MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

Transkriptio

1 f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva} semiormi pk (f) = sup f(k) (= max f(k)). Nämä semiormit määräävät avaruutee E lokaalikoveksi topologia T. a) Oko T Hausdorff-topologia? b) Suppeeeko fuktiojoo f (x) = 1 ex topologiassa T? c) Oko olemassa E: ormi, joka ataisi topologia T, eli oko E ormeerautuva? (vihje: ei) a) O T 2. Riittää, että jokaie f E \ {0} voidaa erottaa origosta erillisi ympäristöi. Olkoo f 0. Jatkuvuude ojalla o olemassa luku ɛ > 0 ja kompakti väli K R, jolla f(x) > 3ɛ. Nyt B pk,0,ɛ B pk,f,ɛ =. b) Suppeee ollaa. Huomataa heti, että semipallot B = B pk,0,ɛ muodostavat origo ympäristökaa. Olkoo B = B pk,0,ɛ. Nyt p K (f ) = sup f(k) = sup K (ex ) 0, jote o olemassa 0 N site, että f B, ku 0. c) Ei ormeeraudu. Vastaoletus: Joki ormi ataa sama toplogia T. Silloi erityisesti ormi o jatkuva kuvaus, jote olla ympäristö alkukuvaa ormi yksikköpallo sisältää origo T ympäristö, joka puolestaa sisältää joki semipallo B = B pk,0,ɛ, koska semipallot B = B pk,0,ɛ muodostavat origo ympäristökaa. Silloi p K (f) < ɛ = f 1 ja siis p K (f) < ɛ = f 1, jote p K (f ) 0 = f 0 = f 0, mikä ei pidä paikkaasa Semiormit p (f) = sup 0 t 1 f () (t) ( = 0, 1, 2,... ) määräävät avaruutee E = C ([0, 1]) = {f : [0, 1] R f o äärettömä mota kertaa derivoituva} lokaalikoveksi topologia T. Ku f E, merkitää T f(x) = x 0 f(t) dt. T o siis lieaarikuvaus (eli operaattori eli trasformaatio) E E. a) Oko T jatkuva? b) Oko topologia T ormeerautuva? a) T o jatkuva. Kuvafuktio g = T f derivaatat ovat tieteki g = f, g = f,..., g () = f ( 1). Site kaikilla > 1 pätee p (T f) = p g = p 1 f, jote täytyy eää tutkia p 0. p 0 (T f) = sup x 0 f(t) dt sup f = p 0 (f). OK! b) Ei ormeeraudu. Idea o sama kui edellisessä tehtävässä. Vastaoletus: Joki ormi ataa sama toplogia T. Silloi erityisesti ormi o jatkuva kuvaus, jote olla ympäristö alkukuvaa ormi yksikköpallo B. sisältää origo T ympäristö, joka puolestaa sisältää joki semipalloje leikkaukse ja siis B. λ m i=1 B p i, ( 1 < 2 < < m ( N)). Toisi saoe jollaki µ > 0 pätee µ max 1 i m p i.

2 Toisaalta vastaoletettii, että yksiää virittää topologia, jolloi { } o jatkuvie semiormie kata ja o siis olemassa luku λ > 0 site, että p m+1 < λ. Yhdistämällä arviot saadaa p m+1 < λ λµ max 1 i m p i. Tämä huomaa mahdottomaksi keksimällä joo (f α ) α N, jolla p i (f α ) 0 kaikilla i = 1,..., m, ku α, mutta ei p m+1(f α ) 0. Sellaiseksi kelpaa esimerkiksi f α (x) = α m 1 si(αx), sillä f α () (x) = α m 1 r(x), missä r(x) o rajoitettu fuktio, jote p (f α ) = sup [0,1] f α () (x) 0, ku m ja α, mutta ei lähee ollaa, ku > m. Erityisesti p i (f α ) 0 kaikille i = 1,... m mutta ei p m+1(f α ) Olkoo E reaalikertoimie lokaalikoveksi avaruus ja A se koveksi osajoukko. Osoita, että A o suljettu, jos ja vai jos A joideki E: suljettuje puoliavaruuksie leikkaus. Koska suljettuje joukkoje leikkaus o koveksi, riittää tarkastaa ehdo välttämättömyys. Olkoo siis A koveksi ja suljettu. Komplemetti C = \A o avoi. Olkoo x C. O olemassa pistee x avoi ympäristö U, jolla U C. Koska E o lokaalikoveksi voidaa U valita koveksiksi. Koska E o reaalikertoimie, o Baachi erottelulausee ojalla olemassa jatkuva lieaarimuoto f ja luku α > 0 (Voidaa muute aia valita α = 1) site, että A H = {x E f(x) α} ja U H =, erityisesti x / H. Tästä väite seuraa a) Olkoo E bf ääretöulotteie ormiavaruus. Näytä, että ormikuvaus x x ei ole jatkuva E: heiko topologia suhtee eli heikosti jatkuva. (Heiko topologia määrääviä semiormeia ovat jatkuvie lieaarimuotoje itseisarvot eli kuvaukset x x, x, missä x E.) b) Etä oko ormi tässä topologiassa alhaalta puolijatkuva? Alhaalta puolijatkuvuudelle o riittävää olla jatkuvie kuvauste pisteittäie supremum. a) Jos ormi olisi jatkuva, ii olisi jatkuvie semiormie karakterisoii mukaa olemassa luku N ja jatkuvat semiormit, x i, (i=1,... ), joilla, x i. Tällöi i=1 x i=1 ker x i = x = 0 = x = 0, jote lieaarikuvaus T : E K : x ( x, x 1,..., x, x ) o ijektio, jote dim E dim R = <. b) Hahi ja Baachi lausee tuetu seuraukse mukaa x = siis supremum jatkuvista kuvauksista x, x sup x E \{0} x, x x, x x. 2

3 3.5. Olkoo (E, P ) lokaalikoveksi avaruus. Osoita, että E: joo (x ) N o Cauchyjoo, jos ja vai jos p P ja ɛ > 0 0 N s.e. q, r 0 = p(x q x r ) ɛ. Määritelmä mukaa joo (x ) o Cauchy topologisessa vektoriavaruudessa E, T jos ja vai jos vastaava alkeisfiltteri o Cauchy-filtteri, mikä puolestaa tarkoittaa, että kaikilla 0: ympäristöillä U U o olemassa luku 0 N site, että x x m U kaikilla, m 0. Tehtävä tilateessa (E, P ) o lokaalikoveksi avaruus, jote voi olettaa, että U o katajoukko ja muotoa U = λ p H U p, missä H P o äärellie joukko katasemiormeja. Yllä esitetty Cauchy-joo määritelmä kohta x x m U saa muodo x x m λ p H U p, eli p(x x m ) λ p H. 1) (vai jos) Jos joo o Cauchy ja p P ja ɛ > 0, ii valitaa H = {p} ja λ = ɛ, jolloi määritelmä ataa väittee. 2) (jos) Jos joo toteuttaa tehtävä ehdo ja U o muotoa U = λ p H U p, missä H P o äärellie, ii valitaa kulleki p H luku p site, että p(x x m ) λ, m p. Ku, m 0 = max{ p p H}, ii siis p(x x m ) λ, m p eli x λ p H U p Olkoo E = i I E i topologiste vektoriavaruuksie tuloavaruus (tulotopologia!) ja π i : E E i siihe liityvä projektio (i I). Osoita, a) että F o Cauchy filtteri E:ssä tasa silloi, ku jokaie π(f) E i o Cauchy filtteri E i :ssä ja b) että E o täydellie aia ja vai, ku jokaie E i o täydellie. Jos äärettömä moe avaruude tulotopologia ei ole tuttu, voit olettaa, että I = {1, 2} eli tarkastella kahde avaruude tuloa. a) Tulotopologia o hieoi topologia, jossa kaikki projektiokuvaukset π i : E = i I E i E i : x x i ovat jatkuvia. Tieteki e ovat lieaarisia surjektioita, jote kaattaaki todistaa hiema yleisempi tulos, joka mukaa topologise vektoriavaruude E Cauchy-filtteri F kuva jatkuvassa lieaarisessa kuvauksessa T : E F o Cauchy-filtteri. Muistetaa, että missä tahasa kuvauksessa filtterii kuuluvie joukkoje kuvat muodostavat filtterikaa, joka virittämää filtteriä saotaa alkuiperäise kuvafiltteriksi. Surjektio ataa suoraa kuvafiltteri. Tarkastamme sille Cauchy-ehdo. Olkoo siis U U F. Koska T 1 U U E, o olemassa M F, jolla M M T 1 U, jolloi T (M) kuuluu filtteri kuvaa ja T (M) T (M) = T (M M) T (T 1 U) U. Oletetaa seuraavaksi, että jokaie π i (F) o Cauchy. Olkoo U U E tulotopologiassa. Voimme olettaa, että U o katajoukko eli muotoa U = U j E i, j J missä J o äärellie ja U j U Ei. Valitaa kullaki j J joukko M j π j (F), jolla M j M j U j. Kuvafiltteri määritelmä mukaa M j π j (N j ) jolleki N j F. (Surjektiivisuude vuoksi voisi vaatia jopa M j = π j (N j ).) Valitaa N = N j E i. j J i I\J i I\J 3

4 Tällöi tieteki N +N U, jote o eää äytettävä, että N F. Huomataa, että N = j J π 1 (M j ) = j J π 1 (π(n j )) = N j J N j ja muisteaa, että N j F ja että filtteri sisältää joukkojesa äärelliset leikkaukset ja ylijoukot. Selvä! b) Avaruude E täydellisyys tarkoittaa, että jokaie se Cauchy-filtteri F suppeee eli että sille o olemassa x E, jolle F U x (= x + U 0 ). Olkoo esi jokaie E i täydellie ja F Cauchy filtteri tuloavaruudessa E. a) kohda mukaa kuvafiltterit F i = π i (F) ovat Cauchy-filttereitä, siis oletukse mukaa suppeevia: F i U xi joilleki x i E i. Verifioidaa, että F x eli F U x = x+u 0,E, missä x = (x i ) i I E : Olkoo U U x E = E = i I E i. Voimme olettaa, että U o katajoukko eli muotoa U = x + U j E i = x + π 1 U j, j J i I\J j J missä J o äärellie ja U j U 0,Ei. Kullaki j J o U j F j = π j (F), jote π 1 U j F ja siis j J π 1 U j F, jote U x + F. Olkoo sitte tuloavaruus E = i I E i täydellie, ja F j Cauchy filtteri avaruudessa E j jollai j I. Olkoo kaikilla i j F i = U Ei ja olkoo F avaruude E filtteri, joka kataa ovat joukot N i = π 1 M i, i I, M i F i. (Tätä voisi varmaa saoa filtterie tuloksi.) Tämä o a) kohda perusteella Cauchy, sillä π i (F) = F i kaikilla i I ja sekä tutkittava F j että jokaie ympäristöfiltteri U Ei ovat suppeevia, siis Cauchy. Oletukse mukaa siis F suppeee eli F x+u E jolleki x = (x i) i I E. Osoitetaa lopuksi, että F j x j eli F j x j + U Ej. Olkoo x j + U j x j + U ej. Nyt x + π 1 j (U) x + U E F. Siis x j + U Ej jote x j + U Ej F j, ja siis x j + U Ej F j Olkoo π j (x + π 1 j (U)) π j (F) = F j, E = {f C[0, 1] ɛ f > 0 site, että f(t) = 0 0 t ɛ(f)} varustettua ormilla f = sup f. a) Oko joukko {T = f E f( 1 ) 1 N } tyyri? b) Etä oko se origo ympäristö? a) Joukko o mitä absorboiva, sillä jos f E, ii valitaa ɛ = max{ N 1 ɛ}, jolloi λf T aiaki silloi, ku λ 1 ɛ ( max 1 ɛ f( 1 ) ) 1. Joukko T o selvästiki balasoitu ja koveksi. Se o myös suljettu (ja siis tyyri), koska se komplemetti o avoi; olkoo imittäi f E \ T. Silloi o olemassa N, jolla f() > 1. Valitaa r = ( f() 1 ). Silloi avoi pallo B(f, r) = {g E f g < r sisältyy komplemettii ET. Joukko T ei ole origo ympäristö. Muute se sisältäisi joki pallo B(0, 1 ), mutta eipä sisällä. Vastaesimerkiksi kelpaa mikä tahasa sellaie jatkuva, kasvava fuktio, joka o vakio 0 välillä [0, 1 ] ja vakio 1 välillä [ 1, 1]

5 Olemme siis huomaeet, että tutkittava ormiavaruus E ei ole tyyriavaruus. Koska ormiavaruus o merisoitruva ja lokaalikoveksi, seuraa tyyrilauseesta, että E ei voi olla täydellie Esimekki lokaalikoveksi avaruude osajoukosta, joka o jootäydellie, mutta ei täydellie: E = F([0, 1], R) = R [0,1] = {kaikki fuktiot [0, 1] R. Pistesuppeemise topologis, eli semiormit p x = f(x). M = {f E f(x) 0 vai eitää umeroituva moella x [0, 1]. Ratkaisu esi viikolla 3.9. Lisätehtävä jos ehditääja halutaa. Olkoo K R kompakti joukko. Avaruudessa otetaa käyttöö semiormit E = C c (K) = {f : R R f C, supp f K} q α (f) = sup x K ( ) α f(x) x, missä ( x) α f(x) o multi-ideksiä α N vastaava (korkeammaasteie) osittaisderivaatta. Merkitää Q = {q α α N }. Osoita, että (E, Q) o Fréchet avaruus. Ohjeita: Tyydy tilateesee R = R, jos et halua käsitellä moiulotteista tapausta multi-idekseiee. Asiaa ei tule oleellisia eroja. Voit joko osoittaa suoraa, että E o lokaalikoveksi, metrisoituva ja (joo(!)-)täydellie tai sitte tarkastaa, että E o tuetu avaruude C (R ) = {f : R R f C, supp f K} suljettu aliavaruus. Avaruude C (R ) stadarditopologia eli derivaattoje kompakti kovergessi topologia määräävät semiormit p,k (f) = sup x K f(x) tai yhtä lailla ormit f m,k = sup m sup x K f(x), missä K käy läpi kompaktit reaalilukujoukot ja m luoolliset luvut. Tässä topologiassa C o metrisoituva ja täydellie tämä voi olla tuttua aalyysistä.) Ratkaistaa aikaisitaa esi vikolla. 5