Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen

Transkriptio

1 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava siirtymäkaavio ja laskemaa Markov-ketjuje hetkittäisiä jakaumia matriisilaskea keioi. Jos mahdollista, harjoituksii kaattaa tuoda mukaa kaettava tietokoe tai laski, jolla voi laskea tehtävissä esiityvie matriisilaskuje lukuarvot. Alla o kuhuki tehtävää esitetty malliratkaisut puaisella sekä malliratkaisuje lisämateriaalit siisellä. Tutitehtävät B Tarkastellaa tähtimäistä verkkoa, joka solmujoukko o V = {, 2,..., }, ja joka sisältää likit x ja x, x = 2, 3,...,, mutta ei muita likkejä. (a) Piirrä verkko ja kirjoita se aapuruusmatriisi G tapauksessa = 4. Ratkaisu. Jos = 4, ii verkko ja se aapuruusmatriisi G ovat: Matriisi G alkioille pätee 0 G = G(x, y) = { x y 0 muute (b) Tarkista, että luetomoistee PageRak-malli yhteydessä (esimerkki 2.3) määritelty matriisi P todella o siirtymämatriisi, eli että P : alkiot ovat ei-egatiivisia ja rivisummat ykkösiä. Ratkaisu. Muistetaa, että P (x, y) = c + ( c) G(x, y) y V G(x, y ), missä V = sekä G o verko aapuruusmatriisi. Muistetaa, että G(x, y ) > 0, y V / 7

2 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos jokaiselle x V. Tämä lisäksi, parametri c tulkitaa todeäköisyyteä, jote 0 c. i. Huomataa, että jokaiselle x, y V pätee 0 G(x, y) y V G(x, y ). Näi G(x, y) olle o selvää, että P (x, y) o yksikkövälissä olevie lukuje y V G(x, y ) ja koveksi kombiaatio. Tämä siis tarkoittaa, että 0 P (x, y). ii. Huomataa, että jokaiselle x V pätee P (x, y) = c y V G(x, y) + ( c) y V G(x, y ) y V y V = c + ( c) = (c) Kirjoita siirtymämatriisi P ja piirrä se siirtymäkaavio tapauksessa = 4 vaimeuskertoime arvoille c =, c = 0 ja c =. Mite kuvailisit Markov-ketju käyttäytymistä tapauksessa c =? Ratkaisu. Olkoo = 4 ja merkitää P c = (P c (i, j)) i,j 4, jossa P c (i, j) = 4 c + ( c) G(i, j) 4 k= G(i, k). Näi olle, saadaa /8 7/24 7/24 7/24 P = 5/8 /8 /8 /8 5/8 /8 /8 /8, 5/8 /8 /8 /8 0 /3 /3 /3 P 0 = , /4 /4 /4 /4 P = /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4, /4 /4 /4 /4 (d) Oletetaa, että c (0, ). Mikä o todeäköisyys että solmusta käyistyvä ketju löydetää yhde ajahetke kuluttua solmusta? Ratkaisu. Solmusta käyistyvä ketju löydetää yhde ajahetke kuluttua 2 / 7

3 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos solmusta todeäköisyydellä P c (, ) = c + ( c) G(, ) k= G(, k) = c + ( c) 0 = c. (e) Etä kahde ajahetke kuluttua? Ratkaisu. Laskettava todeäköisyys o P 2 c (, ), eli P 2 c (, ) = P c (, s)p c (s, ) s= = (P c (, )) 2 + = ( c)2 + = c2 2 + k=2 [ ] [ ] c + ( c) G(, s) k= G(, k) c + ( c) G(s, ) k= G(s, k) [ c + ( c) ] [ + c c k=2 [ c ( ) c + c2 = = c c + ( c). ] [ ] c + ( c) ] ( ) B2 Kalvoväätäjät Oyj o liikkeejohdo kosulttiyhtiö, joka työtekijät o jaoteltu kolmee palkkaluokkaa: = juiorit, 2 = seiorit ja 3 = parterit. Viiko alussa juioriasemassa oleva työtekijä yleee seioriksi t:llä 0.03 ja muute jatkaa samassa asemassa seuraava viiko alussa. Vastaavasti seiori yleee parteriksi t:llä 0.0 ja muute jatkaa samassa asemassa. Parteri oletetaa jatkava samassa asemassa hamaa tulevaisuutee. Oletetaa yksikertaisuude vuoksi, että työtekijät eivät poistu yhtiö palveluksesta tarkasteltavalla aikajäteellä. (a) Mallia yksittäise työtekijä palkkaluokkaa tilajouko S = {, 2, 3} Markovketjua, kirjoita ketju siirtymämatriisi ja piirrä siirtymäkaavio. Ratkaisu. Merkitää S = {, 2, 3}. Ketju siirtymämatriisi sekä se siirtymäkaavio ovat P = / 7

4 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos (b) Laske juioria aloittava työtekijä palkkaluoka tilajakauma 0 viiko jälkee. Ratkaisu. Alkujakauma o µ 0 = [P(X 0 = ) P(X 0 = 2) P(X 0 = 3)] = [ 0 0]. Kysytty jakauma o µ 0 = µ 0 P 0. Tietokoee avulla lasketaa P 0 = Näi olle saadaa µ 0 = [ ]. (c) Millä todeäköisyydellä yhtiö palveluksee palkattu juiori o yletyyt parteriksi vuode kuluessa? Ratkaisu. Kysytty t o P(X 52 = 3 X 0 = ). Tietokoee avulla lasketaa P 52 = Todeäköisyys, että yhtiö palveluksee palkattu juiori o yletyyt parteriksi vuode kuluessa o P(X 52 = 3 X 0 = ) = P 52 (, 3) = (d) Millä todeäköisyydellä yhtiöö seioriksi palkattu hekilö ei ole yletyyt parteriksi vuode kuluttua? Ratkaisu. Todeäköisyys, että seioriksi palkattu hekilö ei ole yletyyt parteriksi vuode kuluessa o P(X 52 = 3 X 0 = 2) = P 52 (2, 3) = = / 7

5 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Kotitehtävät B3 Syyskuu säätilaa pääkaupukiseudulla mallietaa tila-avaruude S = {, 2, 3} diskreettiaikaisella Markov-ketjulla, jossa = sateista, 2 = pilvistä ja 3 = aurikoista, ja siirtymämatriisi o P = (a) Jos huomea o pilvistä, ii millä todeäköisyydellä myös ylihuomea o pilvistä? Etä ylihuomista seuraavaa päivää? Ratkaisu. Tässä tapauksessa merkitää huomise säätilaa X 0 = 2. Todeäköisyys, että ylihuomea (X ) o pilvistä o P(X = 2 X 0 = 2) = P (2, 2) = 0.7. Toisaalta, todeäköisyys, että ylihuomista seuraavaa päivää (X 2 ) o pilvistä o P(X 2 = 2 X 0 = 2) = P 2 (2, 2) = Viimeie tulos saadaa matriisista P 2 = (b) Jos esi suutaia o aurikoista, ii millä todeäköisyydellä suutaita seuraa peräkkäi vähitää eljä aurikoista päivää? Ratkaisu. Tässä tapauksessa X 0 = 3. Kysytty t o P(X 4 = 3, X 3 = 3, X 2 = 3, X = 3 X 0 = 3). Miksi? Huomaa, että P(A B C) = P(A C)P(B A C). Näi olle saadaa P(X 4 = 3, X 3 = 3, X 2 = 3, X = 3 X 0 = 3) = = P(X 3 = 3, X 2 = 3, X = 3 X 0 = 3)P(X 4 = 3 X 3 = 3, X 2 = 3, X = 3, X 0 = 3) = P(X 2 = 3, X = 3 X 0 = 3)P(X 3 = 3 X 2 = 3, X = 3, X 0 = 3)P (3, 3) = P(X = 3 X 0 = 3)P(X 2 = 3 X = 3, X 0 = 3)P (3, 3)P (3, 3) = P (3, 3)P (3, 3)P (3, 3)P (3, 3) = (P (3, 3)) 4 = (c) Laske viiko 38 ( ) lauatai ja suutai säätiloje jakaumat, ku oletetaa, että kyseise viiko maaataia o pilvistä. Kumpaa viikolopu päivää sataa todeäköisimmi? 5 / 7

6 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Ratkaisu. Merkitää X 0 = 2 sitä, että kyseise viiko maaataia o pilvistä. Näi olle alkutilajakauma o µ 0 = [0 0]. Kysytyt tilajakaumat ovat µ 5 = [P(X 5 = ) P(X 5 = 2) P(X 5 = 3)], µ 6 = [P(X 6 = ) P(X 6 = 2) P(X 6 = 3)]. Tietokoee avulla saadaa P 5 = , P 6 = Tästä ähdää, että µ 5 = µ 0 P 5 = [ ], µ 6 = µ 0 P 6 = [ ]. Huomaa, että µ 5 () > µ 6 (), jote lauataia sataa todeäköisimmi. (Voidaa saoa, että lauataia sekä suutaia sataa melkei samalla todeäköisyydellä) Lisäys. Erityisesti matriisi P 6 kaikki rivit ovat lähes samat. Näi olle käytäössä riippumatta maaatai säätilasta suutaia paistaa t:llä 0.857, o pilvistä t:llä ja sataa t:llä Likimai samat rivit saadaa myös P 7 :lle, P 8 :lle je. Tämä o k.o. Markov-ketju alkutilasta riippumato rajajakauma ja kurssi seuraava aihe. Rajajakauma voidaa myös tulkita syyskuu pitkä aikaväli sääkeskiarvoa. B4 Tarkastellaa seuraavaa yksikertaista geeie periytyvyysmallia. Oletetaa, että yksilö tiety piirtee määrää geeipari, joka kumpiki osae voi olla kahta mahdollista alleelia, A tai a. Mahdolliset yhdistelmät eli geotyypit ovat siis AA (domioiva homotsygootti), Aa (heterotsygootti ) ja aa (resessiivie homotsygootti). Seurataa yhde domioivaa homotsygoottia geotyyppiä AA oleva yksilö jälkeläisiä kymmeessä sukupolvessa. Oletetaa, että tämä yksilö saa jälkeläise heterotsygooti (Aa) yksilö kassa, tämä jälkeläie saa edellee jälkeläise heterotsygooti (Aa) yksilö kassa, ja ii edellee kymmeetee sukupolvee asti. Periöllisyydestä tiedetää seuraavaa. Geotyyppie AA ja Aa vahempie jälkeläie o todeäköisyydellä geotyyppiä 2 AA, muute Aa. Geotyyppie aa ja Aa vahempie jälkeläie o todeäköisyydellä 2 geotyyppiä aa, muute Aa. Kahde geotyyppiä Aa oleva vahemma jälkeläie o todeäköisyydellä geotyyppiä AA, todeäköisyydellä geotyyppiä Aa ja todeäköisyydellä geotyyppiä aa Yhdistelmä aa geeettisesti ekvivaletti yhdistelmä Aa kassa, jote emme erottele äitä. 6 / 7

7 Matematiika ja systeemiaalyysi laitos (a) Muodosta ylläoleva perusteella tilajouko {AA, Aa, aa} Markov-ketju siirtymämatriisi, joka kuvaa jälkeläiste geotyyppejä sukupolvittai. Ratkaisu. Tilajouko {AA, Aa, aa} Markov-ketju siirtymämatriisi sekä siirtymäkaavio ovat 0 P = /4 /4. 0 AA Aa aa /4 (b) Laske malli esiityvyysmatriisi M 0. Ratkaisu. Tietokoee avulla saadaa 0 M 0 = s=0 P s /4 = I + P + P P = (c) Selvitä esiityvyysmatriisi avulla odotusarvo sille, kuika moi domioiva homotsygooti (AA) yksilö jälkeläie kymmeetee sukupolvee asti o resessiivistä homotsygoottia tyyppiä (aa). Ratkaisu. Tila aa esiityvyys aikavälillä [0, 0] o Tästä ähdää, että 0 N aa (0) = (X s = aa). s=0 E(N aa (0) X 0 = AA) = M 0 (AA, aa) = Lisäys. Tämä tehtävä malli o yksikertaistettu sikäli, että siiä tutkitaa vai yhtä geeiä ja tutkitu lija ulkopuolie geotyyppi o oletettu vakioksi Aa. Periytyvyyttä mallietaa kuiteki todellisuudessaki samahekisiä satuaisprosesseia. 7 / 7