5 REUNA-ARVOTEHTÄVÄ 5.1 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SIIRTYMÄTEHTÄVÄ VIRTAUSTEHTÄVÄ LÄMMÖNJOHTUMISTEHTÄVÄ...

Transkriptio

1 5 REUNA-ARVOTEHTÄVÄ 5.1 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SIIRTYMÄTEHTÄVÄ VIRTAUSTEHTÄVÄ LÄMMÖNJOHTUMISTEHTÄVÄ... 4 L5/1

2 VIIKON 48 OSAAMISTAVOITTEET Viikon 48 jälkeen kurssin osallistuja osaa ratkaista viikon luentotehtävät, kotitehtävät ja esimerkkitehtävät aiheista ς Reuna-arvotehtävä kiinteän kappaleen siirtymälle. Taseyhtälöt, materiaalimalli, ratkaisualue, reunaehdot ja alkuehdot. ς Reuna-arvotehtävä nesteen nopeudelle ja paineelle. Taseyhtälöt, materiaalimalli, ratkaisualue, reunaehdot ja alkuehdot. ς Reuna-arvotehtävä nesteen tai kiinteän aineen lämpötilalle. Taseyhtälöt, materiaalimallit, ratkaisualue, reunaehdot ja alkuehdot. L5/

3 L5/3

4 5.1 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Yksinkertaiset taseyhtälöiden sovellukset tuottavat erilaisia ensimmäisen tai toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Tapauksia kurssimateriaalista (a ja b ovat integroimisvakioita) dn f 0 d < N ( ) <, f a m d y dt <, mg 1 y() t <, t g at b dξ dt kξ < 0 ξ() t < ae, kt dξ kξ< 0 ξ ( t) < asin( kt) bcos( kt) dt L5/4

5 dp d d v < λ dp a dy d < ja d v λ < dy a p < ς r r ja p <, g z 1 p < ς r, gz a, λ 1 d d ( r vz) C r dr dr < C vz < r aln r b 4λ d 1 d ( ( rv ε )) < 0 dr r dr 1 1 vε < a r b r Lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön analyyttisen ratkaisumenetelmän ideana on usein palauttaa tehtävä tavalla tai toisella usean tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi (muuttujien separoinnilla). Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen palautetaan sitten algebrallisen tehtävän ratkaisemiseksi (sopivalla yritteellä). L5/5

6 ESIMERKKI Määritä pallon (partikkelin) rata y= y ( ), lakikorkeus y ma ja vaakasuora lentomatka ma vinossa heittoliikkeessä, kun ilmanvastusta ei oteta huomioon ja maan vetovoima oletetaan vakioksi. m y v 0 g O Vastaus g y < tan,, v cos 0 y ma 0 v < sin, g ma < v g 0 cos sin Millä kulmalla pallo kannattaa heittää ja mikä on lentomatka tällöin? L5/6

7 Liikeyhtälöt Karteesisessa koordinaatistossa r() t < i yj d dy Nopeus v() t < i j dt dt Kiihtyvyys Voimien resultantti F d d y a() t < i j dt dt <, mgj y mg d Liikelaki F < ma : m < 0 ja dt m d y dt <, mg. Tensoriyhtälöt esitetään komponentteihin liittyvien tehtävin avulla. Alkuarvotehtävä partikkelin paikkavektorin komponenteille d d m < 0 t = 0, (0) < v dt 0cos t < 0 ja (0) < 0, dt L5/7

8 m d y dt dy <, mg t = 0, (0) < v0sin ja y (0) < 0. dt Ratkaisu (kysymys on tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä kumpaankin suuntaan) Aseman parametriesitys < v 0 cos t ja 1 y < v0 sin t, gt g Lentorata y < tan, (aika eliminoitu) v cos 0 Lisälaskelmat dy Nousukorkeus 0 d < v < 0 cos sin g y ma 0 v < sin g Lentomatka g y < tan, < 0 v cos 0 L5/8 ma 0 v < cos sin g

9 ESIMERKKI Kuvan heilurin partikkelin massa on m ja tukivarsi oletetaan jäykäksi ja massattomaksi. Kirjoita heilurin liikeyhtälöt pallokoordinaatistossa. Ilmanvastus ja tuennan kitka oletetaan häviävän pieniksi. k. g T v L mg i O P r ε e r e ε e π j Vastaus πε % % cosπ %% εsinπ < 0 ja %% g π, ε% sinπcosπ < sinπ L L5/9

10 Tarkasteltava kappale koostuu partikkelista ja tukivarresta. Koska partikkeli liikkuu pallopinnalla r < L asemaa kannattaa kuvata pallokoordinaatistossa a <, L( π% ε% sin π) e ( L%% π, Lε% sinπcos π) e (Lπε % % cosπ L%% εsin π) e, r F <, mgk, Te <, mg( e cosπ, e sin π), Te. r r π r Alkuarvotehtävä kulma-asemalle koostuu partikkelin liikeyhtälön ma < F komponenttimuodosta ja alkuasemaa ja nopeutta koskevista alkuehdoista lausuttuina kulmien muutosnopeuksien avulla π ε πε % % cosπ %% εsinπ < 0 ja %% g π, ε% sinπcosπ < sinπ t = 0, L % (0) < ε % 0, π(0) < π 0 ε % %, ε(0) < ε 0 ja π(0) < π0. Tehtävä ratkaiseminen onnistuu numeerisesti esimerkiksi Mathematica ohjelmalla. L5/10

11 RATKAISUALUE JA REUNAEHDOT Reuna-arvotehtävän kuvauksessa tarvitaan taseyhtälöiden lokaalit muodot, materiaalimalli, ulkoisten voimien mallit, ratkaisualueen määrittely ja reunaehdot. ς Kiinteän elastisen kappaleen siirtymän laskennassa tarvitaan liikemäärän tase, yleistetty Hooken laki ja venymän määritelmä. Ratkaisualue on kappaleen rajaama kiinteän koordinaatiston alue alkutilanteessa. Tavanomaiset reunaehdot koskevat siirtymiä tai traktiota. ς Kokoonpuristumattoman nesteen virtausnopeuden ja paineen laskennassa tarvitaan massan ja liikemäärän taseet, Newtonin nesteen materiaalimalli ja venymänopeuden määritelmä. Ratkaisualue on kiinteän koordinaatiston alue. Tavanomaiset reunaehdot koskevat virtausnopeutta tai traktiota. ς Kiinteän aineen lämpötilan laskennassa tarvitaan energian tase ja Fourierin lämmönjohtumislaki. Ratkaisualue on kappaleen rajaama kiinteän koordinaatiston alue alkutilanteessa. Tavanomaiset reunaehdot koskevat lämpötilaa tai lämpövuon tiheyttä. L5/11

12 KIINTEÄN AINEEN LOKAALIT MUODOT Kiinteän aineen esityksissä ratkaisualue on kappaleen alkutilanteen rajaama kiinteän koordinaatiston alue ς. Perustuntemattomia ovat siirtymä u, tiheys ja lämpötila T. Taseyhtälö Alue Reuna Dm < 0 < J Dt Dp Dt < F u σ σ < ρ f n ρ < t t DL Dt < M σ σ ρ < ρ c D( U K) Dt e σ σ < d s, q t < PW PQ ρ : c n q < h L5/1

13 LOKAALIT MUODOT NESTEELLE Nesteen esityksissä ratkaisualue on kiinteän koordinaatiston alue ς. Perustuntemattomia ovat virtausnopeus v, tiheys tai paine p ja lämpötila T (useita vaihtoehtoja). Taseyhtälö Alue Reuna Dm < 0 ( v) < 0 Dt t Dp Dt < F v σ ( v v) < ρ f t DL Dt < M σ σ ρ < ρ c D( U K) Dt e σ σ v e < d s, q t < PW PQ ( ) ρ : c σ n ρ < t n q < h L5/13

14 σ Liikemäärän tase ρ f < 0 5. SIIRTYMÄTEHTÄVÄ Kiinteän aineen perustehtävässä lähtötilanteena on tunnettu kappaleen rajaama kiinteän σ koordinaatiston alue ς ja tasapainoratkaisu ( ρ, t, f ). Tavoitteena on määrittää uusi σ tasapainoratkaisu ( ρ, t, f) ja siihen liittyvä kappaleen siirtymä u, kun ulkoisia voimia tai tuentaa tms. muutetaan jollain tavalla. tda ς :ssa fdv σ σ E Hooken laki 1 ( µ σ σ ρ, ρ < I u δ µ 1, µ ) σ Reunaehdot n ρ < t tai u < g ς :lla ς :ssa u < 0 dv ς Liikemäärän momentin tase eli jännityksen symmetria toteutuu automaattisesti, koska Hooken lain jännitys on aina symmetrinen. Massan taseesta voidaan ratkaista tiheys, mutta sitä ei laskelmissa tarvita. L5/14

15 Karteesisen koordinaatiston komponenttiyhtälöt lineaaris-elastiselle materiaalille ρ ρ y ρ z f < y z ρ ρ z yz ρ zz f z < y z ρy ρyy ρzy 0, f y < 0, y z 0, δ 1, µ, µ ρ 1 δ yy µ 1 µ <,, ρyy, E δ µ µ 1,, zz ρzz ρy δy E ρyz < δyz, 1 µ ρz δz ρy δy E ρzy < δzy, 1 µ ρz δz δ u δyy < uy y, δ u z zz z δy δy u y uy 1 δyz < δzy < uy z uz y. δz δz uz u z L5/15

16 ESIMERKKI Kuvan pilarin poikkipinta on h h neliö, materiaalin tiheys on ja kimmokerroin E. Pilaria kuormittaa tasaisesti jakaantunut kuorma P/ h sen vapaassa päässä. Ratkaise sauvan jännitys ρ σ ja siirtymä u pilarin alueella lähtien siirtymätehtävän yleisestä muodosta. Oletetaan, että tuenta sallii siirtymän poikkipinnan tasossa eli pilari on asetettu vapaasti seisomaan kitkattomalle tasolle. P Vastaus P u ( <, i µ yj µ zk Eh ), σ P ρ <, ii h L y L5/16

17 Ratkaisualue on kappaleen alkuaseman rajaama kiinteän koordinaatiston alue. Olkoon alkutilanne kuormittamaton pilari. Kuormitetun pilarin eli lopputilanteen ainoa nollasta eroava jännityskomponentti on ρ ( ) ja siirtymäkomponentit u ( ), uy ( y ) ja uz ( z ). Ratkaistaan aluksi aksiaalijännitys liikemäärän taseesta. Traktio tunnetaan pilarin vapaassa päässä < L dρ d < 0 0 ; ; L ja ( ) P ρ L <, h ( ) P ρ <,. h Sitten venymä yleistetyn Hooken lain avulla. Yksiaksiaalisessa jännityksessä yleinen esitys yksinkertaistuu muotoon ρ P δ < <,, E Eh µ P δyy <, ρ < µ, E Eh µ P δzz <, ρ < µ. E Eh Lopuksi siirtymäkomponentit venymä-siirtymäyhteyksien avulla. Aksiaalisiirtymä häviää tuennan kohdalla ja poikittaissiirtymät uy ( y ) ja uz ( z),akselin kohdalla. L5/17

18 du d P < δ <, 0; ; L ja u (0) 0 < Eh ( ) P u <,, Eh du dy y < δ < µ yy P Eh 1 1, h; y; h ja u y (0) < 0 u y P < µ y, Eh du dz z < δ <, µ zz P Eh 1 1, h; z; h ja u z (0) < 0 u z P < µ z. Eh L5/18

19 TASOJÄNNITYSTILA Lineaarisen elastisuustehtävän Karteesinen koordinaatiston ja tasojännitystilan komponenttimuodot saadaan yksinkertaistamalla yleisiä komponenttimuotoja käyttäen oletuksia ρ < ρ < ρ < 0 (lisäksi u( y,, ) u( y,, ) u( y, ) < 0) zz yz z ρ ρy ρ Liikemäärän tase y ρyy f < 0, f y < 0 y y y z Jännitys-venymä ρ < E 1 ( δ µδ yy, µ ), ρ yy < E 1 ( δ yy µδ, µ ), ρ y E < δ 1 µ y Venymä-siirtymä δ u <, δ yy uy <, y δ y 1 u uy < ( ) y Venymät δ zz, δ yz ja δ z voidaan laskea lopuksi konstitutiivisestä yhteydestä. Yhtälöiden tarkka ratkaiseminen onnistuu käytännössä vain yksinkertaiselle geometrialle ja tietyille reunaehdoille. L5/19

20 JÄNNITYS PATORAKENTEESSA Kiinteän lineaaris-elastisen aineen siirtymien, venymien ja jännitysten laskenta on suoraviivainen tehtävä riippumatta geometriasta, materiaaliominaisuuksista ja reunaehdoista, mutta edellyttää useimmiten numeeristen menetelmien käyttöä. ρ ρ yy ρ y Elementtimenetelmässä ratkaisualue jaetaan ainealkioihin (elementti) ja taseyhtälöt, materiaalimalli ja reunaehdot toteutetaan keskimääräisessä mielessä kussakin ainealkiossa. Numeerisen ratkaisun tarkkuus riippuu jaon tiheydestä. L5/0

21 Pato ajatellaan pitkäksi poikkileikkauksen dimensioihin verrattuna, jolloin voidaan tarkastella tyypillistä poikkileikkausta oletuksella, että muodonmuutoskomponentit δzz < δyz < δz < 0 ja ratkaisu ei riipu pituussuuntaisesta koordinaatista (tässä z ). Ratkaisualue on kuormittamattoman padon poikkipinnan rajaama kiinteän koordinaatiston alue ς. t < t < y 0 g y L ς L u < u < y 0 L L5/1

22 PALKKIMALLIT w P Q P Q z z P Q P Q dw d w Timoshenko ( u < 0) P Bernoulli ( u < 0) P Palkin poikkileikkaukset säilyvät tasoina (Timoshenko) ja lisäksi kohtisuorassa,akseli vastaan (Bernoulli) muodonmuutoksessa. Poikkileikkaukset siis liikkuvat kuten jäykät kappaleet ja uq < up π PQ.. L5/

23 TAIVUTUSPALKKI Bernoulli taivutuspalkki z,tasossa on lineaarisen elastisuusteorian sovellus. Liikemäärän ja liikemäärän momentin taseiden ja palkin konstitutiivisten yhteyksien avulla voidaan ratkaista aksiaalisiirtymä ja taipuma sekä jännitys. dn f dq fz 0 d < ja d < 0, M f, f z M+ΧM dm Q 0 d, <, du N < EA ja d M d w <, EI. d N Q z Χ Q+ΧQ N+ΧN Konstitutiiviset yhteydet leikkausrasitusten N, M ja siirtymän u, w välillä ottavat huomioon materiaalin ja palkin poikkipinnan geometrian. Yksinkertainen muoto edellyttää, että poikkipinta on symmetrinen y,akselin suhteen. L5/3

24 Staattisesti määrätyssä tapauksessa palkin leikkausrasitukset N, Q ja M saadaan differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden yksikäsitteinen ratkaisu edellyttää yhtä reunaehtoa, joka kuvaa esimerkiksi tilannetta ulokepalkin vapaassa päässä. Staattisesti määräämättömässä tapauksessa tarvitaan myös palkin leikkausrasitusten ja siirtymien välinen (aine)malli. Palkkimallin oletukset ρ < ρ < 0, u( z, ) < w ( ) ja yy zz z ( ) (, ) ( ) dw u z < u, z d δ du d w < z d, d ρ < du d w E( z ) d, d. Resultantit ovat aksiaalijännityksen integraaleja poikkipinnan ylitse du d w du ρ ( ), N < da < E, z da < EA d d d du d w d w ρ ( ). M < z da < ze, z da <, EI d d d L5/4

25 ESIMERKKI Määritä poikkipinnan, ja z,akselin suuntaiset siirtymät u ( ) ja w ( ) kuvan ulokepalkille, jota kuormittaa jakaantunut voima ja pistevoima palkin vapaassa päässä. Käytä palkkialkiolle johdettuja liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen muotoja ja palkkimallin konstitutiivisia yhteyksiä 0 d <, dq fz d < 0, dm Q d, < 0, d w M <, EI ja d dn f N < du EA d f y L P z Vastaus u( ) P <,, EA f 3 4 w( ) < (6L, 4 L ) 4EI L5/5

26 Palkkimallin yhtälöt voidaan aina esittää siirtymien avulla ja ratkaista näin saadut differentiaaliyhtälöt siirtymillä. Yhtälöt voidaan myös usein ratkaista sellaisenaan sopivassa järjestyksessä. Reunaehtoja tarvitaan integrointivakioiden määrittämisessä. dn 0 d < 0 ; ; L ja N( L) <, P N( ) <, P, dq f 0 d < 0 ; ; L ja QL ( ) < 0 Q( ) < f( L, ), dm f ( L ) d <, 0 ; ; L ja M( L ) < 0 1 M( ) <, f( L, ), du d P <, 0; ; L ja u (0) < 0 u( ) EA P <,, EA d w d f dw < ( L, ) ja w(0) < (0) < 0 EI d L5/6 f 3 4 w( ) < (6L, 4 L ). 4EI

27 5.3 VIRTAUSTEHTÄVÄ Nestemekaniikan perustehtävässä tavoitteena on määrittää kokoonpuristumattoman Newtonin nesteen ajasta riippumaton virtausnopeus ja paine annetussa kiinteän koordinaatiston alueessa. Massan tase: v < 0 ς:ssa σ Liikemäärän tase: v v < ρ f σ σ σ Newtonin neste: ρ <, Ip λd σ Reunaehdot: n ρ < t tai v < v0 ς:ssa, ς:lla ς:ssa v <0 fdv dv ς tda Jos nopeus annetaan koko reunalla, paine määräytyy vakiotermiä vaille. Jos taas traktio annetaan koko reunalla, virtausnopeus määräytyy vakiotermiä vaille. Kokoonpuristumattomalle nesteelle ρ σ <, p λ v λ ( v ) <, p λ v. L5/7

28 Karteesisen koordinaatiston komponenttiyhtälöt Newtonin nesteelle. Jatkuvuus v < 0 ja liikemäärän tase v v <, p λ v f : v v y v z < y z 0, v v v p v v v y z <, λ ( v v v ) ( ) f y z y z, vy vy vy p vy vy vy y z <, λ y ( v v v ) ( ) f y z y y z, vz vz vz p vz vz vz y z <, λ z ( v v v ) ( ) f y z z y z. L5/8

29 TASOVIRTAUS Tasovirtauksen komponenttimuodot saadaan tensorimuodoista lausemalla vektorit ja tensorit ja halutun koordinaatiston kannassa. Karteesinen koordinaatisto ja sylinterikoordinaatiston tasotapauksessa kun virtausuureet ovat v ( y,, ) v( y,, ) py (, ) y v vy Jatkuvuus < 0, y Liikemäärän tase,suunta Liikemäärän tase y,suunta v v p v v y <, λ ( v v ( ) f y y vy vy p vy vy y <, λ y ( v v ( ) f y y y,. Liikemäärän tase z,suunta 0< 0 (toteutuu identtisesti) Yhtälöille löytyy tarkka (yksinkertaista muotoa oleva) ratkaisu muutamassa erikoistapauksessa. L5/9

30 KIERTOVIRTAUS SULJETUSSA ALUEESSA L5/30

31 Stationaarinen kiertovirtaus suljetussa alueessa eri Reynoldsin luvuilla Re < U λl on eräs Navier-Stokes yhtälöiden numeeristen ratkaisumenetelmien vertailutapaus. y v < Uv, < 0 y U L λ, L Nopeutta koskevien reunaehtojen lisäksi vaaditaan, että paineen keskiarvo ratkaisualueen ylitse on 0. Virtauksen pyörrerakenteiden lukumäärä, tehtävän epälineaarisuus ja sen numeerisen ratkaisemisen vaikeus lisääntyvät Reynoldsin luvun kasvaessa. L5/31

32 ESIMERKKI Oheisen kuvan kahden vaakasuoran kiinteän tason välinen etäisyys on h. Tasojen välissä on nestettä, jonka tiheys ja viskositeetti λ ovat vakioita. Määritä nesteen nopeus v( y ) ja paine p ( ) lähtien Karteesisen koordinaatiston tasovirtauksen komponenttiesityksistä, kun p(0) < p0 ja p( L) < pl. p 0 L pl y h p Vastaus ( ) 0, pl p v y < y( h, y), ( ) L, p p < p 0 0 λl L L5/3

33 Yksinkertaistetaan tasovirtauksen yleisiä yhtälöitä tehtävän oletuksilla v ( y ) ja p. ( ) Jatkuvuusyhtälö ja liikemäärän tase y,akselin suuntaan toteutuvat identtisesti ja liikemäärän tase,akselin suuntaan yksinkertaistuu muotoon (koska vasen puoli riippuu vain,koordinaatista ja oikea puoli vain y,koordinaatista, kummankin puolen pitää olla sama vakio) dp d d v < λ dp C dy d < ja d v λ < C. dy Kirjoitetaan reuna-arvotehtavät suureille ja etsitään ratkaisu. dp C d <, p p(0) < p0 ja p( L) < pl ( ) L, p p < p 0 0. L d v pl, p0 p < 0 ; y; h ja v(0) < v( h) < 0 ( ) L, p v 0 y < y( y, h). dy λl λl L5/33

34 SYLINTERIKOORDINAATISTO Sylinterikoordinaatiston komponenttimuodot saadaan tensorimuodoista lausemalla tensorisuureet rε z,koordinaatiston kannassa. Lisäoletuksilla v r < 0, vε () r, vz () r, prz (, ) jatkuvuusyhtälö totautuu identtisesti ja päädytään liikemäärän komponenttiyhtälöihin 1 p k e z Liikemäärän tase r,suunta vε < r r e ε d 1 d Liikemäärän tase ε,suunta λ ( ( rv ε )) < 0 r P e r dr r dr z j p 1 d d O Liikemäärän tase z,suunta, λ ( r vz) fz < 0 z r dr dr i ε r Yhtälöiden avulla saadaan yksinkertainen virtausratkaisu esimerkiksi kitkalliselle putkivirtaukselle ja liukulaakerin voiteluvirtaukselle. L5/34

35 SYLINTERIKOORDINAATISTON ESITYKSIÄ 1 1 aε a a < ( ra ) z r r r r ε z 1 1 a a a < ( r a) r r r r ε z 1 a a 1 <,,, r r ε r ε r ε a ( a ) ( r r a ) ( ) r e r aε a e a ε ε z ez ar 1 ar 1 ar ar aε, aε az T r r ε r z er aε 1 aε 1 aε a a < eε ar aε aεar az r r ε r z ez az 1 az a a z r aε az r r ε z L5/35

36 ESIMERKKI Määritä painejakauma ja nestepinnan muoto astiassa, joka pyörii kulmanopeudella ς<ςez. Oleta, että neste liikkuu kuin jäykkä kappale ja että neste on kokoonpuristumatonta. Käytä sylinterikoordinaatiston komponenttiesityksiä. g z ς r ε Vastaus 1 p <, gz ς r C ja 1 p0 <, gz ς r C L5/36

37 Käytetään sylinterikoordinaatiston komponenttimuotoja. Oletusten mukaan nollasta eroavat virtaussuureet v <ς r ja prz, (, ) joten ε Liikemäärän tase r,suunta p 1 < v < ς r r ε r 1 p< ς r az ( ), Liikemäärän tase z,suunta p <, g z p<, gz br (). Paineratkaisujen pitää olla samoja, joten a( z) <, gz C ja Paineen lausekkeeksi tulee siis b( r) < ς r / C 1 p < ς r, gz C. Vapaalla pinnalla paine on sama kuin ilmanpaine 1 p0 < ς r, gz C. L5/37

38 ESIMERKKI Oheisen kuvan mukaisessa putkivirtauksessa oletetaan virtausnopeuden olevan muotoa v r < 0, v ε < 0, vz () r, pz. ( ) Putken säde on R. Ratkaise virtaavan nesteen nopeusjakauma vz () r Navier-Stokes yhtälöiden sylinterikoordinaatiston komponenttimuodoista ja laske tilavuusvirta Q. Paine putken alkupäässä on p(0) < p0 ja loppupäässä p( L) < pl ja tiheys oletetaan vakioksi. p0 pl z R L Vastaus p0, p v ( ) L z r < ( R, r ), 4λL Q < ο p0, p L 8λL R 4 L5/38

39 Sylinterikoordinaatiston esitys on yksinkertaisin. Oletuksista vz () r, vr < v ε < 0 ja pz ( ) seuraa että Liikemäärän tase z,suunta dp 1 d d < λ ( r vz ) dz r dr dr Koska vasen puoli riippuu vain koordinaatista z ja oikea puoli vain koordinaatista r, ratkaisu on mahdollinen ainoastaan, jos kuimpikin puoli on vakio C. Päädytään siis kytkettyihin reuna-arvo tehtäviin dp C dz < 0 ; z ; L, p p(0) < p0 ja p( L) < pl ( ) L, p p z < p 0 0 z L λ 1 d d ( r vz) C r dr dr < 0 ; z ; L, vz( R ) < 0 ja v z (0) rajoitettu p 0 ( ) L, p vz r < ( r, R ) 4λL p, p Q< ο v () r rdr < R 8λL R 0 L 4 0 z ο. L5/39

40 ESIMERKKI Pystyssä oleva putki sisältää kokoonpuristumatonta nestettä, joka virtaa alaspäin painovoimakentässä. Putken säde on R. Johda käyttäen Navier-Stokesin yhtälöä virtaavan nesteen nopeusjakauma Paine putkessa otaksutaan vakioksi. R g z Vastaus g vz < ( R, r ) 4λ L5/40

41 Sylinterikoordinaatiston esitys on yksinkertaisin. Oletuksista () z p < vakio seuraa liikemäärän yhtälö ( z -suunta ja fz < g) v r, v < < 0 ja r v ε 1 d dv 0 < g λ ( r z ) 1 d ( d ) g r vz <, r dr dr r dr dr λ g vz <, r aln r b. 4λ Vakio a < 0, koska nopeuden pitää olla rajoitettu kohdassa r < 0. Nopeuden pitää lisäksi hävitä putken sisäpinnalla eli kohdassa r < R, joten b< gr /(4 λ) ja päädytään nopeusjakaumaan g vz ( r) < ( R, r ). 4λ L5/41

42 5.4 LÄMMÖNSIIRTOTEHTÄVÄ Lämmönsiirron perustehtävässä tavoitteena on määrittää lämpötila kiinteässä kappaleessa. Lämpötilatehtävässa tarvitaan energian tase ja lämpövuon tiheyden ja ominaissisäenergian riippuvuus lämpötilasta. Energian tase e q t <, s ς :ssa hda Fourierin laki q <, k T ς :ssa, Ominaissisäenergia Χ e< cδ ΧT ς :ssa, Reunaehdot n q < h tai T < g ς :lla T < g sdv ς Energian taseen esitys lämpötilan avulla saadaan eliminoimalla lämpövuon tiheys käyttämällä Fourierin lämmönjohtumislakia ja ominaissisäenergian ja lämpötilan välistä riippuvuutta. L5/4

43 LÄMPÖYHTÄLÖN ESITYKSIÄ Esitys valitussa koordinaatristossa saadaan tensorimuodoista lausumalla tensorisuureet koordinaatiston kannassa. Yhtälön lopullinen muoto riippuu valinnasta Karteesinen koordinaatisto T T T T cδ < k( ) s, t y z Sylinterikoordinaatisto T 1 T 1 T T cδ < k( ( r ) ) s. t r r r r ε z Pallokoordinaatit π T 1 T 1 T 1 T cδ < k( ( r ) (sin ) ) s. t r r r r sinπ π π r sin π ε Sylinteri- ja pallokoordinaatistojen esityksista on hyötyä, jos lämpötila riippuu vain yhdestä koordinaatista. L5/43

44 ESIMERKKI Paksuseinäisessä putkessa virtaa nestettä, jonka lämpötila on T 0. Putken ulkopinnan lämpötilaksi mittaus antaa T 0. Määritä lämpötila Tr () putken materiaalissa, jos lämmönjohtavuus k on vakio ja lämmön tuotto s < 0. T 0 R R T 0 1 r Vastaus T < T0 (, ln ) ln R L5/44

45 Tehtävä voidaan ratkaista periaatteessa missä tahansa koordinaatistossa. Sylinterikoordinaatiston esitys tuottaa kuitenkin yksinkertaisimman lämpöyhtälön muodon. Oletuksista Tr (), s < 0 seuraa, että lämpöyhtälö yksinkertaistuu muotoon 1 T k( ( r )) < 0. r r r Täydennetään saatu differentiaaliyhtälö tehtävän kuvausta vastaavaksi reunaarvotehtäväksi lämpötilalle 1 T ( r ) < 0 r r r R; r ; R, T( R) < T0 ja T( R) < T0. Etsitään sitten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu integroimalla kaksi kertaa ja määritetään integroimisvakiot reunaehdoista r T ( r ) < 0 r r T < r a T a < r r T < aln r b. R L5/45

46 T( R) aln b T < < 0 ja T( R) b T0 Sijoitetaan vielä vakiot yleiseen ratkaisuun T < < b< T0 ja a <, 0. ln T 1 r < T0 (, ln ). ln R L5/46

47 ESIMERKKI Kiinteiden seinämien välissä olevan sauvan alkutilanteen t < 0 lämpötila on T / T0 < sin( nο / L). Seinämien lämpötila T 0 on vakio. Määritä sauvan lämpötila ajan funktiona, jos lämmönjohtavuus ja ominaislämpökapasiteetti k ja c δ ovat vakioita. Sauva on hyvin eristetty muilta pinnoiltaan ja lämmöntuotto s < 0. T0 (,0) ( sin ) T0 T < T0 nο L L y, rt Ratkaisu T(, t) < T0 T0e sin( nο ), jossa L L5/47 rn ( ) ο δ kn <. cl

48 Koska ulkopinta on hyvin eristetty, lämpö virtaa vain,akselin suuntaan ja päädytään Karteesisen koordinaatiston alku/reuna-arvotehtävään Diff. yhtälö c δ T t < k T ]0, L[, t = 0, Reunaehdot T(0, t) < T0 ja T( L, t) < T0 t = 0, Alkuehto T(,0) < T0 ( sin nο ) ]0, L[. L Etsitään ratkaisua muodossa T(, t) < T0 ξ( t)sin( nο/ L), joka toteuttaa reunaehdot kaikilla ajanhetkillä. Sijoitus differentiaaliyhtälöön johtaa tavalliseen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöön funktiolle ξ () t d ξ sin n ο c n k sin n δ ο <, ξ ο dt L L L dξ kn ο 0 dt ξ <. cl δ L5/48

49 Aikariippuvuutta ξ () t koskevan tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisu ξ() t, rt < ae, jossa rn ( ) < kn ο δ cl sisältää integrointivakion, jonka arvo a< T0 määräytyy alkuehdosta. Tehtävän ratkaisuksi saadaan siis (, ) < sin( ), jossa, rnt ( ) T t T0 T0e nο L rn ( ) ο δ kn <. cl Ajan kasvaessa sauvan lämpötila lähestyy vakioarvoa T 0. L5/49