Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Transkriptio

1 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava siirtymäkaavio ja laskemaa Markov-ketjuje hetkittäisiä jakaumia matriisilaskea keioi. Jos mahdollista, harjoituksii kaattaa tuoda mukaa kaettava tietokoe tai laski, jolla voi laskea tehtävissä esiityvie matriisilaskuje lukuarvot. Alla o kuhuki tehtävää esitetty malliratkaisut puaisella sekä malliratkaisuje lisämateriaalit siisellä. Tutitehtävät 1B1 Tämä tehtävä käsittelee esimerkkitapausta luetomoistee PageRak-mallista (Esimerkki 2.3). Tarkastellaa suuistettua verkkoa, joka solmujoukko o V = {1, 2,..., }, ja jolla o seuraavalaie tähtimäie rakee. Verkko sisältää suuistetut likit 1 x ja x 1 kaikilla x = 2, 3,...,, mutta ei muita likkejä. (a) Piirrä verkko ja kirjoita se aapuruusmatriisi G tapauksessa = 4. Ratkaisu. (Leskelä, luvut ) Jos = 4, ii verkko o Yleisesti verko aapuruusmatriisi G rivit ja sarakkeet ovat verko solmuje ideksöimät ja alkioille pätee { 1 x y G(x, y) = 0 muute. Tässä siis G = (b) Tarkista, että luetomoistee PageRak-malli yhteydessä (esimerkki 2.3) määritelty matriisi P todella o siirtymämatriisi, eli että P : alkiot ovat ei-egatiivisia ja rivisummat ykkösiä. Ratkaisu. Muistetaa PageRak-malli siirtymämatriisi alkiot: P (x, y) = c 1 + (1 c) G(x, y) y V G(x, y ), 1 / 6

2 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos missä V = sekä G o verko aapuruusmatriisi. Esimerkissä 2.3 oletettii, että G(x, y ) > 0 y V jokaiselle x V. Tämä lisäksi parametri c tulkitaa todeäköisyyteä, jote 0 c 1. Tarkastetaa yt, että P o siirtymämatriisi. i. Huomataa, että jokaiselle x, y V pätee 0 G(x, y) y V G(x, y ). Näi G(x, y) olle o selvää, että P (x, y) o yksikkövälissä olevie lukuje y V G(x, y ) ja 1 koveksi kombiaatio. Tämä siis tarkoittaa, että 0 P (x, y) 1. ii. Huomataa, että jokaiselle x V pätee P (x, y) = c 1 y V G(x, y) 1 + (1 c) y V G(x, y ) y V y V = c 1 + (1 c) 1 = 1 (c) Kirjoita siirtymämatriisi P ja piirrä se siirtymäkaavio tapauksessa = 4 vaimeuskertoime arvoille c =, c = 0 ja c = 1. Mite kuvailisit Markov-ketju käyttäytymistä tapauksessa c = 1? Ratkaisu. Olkoo = 4 ja merkitää P c = (P c (i, j)) 1 i,j 4, jossa P c (i, j) = 1 4 c + (1 c) G(i, j) 4 k=1 G(i, k). Tässä vaiheessa kaattaa huomata, että solmut 2, 3, 4 ovat samassa asemassa verkossa V. Näi tarvitsee tutkia vai tapaukset P (1, 1), P (1, j), P (j, 1) ja P (i, j), joissa i, j 1. Näi olle saadaa 1/8 7/24 7/24 7/24 P = 5/8 1/8 1/8 1/8 5/8 1/8 1/8 1/8 5/8 1/8 1/8 1/8 0 1/3 1/3 1/3 P 0 = , /4 1/4 1/4 1/4 P 1 = 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4. 1/4 1/4 1/4 1/4, 2 / 6

3 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Tapauksessa c = 0 siirtymäkaavio o sama kui kohdassa (a) piirretty verkko (sopivilla paioilla). Muutoi siirtymämatriisi o täydellie suuistettu eljä solmu verkko (sopivilla paioilla). Olkoo (X t ) t 0 siirtymämatriisi P 1 kuvaama Markov-ketju, eli tapaus c = 1. Tällöi siis P(X t+1 = i X t = j) = 1/4 kaikilla i, j, t. Toisi saoe (X t ) t 0 ovat riippumattomia ja tasajakautueita joukolla {1, 2, 3, 4}. (d) Oletetaa, että c (0, 1). Mikä o todeäköisyys että solmusta 1 käyistyvä ketju löydetää yhde ajahetke kuluttua solmusta 1? Ratkaisu. Solmusta 1 käyistyvä ketju löydetää yhde ajahetke kuluttua solmusta 1 todeäköisyydellä P c (1, 1) = 1 c + (1 c) G(1, 1) k=1 G(1, k) = 1 c + (1 c) 0 = 1 c. (e) Etä kahde ajahetke kuluttua? Ratkaisu. Laskettava todeäköisyys o P 2 c (1, 1), eli P 2 c (1, 1) = P c (1, s)p c (s, 1) s=1 = (P c (1, 1)) 2 + = ( 1 c)2 + = c2 2 + = k=2 [ ] [ ] 1 c + (1 c) G(1, s) 1 k=1 G(1, k) c + (1 c) G(s, 1) k=1 G(s, k) [ 1 c + (1 c) 1 1 ] [ + c c k=2 [ c ( 1) c + c2. ] [ ] 1 c + (1 c)1 1 ] ( 1) Kotitehtävät (palautettava kirjallisia ti klo 10:15 meessä) 1B2 Syyskuu säätilaa pääkaupukiseudulla mallietaa tila-avaruude S = {1, 2, 3} diskreettiaikaisella Markov-ketjulla, jossa 1 = sateista, 2 = pilvistä ja 3 = aurikoista, ja siirtymämatriisi o P = / 6

4 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos (a) Jos huomea o pilvistä, ii millä todeäköisyydellä myös ylihuomea o pilvistä? Etä ylihuomista seuraavaa päivää? Ratkaisu. (Leskelä, luvut ) Tässä tapauksessa merkitää huomise säätilaa X 0 = 2. Todeäköisyys, että ylihuomea (X 1 ) o pilvistä o P(X 1 = 2 X 0 = 2) = P (2, 2) = 0.7. Toisaalta, todeäköisyys, että ylihuomista seuraavaa päivää (X 2 ) o pilvistä o P(X 2 = 2 X 0 = 2) = P 2 (2, 2) = Viimeie tulos saadaa matriisista P 2 = (b) Jos esi suutaia o aurikoista, ii millä todeäköisyydellä suutaita seuraa peräkkäi vähitää eljä aurikoista päivää? Ratkaisu. Tässä tapauksessa X 0 = 3. Kysytty t o P(X 4 = 3, X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3). Tässä vaiheessa voidaa jo ähdä otsalla, että haluttu t o vastaavie siirtymätodeäköisyyksie tulo P(X 4 = 3, X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3) = P (3, 3) 4 = Perustellaa kuiteki kerra elämässä tämä Markov-ketju määritelmä kautta: käytettää vuorotelle ehdollise todeäköisyyde kaavaa P(C B A) = P(B A)P(C A B) sekä Markov-omiaisuutta, jolloi saadaa P(X 4 = 3, X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3) = P(X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3)P(X 4 = 3 X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3, X 0 = 3) = P(X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3)P (3, 3) = P(X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3)P(X 3 = 3 X 2 = 3, X 1 = 3, X 0 = 3)P (3, 3) = P(X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 3)P (3, 3) 2 = P(X 1 = 3 X 0 = 3)P(X 2 = 3 X 1 = 3, X 0 = 3)P (3, 3) 2 = P (3, 3)P (3, 3)P (3, 3) 2 = P (3, 3) 4 = (c) Laske viiko 38 ( ) lauatai ja suutai säätiloje jakaumat, ku oletetaa, että kyseise viiko maaataia o pilvistä. Kumpaa viikolopu päivää sataa todeäköisimmi? 4 / 6

5 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Ratkaisu. Merkitää X 0 = 2 sitä, että kyseise viiko maaataia o pilvistä. Näi olle alkutilajakauma o µ 0 = [0 1 0]. Kysytyt tilajakaumat ovat µ 5 = [P(X 5 = 1) P(X 5 = 2) P(X 5 = 3)], µ 6 = [P(X 6 = 1) P(X 6 = 2) P(X 6 = 3)]. Tietokoee avulla saadaa P 5 = , P 6 = Tästä ähdää, että µ 5 = µ 0 P 5 = [ ], µ 6 = µ 0 P 6 = [ ]. Huomaa, että µ 5 (1) > µ 6 (1), jote lauataia sataa todeäköisimmi. (Voidaa saoa, että lauataia sekä suutaia sataa melkei samalla todeäköisyydellä) Lisäys. Erityisesti matriisi P 6 kaikki rivit ovat lähes samat. Näi olle käytäössä riippumatta maaatai säätilasta suutaia paistaa t:llä , o pilvistä t:llä ja sataa t:llä Likimai samat rivit saadaa myös P 7 :lle, P 8 :lle je. Säämalli siis uohtaa alkutilasa viikossa. Vastaava jakauma [ ] o k.o. Markov-ketju alkutilasta riippumato rajajakauma ja kurssi seuraava aihe. Rajajakauma voidaa myös tulkita syyskuu pitkä aikaväli sääkeskiarvoa. 1B3 Tarkastellaa seuraavaa yksikertaista geeie periytyvyysmallia. Oletetaa, että yksilö tiety piirtee määrää geeipari, joka kumpiki osae voi olla kahta mahdollista alleelia, A tai a. Mahdolliset yhdistelmät eli geotyypit ovat siis AA (domioiva homotsygootti), Aa (heterotsygootti 1 ) ja aa (resessiivie homotsygootti). Seurataa yhde domioivaa homotsygoottia geotyyppiä AA oleva yksilö jälkeläisiä kymmeessä sukupolvessa. Oletetaa, että tämä yksilö saa jälkeläise heterotsygooti (Aa) yksilö kassa, tämä jälkeläie saa edellee jälkeläise heterotsygooti (Aa) yksilö kassa, ja ii edellee kymmeetee sukupolvee asti. Periöllisyydestä tiedetää seuraavaa. Geotyyppie AA ja Aa vahempie jälkeläie o todeäköisyydellä 1 geotyyppiä 2 AA, muute Aa. Geotyyppie aa ja Aa vahempie jälkeläie o todeäköisyydellä 1 2 geotyyppiä aa, muute Aa. Kahde geotyyppiä Aa oleva vahemma jälkeläie o todeäköisyydellä 1 geotyyppiä AA, todeäköisyydellä 1 geotyyppiä Aa ja todeäköisyydellä 1 geotyyppiä aa Yhdistelmä aa geeettisesti ekvivaletti yhdistelmä Aa kassa, jote emme erottele äitä. 5 / 6

6 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos (a) Muodosta ylläoleva perusteella tilajouko {AA, Aa, aa} Markov-ketju siirtymämatriisi, joka kuvaa jälkeläiste geotyyppejä sukupolvittai. Ratkaisu. Tilajouko {AA, Aa, aa} Markov-ketju siirtymämatriisi sekä siirtymäkaavio ovat 0 P = 1/4 1/4. 0 AA Aa aa 1/4 (b) Laske malli esiityvyysmatriisi M 10. Ratkaisu. (Leskelä, luku 2.5) Tietokoee avulla saadaa 10 M 10 = s=0 P s 1/4 = I + P + P P = (c) Selvitä esiityvyysmatriisi avulla odotusarvo sille, kuika moi domioiva homotsygooti (AA) yksilö jälkeläie kymmeetee sukupolvee asti o resessiivistä homotsygoottia tyyppiä (aa). Ratkaisu. Tila aa esiityvyys aikavälillä [0, 10] o Tästä ähdää, että 10 N aa (10) = 1(X s = aa). s=0 E(N aa (10) X 0 = AA) = M 10 (AA, aa) = Lisäys. Tämä tehtävä malli o yksikertaistettu sikäli, että siiä tutkitaa vai yhtä geeiä ja tutkitu lija ulkopuolie geotyyppi o oletettu vakioksi Aa. Periytyvyyttä mallietaa kuiteki todellisuudessaki samahekisiä satuaisprosesseia. 6 / 6