Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
|
|
- Esa Halonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva jakauma, Kertymäunktio, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Korrelaatio, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Odotusarvo, Pistetodennäköisyysunktio, Regressiounktio, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Tiheysunktio, Varianssi, hteisjakauma 6.. Heitetään kahta virheetöntä noppaa (nopan virheettömyydellä tarkoitetaan sitä, että silmälukujen,, 3, 4, 5, 6 todennäköisyydet ovat yhtä suuria). Määritellään satunnaismuuttujat Määrää: (a) (b) (c). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Z Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. E(Z) Var(Z) (d) Cov(, Z) (e) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla. () Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla Z 3. (g) E(Z ) Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja pistetodennäköisyysunktiot (i) Pr( i), i,, 3, 4, 5, 6 (i) Pr( i), i,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Ilkka Mellin (4) /3
2 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Muodostetaan heittotulosten erotuksille Z. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: Erotus. nopan heiton tulos Z nopan heiton tulos Satunnaismuuttujan Z mahdolliset arvot ovat 5, 4, 3,,,, +, +, +3, +4, +5 Satunnaismuuttujan Z pistetodennäköisyysunktio Z (k) Pr(Z k), k 5, 4, 3,,,, +, +, +3, +4, +5 voidaan lukea yllä esitetystä aputaulukosta. Pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: k Z (k) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Esimerkiksi 3 voi tulla erotuksen Z arvoksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Erotus Z Ilkka Mellin (4) /3
3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktio Z (i, k) Pr( i ja Z k) voidaan esittää seuraavana taulukkona: Z (i, k). nopan heiton tulos i /36 4 /36 /36 3 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Z /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 k /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 4 /36 /36 5 /36 Esimerkiksi: Z (, 4) Pr( ja Z 4) koska silmälukujen erotukseksi ei voi tulla 4, jos. nopalla saatiin. Esimerkiksi: Z (3, ) Pr( 3 ja Z ) /36 koska tulos { 3 ja Z } voi syntyä täsmälleen yhdellä tavalla: 3 ja 4 Ilkka Mellin (4) 3/3
4 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) ipr( i) i 6 i Vastaavasti myös i 6 ( ) E() /6 3.5 leisesti pätee: Siten E( ) E() E() E(Z) E( ) E() E() (c) Satunnaismuuttujan. origomomentti on E( ) i Pr( i) i 6 i i ( ) 5. Siten satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) E[ E( )] Vastaavasti myös E( ) [E( )] Var() 35/.97 Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Siten Var( ) Var() + Var() Var(Z) Var( ) Var() + Var() 35/ Ilkka Mellin (4) 4/3
5 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (d) Todistamme ensin seuraavan aputuloksen: Cov(, ) Var() Cov(, ) Koska kovarianssi on invariantti siirron suhteen, niin voimme olettaa, että E() E() Tällöin Cov(, ) E[( )] E[ ] E( ) E() Var() Cov(, ) Koska ja on oletettu riippumattomiksi, niin Cov(, ) Siten satunnaismuuttujien ja Z kovarianssiksi saadaan Cov(, Z) Var() 35/.97 (e) Satunnaismuuttujan Z ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on, pistetodennäköisyysunktiot saadaan kaavalla Z (, i k) ( k), i,,,6, k 5, 4,,4,5 Z () i Ilkka Mellin (4) 5/3
6 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: Z (k). nopan heiton tulos i /6 4 /6 /6 3 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Z /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 k /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 3 /6 /6 /6 4 /6 /6 5 /6 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu. Esimerkiksi, jos ja z 4, (,4) (4) Z Z () 6 Esimerkiksi, jos ja z, Z Z (, ) 36 ( ) () 6 6 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan (reuna-) jakauman todennäköisyyksillä. () Satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on Z, pistetodennäköisyysunktiot, saadaan kaavalla Z (, i k) ( i), i,,,6, k 5, 4,,4,5 Z ( k) Z Ilkka Mellin (4) 6/3
7 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: Z (i). nopan heiton tulos i / / 3 /3 /3 /3 /4 /4 /4 /4 Z /5 /5 /5 /5 /5 /6 /6 /6 /6 /6 /6 k /5 /5 /5 /5 /5 /4 /4 /4 /4 3 /3 /3 /3 4 / / 5 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu. Esimerkiksi, jos ja z 4, (,4) () Z Z 4 Z (4) 36 Esimerkiksi, jos ja z, Z Z (, ) 36 () ( ) Z Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan Z (reuna-) jakauman todennäköisyyksillä. (g) Kohdan (e) taulukosta (laskemalla tai symmetria-argumentin perusteella) saadaan ehdollinen odotusarvo E(Z ) z Z (k) helposti esitettyä taulukkomuodossa: Ilkka Mellin (4) 7/3
8 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A i E(Z i) Laskemalla saadaan esimerkiksi, että 5 E( Z ) kpr( Z k ) k 5 3 k.5 6 k Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( 3) Pr( ) Pr( ) Pr( ) /4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat. (c) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi. (d) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio. (e) Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. () Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla. Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: (, y) y 3 /4 /4 /4 /4 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien () Pr( ) y (, y) (y) Pr( y) (, y) Ilkka Mellin (4) 8/3
9 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A pistetodennäköisyysunktiot saadaan yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota esittävästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: (, y) (y) 3 /4 /4 y /4 /4 / /4 /4 () / /4 /4 (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on 3 E( ) Pr( ) i i i Satunnaismuuttujan. origomomentti on 3 i i E( ) Pr( ) i ( ).75 Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) D ( ) E[ E( )] E( ) [E( )] Satunnaismuuttujan standardipoikkeama on 7 D( ).99 6 Satunnaismuuttujan odotusarvo on 3 E( ) y Pr( y ) i i i Ilkka Mellin (4) 9/3
10 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan. origomomentti on 3 i i E( ) y Pr( y ) i ( ) Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) D ( ) E[ E( )] E( ) [E( )] Satunnaismuuttujan standardipoikkeama on 5 D( ) (c) Määrätään ensin 3 3 E( ) y Pr(, y ) i j i j i j ( ) ( ) + ( ) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) E[( E( ))( E( ))] E( ) E( ) E( ) (d) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on Cov(, ) Cor(, ) D( ) D( ) Ilkka Mellin (4) /3
11 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (e) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot, kun ehtomuuttujana on : : ( y) ( y, ) ( ) y 3 (y) / / : y 3 (y) : y 3 (y) Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan reunajakauman todennäköisyyksillä. () Ehdolliset odotusarvot E( ) y (y) saadaan kohdasta (e): E( ) / 3 Esimerkiksi: 3 E( ) y Pr( y ) j j j Ilkka Mellin (4) /3
12 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A 6.3. Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio (, y) C( + y),, y jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tiheysunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on. () Ehdollinen odotusarvo E( ). Ratkaisu: (a) Koska kaikille tiheysunktioille (, y) pätee + + (, y) dyd niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ( + y) dyd C y + y d Ratkaisuksi saadaan C C + d + C C + C Siten satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio on muotoa (, y) + y,, y Ilkka Mellin (4) /3
13 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Integroimalla saadaan: ( ) Pr ( + y) dyd y y d d d 3 (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktioksi saadaan F (, y) ( u, v) dvdu ( u + v) dvdu y y y uv v du + + uy y du u y+ uy y+ y y( + y) Ilkka Mellin (4) 3/3
14 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (d) Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktio on ( ) (, y) dy + ( + ydy ) y + + y Vastaavalla tavalla saadaan satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktioksi ( y) y+ Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska ( ) ( y) y+ + y+ + y (, y) 4 (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on ( ) ( y, ) ( y) ( + y) y + Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y riippuu y:stä, jolloin esimerkiksi myös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. () Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + E( ) ( d ) ( + y) d (y + ) ( ) + y d y y y + 3 3y + 3 y + Ilkka Mellin (4) 4/3
15 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y eli satunnaismuuttujan regressiounktio satunnaismuuttujan suhteen riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio (, y) Cy,, y jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( /, / ) (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tiheysunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on. () Ehdollinen odotusarvo E( ). Ratkaisu: (a) Koska kaikille tiheysunktioille (, y) pätee + + (, y) dyd niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ydyd C y d Ratkaisuksi saadaan C 4 C d C 4 C 4 Siten satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio on ( y, ) 4y,, y Ilkka Mellin (4) 5/3
16 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Integroimalla saadaan: Pr, 4 ydyd 4 y 4 3 d 8 d (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktioksi saadaan F (, y) ( u, v) dvdu y y uy du 4 u y 4 y uvdvdu uv y du (d) Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktio on ( ) (, y) dy + 4ydy y Samalla tavalla saadaan satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktioksi ( y) y Ilkka Mellin (4) 6/3
17 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, koska ( ) ( y) 4 y (, y) (e) Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan. Tämä nähdään myös suoraan laskemalla: ( ) ( y, ) ( y) 4y y ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y ei riipu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. () Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y yhtyy satunnaismuuttujan odotusarvoon. Tämä nähdään myös suoraan laskemalla: + E( ) ( ) d ( d ) E( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y eli satunnaismuuttujan regressiounktio satunnaismuuttujan suhteen ei riipu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Ilkka Mellin (4) 7/3
18 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A 6.5. Olkoon -ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( +, ) Pr(, +) Pr(, ) Pr(, ) /4 (a) Ovatko ja korreloimattomia? (b) Ovatko ja riippumattomia? Selitä saamasi tulos. Ratkaisu: Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: p y p. y /4 /4 /4 /4 / /4 /4 p. /4 / /4 (a) Todetaan ensin, että E() E() Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) ( E( ))( y E( )) Pr(, y) y [ ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) ] 4 Siten satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. (b) Satunnaismuuttujat ja eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p /6 p. p. Selitys: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Ilkka Mellin (4) 8/3
19 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarista riippuvuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Tehtävän tapauksessa jakauman määräävät pisteet ovat ympyrän kehällä. + y 6.6. Olkoon -ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( +, 4) Pr(, 4) Pr(, ) /3 (a) Ovatko ja korreloimattomia? (b) Ovatko ja riippumattomia? Selitä saamasi tulos. Ratkaisu: Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: p y p. y 4 /3 /3 /3 /3 /3 p. /3 /3 /3 (a) Todetaan ensi, että E() E() 8/3 Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) ( E( ))( y E( )) Pr(, y) y 8 8 (4 ) ( ) (4 ) Siten satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Ilkka Mellin (4) 9/3
20 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Satunnaismuuttujat ja eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p 4 /9 p. p. 4 Selitys: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarista riippuvuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Tehtävän tapauksessa jakauman määräävät pisteet ovat paraabelin kaarella. y 6.7. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: Määrää: (a) E( ) Var( ) 4 E( ) + Var( ) 5 Cov(, ) 5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Cor(, ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. Ratkaisu: Oletuksen mukaan (, ) ~ N (, +, 4, 5, 5) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 E( ) µ + Var( ) D ( ) σ 5 Cov(, ) σ 5 Ilkka Mellin (4) /3
21 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat ovat normaalisia: ~ N(, 4) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 ja ~ N(+, 5) jossa E( ) µ + Var( ) D ( ) σ 5 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cor(, ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: jossa ~ N(E( ), Var( )) σ E( y) µ + ρ ( y µ ) σ ( y ) 5 4 y 5 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen unktiona lineaarinen. Var( y) ( ρ ) σ < 4 σ 4 Ilkka Mellin (4) /3
22 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: jossa ~ N(E( ), Var( )) σ E( ) µ + ρ ( µ ) σ 5 ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen unktiona lineaarinen. Var( ) ( ρ ) σ < 5 σ 4 4 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: Määrää: (a) Cor(, ) E( ) Var( ) 5 E( ) 5 Var( ) 4 Cov(, ) 8 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on. Ilkka Mellin (4) /3
23 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ratkaisu: Oletuksen mukaan (, ) ~ N (, 5, 4, 5, 8) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 E( ) µ 5 Var( ) D ( ) σ 5 Cov(, ) σ 8 (a) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cor(, ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ (b) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on σ E( ) µ + ρ ( µ ) σ ( ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on, on Var( y) ( ρ ) σ < 4 σ 5 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Ilkka Mellin (4) 3/3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
.9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotVarma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7
0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotKopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011
Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
Lisätiedot(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
Lisätiedotr = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotNämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan
Mitä pitäisi vähintään osata Tässäkäydään läpi asiat jotka olisi hyvä osata Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan osattavan 333 Kurssin sisältö Todennäköisyyden, satunnaismuuttujien
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
Lisätiedot