6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
|
|
- Leena Heikkilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) kaikilla x 1 S 1, x 2 S 2, missä f(x 1, x 2 ) o X 1 : ja X 2 : yhteisjakauma tiheysfuktio, f 1 (x 1 ) o X 1 : ja f 2 (x 2 ) o X 2 : tiheysfuktio. Määritelmä yleistyy suoraviivaisesti usea satuaismuuttuja tapauksee. Satuaismuuttujat X 1, X 2,..., X ovat riippumattomat, jos f(x 1, x 2,...,x ) f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f (x ). Jos satuaismuuttujat X 1, X 2,..., X ovat riippumattomat, ii myös iide fuktiot u 1 (X 1 ), u 2 (X 2 ),..., u (X ) ovat riippumattomat, mikäli kuki fuktio u i, i 1, 2,..., riippuu vai satuaismuuttujasta X i eikä siis satuaismuuttujista X j, j i. Silloi erityisesti Lausee 3.10 mukaa E[u 1 (X 1 )u 2 (X 2 ) u (X )] E[u(X 1 )] E[u 2 (X 2 )] E[u (X )]. Jos riippumattomat satuaismuuttujat X 1, X 2,..., X oudattavat samaa jakaumaa (RSJ), joka kertymäfuktio o F(x), ii saomme, että X 1, X 2,...,X o : kokoie otos jakaumasta F. Kertymäfuktio edustaa populaatiota, josta otos tehdää. Esimerkki 6.1 Olkoo X 1, X 2,...,X otos ormaalijakaumasta N(µ, σ 2 ). Silloi X i N(µ, σ 2 ), i 1, 2,..., ja X 1, X 2,..., X ovat riippumattomat. 213
2 214 Luku 6. Otatajakaumie teoria Otokse X 1, X 2,...,X yhteisjakauma tiheysfuktio o siis f(x 1, x 2,...,x ) f(x i ) missä 1 2πσ e [1/(2σ2 )](x i µ) 2 ( 1 ) 2 e [1/(2σ2 )] 2πσ 2 (x i µ) 2, f(x i ) 1 2πσ e [1/(2σ2 )](x i µ) 2, i 1, 2,...,. Lause 6.1 (Apulausee 5.1 yleistys) Satuaisvektorit X (X 1, X 2,..., X ) ja Y (Y 1, Y 2,...,Y ) ovat riippumattomat jos ja vai jos o olemassa sellaiset fuktiot g(x) ja h(y ), että f(x, y) g(x)h(y) kaikilla x: ja y: arvoilla, missä g ei riipu y:stä ja h ei riipu x:stä. 6.2 Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Tilastollisissa sovelluksissa tarkastellaa tavallisesti erilaisia satuaismuuttujie fuktioita. Otoksesta X 1, X 2,...,X laskettua reaali-, tai vektoriarvoista suuretta T(X 1, X 2,...,X ) saotaa otokse tuusluvuksi (statistics). Kaksi tärkeää otokse tuuslukua ovat otoskeskiarvo X ja otosvariassi S 2. Esimerkiksi T 1 (X 1, X 2,...,X ) X o reaaliarvoie ja T 2 (X 1, X 2,...,X ) (X, S 2 ) o vektoriarvoie. Lause 6.2 Olkoo X 1, X 2,...,X otos jakaumasta, joka tiheysfuktio o f(x). Silloi satuaismuuttujie X 1, X 2,..., X yhteisjakuma tiheysfuktio o f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f (x ). Jos g(y) o satuaismuuttuja Y u(x 1, X 2,...,X ) tiheysfuktio, ii E(Y ) yg(y) dy S y u(x 1, x 2,...,x )f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f (x ) dx 1 dx 2... dx, S S S mikäli odotusarvo o olemassa. Diskreettejä satuaismuuttujia koskeva vastaava tulos saadaa korvaamalla itegraalit summalausekkeilla. Satuaismuuttujie X 1, X 2,..., X arvoalue o S ja Y : arvoalue o S y.
3 6.2. Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma 215 Esimerkki 6.2 Heitetää kahta oppaa. Olkoo 1. opa silmäluku X 1 ja 2. opa silmäluku X 2. Määritetää yt silmälukuje summa Y X 1 +X 2 todeäköisyysfuktio g(y). Tarkastellaa esi yksittäise arvo, esimerkiksi y 4, todeäköisyyde g(4) laskemista. Tapahtuma {Y 4} voi sattua kolmella toisesa poissulkevalla tavalla: {X 1 1, X 2 3}, {X 1 2, X 2 2} ja {X 1 3, X 2 1}. Siksi g(4) P(Y 4) P(X 1 1, X 2 3) + P(X 1 2, X 2 2) + P(X 1 3, X 2 1) Jatkamalla samalla periaatteella saadaa todeäköisyysfuktio g(y): y g(y) Yleisesti Esimerki 6.2 todeäköisyydet voidaa laskea s. kovoluutiokaavalla y 1 g(y) P(Y y) f(k)f(y k), missä f(k) 1, k 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 o opa silmäluvu todeäköisyysfuktio. Toie tapa johtaa g(y), o käyttää momettifuktiota. Nopa silmäluvu momettifuktio o k1 M X (t) E ( e tx) 1 6 et e2t e3t e4t e5t e6t. Koska silmäluvut ovat riippumattomat, ii Y : momettifuktio o M Y (t) M X1 (t)m X2 (t) [M X (t)] 2. Koska e kt : kerroi M Y (t): lausekkeessa o todeäköisyys P(Y k), k 2, 3,..., 12, e muodostavat Y : todeäköisyysfuktio. Lause 6.3 Olkoot riippumattomie satuaismuuttujie X 1, X 2,..., X odotusarvot µ 1, µ 2,..., µ ja variassit σ1 2, σ2 2,..., σ2. Silloi satuaismuuttuja Y a ix i odotusarvo ja variassi ovat µ Y a i µ i ja σy 2 a 2 i σ2 i, missä a 1, a 2,..., a ovat aettuja vakioita.
4 216 Luku 6. Otatajakaumie teoria Todistus. Koska odotusarvo o lieaarie operaattori, ii ( ) E(Y ) E a i X i a i E(X i ) Vastaavasti [ ( σ 2 E[(Y µ Y ) 2 ] E a i X i missä [ ] 2 [ E a i (X i µ i ) E E(a i X i ) a i µ i. ) ] 2 a i µ i ] a i a j (X i µ i )(X j µ j ) j1 a i a j E[(X i µ i )(X j µ j )] j1 σ ij E[(X i µ i )(X j µ j )]. a i a j σ ij, Koska X i ja X j ovat riippumattomat, ii σ ij 0, ku i j. Tästä seuraa, että σ 2 a 2 i σ2 i. Esimerkki 6.3 Olkoot X 1 ja X 2 riippumattomat satuaismuuttujat, joide odotusarvot ovat µ 1 4 ja µ 2 3 sekä variassit vastaavasti σ ja σ Silloi satuaismuuttuja Y 3X 1 2X 2 odotusarvo ja variassi ovat µ Y 3 ( 4) + ( 2) 3 18 ja σ 2 Y ( 2) Esimerkki 6.4 Olkoo X 1, X 2,...,X otos jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi σ 2. Silloi otoskeskiarvo X X 1 + X X odotusarvo ja variassi ovat ( ) 1 µ X µ µ ja σ 2 X j1 ( 1 ) 2 σ 2 σ2.
5 6.2. Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma 217 Otosvariassi o muotoa S 2 1 (X i X) 2 1 ( Xi 2 X 2), 1 1 jote E(S 2 ) 1 1 [ ] E(Xi 2 ) E(X 2 ). Koska E(Xi 2) σ2 + µ 2 ja E(X 2 ) σ 2 / + µ 2, ii laskemalla o helppo todeta, että E(S 2 ) σ 2. Olemme siis osoittaeet, että X o µ: ja S 2 o σ 2 : harhato estimaattori. Lause 6.4 Jos X 1, X 2,..., X ovat riippumattomat satuaismuuttujat, joide momettifuktiot ovat M Xi (t), i 1, 2,...,, ii satuaismuuttuja Y a ix i momettifuktio o M Y (t) M Xi (a i t). Todistus. Satuaismuuttuja Y momettifuktio o M Y (t) E ( e ty ) E ( e t(a 1X 1 +a 2 X 2 + +a X ) ) E ( e a 1tX1 e a 2tX2 e atx) E ( e a 1tX 1 ) E(e a 2tX 2 ) E(e atx), koska satuaismuuttujat e a itx i ovat keskeää riippumattomat. Momettifuktio määritelmä mukaa E ( e tx i) MXi (t), jote E ( e a itx i ) MXi (a i t). Siksi M Y (t) M X1 (a 1 t)m X2 (a 2 t) M X (a t) M Xi (a i t). Esimerkki 6.5 Olkoo X 1, X 2,..., X otos Beroulli jakaumasta Ber ( 1 3). Silloi M(t) et. Jos Y X 1 + X X, ii ( M Y (t) 2 + 1et) ( et). Tästä äemme, että Y Bi (, 1 3).
6 218 Luku 6. Otatajakaumie teoria Seuraus 6.1 Jos X 1, X 2,...,X o otos jakaumasta, joka momettifuktio o M(t), ii 1. satuaismuuttuja Y X i momettifuktio o M Y (t) M(t) [M(t)]. 2. otoskeskiarvo X (1/)X i momettifuktio o ( ) [ ( )] t t M X (t) M M. Esimerkki 6.6 Olkoo X 1, X 2, X 3 otos ekspoettijakaumasta, joka odotusarvo o θ. Ekspoettijakauma momettifuktio o M(t) 1/(1 θt), t < 1/θ. Silloi summa Y X 1 + X 2 + X 3 momettifuktio o M Y (t) [1/(1 θt)] 3 (1 θt) 3, t < 1 θ, mikä o gammajakauma Gamma(3, θ) momettifuktio, jote Y Gamma(3, θ). Toisaalta X: momettifuktio o [( M X (t) 1 θt ) 1 ] 3 ( 1 θt ) 3, ku t < t. Otoskeskiarvo X oudattaa siis gammajakaumaa Gamma(3, θ/3). 6.3 Normaalijakaumaa liittyvät jakaumat Lause 6.5 Jos X 1, X 2,...,X o otos ormaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), ii otoskeskiarvo X (1/)X i jakauma o N(µ, σ 2 /). Todistus. Koska X i N(µ, σ 2 ), ii ) M Xi (t) exp (µt + σ2 t 2. 2 Seurauslausee 6.1 mukaa [ ( M X (t) exp µ t )] + σ2 (t/) 2 2 ) exp (µt + (σ2 /)t 2, 2 joka o ormaalijakauma N(µ, σ 2 /) momettifuktio. Koska momettifuktio määrittää yksikäsitteisesti satuaismuuttuja jakauma, ii X N(µ, σ 2 /).
7 6.3. Normaalijakaumaa liittyvät jakaumat 219 Lause 6.6 Olkoot X i χ 2 (r i ), i 1, 2,...,. Jos X 1, X 2,..., X ovat riippumattomat, ii satuaismuuttuja Y X 1 + X X jakauma o χ 2 (r 1 + r r k ). Todistus. Satuaismuuttuja Y momettifuktio voidaa kirjoittaa muodossa M Y (t) E [ e t(x 1+X 2 + +X ) ] E ( e ) tx 1 E ( e ) tx 2 E ( e tx) M Xi (t). Koska ii M Y (t) M Xi (t) (1 2t) ri/2 ; t < 1 2, (1 2t) ri/2 (1 2t) (r 1+r 2 + +r )/2, t < 1 2 o χ 2 -jakauma χ 2 (r 1 + r r ) momettifuktio. Tästä seuraa, että Y χ 2 (r 1 + r r ). Lause 6.7 Olkoo Z 1, Z 2,...,Z otos stadardimuotoisesta ormaalijakaumasta N(0, 1). Silloi W Z Z Z 2 oudattaa jakaumaa χ 2 (). Todistus. Koska Z i χ 2 (1), i 1, 2,..., ja Z1, 2 Z2, 2..., Z 2 ovat keskeää riippumattomat, ii tulos seuraa Lauseesta 6.6. Seuraus 6.2 Olkoot X 1, X 2,..., X riippumattomat ja X i N(µ i, σ 2 i ), i 1, 2,...,. Silloi satuaismuuttuja W (X i µ i ) 2 σ 2 i oudattaa jakaumaa χ 2 (). Lause 6.8 Olkoo X 1, X 2,...,X otos ormaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), X (1/)X i o otoskeskiarvo ja S 2 [1/( 1)] (X i X) 2 o otosvariassi. Silloi 1. X ja S 2 ovat riippumattomat satuaismuuttujat, 2. X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ 2 /), 3. ( 1)S 2 /σ 2 oudattaa χ 2 -jakaumaa χ 2 ( 1).
8 220 Luku 6. Otatajakaumie teoria Todistus. Kohda 1 todistus sivuutetaa tässä yhteydessä. Kohta 2 o lause 6.5. Todistetaa yt väite, että ( 1)S 2 Laskemalla voidaa todeta, että ( Xi µ σ 2 χ 2 ( 1). σ ) 2 [ (Xi X) + (X µ) ] 2 σ ( ) 2 Xi X (X µ)2 + σ σ 2 ( ) 2 ( 1)S2 X µ + σ 2 σ/. Koska Z X µ σ/ N(0, 1), ii Z2 χ 2 (1). Vastaavasti Seurauslausee 6.2 mukaa W ( Xi ) µ 2 σ χ 2 (). Koska S 2 ja Z 2 ovat kohda 1 mukaa riippumattomat, ii E ( e tw) E ( e ) t[( 1)S2 /σ 2 +Z 2 ] E ( ) e t( 1)S2 /σ 2 e tz2 E ( e t( 1)S2 /σ 2 ) E ( e tz 2 ). Koska W χ 2 () ja Z 2 N(0, 1), ii Tästä seuraa, että (1 2t) /2 E [ e t( 1)S/σ2 ] (1 2t) 1/2. E [ e t( 1)S/σ2 ] (1 2t) ( 1)/2 ; t < 1 2, joka o jakauma χ 2 ( 1) momettifuktio. Näi o lausee väite 3 todistettu. Lause 6.9 Olkoot X 1, X 2,..., X keskeää riippumattomat ormaalijakaumaa oudattavat satuaismuuttujat, joide odotusarvot ovat µ 1, µ 2,..., µ ja variassit σ 2 1, σ 2 2,..., σ 2. Silloi lieaarikombiaatio Y a i X i oudattaa ormaalijakaumaa ( N a i µ i, a 2 i σ2 i Todistus. Tulos saadaa soveltamalla Lausetta 6.4 ormaalijakaumaa. ).
9 6.4. Järjestyssuureet Järjestyssuureet Otokse suuri ja piei arvo sekä keskimääräie arvo, mediaai, ovat tärkeitä otossuureide arvoje järjestyksee perustuvia tuuslukuja. Olkoo X 1, X 2,...,X otos. Merkitää otokse pieitä arvoa X (1) seuraavaksi pieitä X (2) ja ii edellee, jote X (1) X (2) X (). Tämä ideksoiti tarkoittaa sitä, että otosarvot paaa kasvavaa järjestyksee. Jos otos o esimerkiksi 5.0, 3.1, 2.7, 6.1, 5.3, ii järjestetty otos o 2.7, 3.1, 5.0, 5.3, 6.1. Nyt siis esimerkiksi X 1 5.0, X (1) 2.7 ja X (3) 5.0 o mediaai ja X Nyt siis ja X (1) mi(x 1,...,X ) X () max(x 1,..., X ). Tuusluku X (k) o otokse k. järjestystuusluku Maksimi ja miimi Olkoo X 1, X 2,...,X otos jakaumasta, joka kertymäfuktio o F(x). Maksimi kertymäfuktio o F () (x) P(X () x) P(X 1 x, X 2 x,..., X x) P(X 1 x)p(x 2 x) P(X x), koska X 1, X 2,..., X ovat riippumattomat. Kertymäfuktio määritelmä mukaa P(X i x) F(x), jote Miimi kertymäfuktio o F (1) (x) P(X (1) x) F () (x) [F(x)]. 1 P(X (1) > x) 1 P(X 1 > x, X 2 > x,..., X > x) 1 P(X 1 > x)p(x 2 > x) P(X > x) 1 [1 F(x)]. Esimerkki 6.7 Olkoo X 1, X 2,...,X otos ekspoettijakaumasta Exp(λ). Määritetää miimi X (1) jakauma. Ekspoettijakauma Exp(λ) kertymäfuktio o { 0, ku x < 0; F(x) 1 e λx, ku x 0.
10 222 Luku 6. Otatajakaumie teoria Silloi miimi kertymäfuktio o { 0, ku x < 0; F (1) (x) 1 e λx, ku x 0. Miimi oudattaa siis ekspoettijakaumaa Exp(λ). Jos otos o jatkuvasta jakaumasta, joka tiheysfuktio o f(x), saadaa X (1) : ja X () : jakaumie tiheysfuktiot derivoimalla kertymäfuktiot F () (x) ja F (1) (x). Nyt siis maksimi tiheysfuktio o ja miimi tiheysfuktio o f () (x) d dx [F(x)] [F(x)] 1 f(x) f (1) (x) d ( ) 1 [1 F(x)] [1 F(x)] 1 f(x). dx Järjestyssuuree X (k) jakauma Olkoo X 1, X 2,...,X otos jakaumasta, joka kertymäfuktio o F(x). Johdetaa yt järjestystuusluvu X (k), 1 < k <, jakauma. Jos {X (k) x}, ii silloi aiaki k otosarvoa o pieempiä tai korkeitaa yhtä suuria kui x. Tarkastellaa yksikertaisuude vuoksi tapausta 3. Johdetaa mediaai X (2) jakauma. Tapahtuma {X (2) x} toteutuu täsmällee silloi, ku {X 1 x, X 2 x} tai {X 1 x, X 3 x} tai {X 2 x, X 3 x} tai {X 1 x, X 2 x, X 3 x}. Koska P(X i x, X j x) [F(x)] 2 [1 F(x)], i j ja ii (6.4.1) P(X 1 x, X 2 x, X 3 x) [F(x)] 3, F (2) (x) P(X (2) x) 3[F(x)] 2 [1 F(x)] + [F(x)] 3 3 ( ) 3 [F(x)] i [1 F(x)] 3 i. i i2 Yleisessä tapauksessa vastaava kaava voidaa johtaa samalla periaatteella. Emme kuitekaa käsittele yleise kaava johtoa se tarkemmi, toteamme vai, että X (k) : kertymäfuktio o (6.4.2) F (k) (x) P(X (k) x) ik ( ) [F(x)] i [1 F(x)] i. i
11 6.5. Keskeie rajaväittämä 223 Jos otos o jatkuvasta jakaumasta, saadaa vastaava tiheysfuktio derivoimalla kertymäfuktio. Esitetää esi X (2) : tiheysfuktio, ku 3. Ku kertymäfuktio (6.4.1) derivoidaa, saadaa f (2) (x) F (2)(x) 3 2F(x)f(x)[1 F(x)] 3[F(x)] 2 f(x) + 3[F(x)] 2 f(x) 3!F(x)[1 F(x)]f(x). Derivoimalla lauseke (6.4.2) saadaa satuaismuuttuja X (k) tiheysfuktio yleisessä tapauksessa (1 k ): (6.4.3) f (k) (x)! (k 1)!( k)! [F(x)]k 1 [1 F(x)] k f(x). Esimerkki 6.8 Olkoo X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 otos jakaumasta, joka tiheysfuktio o f(x) 2x, 0 < x < 1. Jakauma kertymäfuktio o 0, x < 0; F(x) x 2, 0 x 1; 1, x > 1. Silloi mediaai tiheysfuktio o lausekkee (6.4.3) ojalla f (3) (x) 5! 2!2! x4 (1 x 2 ) 2 2x 60x 5 (1 x 2 ) 2, 0 < x < 1. Vastaavasti miimi tiheysfuktio o ja maksimi tiheysfuktio o f (1) (x) 10x(1 x 2 ) 4, 0 < x < 1 f (5) (x) 10x 9, 0 < x < Keskeie rajaväittämä Olemme havaieet, että otossuuree jakauma riippuu tavallisesti otoskoosta. Jos X 1, X 2,...,X o otos Beroulli jakaumasta Ber(p), ii X X 1 +X 2 + +X Bi(, p). Satuaismuuttuja X jakauma riippuu siis otoskoosta. Jos X 1, X 2,..., X o otos ormaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), ii otoskeskiarvo X jakauma N(µ, σ 2 /) riippuu :stä. Olkoo (X i ; i 1) X 1, X 2, X 3,... satuaismuuttujie joo, missä satuaismuuttujie X, 1, 2, 3,... jakauma riippuu :stä. Merkitää satuaismuuttuja X kertymäfuktiota F (x), joka siis riippuu :stä. Seuraavassa määritellää satuaismuuttujie joo (X i ; i 1) suppeemie jakaumamielessä.
12 224 Luku 6. Otatajakaumie teoria 10 f (5) (x) f (1) (x) f (3) (x) Kuvio 6.1. Miimi, maksimi ja mediaai tiheysfuktio, ku otos o jakaumasta f(x) 2x, 0 < x < 1. Määritelmä 6.1 Satuaismuuttujie X 1, X 2, X 3,... joo suppeee jakaumaltaa kohti satuaismuuttujaa X, jos lim F (x) F(x) kaikissa pisteissä x, joissa F(x) o jatkuva. Ku joo {X } suppeee jakaumaltaa kohti satuaismuuttujaa X, d merkitää X X. Momettifuktioide yhteydessä esitettii momettifuktio ja ja jakauma (kertymäfuktio) yksikäsitteistä vastaavuutta koskeva Lause Samassa yhteydessä esitettii myös momettifuktioide suppeemista koskeva Lause 3.15, jota voidaa soveltaa raja-jakaumie määrittämisee. Merkitää satuaismuuttujie X 1, X 2,..., X summaa ja keskiarvoa seuraavasti: S X i ja X S Lause 6.10 (Keskeie rajaväittämä) Olkoo X 1, X 2,...,X otos jakaumasta, joka keskiarvo o µ ja variassi σ 2. Merkitää Z X µ σ/ S µ σ. Silloi Z : jakauma läheee ormaalijakaumaa N(0, 1), ku. Keskeise rajaväittämä mukaa riippumattomie satuaismuuttujie summa oudattaa likimai ormaalijakaumaa, ku o suuri. Merkitsemme Z N(0, 1), ku o suuri. Merkki tarkoittaa oudattaa likimai jakaumaa. Käytäössä keskeise rajaväittämä avulla voidaa arvioida Z : jakaumaa, ku
13 6.6. Jakaumie likiarvot ormaalijakauma avulla 225 o riittävä suuri. Silloi P(Z z) z 1 2π e z2 /2 dx Φ(z), missä Φ(z) o ormitetu ormaalijakauma kertymäfuktio. Voimme merkitä sama asia myös seuraavasti: ku. P(Z z) Φ(z), Esimerkki 6.9 Olkoo X 1, X 2,...,X 15 otos jakaumasta, joka tiheysfuktio o f(x) ( 3 2) x 2, 1 < x < 1. Jakauma odotusarvo µ 0 ja variassi σ 2 3/5. Esimerkiksi todeäköisyys P(X 0.15) voidaa laskea johtamalla esi X: jakauma ja määrittämällä siitä kysytty todeäköisyys. Keskeise rajaväittämä avulla saadaa tämä todeäköisyyde tarkka arvio ilma tietoa X: tarkasta jakaumasta: ( X 0 P(X 0.15) P / ) / 3/5 15 3/5 15 P(Z ) Φ(0.75) Arvio tarkkuudesta keskeie rajaväittämä ei kuitekaa aa käsitystä. 6.6 Jakaumie likiarvot ormaalijakauma avulla Olkoo X 1, X 2,...,X otos Beroulli jakaumasta Ber(p). Silloi S X 1 + X 2 + +X oudattaa biomijakaumaa Bi(, p). Keskeise rajaväittämä mukaa Z X p p(1 p)/ S p p(1 p) oudattaa likimai ormaalijakaumaa N(0, 1), ku o suuri. Tulokse mukaa biomijakauma läheee ormaalijakaumaa, ku kasvaa. Peukalosäätöä voidaa pitää, että o riittävä suuri, ku p 5 ja (1 p) 5. Mitä eemmä p poikkeaa 0.5:stä, sitä suurempi tarvitaa. Esimerkki 6.10 Oletetaa, että X Bi(10, 0.5). Lasketaa todeäköisyys P(3 X < 6). Voidaa kirjoittaa P(3 X < 6) P(2.5 X 5.5).
14 226 Luku 6. Otatajakaumie teoria Arvioidaa yt jälkimmäistä todeäköisyyttä keskeise rajaväittämä ojalla ormaalijakauma avulla. Silloi ( P(2.5 X 5.5) P X ) 10/4 10/4 10/4 Φ(0.316) Φ( 1.581) Tarkka todeäköisyys biomijakauma avulla o P(3 X < 6) t-jakauma ja F-jakauma Oletetaa, että X 1, X 2,...,X o otos jakaumasta N(µ, σ 2 ), joka variassi σ 2 tuetaa. Tarkastellaa lauseketta T X µ S/ X µ σ/ ( 1)S 2 σ 2 / ( 1), joka tuetaa t-testisuureea. Tiedämme, että ja Lausee 6.8 mukaa U Z X µ σ/ N(0, 1) ( 1)S2 σ 2 χ 2 ( 1). Lisäksi Lausee 6.8 mukaa Z ja U ovat riippumattomat. Tällaie satuaismuuttuja oudattaa t-jakaumaa vapausastei r 1. Alaluvussa esitettii t-jakauma tiheysfuktio. Usei halutaa verrata kahde ormaalijakauma N(µ 1, σ1 2) ja N(µ 2, σ2 2) variasseja. Teemme 1 : kokoise otokse jakaumasta N(µ 1, σ1 2) ja 2: kokoise otokse jakaumasta N(µ 2, σ2). 2 Oletetaa, että otokset ovat toisistaa riippumattomat. Olkoot S1 2 ja S2 2 äistä eri otoksista lasketut otosvariassit. Lausee 6.8 mukaa U ( 1 1) S2 1 σ 2 1 χ 2 ( 1 1) ja V ( 2 1) S2 2 σ 2 2 χ 2 ( 2 1). Koska otokset ovat keskeää riippumattomat, ii satuaismuuttujat U ja V ovat riippumattomat. Variassie yhtäsuuruutta voidaa testatata tarkastelemalla suhdetta (6.7.1) F U/r 1 V/r 2, missä r ja r Alaluvussa osoitettii, että suhde (6.7.1) oudattaa F-jakaumaa vapausastei r 1 ja r 2.
15 6.8. Momettifuktio rajafuktiot Momettifuktio rajafuktiot Tarkastelemme yt satuaismuuttuja (usei otokse tuusluku) jakauma riippuvuutta otoskoosta. Otoskeskiarvo ja otosvariassi ovat tavallisimmat otoksesta lasketut tuusluvut. Oletetaa esimerkiksi, että X Bi(, p). Eri : arvoilla saamme eri biomijakauma. Mite jakauma muuttuu : kasvaessa? Olemme keskeise rajaväittämä avulla jo osoittaeet, että Bi(, p) läheee ormaalijakaumaa, ku kasvaa. Voimme tutkia Bi(, p): rajajakaumaa myös ehdolla, että jakauma odotusarvo p pidetää vakioa λ. Jos p λ o vakio ja, ii p 0. Satuaismuuttuja X Bi(, p) momettifuktio o Koska p λ/, ii M (t) M (t) (1 p + pe t ). [ 1 λ + λ ] [ ] et 1 + λ(et 1). Käyttäe hyväksi aalyysi tulosta ( 1 + ) a e a, saadaa lim lim M (t) e λ(et 1) M(t), joka o olemassa kaikilla t R. Koska M(t) e λ(et 1) o Poissoi jakauma Poi(λ) momettifuktio, ii Lausee 3.15 mukaa X : jakauma lähestyy siis Poissoi jakaumaa Poi(λ), ku. 6.9 Suppeemiskäsitteet Olemme edellä jo useaa otteesee tutustueet suppeemisee jakaumamielessä. Käsite määriteltii alaluvussa (Määritelmä 4.2). Satuaismuuttujie joo (X, 1) (X 1, X 2,...) suppeee jakaumaltaa kohti satuaismuuttujaa X (X X, ku ), d jos lim F X (x) F X (x) kaikssa pisteissä x, joissa F X (x) o jatkuva. Tässä yhteydessä o myös syytä muistaa, että momettifuktioide joo suppeemisesta seuraa vastaavie jakaumie suppeemie jakaumamielessä.
16 228 Luku 6. Otatajakaumie teoria Esimerkki 6.11 Olkoo {X } sellaie satuaismuuttujie joo, että { 1, ku x p (x) P(X x) ; 0, ku x Huomaa, että p (2) 0 kaikilla. Tästä seuraa, että p (x) p(x), missä p(x) 0 kaikilla x. Satuaismuuttuja X kertymäfuktio o muotoa { 0, ku x < F (x) ; 1, ku x Ku, ii F (x) F(x), missä { 0, x < 2; F(x) 1, x 2. F(x) o pisteesee x 2 degeeroituee jakauma kertymäfuktio eli P(X 2) 1. Todeäköisyysfuktioide p (x) joo ei kuitekaa suppee kohti tämä jakauma todeäköisyysfuktiota. Olkoo {X } joo satuaismuuttujia, joide odotusarvo o µ ja variassi σ 2. Silloi keskeise rajaväittämä mukaa Z X µ σ/ d Z, missä Z N(0, 1). Huomattakoo, että Z : jakaumat ovat usei diskreettejä, mutta silti rajajakauma o ormaalijakauma. Ku o riittävä suuri, ii ( P a X ) µ σ/ b Φ(b) Φ(a). Jos esimerkiksi X Bi(, p), ii silloi keskeise rajaväittämä mukaa (X p) d Z, p(1 p) missä Z N(0, 1). Tätä tulosta kutsutaa De Moivre ja Laplace lauseeksi. Osoitimme alavuvussa 3.4 Tšebyševi epäyhtälö avulla, että otoskeskiarvo X o hyvä populaatio keskiarvo tuusluku. Tarkastelu ei perustuut suppeemisee jakaumamielessä vaa s. stokastisee suppeemisee. Määritelmä 6.2 Satuaismuuttujie joo {X } suppeee stokastisesti kohti satuaismuuttujaa X, jos kaikilla ε > 0 tai yhtäpitävästi lim P( X X ε) 0 lim P( X X < ε) 1.
17 6.9. Suppeemiskäsitteet 229 Stokastista suppeemista saotaa myös suppeemiseksi todeäköisyyde mielessä ja merkitää X X. Usei tarkastellaa tilaetta, että P satuaismuuttuja, jota lähestytää, o vakio. Tällaie tilae o heikossa suurte lukuje laissa (Lause 3.11, HSLL). Esitetty heiko suurte lukuja lai todistus oli sillä tavalla yleie, että se o pätevä myös jatkuville satuaismuuttujille. HSLL saoo, että otoskeskiarvo suppeee stokastisesti kohti populaatio keskiarvoa, ku otoskoko kasvaa. Olkoo {X } sellaiste satuaismuuttujie joo, että E(X ) µ ja Var(X ) σ 2. Heiko suurte lukuje lai mukaa X P µ, missä X (X 1 +X 2 + +X )/. Lause todistettii Tšebyševi epäyhtälö avulla. Esimerkki 6.12 Olkoo {X } joo sellaisia diskreettejä satuaismuuttujia, että Silloi P(X 1) 1 ja P(X 0) 1 1. P(X 1) 1, ku 0 < ε < 1; P( X > ε) 0, ku ε 1. Tästä ähdää, että P( X > ε) 0, ku. Voimme siis saoa, että P 0. X Esimerkki 6.13 (Otosvariassi tarketuvuus) Olkoo {X } sellaie satuaismuuttujie joo, että E(X ) µ ja Var(X ) σ 2 <. Otosvariassi o S 2 1 (X i X) 2. 1 Tiedämme, että E(S 2 ) σ2. Tšebyševi epäyhtälö mukaa P( S 2 σ 2 ε) E(S2 σ2 ) ε 2 Var(S2 ) ε 2. Jos yt Var(S 2) 0, ku, ii lim P( S 2 σ2 ε) 0 ja (S 2, 1) suppeee stokastisesti kohti populaatio variassia. Tässä yhteydessä o tietysti luoollista kysyä, mite stokastie suppeemie ja suppeemie jakaumamielessä suhteutuvat toisiisa. Voidaa osoittaa, että stokastie suppeemie implikoi suppeemise jakaumamielessä. Jos siis X X, ii X X. Jos joo {X } suppeee kohti va- P d P d kiota µ, ii silloi X µ jos ja vai jos X µ. Rajoitumme tässä esityksessä kahtee edellä esitettyy suppeemiskäsitteesee: stokastisee suppeemisee ja suppeemisee jakaumamielessä. Esitämme kuiteki vielä s. melkei varma (m.v.) suppeemise.
18 230 Luku 6. Otatajakaumie teoria Määritelmä 6.3 Joo {X } suppeee melkei varmasti kohti satuaismuuttujaa X, jos P ( lim X X < ε ) 1. Näeäisesti määritelmä muistuttaa stokastise suppeemise määritelmää, vaikka käsitteet ovat sisällöllisesti erilaisia Estimaattorit Estimaattoreide omiaisuuksia Olkoo X 1, X 2,...,X otos jakaumasta, joka tiheysfuktio o f(x, θ). Jos haluamme estimoida jakauma tuuslukua θ jollaki otokse tuusluvulla, merkitsemme usei tätä otokse tuuslukua ˆθ. O siis muistettava, että ˆθ o otokse fuktio ja täydellisempi merkitä olisi ˆθ(X 1, X 2,...,X ). Havaitusta otoksesta x 1, x 2,...,x laskettua estimaattori arvoa ˆθ ˆθ(x 1, x 2,...,x ) saotaa estimaatiksi. Olemme edellä jo tarkastelleet useita estimaattoreita. Tavaomaisia odotusarvo µ ja variassi σ 2 estimaattoreita ovat otoskeskiarvo X ja otosvariassi S 2, eli ˆµ X ja ˆσ 2 S 2. Määritelmä 6.4 Estimaattori ˆθ o parametri harhato estimaattori, jos E(ˆθ) θ kaikilla θ: arvoilla. Muutoi ˆθ o harhaie ja ˆθ: harha o harha(ˆθ) E(ˆθ) θ. Olemme jo aikaisemmi osoittaeet, että ˆµ X ja ˆσ 2 S 2 ovat harhattomia estimaattoreita. Eräs ituitiivisesti hyväksyttävä estimaattorille asetettava vaatimus o, että se ataa tarkempia estimaatteja ku otoskoko kasvaa. Tarka estimaattori arvot osuvat suurella todeäköisyydellä lähelle parametri θ oikeata arvoa. Tarketvuvuus sisältää tämä ajatukse. Määritelmä 6.5 Tuusluku ˆθ o parametri θ tarketuva estimaattori, jos ˆθ P θ, ku otoskoko kasvaa rajatta. Selvempi olisi merkitä ˆθ ˆθ(X 1, X 2,...,X ), missä (ˆθ ; 1) o satuaismuuttujie joo. Jos ˆθ o θ: tarketuva estimaattori, ii joo (ˆθ ; 1) suppeee stokastisesti kohti parametri arvoa θ. Määritelmä 6.6 Estimaattori ˆθ keskieliövirhe (MSE Mea Square Error) o MSE(ˆθ) E[(ˆθ θ) 2 ]. Määritelmästä seuraa suoraviivaisesti, että MSE(ˆθ) Var(ˆθ) + [harha(ˆθ)] 2. Voidaa osoittaa, että ˆθ o θ: tarketuva estimaattori, jos MSE(ˆθ) 0 otoskoo kasvaessa rajatta.
19 6.10. Estimaattorit Delta-meetelmä Määritelmä 6.7 Fuktio g(x) r. astee Taylori polyomi pisteessä a o (6.10.1) T r (x) g(a) +g (a)(x a) + g (a) 2! missä g (r) (x) dr dx r g(x) o fuktio g(x) r. derivaatta. Taylori lausee mukaa (6.10.2) lim x a g(x) T r (x) (x a) r 0, (x a) g(r) (a) (x a) r, r! jos g (r) (a) o olemassa. Fuktio g(x) voidaa lausua pistee x a ympäristössä muodossa g(x) T r (x) + R r+1 (x), missä R r+1 (x) g(x) T r (x) o jääöstermi, joka siis toteuttaa ehdo Oletetaa, että X o satuaismuuttuja, joka odotusarvo o E(X) µ 0. Jos estimoidaa fuktiota g(µ), ii se Taylori polyomii perustuva 1. kertaluvu likiarvo pisteessä µ o (6.10.3) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ). Jos käytetää g(µ): estimaattoria fuktiota g(x), ii E[g(X)] g(µ) ja Var[g(X)] [g (µ)] 2 Var(X). Esimerkki 6.14 Tarkastellaa odotusarvo E(X) µ 0 fuktio g(µ) 1/µ estimoitia. Olkoo estimaattoria 1/X. Silloi edellise mukaa ( ) 1 E 1 X µ ja ( ) 1 Var X ( ) 4 1 Var(X). µ Lause 6.11 (Delta-meetelmä) Olkoo {X } sellaie satuaismuuttujie joo, että (X θ) läheee jakaumamielessä ormaalijakaumaa N(0, σ 2 ). Oletetaa, että aetulla fuktiolla g o määrätyllä arvolla θ derivaatta g (θ) 0. Silloi [g(x ) g(θ)] N ( 0, σ 2 [g (θ)] 2) jakaumamielessä.
20 232 Luku 6. Otatajakaumie teoria Esimerkki 6.15 Olkoo X 1,..., X otos jakaumasta Ber(p). Oistumise todeäköisyyde p estimaattori o tavallisesti ˆp 1 X i. Oistumise mahdollisuus (odds) p/(1 p) o vedolyöissä ja biostatiikassa tavaomaie parametri. Voimme käyttää p/(1 p): estimaattoria ˆp: fuktiota ˆp/(1 ˆp). Mitä voimme saoa tämä estimaattori omiaisuuksista? Nyt estimoidaa siis fuktiota g(p) p/(1 p). Koska g (p) 1/(1 p) 2, ii lausekkee mukaa ( ) ˆp Var [g (p)] 2 Var(ˆp) 1 ˆp [ 1 (1 p) 2 ] 2 p(1 p) p (1 p) 3.
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotKURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA
KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotLuku 7. Parametrien estimointi. 7.1 Parametriset jakaumat. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 29. marraskuuta 2017 7.1 Parametriset jakaumat Tarkastellaa tutematota datalähdettä, joka tuottaa toisistaa stokastisesti riippumattomia ja tiheysfuktio
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotEhdollinen todennäköisyys
Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotSeuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi
Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Lisätiedot