B < T0 ja T( L) < AL B < TL, joten x x T( x) < T0 (1, ) TL L L. Seuraavaksi siirtymä lähtien liikemäärän taseesta ja Hooken laista (lämpölaajenemis versio). Jännityksellä on vain komponentti ρ xx, tarkastellaan stationaarista tilannetta, ulkoisia tilavuusvoimia ei ole ja lämpötilamuutos Χ T < T( x), T < ( TL, T0 ) x/ L dρ dx xx du < 0, ρxx < E( δxx, Χ T) ja x d du δ xx < ( x, Χ T ) < 0 dx dx dx Viikko 47/50

51 du x T L T 0 x A dx, < L TL, T0 2 ux < x Ax B. 2L Siirtymä häviää reunoilla u (0) < B < 0 ja x T 0 2 ( ) L, T ux L < L AL B< 0, joten 2L T ( ) L, T u 0 x x < x( x, L). 2L Viikko 47/51