Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Transkriptio

1 TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut , ). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu esimerkki sekajakaumasta: Satuaismuuttuja tihesfuktio f() = c ( 5 ), < < 5. Satuaismuuttuja Y = g() määritellää asettamalla ku < g :,5, g = ku < < 3 3 ku 3 5 a) Määrää c. b) Määritä odotusarvo E(Y) määrittämällä esi Y: kertmäfuktio ja soveltamalla Laiise kirja teoreemaa 5.3. (jatkuvuus ei ole välttämätö ehto). c) Määritä odotusarvo E(Y) soveltamalla teoreemaa a) c ( 5 ) d = c = 6 25 : kertmäfuktio o jatkuva: ku < F = ku ku 5 Y: jakauma o sekajakauma, jolla o diskreetti kompoetti: P(Y = ) = P( ) = F() = 3/25 P(Y = 3) = P(3 5) = P( 3) = F(3) = 44/25 ja jatkuva kompoetti, joka tihesfuktio saadaa : tihesfuktiosta välillä < < 3. Y: kertmäfuktio o: ku < F Y = F ku < 3 ku 3 (F Y o epäjatkuva pisteissä = ja = 3, joissa se "hppää". F Y o jatkuva välillä < < 3. Huomaa, että F Y o kaikkialla jatkuva oikealta, kute pitääki). b) Teoreema 5.3.: Olkoo satuaismuuttuja tihesfuktioa f (), jolle pätee f () = ku. <. Silloi E = P( > ) d = ( F ) d

2 3 E( Y) = ( F ) d = d + ( F ) d + d Y d = = + = c) Teoreema 5.4.: Olkoo satuaismuuttuja tihesfuktioa f () sekä H() kaikilla : + + arvoilla jatkuva fuktio, jolle H ( ) f ( ) d <. Silloi E[ H ] = H d E( Y) = g d = d + d + 3 d = Heitetää kahta virheetötä oppaa; olkoot silmäluvut ja Y. Tarkastellaa satuaismuuttujia U = + Y ja V = Y. a) Ovatko U ja V riippumattomia? b) Määritä U: ja V: välie korrelaatiokerroi ρ UV. a) U ja V eivät ole riippumattomia. Esimerkiksi ehdolla V = U: ehdollie jakauma o diskreetti tasaie jakauma, joka arvojoukko o {2, 4, 6, 8,, 2}, mutta ehdolla V = 5 (eli saadaa silmäluvut ja 6 tai 6 ja ) U o vakio eli P(U = 7 V = 5) =. b) U: ja V: hteisjakauma smmetriasta seuraa, että ρ UV =. Tämä voidaa mös laskea. (U, V): hteisjakauma pistetodeäköissfuktio reuajakaumiee (missä q = /36, todeäköiss saada tiett silmälukupari, ja thjissä ruuduissa todeäköiss o ): U V q q q q q q 6q 2q 2q 2q 2q 2q q 2 2q 2q 2q 2q 8q 3 2q 2q 2q 6q 4 2q 2q 4q 5 2q 2q q 2q 3q 4q 5q 6q 5q 4q 3q 2q q Tauluko ali rivi o U: reuajakauma pistetodeäköissfuktio P(U = u) ja viimeie sarake o V: reuajakauma pistetodeäköissfuktio P(V = v). Reuajakaumie pistetodeäköissfuktioista saadaa U: ja V: odotusarvot: E(U) = 2 q + 3 2q + 4 3q + 5 4q + + 2q + 2 q = 7 E(V) = 6q + q + 2 8q + 3 6q + 4 4q + 5 2q = 7/36 Yhteisjakauma pistetodeäköissfuktiosta saadaa odotusarvo E(UV): E(UV) = q( ) + 2q( ) = 49/36

3 Kovariassi: Cov(U, V) = E(UV) E(U) E(V) = Cov ( UV, ) Korrelaatiokerroi: ρ UV = = Var( U) Var( V) Riippumattomuudesta seuraa aia korreloimattomuus, mutta korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa riippumattomuutta. Korrelaatio o lieaarise riippuvuude mitta. 3. Moottori toimii moitteettomasti aja, joka o ekspoettijakautuut odotusarvoa puoli vuotta. Ku moottori vikaatuu, se tilalle aseetaa varamoottori, joka eliikä o ekspoettijakautuut odotusarvoa 4 kuukautta. Eliiät ovat toisistaa riippumattomia. a) Millä todeäköisdellä varamoottori toimii kauemmi kui varsiaie? b) Millä todeäköisdellä järjestelmä toimii aiaki vuode (tarkoittaa siis aikaa varsiaise moottori kättööottamisesta aia varamoottori vikaatumisee)? c) Mikä o koko järjestelmä keskimääräie eliikä? Päämoottori eliikä = ~ Ep(2) Varamoottori eliikä = Y ~ Ep(3) (aikaksikköä vuosi) Koska ja Y ovat riippumattomia, o (, Y): hteisjakauma tihesfuktio 2 3 f (, ) = = 2e 3 e,, Y Y f d d e e d d e e d a) 3 2 P, ( 2 < = = = ) e e = = + + = b) P( + Y ) = P( + Y < ) = P( Y < ) = f (, ) d d ( ) 2 3 = 2e 3e d d 2e ( e ) d 2e d 2e e d = + = = ( e 2e ( e ) ) = 3e 2e c) E( + Y) = E + E ( Y) = + = (eli kuukautta) 2 3 6

4 4. Oletetaa, että : elektroise kompoeti eliiät, 2,..., ovat riippumattomia ja ekspoettijakautueita parametrilla λ. Määrää sellaise ssteemi eliiä jakauma ja keskimääräie eliikä, jossa kompoetit o ktkett a) sarjaa, b) ria. a) Olkoo V sarjaaktket ssteemi eliikä (esim. joulukuuse valot ovat usei sarjaaktkettjä). Huomaa, että V = mi{, 2,..., }, koska ssteemi toimii, kues. kompoetti vikaatuu. Site: F () v = P( V v) = P( V > v) = P ( > v ja > v ja ja > v) V = P( > v) P( > v) P( > v) = 2 ( F () v ) 2 Tässä o johdettu leie lauseke samoi jakautueide satuaismuuttujie miimi jakaumalle. Ekspoettijakauma kertmäfuktio o: F = ep ( λ), jote miimimuuttuja V jakauma o F () v = P( V v) = ( F () v ) = + ep( λv) = ep λv. V Ssteemi eliikä oudattaa siis ekspoettijakaumaa parametrilla λ. Yhde kompoeti keskimääräie eliikä o E() = /λ ja sarjaaktket ssteemi keskimääräie eliikä o E(V) = /λ. b) Olkoo U riaktket ssteemi eliikä. Huomaa, että U = ma{, 2,..., }, koska ssteemi toimii, kues kaikki kompoettia ovat vikaatueet. Site: F ( u) = P( U u) = P ( u ja u ja ja u) U = P( u) P( u) P( u) = F u 2 2 Tämä o leie lauseke samoi jakautueide satuaismuuttujie maksimi jakaumalle. F u = P U u = F u = ep( λu) U Merkitää (i) = "i: kompoeti eliikä". Ekspoettijakauma uohtamisomiaisuude vuoksi ssteemi eliikä voidaa kirjoittaa muotoo: E( U) = E( ma {, 2,, } ) = E( mi{ ( i) }) = λ 2 i= Tässä hödettii a)-kohdassa johdettua kompoettie eliiä miimi odotusarvoa. Uohtamisomiaisuude vuoksi voidaa ajatella, että esi kaikki kompoettia toimivat sama ekspoettijakautuee aja (miimimuuttuja parametrilla λ). Esimmäise hajottua loput kompoettia toimivat jällee ekspoettijakautuee aja (miimimuuttuja parametrilla ( )λ). Je, kues jäljellä o vai ehjä kompoetti, joka toimii ekspoettijakautuee aja parametrilla λ.

5 5. Satuaismuuttujie ja Y hteisjakauma tihesfuktio o f (, ) = ce alueessa < < ja muualla. a) Määritä vakio c. b) Määritä : ja Y: reuajakaumie tihesfuktiot sekä ehdolliste jakaumie tihesfuktiot (ts. : jakauma tihesfuktio Y =, ku ja vastaavasti Y: jakauma tihesfuktio =, ku ). c) Määritä E(Y = ) (Y: regressiokärä : suhtee) ja Var(Y = ) kaikilla >. d) Määritä korrelaatiokerroi ρ Y. Merkitää A = {(, ) < < }. a) e dd e d d 2 e d 2 [ e ] e d = = = = 2[ e ] = 2 A jote c = /2 (ratkaisussa kätettii osittaisitegroitia). b) : reuajakauma tihesfuktio: = f (, ) d = e d = e d = e 2 2 Y: reuajakauma tihesfuktio: ku >. fy = f (, ) d = e d [ e ] e 2 = =, ku. 2 2 : ehdollise jakauma tihesfuktio ehdolla Y = : f, 2 e + Y = = = = e, ku < <. Ts. : ehdollie jakauma ehdolla Y = fy 2 e o Ep()-jakauma siirrettä : verra positiivise -akseli suutaa. Y: ehdollise jakauma tihesfuktio ehdolla = : f, 2 e fy = = = =, ku < < ja >. Ts. Y: ehdollie jakauma ehdolla e 2 = o Tas(, ), ku >. c) b)-kohda ojalla E(Y = ) = E[Tas(, )] = ja Var(Y = ) = ( E ( Y = ) ) fy = d = d = = d) E Y = 2 e dd 2 e d = d = (koska sisempi itegraali o olla) ja A E(Y) = (Y: reuajakauma tihesfuktio o origo suhtee smmetrie). Y: reuajakauma odotusarvo voi mös laskea itegroimalla: E( Y) = e d e d e d e d e d 2 = 2 + = = e d e d 2 + 2

6 Molempie itegraalie sisällä o ekspoettijakauma tihesfuktio parametrilla λ =, jote itegraalit tuetusti suppeevat ja Y: odotusarvoksi tulee. Cov(, Y) = E(Y) E()E(Y) =, jote ρ Y =. Pistetehtävä. Olkoo satuaismuuttujie ja Y hteisjakauma tihesfuktio f (, ) = c +, < < 2, < < 4 ja muualla, c o sopiva vakio. a) Määritä : ja Y: reuajakaumie tihesfuktiot. b) Määritä : ehdollie tihesfuktio ehdolla Y = 3 sekä leisesti ehdolla Y = (, 4). Esi pitää ratkaista vakio c, jote itegroidaa tihesfuktio koko määrittelaluee li d + 2 = + = + ja edellee: d = [ ] =, jote c =. a) Edellisestä saadaa Y: reuajakauma tihesfuktio: 2 fy = 2 +, < < 4 : reuajakauma tihesfuktio: 4 4 = d [ 2 ] ( 2 3 ), 2 + = + = + < < b) : tihesfuktio ehdolla Y = 3: f (,3) Y = 3 = = =, < < 2 f ( 3) 2 Y Huomaa, että imittäjä skaalaa fuktio f(, 3) tihesfuktioksi (pita-ala o ). : ehdollie tihesfuktio leisessä tapauksessa: + f (, ) + Y = = = =, < < 2, < < 4 fy

7 Pistetehtävä 2. Olkoot ja Y Bi(2,.75)-jakautueita ja riippumattomia. Olkoo Z = ma{, Y} (eli suurempi satuaismuuttujista ja Y). Määritä korrelaatiokerroi ρ Z ja samalla E(Z) ja Var(Z). : jakauma pistetodeäköissfuktio saadaa biomijakaumasta = 2, p =.75: P( = ) = /6, P( = ) = 6/6, P( = 2) = 9/6. Y: jakauma o idettie. (, Z): hteisjakauma pistetodeäköissfuktio (merkitää q = /256, missä 256 = 6 2 ): Z 2 q 6q 9q 6q 42q 54q 96q 2 44q 44q q 48q 27q Tauluko ali rivi o Z: reuajakauma pistetodeäköissfuktio P(Z = z) ja viimeie sarake o : reuajakauma pistetodeäköissfuktio P( = ). Esimerkiksi 42q o todeäköiss P( =, Z = ) = P( = )P(Y = ) + P( = )P(Y = ) = 6/6 /6 + 6/6 6/6 = 42/256 = 42q Reuajakaumie pistetodeäköissfuktioista saadaa odotusarvot ja toiset mometit: E() = 6q + 96q q = 384q = 384/256 =.5 (= p) E( 2 ) = 2 6q q q = 672q = 672/256 = Var() = E( 2 ) [E()] 2 =.375 (= p( p)) E(Z) = q + 48q q = 462q = 462/256 = E(Z 2 ) = 2 q q q = 876q = 876/256 = Var(Z) = E(Z 2 ) [E(Z)] 2 = 876/256 (462/256) 2.65 Yhteisjakauma pistetodeäköissfuktiosta saadaa: E(Z) = q( ) + 6q( ) + 9q( 2) + 42q( ) + 54q( 2) + 44q(2 2) = 726q = 726/256 = Cov(Z) = E(Z) E()E(Z).289 Cov ( Z, ) ρ Z =.583 Var Var( Z)

8 . välikoe o maaataia 3. klo 2-5 (tehtäväpapereide jakamisee meee joki aikaa, mutta koe pritää aloittamaa mahdollisimma pia klo 2 jälkee). Välikokeesee ilmoittautumie WebTopilla o PAKOLLISTA tiistaihi 28. meessä. Ota kokeesee mukaa: kirjoitusvälieet, opiskelijakortti tai hekilöllisstodistus, laski (ei rajoituksia, mutta muisti tät thjetää) sekä kaavakokoelma. HUOM! Kireästä korjausaikataulusta johtue kokee 4 tehtävää tät palauttaa jokaie omalla koseptiarkillaa. Tästä tulee opiskelijoille hiema eemmä vaivaa, mutta vastaavasti korjaamie opeutuu ja tulokset saadaa valmiiksi ee välikokee uusitapäivää (7.). Koseptiarkit jaetaa talo puolesta. Perjataia 3. lueolla kerrataa välikoealuee asioita. Toivomuksia kertauslueolla käsiteltävistä aiheista voi lähettää sähköpostilla osoitteesee mat29@cc.hut.fi. Koealue päivitetää kurssi kotisivulle lähiaikoia.