Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:"

Transkriptio

1 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva jakauma, Kertymäunktio, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Korrelaatio, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Odotusarvo, Pistetodennäköisyysunktio, Regressiounktio, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Tiheysunktio, Varianssi, hteisjakauma 6.. Heitetään kahta virheetöntä noppaa (nopan virheettömyydellä tarkoitetaan sitä, että silmälukujen,, 3, 4, 5, 6 todennäköisyydet ovat yhtä suuria). Määritellään satunnaismuuttujat Määrää: (a) (b) (c). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Z Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. E(Z) Var(Z) (d) Cov(, Z) (e) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla. () Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla Z 3. (g) E(Z ) Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja pistetodennäköisyysunktiot (i) Pr( i), i,, 3, 4, 5, 6 (i) Pr( i), i,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Ilkka Mellin (4) /3

2 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Muodostetaan heittotulosten erotuksille Z. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: Erotus. nopan heiton tulos Z nopan heiton tulos Satunnaismuuttujan Z mahdolliset arvot ovat 5, 4, 3,,,, +, +, +3, +4, +5 Satunnaismuuttujan Z pistetodennäköisyysunktio Z (k) Pr(Z k), k 5, 4, 3,,,, +, +, +3, +4, +5 voidaan lukea yllä esitetystä aputaulukosta. Pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: k Z (k) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 Esimerkiksi 3 voi tulla erotuksen Z arvoksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Erotus Z Ilkka Mellin (4) /3

3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktio Z (i, k) Pr( i ja Z k) voidaan esittää seuraavana taulukkona: Z (i, k). nopan heiton tulos i /36 4 /36 /36 3 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Z /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 k /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 4 /36 /36 5 /36 Esimerkiksi: Z (, 4) Pr( ja Z 4) koska silmälukujen erotukseksi ei voi tulla 4, jos. nopalla saatiin. Esimerkiksi: Z (3, ) Pr( 3 ja Z ) /36 koska tulos { 3 ja Z } voi syntyä täsmälleen yhdellä tavalla: 3 ja 4 Ilkka Mellin (4) 3/3

4 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) ipr( i) i 6 i Vastaavasti myös i 6 ( ) E() /6 3.5 leisesti pätee: Siten E( ) E() E() E(Z) E( ) E() E() (c) Satunnaismuuttujan. origomomentti on E( ) i Pr( i) i 6 i i ( ) 5. Siten satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) E[ E( )] Vastaavasti myös E( ) [E( )] Var() 35/.97 Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Siten Var( ) Var() + Var() Var(Z) Var( ) Var() + Var() 35/ Ilkka Mellin (4) 4/3

5 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (d) Todistamme ensin seuraavan aputuloksen: Cov(, ) Var() Cov(, ) Koska kovarianssi on invariantti siirron suhteen, niin voimme olettaa, että E() E() Tällöin Cov(, ) E[( )] E[ ] E( ) E() Var() Cov(, ) Koska ja on oletettu riippumattomiksi, niin Cov(, ) Siten satunnaismuuttujien ja Z kovarianssiksi saadaan Cov(, Z) Var() 35/.97 (e) Satunnaismuuttujan Z ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on, pistetodennäköisyysunktiot saadaan kaavalla Z (, i k) ( k), i,,,6, k 5, 4,,4,5 Z () i Ilkka Mellin (4) 5/3

6 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: Z (k). nopan heiton tulos i /6 4 /6 /6 3 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Z /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 k /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 3 /6 /6 /6 4 /6 /6 5 /6 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu. Esimerkiksi, jos ja z 4, (,4) (4) Z Z () 6 Esimerkiksi, jos ja z, Z Z (, ) 36 ( ) () 6 6 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan (reuna-) jakauman todennäköisyyksillä. () Satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on Z, pistetodennäköisyysunktiot, saadaan kaavalla Z (, i k) ( i), i,,,6, k 5, 4,,4,5 Z ( k) Z Ilkka Mellin (4) 6/3

7 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: Z (i). nopan heiton tulos i / / 3 /3 /3 /3 /4 /4 /4 /4 Z /5 /5 /5 /5 /5 /6 /6 /6 /6 /6 /6 k /5 /5 /5 /5 /5 /4 /4 /4 /4 3 /3 /3 /3 4 / / 5 Kysyttyyn ehdolliseen jakaumaan liittyvät osat taulukon luvuista on lihavoitu. Esimerkiksi, jos ja z 4, (,4) () Z Z 4 Z (4) 36 Esimerkiksi, jos ja z, Z Z (, ) 36 () ( ) Z Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan Z (reuna-) jakauman todennäköisyyksillä. (g) Kohdan (e) taulukosta (laskemalla tai symmetria-argumentin perusteella) saadaan ehdollinen odotusarvo E(Z ) z Z (k) helposti esitettyä taulukkomuodossa: Ilkka Mellin (4) 7/3

8 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A i E(Z i) Laskemalla saadaan esimerkiksi, että 5 E( Z ) kpr( Z k ) k 5 3 k.5 6 k Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( 3) Pr( ) Pr( ) Pr( ) /4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat. (c) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi. (d) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio. (e) Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. () Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla. Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: (, y) y 3 /4 /4 /4 /4 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien () Pr( ) y (, y) (y) Pr( y) (, y) Ilkka Mellin (4) 8/3

9 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A pistetodennäköisyysunktiot saadaan yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota esittävästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: (, y) (y) 3 /4 /4 y /4 /4 / /4 /4 () / /4 /4 (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on 3 E( ) Pr( ) i i i Satunnaismuuttujan. origomomentti on 3 i i E( ) Pr( ) i ( ).75 Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) D ( ) E[ E( )] E( ) [E( )] Satunnaismuuttujan standardipoikkeama on 7 D( ).99 6 Satunnaismuuttujan odotusarvo on 3 E( ) y Pr( y ) i i i Ilkka Mellin (4) 9/3

10 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan. origomomentti on 3 i i E( ) y Pr( y ) i ( ) Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) D ( ) E[ E( )] E( ) [E( )] Satunnaismuuttujan standardipoikkeama on 5 D( ) (c) Määrätään ensin 3 3 E( ) y Pr(, y ) i j i j i j ( ) ( ) + ( ) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) E[( E( ))( E( ))] E( ) E( ) E( ) (d) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on Cov(, ) Cor(, ) D( ) D( ) Ilkka Mellin (4) /3

11 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (e) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysunktiot, kun ehtomuuttujana on : : ( y) ( y, ) ( ) y 3 (y) / / : y 3 (y) : y 3 (y) Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan reunajakauman todennäköisyyksillä. () Ehdolliset odotusarvot E( ) y (y) saadaan kohdasta (e): E( ) / 3 Esimerkiksi: 3 E( ) y Pr( y ) j j j Ilkka Mellin (4) /3

12 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A 6.3. Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio (, y) C( + y),, y jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tiheysunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on. () Ehdollinen odotusarvo E( ). Ratkaisu: (a) Koska kaikille tiheysunktioille (, y) pätee + + (, y) dyd niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ( + y) dyd C y + y d Ratkaisuksi saadaan C C + d + C C + C Siten satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio on muotoa (, y) + y,, y Ilkka Mellin (4) /3

13 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Integroimalla saadaan: ( ) Pr ( + y) dyd y y d d d 3 (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktioksi saadaan F (, y) ( u, v) dvdu ( u + v) dvdu y y y uv v du + + uy y du u y+ uy y+ y y( + y) Ilkka Mellin (4) 3/3

14 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (d) Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktio on ( ) (, y) dy + ( + ydy ) y + + y Vastaavalla tavalla saadaan satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktioksi ( y) y+ Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska ( ) ( y) y+ + y+ + y (, y) 4 (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on ( ) ( y, ) ( y) ( + y) y + Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y riippuu y:stä, jolloin esimerkiksi myös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. () Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + E( ) ( d ) ( + y) d (y + ) ( ) + y d y y y + 3 3y + 3 y + Ilkka Mellin (4) 4/3

15 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y eli satunnaismuuttujan regressiounktio satunnaismuuttujan suhteen riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio (, y) Cy,, y jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( /, / ) (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tiheysunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle, kun ehtomuuttujana on. () Ehdollinen odotusarvo E( ). Ratkaisu: (a) Koska kaikille tiheysunktioille (, y) pätee + + (, y) dyd niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ydyd C y d Ratkaisuksi saadaan C 4 C d C 4 C 4 Siten satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysunktio on ( y, ) 4y,, y Ilkka Mellin (4) 5/3

16 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Integroimalla saadaan: Pr, 4 ydyd 4 y 4 3 d 8 d (c) Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäunktioksi saadaan F (, y) ( u, v) dvdu y y uy du 4 u y 4 y uvdvdu uv y du (d) Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktio on ( ) (, y) dy + 4ydy y Samalla tavalla saadaan satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysunktioksi ( y) y Ilkka Mellin (4) 6/3

17 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, koska ( ) ( y) 4 y (, y) (e) Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan. Tämä nähdään myös suoraan laskemalla: ( ) ( y, ) ( y) 4y y ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla y ei riipu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. () Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y yhtyy satunnaismuuttujan odotusarvoon. Tämä nähdään myös suoraan laskemalla: + E( ) ( ) d ( d ) E( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla y eli satunnaismuuttujan regressiounktio satunnaismuuttujan suhteen ei riipu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Ilkka Mellin (4) 7/3

18 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A 6.5. Olkoon -ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( +, ) Pr(, +) Pr(, ) Pr(, ) /4 (a) Ovatko ja korreloimattomia? (b) Ovatko ja riippumattomia? Selitä saamasi tulos. Ratkaisu: Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: p y p. y /4 /4 /4 /4 / /4 /4 p. /4 / /4 (a) Todetaan ensin, että E() E() Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) ( E( ))( y E( )) Pr(, y) y [ ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) ] 4 Siten satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. (b) Satunnaismuuttujat ja eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p /6 p. p. Selitys: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Ilkka Mellin (4) 8/3

19 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarista riippuvuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Tehtävän tapauksessa jakauman määräävät pisteet ovat ympyrän kehällä. + y 6.6. Olkoon -ulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysunktio Pr( +, 4) Pr(, 4) Pr(, ) /3 (a) Ovatko ja korreloimattomia? (b) Ovatko ja riippumattomia? Selitä saamasi tulos. Ratkaisu: Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman (, y) Pr( ja y) pistetodennäköisyysunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: p y p. y 4 /3 /3 /3 /3 /3 p. /3 /3 /3 (a) Todetaan ensi, että E() E() 8/3 Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) ( E( ))( y E( )) Pr(, y) y 8 8 (4 ) ( ) (4 ) Siten satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Ilkka Mellin (4) 9/3

20 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (b) Satunnaismuuttujat ja eivät kuitenkaan ole riippumattomia, koska esimerkiksi p 4 /9 p. p. 4 Selitys: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. Korrelaatio mittaa satunnaismuuttujien lineaarista riippuvuutta. Siten korreloimattomien satunnaismuuttujien välillä voi olla jopa eksakti epälineaarinen riippuvuus. Tehtävän tapauksessa jakauman määräävät pisteet ovat paraabelin kaarella. y 6.7. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: Määrää: (a) E( ) Var( ) 4 E( ) + Var( ) 5 Cov(, ) 5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Cor(, ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. Ratkaisu: Oletuksen mukaan (, ) ~ N (, +, 4, 5, 5) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 E( ) µ + Var( ) D ( ) σ 5 Cov(, ) σ 5 Ilkka Mellin (4) /3

21 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat ovat normaalisia: ~ N(, 4) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 ja ~ N(+, 5) jossa E( ) µ + Var( ) D ( ) σ 5 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cor(, ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: jossa ~ N(E( ), Var( )) σ E( y) µ + ρ ( y µ ) σ ( y ) 5 4 y 5 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen unktiona lineaarinen. Var( y) ( ρ ) σ < 4 σ 4 Ilkka Mellin (4) /3

22 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: jossa ~ N(E( ), Var( )) σ E( ) µ + ρ ( µ ) σ 5 ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen unktiona lineaarinen. Var( ) ( ρ ) σ < 5 σ 4 4 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: Määrää: (a) Cor(, ) E( ) Var( ) 5 E( ) 5 Var( ) 4 Cov(, ) 8 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on. Ilkka Mellin (4) /3

23 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Ratkaisu: Oletuksen mukaan (, ) ~ N (, 5, 4, 5, 8) jossa E( ) µ Var( ) D ( ) σ 4 E( ) µ 5 Var( ) D ( ) σ 5 Cov(, ) σ 8 (a) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cor(, ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ (b) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on σ E( ) µ + ρ ( µ ) σ ( ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on, on Var( y) ( ρ ) σ < 4 σ 5 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Ilkka Mellin (4) 3/3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Keskihajonta ja korrelaatio

Keskihajonta ja korrelaatio Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan Mitä pitäisi vähintään osata Tässäkäydään läpi asiat jotka olisi hyvä osata Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan osattavan 333 Kurssin sisältö Todennäköisyyden, satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH 8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit 4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot