KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 48/2017

Transkriptio

1 KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 48/ Kilpailun aikana moottoripörän avaitaan lentävän matkan lätökulman ollessa. Mallinnetaan moottoripörä kuskeineen partikkeliksi (massa m) ja unodetaan ilmanvastus. Joda kaava, josta voitaisiin laskea moottoripörän vauti v 0 ilmalennon alussa. Vastaus v0 < g /(sin cos ) g. Määritä leikkausrasitukset N, Q ja M kuvan ulokepalkille, jota kuormittaa lineaarisesti jakaantunut kuorma ja pistevoimat palkin vapaassa päässä. Kätä palkkialkiolle jodettuja liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen muotoja f z P P dn f dq fz 0 d <, d < 0 ja dm Q d, < 0. Vastaus N( ) < P, f Q( ) < (, ), P, f 3 M ( ) < (, ), P 6 3. Oeisen kuvan materiaalikerroksen paksuus on vakio. Yläpintaan vaikuttaa traktio σ vaakasuuntaan ja alapinta on kiinni alustassa. ineaaris-elastisen materiaalin aineparametrit E ja µ ovat vakioita. Määritä siirtmä u ( ). Oletetaan, että ρ < ρ < ρ < 0 ja u < 0. zz z z σ σ Vastaus u( ) < G 4. Joda vakiotiesnesteen massan ja liikemäärän taseen komponenttimuodot Karteesisessa koordinaatistossa lätien tensorimuodoista. Oleta stationaarinen tapaus ja Newtonin nesteen σ σ σ σ θ jännits-paine-venmänopeus relaatio ρ <, pi λd, jossa d < ( v) s (smmetrinen osa). v v Vastaus < 0, v v p v v <, λ θ( v v ) ( ) f v v p v v <, λ θ( v v ) ( ) f,

2 5. Oeisen kuvan kaden vaakasuoran tason välinen etäiss on. Ylemmän tason nopeus on vakio ja alempi taso on levossa. Tasojen välissä on nestettä, jonka ties viskositeetti θ ja λ ovat vakioita. Mittaus lemmän levn kodalla antaa paineen arvoksi p. Määritä nesteen nopeus v ( ) ja paine p ( ) lätien Navier-Stokes tälöiden Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitksistä. p g Vastaus v( ) <, p( ) < θg(, ) p 6. Tarkastellaan kaden slinterin välissä olevan vakiotiesnesteen ajasta riippumatonta kaksidimensioista virtausta. lompi slinteri pörii vakiokulmanopeudella ς. Määritä nopeusjakauma vε () r ( vr < vz < 0) kättäen slinterikoordinaatiston Navier-Stokes tälöitä. R ς R Vastaus ς R vε( r) < ( r, ) 1, r 7. Oeisen kuvan materiaalikerroksen paksuus on vakio. Yläpinnan < lämpötila on vakio T ja alapinta < 0 on lämpöeristett. Materiaalikerros ajatellaan vin pitkäksi, jolloin lämpö virtaa, akselin suuntaan. Määritä lämpötila materiaalikerroksessa, jos lämmönjotavuus k ja lämmöntuotto s ovat vakioita. Mikä on eristetn pinnan lämpötila T 0? T Vastaus s 1 ( T < T, ) ja k 1 s T0 < T(0) < T. k 8. Seinämien välissä olevan sauvan alkutilanteen t < 0 lämpötila T / T0 < / sin( ο / ). Seinämien lämpötilat T 0 ja 3T 0 ovat vakioita. Määritä sauvan lämpötila ajan funktiona, jos lämmönjotavuus ja ominaislämpökapasiteetti k ja c ovat vakioita. Sauva on vin eristett muilta pinnoiltaan ja lämmöntuotto s < 0. T 0 3T 0, rt Vastaus T(, t)/ < T0 ( e sin( ο )), jossa ο k r <. θc

3 g Kilpailun aikana moottoripörän avaitaan lentävän matkan lätökulman ollessa. Mallinnetaan moottoripörä kuskeineen partikkeliksi (massa m) ja unodetaan ilmanvastus. Joda kaava, josta voitaisiin laskea moottoripörän vauti ilmalennon alussa. iiketälöt kannattaa kirjoittaa Karteesisessa koordinaatistossa, koska kappaleeseen vaikuttava ulkoisen voiman resultantti on tällöin vakio. Olkoon moottoripörän vauti ilmalennon alussa v. Vapaakappalekuvio ja liiketälöt Kiitvs θ d θ d θ a < i j θ θ Resultantti F<, mgj C mg θ θ d iikelaki F < ma : m < 0 ja d m <, mg O Alkuarvotetävässä liiketälöt tädennetään alkuedoilla d d < 0 t= 0, (0) v cos < ja (0) < 0, d d <, g t= 0, (0) < vsin ja (0) < 0. Alkuarvotetävän ratkaisu < ( vcos ) t ja 1 < ( vsin ) t, g t. entoaika saadaan edosta < 0 ja tämän jälkeen lentomatka sijoittamalla lentoaika vaakaasemaa koskevaan lausekkeeseen < 0 : v <, t < 0 tai t < sin g 1 0 ( vsin ) t g t < ( vcos ) t : v < sin cos g g v < sin cos.

4 Määritä leikkausrasitukset N, Q ja M kuvan ulokepalkille, jota kuormittaa lineaarisesti jakaantunut kuorma ja pistevoimat palkin vapaassa päässä. Kätä palkkialkiolle jodettuja liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen muotoja f z P P dn f 0 d <, dq fz d < 0 ja dm Q d, < 0. Palkin differentiaalitälöt seuraavat peruslakien liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen periaatteista sovellettuina kuvan palkkialkioon. f z M M+ M z N Q f Q+ Q N+ N Staattisesti määrätssä tapauksessa palkin leikkausrasitukset saadaan differentiaalitälöiden ratkaisuna. Staattisesti määräämättömässä tapauksessa tarvitaan mös palkin leikkausrasitusten ja siirtmien välinen (aine)malli. lokepalkki on staattisesti määrätt. Ensimmäisen kertaluvun differentiaalitälön ksikäsitteinen ratkaisu edellttää tä reunaetoa, joka kuvaa tilannetta palkin vapaassa päässä. dn f 0 d < : dn d < 0 ja N( ) < P N( ) < P (vakio), dq fz 0 d < : dq (1 f, d ) < 0 ja Q( ) <, P f Q( ) < (, ), P, dm Q 0 d, < : dm f, (, ) P< 0 ja M( ) < 0 d f 3 M ( ) < (, ), P. 6

5 Oeisen kuvan materiaalikerroksen paksuus on vakio. Yläpintaan vaikuttaa traktio σ vaakasuuntaan ja alapinta on kiinni alustassa. ineaaris-elastisen materiaalin aineparametrit E ja µ ovat vakioita. Määritä siirtmä u ( ). Oletetaan, että ρzz < ρz < ρz < 0 ja u < 0. σ Vastaus n lätökotana on kiinteän elastisen aineen liikemäärän tase, jännits-venmä tes ja venmä-siirtmä tes. Jos oletetaan, tason jännits (tasojännitstila), Karteesisen koordinaatiston tälöt ksinkertaistuvat aluksi muotoon. ρ ρ ρ iikemäärän tase ρ f < 0, f < 0 Jännits-venmä ρ < E 1 ( µ, µ ), ρ < E 1 ( µ, µ ), ρ E < 1 µ Venmä-siirtmä u <, u <, 1 u u < ( ) Tarkasteltavassa tilanteessa u ( ), u < 0, f < f < 0. Kiinteällä reunalla u (0) < 0 ja kuormitetulla reunalla ρ ( ) < ρ ( ) < σ (jännits on smmetrinen). Oletuksista seuraa, että Venmä-siirtmä < 0, < 0, 1 du <, d Jännits-venmä ρ < 0, ρ < 0, ρ E du du < ρ < < G, (1 µ ) d d iikemäärän tase d u G < 0, 0< 0. d iikemäärän taseesta ja reunaedoista saadaan reuna-arvotetävä siirtmälle d u du G < 0 0 ; ;, u (0) 0 d <, σ G ( ) < σ u( ) <. d G u

6 Joda vakiotiesnesteen massan ja liikemäärän taseen komponenttimuodot Karteesisessa koordinaatistossa lätien tensorimuodoista. Oleta stationaarinen tapaus ja Newtonin nesteen σ σ σ σ θ jännits-paine-venmänopeus relaatio ρ <, pi λd, jossa d < ( v) s (smmetrinen osa). Vastaus Tasovirtauksen komponenttimuodot saadaan tensorimuodoista esittämällä tensorit valitun σ σ σ koordinaatiston kannassa. Jännits-paine-venmänopeus relaatio on ρ <, pi λd, jossa σ θ d < ( v) s (smmetrinen osa). Jännitksen divergenssi ksinkertaistuu kokoonpuristumattomassa tapauksessa ρ σ <, p λ v θ λ ( v θ ) <, p λ v θ ja pääään tensorimuotoiin θ v < 0 ja θv θ v θ p v θ f. <, λ θ Karteesisen koordinaatiston, tason virtauksessa virtaussuureet ovat v (,, ) v (, ) ja p. (, ) Sijoitetaan aluksi esitkset θ θ θ v < v i v j θ θ ja < i j tensoritälöiden termeiin θ θ θ θ θ v v v < ( i j ) ( v ) i v j <, θ θ θ θ θ θ θ θ v v ( ) ( )( ) ( v θ v θ v v < vi v j i j vi v j < v v ) i ( v v ) j, θ θ θ p θ p p < ( i j ) p < i j, v v v v θ θ θ θ θ θ θ θ θ v < ( i j ) ( i j )( vi vj) < i( ) j( ), θ θ θ f < f i f j. Sijoitetaan sitten termit tasetälöiin ja järjestellään θ v v v < < 0, v ( v p v ) ( v θ ) T θ v v, λ, f i θ θ θ θ θv v p, λ v, f < θ < 0. j v v p v v θ( v v ), λ( ), f

7 Oeisen kuvan kaden vaakasuoran tason välinen etäiss on. Ylemmän tason nopeus on vakio ja alempi taso on levossa. Tasojen välissä on nestettä, jonka ties θ ja viskositeetti λ ovat vakioita. Mittaus lemmän levn kodalla antaa paineen arvoksi p. Määritä nesteen nopeus v ( ) ja paine p ( ) lätien Navier-Stokes tälöiden Karteesisen koordinaatiston komponenttiesitksistä. p g Tasovirtauksen komponenttimuodot saadaan tensorimuodoista esittämällä tensorit ja alutun koordinaatiston kannassa. Karteesisen koordinaatiston tasotapuksessa pääään tälöiin θ v v v < < 0, v v p v v <, λ θ( v v ) ( ) f, v v p v v <, λ θ( v v ) ( ) f. Tetävässä f <, θ g ja oletetaan ratkaisu muotoa ( ) toteutuu identtisesti, ja liikemäärän taseista saadaan p, v ( ) ja v < 0. Tällöin jatkuvuustälö v 0 < λ p ja 0 <,, θg. Tädennetään differentiaalitälöt reuna-arvotetäväksi. Virtausnopeus tasojen kodilla on sama kuin tasojen nopeus. Paine tunnetaan lemmän tason kodalla d v d < 0 ]0, [, v (0) < 0 ja v( ) < v( ) <. dp θg < 0 ]0, [, p( ) < p p( ) < θg(, ) p. d

8 ς Tarkastellaan kaden slinterin välissä olevan vakiotiesnesteen ajasta riippumatonta kaksidimensioista virtausta. lompi slinteri pörii vakiokulmanopeudella ς. Määritä nopeusjakauma vε () r ( vr < vz < 0) kättäen slinterikoordinaatiston Navier-Stokes tälöitä. R R Virtaustetävän ratkaisun lätökotana on massan tase, liikemäärän taseen Eulerin esits, jännitspaine-venmänopeus tes, ja venmänopeus-virtausnopeus tes. Perustuntemattomia ovat virtausnopeuden komponentit ja paine. Jos jännits ja venmänopeus eliminoidaan tälöistä ja v r < 0, vε () r, vz () r, prz (, ) pääään slinterikoordinaatiston komponenttimuotoiin (massan tase toteutuu automaattisesti) iikemäärän tase r, suunta 1 p θvε <, r r iikemäärän tase ε, suunta iikemäärän tase z, suunta d 1 d λ ( ( rv ε )) < 0, dr r dr p 1 d d, λ ( r vz) fz < 0. z r dr dr Tetävässä vε () r, v z < 0, pr () ja f z < 0. alueen reunoilla vε( R) < 0 ja v ε ( R) <ς R. Reuna-arvotetävä virtausnopeudelle d 1 d λ ( ( rv ε )) < 0 R; r ; R, vε( R) 0 dr r dr < ja v ε ( R) <ς R. Etsitään aluksi differentiaalitälön leinen ratkaisu integroimalla kaksi kertaa d 1 d ( ( rv ε )) < 0 1 d ( rv ε ) a dr r dr r dr < d ( rv ε ) ar dr < 1 rvε < a r b 1 1 v ε < a r b. r Integrointivakiot a ja b saadaan reunaedoista 1 1 v ε ( R) < a R b 0 < ja R 1 1 vε ( R) < a R b < Rς R R ς b<, 1 ja ς a <. 1, Virtausnopeus nesteessä ς R vε( r) < ( r, ). 1, r

9 Oeisen kuvan materiaalikerroksen paksuus on vakio. Yläpinnan < lämpötila on vakio T ja alapinta < 0 on lämpöeristett. Materiaalikerros ajatellaan vin pitkäksi, jolloin lämpö virtaa, akselin suuntaan. Määritä materiaalikerroksen lämpötila, jos lämmönjotavuus k ja lämmöntuotto s ovat vakioita. Mikä on eristetn pinnan lämpötila T 0? T Energian taseen esits lämpötilan avulla saadaan eliminoimalla lämpövuon ties Fourierin lämmönjotumislain avulla ja kättämällä ominaissisäenergian ja lämpötilan välistä relaatiota. T T T T θc < k( ) s. t z Tetävässä T( ), läpinta on vakiolämpötilassa ja alapinta on eristett. Tilannetta kuvaava reunaarvotetävä d T k d dt s< 0 0 ; ;, T( ) < T ja q(0) <, k (0) < 0. d Etsitään aluksi differentiaalitälön leinen ratkaisu d T d s <, dt <, s a k d k s 1 T <, a b. k Ratkaistaan sitten integrointivakiot a ja b reunaetojen avulla s 1 T( ) <, a b< T ja q(0) < a< 0 a< 0 ja k s 1 b< T. k ämpötilajakauma ja lämpötila T 0 eristetllä pinnalla s 1 ( T < T, ) ja k 1 s T0 < T(0) < T. k

10 Seinämien välissä olevan sauvan alkutilanteen t < 0 lämpötila T / T0 < / sin( ο / ). Seinämien lämpötilat T 0 ja 3T 0 ovat vakioita. Määritä sauvan lämpötila ajan funktiona, jos lämmönjotavuus ja ominaislämpökapasiteetti k ja c ovat vakioita. Sauva on vin eristett muilta pinnoiltaan ja lämmöntuotto s < 0. T 0 3T 0 Koska ulkopinta on vin eritett, lämpö virtaa vain, akselin suuntaan ja pääään Karteesisen koordinaatiston alku/reuna-arvotetävään Diff. tälö θc T t T < k ]0, [, t = 0 Reunaedot T(0, t) < T0 ja T(, t) < 3T0, t = 0 Alkueto T(,0) < T0 ( sin( ο )) ]0, [, t < 0 Etsitään ratkaisua muodossa T(, t) < T0 ( / ξ( t)sin( ο/ )), joka toteuttaa reunaedot kaikilla ajanetkillä. Sijoitus differentiaalitälöön jotaa tavalliseen ensimmäisen kertaluvun differentiaalitälöön funktiolle ξ () t d ξ sin( ο θc ) k sin( ο <, ξ ο ) dξ kο ξ < 0. θc Aikariippuvuutta ξ () t koskevan tavallisen differentiaalitälön ratkaisu, rt ξ() t < ae, jossa r < k ο θc sisältää integrointivakion, jonka arvo a < 1 määrät alkuedosta. Tetävän ratkaisuksi saadaan siis, rt T(, t) < T0 ( e sin( ο )), jossa ο k r <. θc Ajan kasvaessa sauvan lämpötila läest lineaarista jakaumaa T( ) < T0 ( ).