811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu

Transkriptio

1 83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi kappaletta. Lisäksi saatavilla o suuri määrä mustia papuja. Osoita, että seuraava algoritmi päättyy. Merkitää purkissa P kulloiki olevie papuje määrää N(P):llä. Syöte: Kahvipurkki P, jossa o valkoisia ja mustia papuja, alussa N(P) >=. Tuloste: Purki viimeie papu. PAVUT(P). while N(P) >. valitse satuaisesti kaksi papua purkista P 3. if pavut samaväriset 4. heitä pois pavut ja lisää purkkii musta papu 5. else 6. palauta valkoie papu purkkii ja heitä pois musta papu 7. retur purkkii jääyt papu Voidaako viimeise pavu väriä tietää eakolta, jos tiedetää purkissa alussa olevie valkoiste ja mustie papuje lukumäärät? Ratkaisu. Algoritmi päättymie voidaa havaita seuraavasti: Jokaisella silmuka kierroksella purkista poistetaa kaksi papua ja palautetaa yksi papu. Näi olle papuje määrä N(P) pieeee joka kierroksella ja saavuttaa lopulta arvo. Site algoritmi päättyy (ja N(P) o siis kovergetti). Tarkastellaa vielä viimeise pavu väriä. Jos purkissa o kaksi papua, ii o kaksi mahdollisuutta:. Purkissa o joko kaksi mustaa tai kaksi valkoista papua. Tällöi viimeiseksi purkkii jää musta papu.. Purkissa o valkoie ja musta papu. Tällöi viimeiseksi purkkii jää valkoie papu. Koodia tutkimalla huomataa, että valkoisia papuja väheetää joko kahdella tai ei laikaa. Näi olle saadaa taas kaksi mahdollisuutta:. Purkissa o alu peri parillie määrä valkoisia papuja. Koska jokaise kierrokse jälkee purkkii myös jää parillie määrä valkoisia papuja, ii kaksi viimeistä ovat joko kaksi mustaa tai kaksi valkoista, jolloi viimeiseksi purkkii jää musta papu.. Purkissa o alu peri parito määrä valkoisia papuja. Koska jokaise kierrokse jälkee purkkii myös jää parito määrä valkoisia papuja, ii kaksi viimeistä ovat musta ja valkoie papu, jolloi viimeiseksi purkkii jää valkoie papu. Site laskemalla valkoiset pavut alussa voidaa lopputulos tietää: Jos alussa valkoisia papuja o parillie määrä, ii viimeie papu o musta. Jos taas alussa valkoisia papuja o parito määrä, ii viimeie papu o valkoie.

2 Tehtävä. Seuraava ogelma tuetaa selkäreppuogelmaa (kapsack problem): O aettu kokoaislukuje joukko S = {s,s,,s } ja kokoaisluku T. Etsi jouko S sellaie osajoukko (mikäli sellaie osajoukko o olemassa), että se alkioide summa o tarkallee T. Esimerkiksi, ku S = {5,0,,,}, ii jos T=4, o olemassa ratkaisu ({,,0,}), mutta jos T=5, ratkaisua ei ole. Näytä, että mikää seuraavista algoritmeista ei ole oikea ratkaisu selkäreppuogelmaa: a) Valitaa osajouko alkiot joukosta S järjestyksessä vasemmalta oikealle. Luku lisätää, jos osajouko summa ei ylitä lukua T (first-fit). b) Valitaa osajouko alkiot joukosta S järjestyksessä pieimmästä suurimpaa (best-fit). c) Valitaa osajouko alkiot joukosta S järjestyksessä suurimmasta pieimpää. Ratkaisu. Algoritmi vääräksi osoittamisee tarvitaa aioastaa yksi vastaesimerkki, ts. laillie syöte, jolla algoritmi toimii vääri. Tässä tapauksessa o löydettävä sellaie joukko S ja summa T, että jouko S alkioista voidaa muodostaa summa T, mutta algoritmi ei löydä sitä. Valitaa yt S = {8,5,4,} ja T = 0. Tällöi ogelmalla o ratkaisu {4,5,}. Tutkitaa mite aetut algoritmit käyttäytyvät. a) Algoritmi valitsee luvut vasemmalta järjestyksessä {8,5,4} ja ei mahdu. Näi olle algoritmi ei löydä ratkaisua. b) Algoritmi valitsee luvut pieimmästä suurimpaa järjestyksessä {4,5,8} ja luku ei mahdu. Algoritmi ei löydä ratkaisua. c) Algoritmi valitsee luvut suurimmasta pieimpää järjestyksessä {,8} ja lisää ei mahdu. Näi olle tämäkää algoritmi ei löydä ratkaisua. Mikää algoritmeista ei siis ole oikea ratkaisu ogelmaa. Tehtävä.3 Seuraava algoritmi oletetaa laskeva syötteeä saamasa tauluko alkioide tulo. Syöte: Taulukko A[,..,], >= Tuloste: Tauluko alkioide tulo ALKIOIDEN_TULO(A). tulo =. i = 3. while i<= 4. tulo = tulo*a[i] 5. i = i+ 6. retur tulo Laske algoritmia käyttäe tauluko A = {3,4,} alkioide tulo (vastaus:4). Osoita algoritmi oikeaksi. Osoita algoritmi päättymie sopiva kovergeti avulla. Muotoile ja todista oikeaksi silmukkaivariatti, joka vahvistaa algoritmi tuottava oikea tulokse.

3 Ratkaisu. Lasketaa algoritmilla aluksi tauluko A = {3,4,} alkioide tulo. Nyt siis A[]=3, A[]=4 ja A[3]=. Nyt =3 ja aluksi tulo= sekä i=. Silmuka esimmäisellä kierroksella tulo päivittyy arvoo *A[]=3 ja i arvoo. Seuraavalla kierroksella tulo päivittyy arvoo 3*A[] = 3*4 = ja i arvoo 3. Kolmaella kierroksella tulo päivittyy arvoo *A[3] = * = 4 ja i arvoo 4. Nyt i >, jote seuraavalle kierrokselle ei eää meä vaa algoritmi päättyy ja palauttaa arvo 4, kute pitääki. Todistetaa yt algoritmi oikeaksi. Algoritmi varsiaise työ tekee silmukka. Se ulkopuolella o vai kaksi sijoituskäskyä ja retur. Tällaisessa algoritmissa oikeellisuus liittyy keskeisesti silmukkaivariattii. Algoritmi päättymise takaa kovergettia i, joka alkuarvolla mahdollistaa pääsy silmukkaa, kasvaa jokaisella silmuka kierroksella ja saavuttaessaa arvo + lopettaa silmuka suorittamise. Se jälkee algoritmi päättyy ja palauttaa tulokse. Osoitetaa sitte algoritmi osittaie oikeellisuus. Määritellää silmukkaivariatti: Rivillä 3 muuttuja tulo arvo k:e kierrokse jälkee o tauluko arvoje A[],..., A[k] tulo A[]*...*A[k] ja i=k+. Aluksi i= ja tulo=, jotka ovat päteviä alkuarvoja. Tauluko alkioide tuloa lasketaa muuttujaa tulo. Esimmäise kierrokse jälkee tulo = A[] ja i=. Ivariatti o siis alussa voimassa. Ivariati ylläpito: Tehdää oletus, että ivariatti o voimassa k:e kierrokse jälkee eli tulo=a[]*...*a[k] ja i=k+. Seuraavalla (eli k+:ellä) kierroksella rivillä 4 sijoitetaa tulo = tulo*a[k+] = A[]*...*A[k] *A[k+] Rivillä 5 kasvatetaa i: arvoa yhdellä jote kierrokse jälkee tulo = A[]*...*A[k]*A[k+] ja i=k+. Ivariatti pysyy siis voimassa. Loppu: Koska ivariatti o alussa voimassa, säilyy jokaisella kierroksella ja lopussa i=+ ja tulo = A[]*...*A[] eli tauluko arvoje tulo. Algoritmi osittaie oikeellisuus o todistettu. Algoritmi o oikeellie, koska se o osittai oikeellie ja päättyy.

4 Tehtävä.4 Seuraava algoritmi laskee polyomi P( x) x x... x 0 arvo pisteessä x. Syöte: Taulukko A[0,,..,], >= 0, missa A[0] = a 0,...,A[]= a ja luku Tuloste: Polyomi P( x) x x... x 0 arvo P () HORNER(A,). p = A[]. i = - 3. while i>=0 4. p = p* + A[i] 5. i = i- 6. retur p Laske algoritmia käyttäe polyomi P ( x) x x 3 arvo pisteessä x (vastaus:). Todista algoritmi oikeaksi. Osoita algoritmi päättymie sopiva kovergeti avulla. Todista, että algoritmi i ) ( i ) rivillä 3 o voimassa ivariatti p Q(), missä Q( x) x x... i että tämä vahvistaa algoritmi tuottava oikea tulokse. ja totea, Ratkaisu. Lasketaa aluksi polyomi P ( x) x x 3 arvo pisteessä x. Nyt siis = ja taulukko A = {3,,}. Ee while-silmukkaa algoritmissa o site p = A[] = ja i=. Lisäksi =. Esimmäise silmuka kierrokse jälkee p = * + A[] = + = 4 sekä i = 0. (Nyt o laskettu polyomi x arvo pisteessä x=.) Toise kierrokse jälkee p = 4* + A[0] = = sekä i = -. (Nyt o laskettu polyomi x ( x ) 3 x x 3arvo pisteessä x=.) Silmukka päättyy ja algoritmi palauttaa oikea arvo. Ylläolevasta laskeasta voidaa havaita algoritmi toimitaperiaate: Lähdetää liikkeelle x: korkeimma potessi kertoimesta ja polyomia lasketaa kertomalla edellisessä vaiheessa laskettu polyomi x:llä ja lisäämällä siihe seuraavaksi alemma potessi kerroi. Näi saadaa lopulta laskettua halutu polyomi arvo. Algoritmi päättymie: Muuttuja i toimii kovergettia. Se arvo väheee jokaisella while-silmuka kierroksella ja saavuttaa site lopulta arvo -, jolloi silmukka ja koko algoritmi päättyy. Oikea tulokse osoittamiseksi muotoillaa ivariatti: Algoritmi rivillä 3, ku i=k, o muuttuja p arvo k ) k ) p... k k. Alussa i=- ja p, jote ivariatti o alussa voimassa. Jos ivariatti o voimassa ku i=k, ii seuraava silmuka kierrokse jälkee i=k- ja p ( a k ) ( k ) ) k ) ( k ) )... k... ( k ) k ) * ( k ) k k k )... mistä ähdää että ivariatti pysyy voimassa. Ku i=-, algoritmi päättyy ja ivariati mukaa p Näi olle algoritmi päättyy ja tuottaa halutu tulokse. k k

5 Tehtävä.5 Ns. puolitushau avulla voidaa hakea aettu arvo taulukosta, jossa alkiot ovat suuruusjärjestyksessä. Algoritmi toimii site, että aluksi luetaa tauluko puolivälissä oleva arvo, joka perusteella tiedetää, oko haettu arvo alku- vai loppupuolella taulukkoa. Tämä jälkee puolitetaa jäljellä oleva osa, mikä jälkee tiedetää missä tauluko eljäeksessä haettu arvo o. Näi jatkamalla löydetää arvo taulukosta tai havaitaa, että arvoa ei ole taulukossa. Seuraava iteratiivie ohjelma pyrkii toteuttamaa puolitushau järjestettyy taulukkoo. Implemetoiti o kuiteki virheellie. Yritä löytää virhe. Implemetoi ohjelma (joko C- tai Pytho-kielellä) ja yritä löytää testitapaus, jolla ohjelma toimii virheellisesti. Syöte: Taulukko A[,..,], >=, tauluko alkiot ovat kasvavassa järjestyksessä A[] <= A[] <= <= A[]. Luku x jota haetaa taulukosta. Tulostus: Alkio x ideksi taulukossa tai arvo -, jos x ei esiiy taulukossa. HAKU(A,x). low=. up= 3. while low <= up 4. r = (low + up)/ 5. if A[r] < x 6. low = r 7. else if A[r] > x 8. up = r 9. else 0. retur r. retur - Merkitä x ( floor ) tarkoittaa suurita kokoaislukua, joka o korkeitaa yhtäsuuri kui x. Ratkaisu. Algoritmi ogelma o, että hakuitervalli ei pieee kaikilla syötteillä. Esimerkiksi, jos taulukko o [0,0,30,40,50] ja siitä haetaa arvoa 50, ii ideksimuuttujat päivitetää seuraavasti: low = up = 5 low = 3 up = 5 low = 4 up = 5 low = 4 up = 5 je. Algoritmi jää siis ikuisee silmukkaa. Samoi käy haettaessa mitä tahasa arvoa, joka ei ole taulukossa. Algoritmi voidaa korjata huomaamalla, että arvo A[r] o jo tarkastettu, jote sitä ei tarvitse eää ottaa huomioo. Näi olle algoritmissa voidaa muuttaa rivi 6 muotoo low = r+ ja rivi 8 muotoo up = r-. Tällöi algoritmi toimii oikei. Nämä asiat voi havaita kirjoittamalla algoritmista ohjelma.