Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit

Transkriptio

1 4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien osumatodennäköisyyksille hyödyntäen valintahetkellä pysäytettyjä martingaaleja. Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 4B1 Valintahetket. Jos τ 1 ja τ 2 ovat satunnaisjonon (X 0, X 1,... ) valintahetkiä, niin mitkä seuraavista ovat valintahetkiä? Perustele vastauksesi huolellisesti nojautuen valintahetken määritelmään (luentomoniste, kappale 7.4). (a) T 1 = 3 Ratkaisu. Perustellaan, että T 1 = 3 on valintahetki. On siis osoitettava [Leskelä 2015, luvut 7.4. ja 6.1.2], että pysäytysajan indikaattorifunktio hetkellä t on jokin deterministinen funktio h t prosessin siihenastisista arvoista, I(T = t) = h t (X 0,..., X t ) Valitaan vektorin pituuden mittaava determistinen funktio h t (x 0, x 1..., x t ) = I(t = 3). (b) T 2 = τ Ratkaisu. On valintahetki, sillä valintahetken τ 1 nojalla kaikilla t 0. 1(T 2 = t) = 1(τ 1 = t 6) σ(x 0, X 1,..., X t 6 ) σ(x 0, X 1,..., X t ) (c) T 3 = max(τ 1 6, 0) Ratkaisu. Ei ole valintahetki: Olkoot esimerkiksi prosessimme X t nopan silmälukuja perättäisillä heitoilla eli X t Uni({1,..., 6}) riippumattomia ja samoin jakautuneita, ja τ 1 ensimmäisen kutosen pysäytys. Tällöin τ 1 on tosiaan pysäytysaika, koska se voidaan esittää deterministisenä fuktiona I(τ 1 = t) = I(X t = 6) I(max{X 0,... X t 1 } 5). Intuitiivinen perustelu on nyt, että helkellä 0 ei selvästikään välttämättä tiedetä nollan olevan valintahetken arvo. Formaalisti: tutkitaan nyt tapahtumaa T 3 = 0. Siis I(T 3 = 0) = I(τ 1 6) = 1 I(τ 1 > 6) = 1 I(X 0 5 &... & X 6 5) (r-ttomuus) = 1 I(X 0 5)I(X 1 5 &... & X 6 5). 1 / 7

2 Vastaoletetaan nyt, että tämä voitaisiin esittää deterministisenä funktiona satunnaismuuttujasta X 0, 1 I(X 0 5)I(X 1 5 &... & X 6 5) = f(x 0 ). Nyt siis erityisesti jos X 0 5, voidaan ratkaista tästä I(X 1 5 &... & X 6 5) pelkästään X 0 :n funktiona. Näin ollen pelkästään X 0 :n arvon perusteella tiedettäisiin, tapahtuuko (epätriviaali) tapahtuma {X 1 5 &... & X 6 5}. Tämä rikkoo oletusta nopanheiton arvojen riippumattomuudesta. (d) T 4 = min(τ 1, τ 2 ) Ratkaisu. Perustellaan, että T 4 = min{τ 1, τ 2 } on valintahetki. Tässä on helpointa käyttää lauseen [Leskelä 2015, Lause 7.5] mukaista valintahetken karakterisaatiota: indikaattorifunktio I(t τ) on ennakoitava, eli I(t τ) σ(x 0, X 1,..., X t 1 ). Valintahetkien τ 1 ja τ 2 nojalla I(t T 4 ) = I(t τ 1, t τ 2 ) = I(t τ 1 )I(t τ 2 ) σ(x 0, X 1,..., X t 1 ) kaikilla t 0, joten T 4 on valintahetki. (e) T 5 = max(τ 1, τ 2 ) Ratkaisu. Näytetään, että myös T 5 = max{τ 1, τ 2 } on valintahetki. Käytetään taas lauseen [Leskelä 2015, Lause 7.5] karakterisaatiota. (Tapa 1.) Nyt I(t T 5 ) = I(max{τ 1, τ 2 } t) = I(τ 1 t tai τ 2 t) = max(i(τ 1 t), I(τ 2 t)) σ(x 0, X 1,..., X t 1 ) (Tapa 2.) Lauseen [Leskelä 2015, Lause 7.5] mukaan siis T on valintahetki, jos ja vain jos I(T < t) = 1 I(T t) σ(x 0, X 1,..., X t 1 ) kaikilla t 0. Nyt valintahetkien τ 1 ja τ 2 nojalla I(T 5 < t) = I(τ 1 < t, τ 2 < t) = I(τ 1 < t)i(τ 2 < t) σ(x 0, X 1,..., X t 1 ) kaikilla t 0, joten T 5 on valintahetki (f) T 6 = τ 1 + τ 2. Ratkaisu. Näytetään, että T 6 = τ 1 + τ 2 on valintahetki. I(T 6 = t) = t t 1 =0 I(τ 1 = t 1 ) }{{} σ(x 0,...X t1 ) I(τ 2 = t t 1 ) }{{} σ(x 0,...X t t1 ) }{{} σ(x 0,...,X max{t1,t t 1 }) σ(x 0,...,X t) 2 / 7

3 4B2 Pólyan uurna. Uurnassa on alkuhetkellä yksi punainen ja yksi vihreä pallo. Kierroksella t = 1, 2,... uurnasta poimitaan umpimähkään yksi pallo, katsotaan sen väri, palautetaan kyseinen pallo takaisin uurnaan ja lisätään uurnaan yksi uusi poimitun kanssa saman värinen pallo. Olkoon X t punaisten pallojen suhteellinen osuus kaikista palloista t:n kierroksen jälkeen. (a) Todista, että prosessi (X t ) on martingaali. Ratkaisu. Merkitään tapahtuma A i = Saadaan uurnasta punainen pallo i:nnellä nostolla, missä i 1. Tällöin punaisten pallojen lukumäärä S t on t:n kierroksen jälkeen t t S t = 1 + I(A i ) = 1 + I i, i=1 jossa merkittiin I(A i ) = I i. Punaisten suhteellinen osuus kaikista palloista uurnassa on X t = S t 2 + t kaikilla t N. Näytetään nyt, että (X t ) t=1 on martingaali nostojen (I i ) i=1 suhteen. Selvästikin E( X t ) 1 ja X t σ(i 1,..., I t ) kaikilla t N. Näytetään kolmas martingaaliehto: i=1 E(S t+1 I 1,..., I t ) = S t + E(I t+1 I 1,..., I t ) S t+1 = S t + P(A t+1 I 1,..., I t ) = S t t i=1 I i 2 + t = (t + 3)S t t + 2 E( 2 + (t + 1) ) = S t t + 2. (b) Todista, että todennäköisyys sille, että punaisten pallojen suhteellinen osuus koskaan ylittää tason 0.9 on enintään 5/9. Vihje: Perustele ensin, miksi E [ X t T ] 0.9 P [ T t ], missä T = min { t 0 X t 0.9 }. Lisäksi voit hyödyntää tulosta P [ T < ] = lim t P [ T t ]. Ratkaisu. T on siis X:n ylityshetki luvulle 0.9. Näin ollen halutaan osoittaa P[T < ] 5/9, eli jälkimmäisen vihjeen mukaisesti lim P[T t] 5/9. (1) t Lasketaan nyt P[T t] jollakin kiinteällä t. Ensimmäisen vihjeen mukaisesti havaitaan ensin, että E(X t T ) E(X t T 1(T t)) = E(X T 1(T t)) 0.9P(T t). (2) 3 / 7

4 Toisaalta Y t := X t T on pysäytetty martingaali, eli myös martingaali [Leskelä 2015, Lause 7.7]. Näin ollen millä tahansa kiinteällä t pätee [Leskelä 2015, Lause 6.10] Sijoittamalla (3) yhtälöön (2) saadaan Haluttu yhtälö (1) seuraa nyt suoraan. E(X t T ) = E(Y t ) 6.10 = E(Y 0 ) = 1/2. (3) 1/2 0.9P(T t) P(T t) 5/9. 4 / 7

5 Kotitehtävät 4B3 Velkakirja. Velkakirjan arvo nykyhetkellä on 47 e ja eräpäivänä 30 päivän kuluttua joko 100 e tai 0 e. Olkoon S t kyseisen velkakirjan arvo t:n päivän kuluttua. Oletetaan, että (S t ) t Z+ on martingaali. (a) Mikä on todennäköisyys, että velkakirjan arvo eräpäivänä on 100 e? Ratkaisu. Merkitään kysyttyä todenäköisyyttä p = P(S 30 = 100). Velkakirjan S t arvo odotusarvoisesti 30 päivän kuluttua on E(S 30 ) = 100p. Toisaalta oletettiin, että {S t } on martingaali, joten lauseen [Leskelä 2015, Lause 6.10] nojalla saadaan E(S 30 ) = E(S 0 ) = 47 (euroa). Sijoittamalla tämä arvo ensimmäisen yhtälöön saadaan ratkaisuksi p = = (b) Pertti suunnittelee ostavansa velkakirjan nyt ja myyvänsä sen joko eräpäivänä tai heti kun sen arvo nousee yli tason 55 e tai laskee alle tason 15 e. Kuinka paljon Pertti odotusarvoisesti nettoaa velkakirjastaan myyntihetkellä? Ratkaisu. Merkitään τ 1 = min{t 0 : S t > 55} ja τ 2 = min{t 0 : S t < 15}. Koska τ 1 ja τ 2 ovat molemmat valintahetkiä, tehtävän 4A1 ratkaisun nojalla Pertin myyntihetki T = τ 1 τ 2 30 on myös valintahetki. Tutkitaan nyt myyntihetkellä pysäytettyä prosessia M t =: S t T, joka on myös martingaali [Leskelä 2015, Lause 7.7]. Selvästi pätee, että myyntihetki T on korkeintaan 30, joten velkakirjan myyntiarvo on M 30. Koska martingaalin odotusarvo on vakio [Leskelä 2015, Lause 6.10], pätee E(M 30 ) = E(M 0 ) = 47 (euroa). (c) Oletetaan, että velkakirjan arvo ei koskaan voi olla negatiivinen. Johda yläraja sen tapahtuman todennäköisyydelle, että velkakirjan arvo joskus nousee vähintään Pertin tavoitetasolle 55 e. Toisin sanoen, etsi jokin sellainen luku q < 1, että P [ X s 55 jollakin s ] q. Ratkaisu. Olkoon nyt τ = min{t 0 S t 55} arvon 55 ylityshetki. τ on valintahetki. Erityisesti taso 55 ylitetään jos ja vain jos τ <. Halutaan siis löytää q, jolle pätee P(τ < ) = lim t P(τ t) q. Nyt tehtävän 4B2b tapaan E(S t τ ) (positiivisuus) E(I(τ t)s τ ) 55E(I(τ t)) = 55P(τ t) 5 / 7

6 Käyttämällä nyt tietoa, että S t τ vakioutta ajassa saadaan on martingaali sekä martingaalin odotusarvon P(τ t) 1 55 E(S t τ) = 1 55 E(S 0) = 47/55. Eli eipä häävi raja, mutta alle ykkösen kuitenkin. Lisäys. Huomaa, että jos S olisi symmetrinen satunnaiskävely Z:lla pysäytettynä osuessaan nollaan, niin uhkapelurin vararikkokaavasta saataisiin suoraan P(τ < ) = 47/55. Koska symmetrinen satunnaiskävely on martingaali, ei y.o. ylärajaa siis voida juurikaan parantaa ilman lisätietoa martingaalista S. Y.o. tehtävän tapaan uhkapelurin vararikkokaavaa voidaan käyttää rajoittamaan minkä tahansa alhaalta rajoitetun martingaalin ylitystodennäköisyyttä johonkin ylärajaan. (Vrt. myös teht. 4B2b.) 4B4 Lognormaali osakekurssi. Osakkeen t:nnen kaupankäyntipäivän päätöskurssia mallinnetaan satunnaisprosessilla M t = M 0 X 1 X t, missä M 0 on tunnettu vakio ja X 1, X 2,... ovat riippumattomia lognormaalijakautuneita satunnaislukuja muotoa X t = e ηt, missä η t on normaalijakautunut odotusarvonaan µ ja varianssinaan σ 2. (a) Millä parametrien µ ja σ 2 arvoilla (M t ) on martingaali? Ratkaisu. Lauseen [Leskelä 2015, Lause 6.3 (ii) ja (iii)] ja nojalla saadaan E(M t+1 M 0, X 1, X 2,..., X t ) = E(M 0 X 1 X 2 X t+1 M 0, X 1, X 2,..., X t ) = M 0 X 1 X 2 X t E(X t+1 M 0, X 1, X 2,..., X t ) = M t E(X t+1 ) = mm t, missä m = E(X) = E(X t+1 ). Stokastinen prosessi {M t } on siis martingaali täsmälleen silloin, kun m = 1. Palautetaan mieleen, että normaalijakauman η momentit generoiva funktio on M η (t) = E(e tη ) = e µt+ 1 2 σ2 t 2, missä t R. Tästä nähdään, että E(X) = E(e η ) = M η (1) = e µ+ 1 2 σ2. (4) (Tämän odotusarvon voi myös laskea suoraan integroimalla normaalijakauman määritelmästä.) Saadaan siis m = 1 µ σ2 = 0. Stokastinen proesessi {M t } on martingaali jos ja vain jos µ = 1 2 σ2. 6 / 7

7 (b) Entä milloin (M t ) on alimartingaali? Ratkaisu. Stokastinen prosessi {M t } on alimartingaali täsmälleen silloin, kun m 1 eli mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että e µ+ 1 2 σ2 1, µ σ2 0. {M t } on siis alimartingaali jos ja vain jos µ 1 2 σ2. 7 / 7