Markov-ketjut pitkällä aikavälillä
|
|
|
- Heli Härkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin ketjun tilajakauma suppenee pitkällä aikavälillä; ja oppia laskemaan annetun siirtymämatriisin tasapainojakauma Jos mahdollista, harjoituksiin kannattaa tuoda mukaan kannettava tietokone tai laskin, jolla voi laskea tehtävissä esiintyvien laskujen lukuarvoja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä Tuntitehtävät 2A1 Korkean ja matalan tuloasteen solmun PageRank Tarkastellaan suunnattua verkkoa, jonka solmujoukko on V = {1, 2,, n}, ja joka sisältää linkit 1 2, 2 1 sekä x 2, kun x = 3, 4,, n Olkoon (X0, X1, luentomonisteen PageRank-algoritmin (Esimerkki 23 mukainen tätä verkkoa vastaava Markov-ketju (a Luonnostele paperille ketjun siirtymäkaavio ja selvitä, millä vaimennuskertoimen c arvoilla Markov-ketju on yhtenäinen Ratkaisu Kuva 1: Siirtymäkaavio, kun c = 0 Kuvassa 1 on esitetty ketjun siirtymäkaavio, kun c = 0 Tällöin kaikkien linkkien paino on 1 Kun c > 0, kaikkien solmuparien välillä on kaksisuuntainen linkki Tällöin kuvassa olevien linkkien paino on c/n + (1 c, muiden c/n Ketju on yhtenäinen täsmälleen silloin, kun c > 0 (b Laske verkon solmujen PageRank-arvot ratkaisemalla Markov-ketjun tasapainoyhtälöt 1/7
2 Ratkaisu Tasapainoyhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa π(1 = π(1cn 1 + π(2 ( cn 1 + (1 c ( n + π(x cn 1, π(2 = π(1 ( cn 1 + (1 c ( n (cn + π(2cn 1 + π(x 1 + (1 c, π(3 = π(n = ( n π(x cn 1, x=1 ( n π(x cn 1, x=1 x=3 x=3 Koska n x=1 π(x = 1, nämä sievenevät muotoon Tästä voidaan ratkaista π(1 = π(1 = cn 1 + π(2(1 c, π(2 = cn 1 + (1 π(2(1 c, π(3 = cn 1, π(n = cn 1 ( 1 + π(2 = cn 1 + (1 c, 1 + (1 c π(3 = cn 1, π(n = cn 1 1 c cn (1 c (1 c2 1 + (1 c, (c Miten PageRank-arvot käyttäytyvät, kun c = 0 ja c = 1? Ratkaisu Kun c = 0, saadaan π(1 = π(2 = 1 ja π(x = 0 kun x 3 Kun 2 c = 1, saadaan π(x = 1/n kaikilla x (d Miten PageRank-arvot käyttäytyvät, kun n? 2 / 7
3 Ratkaisu Kun n, saadaan rajalla Huomaa, että raja-arvoille pätee π(1 = (1 c2 1 + (1 c, π(2 = (1 c 1 + (1 c, π(3 = 0, π(n = 0 π(1 + π(2 = 1 c (0, 1, joten [π(1, π(2] ei ole tilajoukon {1, 2} tn-jakauma, vaan c:n verran tn-massaa on kadonnut äärettömiin rajankäynnin yhteydessä 2A2 Yhtenäisen ketjun jaksollisuus Perustele, miksi seuraavat tulokset ovat totta yleiselle äärellisen tilajoukon S Markov-ketjulle ja sen siirtymämatriisille P = (p x,y x,y S (a Jos p x,x > 0, niin tällöin myös (P t x,x > 0 kaikilla t = 1, 2, Ratkaisu Epäyhtälö p x,x tarkoittaa, että tilasta x on linkki itseensä, kun taas (P t x,x > 0 tarkoittaa, että tilasta x on mahdollista päästä t:llä askeleella takaisin tilaan x Jälkimmäinen on ensimmäisen nojalla totta, sillä nyt prosessi voi siirtyä t kertaa peräkkäin tilasta x takaisin itseensä Päättely voidaan esittää formaalisti esimerkiksi seuraavasti: (P t x,x = P(X t = x X 0 = x P(X t = x, X t 1 = x,, X 1 = x X 0 = x = p t x,x > 0, koska p x,x > 0 Lisäys Voidaan silti helposti konstruoida ketju, jolle (P t (x, x t 0 (b Jos p x,x > 0, niin tilan x jakso on 1 Ratkaisu Jos P (x, x > 0, niin mahdollisten paluuhetkien joukkon on T x = {1, 2, 3, }, jonka suurin yhteinen tekijä on 1 äin ollen tilan x jakso on 1, eli tila on jaksoton (c Jos p x,x > 0 ja x y (ks luentomoniste, Luku 32, niin (P t y,y > 0 kaikilla t = s, s + 1, s + 2, jostain positiivisesta kokonaisluvusta s lähtien 3 / 7
4 Ratkaisu Jos x y, niin on olemassa luvut s 1 ja s 2 se P s 1 (y, x > 0 ja P s 2 (x, y > 0 Merkitään s = s 1 +s 2 Tällöin P s+k (y, y P s 1 (y, xp k (x, xp s 2 (x, y > 0 kaikilla k 1 (d Yhtenäinen ketju on jaksoton, jos p x,x > 0 pätee jollekin tilalle x Ratkaisu Edellisen kohdan perusteella jokaisella y on olemassa s 1, jolle P t (y, y > 0 kaikilla t = s, s + 1, äin ollen tilan y mahdollisten paluuhetkien joukko sisältää T y {s, s + 1, s + 2, } Ainoa positiivinen kokonaisluku, jolla sekä s että s + 1 ovat jaollisia, on 1 (Tämän seuraa siitä, että jos s ja s + 1 ovat jaollisia d:llä, niin tällöin myös (s + 1 s on d:n monikerta äin ollen lukujoukon suurin ja ainoa yhteinen tekijä on 1, eli tilan y jakso on 1 Lisäys Yleisemmin kaikkien yhtenäisen Markov-ketjun verteksien jakso on sama (tai vielä yleisemmin kunkin yhtenäisen komponentin kaikkien verteksien jakso on sama Todistus on oleellisesti sama kuin kohta (d yllä 4 / 7
5 Kotitehtävät 2A3 Selvitä seuraavien Markov-ketjujen pitkän aikavälin käyttäytyminen (a Työmatkapyöräilijän pyörä on kunakin työpäivänä joko kunnossa tai rikki Kun pyörä on jonakin työpäivänä ollut kunnossa, se on seuraavanakin kunnossa todennäköisyydellä 95%, muuten rikki ja kun se on ollut rikki, se on seuraavana työpäivänä kunnossa todennäköisyydellä 33%, muuten edelleen rikki riippumatta aiemmista tiloista Kuinka suuren osuuden työpäivistä pyörä on pitkällä aikavälillä rikki? Ratkaisu Olkoon tila kunnossa tila 1 ja tila rikki tila 2 Tällöin siirtymämatriisiksi saadaan: [ ] P = Vastaava Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton Yleisesti pätee, että yhtenäisen ja jaksottoman äärellisen tila-avaruuden Markov-ketjun rajajakauma on olemassa ja on alkutilasta riippumatta ketjun tasapainojakauma (Analyyttinen tapa Koska rajajakauma on tasapainojakauma, se saadaan tasapainoyhtälöistä π = πp ja π(x i = 1 äistä saadaan 095π π 2 = π 1 π 2 = 5/33π 1 005π π 2 = π 2 π 1 + π 2 = 1 Ensimmäinen ja toinen yhtälö ovat yhtäpitävät; tämä voidaan tarkastaa sijoittamalla ensimmäinen rivi toiseen Sijoittamalla ensimmäinen rivi kolmanteen saadaan π 1 = 33/38, joten π 2 = 5/38 Tasapaino- ja rajajakauma on siis π = [33/38, 5/38] [08684, 01316] (umeerinen tapa Rajajakauman voi päätellä laskemalla tietokoneella siirtymämatriisin suuria potensseja; P 100 [ ] Ja numeerisen tarkkuuden rajoissa P 100 P = P 100, joten jakauma on ajautunut sadassa askeleessa tasapainotilaansa alkutilasta riippumatta (Geometrisen jakauman tapa Aika, jonka pyörä on kunnossa on geometrisesti jakautunut joukolla Z + parametrilla 005 Vastaavasti aika, jonka pyörä on rikki on geometrisesti jakautunut joukolla Z + parametrilla 033 Vastaavat odotusarvot i 5 / 7
6 ovat 1/005 ja 1/033 Tarkastellaan nyt sykliä, jolloin pyörä on ollut kertaa rikki ja kertaa kunnossa Tämän aikavälin pituus T toteuttaa suurten lukujen lain mukaan melkein varmasti T / 1/ /033 ja vastaavasti kertaa rikki ja kertaa kunnossa oleminen kestää melkein varmasti T (rikki / 1/033, T (kunnossa / 1/005, mistä saadaan rikki- ja kunnossaolemisen osuudet: melkein varmasti T (rikki /T 08684, T (kunnossa /T (Johtopäätös Rajajakauma on siis (noin [08684, 01316] Pyörä on siis pitkällä aikavälillä 13, 2% päivistä rikki (b Tarkastellaan harjoitustehtävän 1B4 Markov-ketjua tilajoukolla {AA, Aa, aa} Laske eri genotyyppien osuudet tässä jälkeläisten ketjussa pitkällä aikavälillä Ratkaisu Siirtymämatriisi on: 1/2 1/2 0 P = 1/4 1/2 1/4 0 1/2 1/2 Ketju on yhtenäinen ja jaksoton, joten yksikäsitteinen rajajakauma on olemassa (Analyyttinen tapa Rajajakauma on tasapainojakauma: 1/2π 1 + 1/4π 2 = π 1 π 2 = 2π 1 1/2π 1 + 1/2π 2 + 1/2π 3 = π 2 1/4π 2 + 1/2π 3 = π 3 π 2 = 2π 3 π 1 + π 2 + π 3 = 1 Oikealla olevista yhtälöistä nähdään suoraan, että π = [1/4, 1/2, 1/4] (umeerinen tapa Laskemalla siirtymämatriisin suuria potensseja saadaan: 1/4 1/2 1/4 P 100 1/4 1/2 1/4 1/4 1/2 1/4 (Johtopäätös Rajajakauma on siis [1/4, 1/2, 1/4] eli genotyyppien osuudet ovat: AA: 1/4, Aa: 1/2, aa: 1/4 2A4 Stokastikon shakkilauta Tyhjälle shakkilaudalle asetetaan valkea kuningas, jota siirrellään niin, että jokaisella ajanhetkellä valitaan umpimähkään yksi sallituista siirroista Tarkastele Markov-ketjua (X 0, X 1,, jossa X t on kuninkaan sijanti shakkilaudalla t:n siirron jälkeen 6 / 7
7 (a Onko ketju yhtenäinen? Entä jaksoton? Onko ketjulla tasapainojakaumaa? Entä rajajakaumaa? Ratkaisu Ketju on yhtenäinen, koska kuningas pääsee kaikkialle lähtöruudusta riippumatta, eli kaikkien tilaparien välillä on linkki Kuningas voi mistä tahansa ruudusta palata lähtötilaansa kahdella tai kolmella siirrolla Siis kunkin tilan jakso on syt{2, 3} = 1, eli ketju on jaksoton Ketjulla on yksikäsitteinen tasapainojakauma, sillä se on äärellinen ja yhtenäinen Tämä tasapainojakauma on lisäksi kaikkien alkujakaumien rajajakauma, koska ketju on jaksoton (b Vastaa samoihin kysymyksiin, kun kuningas korvataan lähetillä Ratkaisu Ketju ei ole yhtenäinen, koska lähetti ei pääse valkoisista ruuduista mustiin tai päinvastoin Ketju on jaksoton samasta syystä kuin kuninkaan tapauksessa Koska ketju on jaksoton, kukin alkutilan jakauma suppenee kohti rajajakaumaa äin saatu rajajakauma ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, sillä se riippuu siitä, miten todennäköisyysmassa on alkutilanteessa jakautunut kahden erillisen sisäisesti yhtenäisen tilajoukon, mustien ja valkoisten ruutujen, välille Rajajakauma on samalla tasapainojakauma, joten ketjulla on myös tasapainojakauma Se ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, kuten rajajakaumakaan ei ollut (Tarkemmin sanottuna merkitsemällä π m mustien lähettien rajajakaumaa ja π v valkoisten ovat tasapainojakaumat tasan ne jakaumat, jotka ovat muotoa cπ m + (1 cπ v, 0 c 1 ämä ovat myös kaikki rajajakaumat, kukin vastaavilla mustien ja valkoisten lähettien osuuksilla alkujakaumassa (c Vastaa samoihin kysymyksiin, kun lähetti korvataan ratsulla Ratkaisu Ketju on yhtenäinen, koska ratsu pääsee mistä tahansa ruudusta mihin tahansa ruutuun, kun riittävän monta siirtoa sallitaan Ketju ei kuitenkaan ole jaksoton: Yhdellä siirrolla ratsu siirtyy aina mustasta ruudusta valkoiseen, tai valkoisesta mustaan Siten paluuaika lähtöruutuun on aina jaollinen kahdella, eli kunkin tilan jakso on 2 Koska ketju on äärellinen ja yhtenäinen, sillä on on yksikäsitteinen tasapainojakauma yt kuitenkaan kaikki alkujakaumat eivät suppene kohti rajajakaumaa Jos todennäköisyysmassa on alussa epätasaisesti jakautunut mustien ja valkoisten ruutujen välille, jakauma ei suppene kohti mitään rajajakaumaa, koska todennäköisyysmassojen summa valkoisilla ruuduilla vuorottelee kahden erisuuren arvon välillä (Sopivalla alkujakaumalla prosessi kuitenkin suppenee kohti tasapainojakauma; triviaalina esimerkkinä käyttämällä alkujakaumana tasapainojakaumaa Yleisemmin on helpohkoa osoittaa, että prosessi ajautuu tasapainojakaumaan, jos ja vain jos alkujakaumassa mustille ja valkoisille ruuduille osuu saman verran tn-massaa Lisäys Tässä tehtävässä esiintyneet tasapaino- ja rajajakaumat voidaan helposti laskea eksplisiittisesti, ja tämä tullaan tekemään myöhemmässä laskuharjoituksessa 7 / 7
Markov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
Erilaisia Markov-ketjuja
MS-C2 Stokastiset prosessit Syksy 207 3A Erilaisia Markov-ketjuja Tuntitehtävät 3A Lepakoiden rengastaja (tai kuponkien keräilijä) Lepakkoluolassa on lepakkoa, joista jokainen lentää luolasta ulos joka
Markov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
Jatkuva-aikaisia Markov-prosesseja
5B Jatkuva-aikaisia Markov-prosesseja Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tasapainojakaumia. Laskuharjoitukseen kannattaa
Esimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
Markov-ketjuja suurilla tila-avaruuksilla
3B Markov-ketjuja suurilla tila-avaruuksilla Tuntitehtävät 3B1 Sekoaako korttipakka sekoittamalla? Olkoon S kaikkien 52 kortin korttipakan mahdollisten järjestysten joukko. (a) Perustele, miksi joukossa
Markov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
Martingaalit ja informaatioprosessit
4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu
Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
Markov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
1 p p P (X 0 = 0) P (X 0 = 1) =
Mat-2.3 Stokastiset rosessit Syksy 2007 Laskuharjoitustehtävät 3 Poroudas/Kokkala. Tarkastellaan Markov-ketjua, jonka tilajoukko on {0, } ja tilansiirtotodennäköisyysmatriisi P Olkoon alkujakauma α 0 a
Jatkuvan aikavälin stokastisia prosesseja
6A Jatkuvan aikavälin stokastisia prosesse Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua uusiutumisprosesseihin tkuva-aikaisiin Markovprosesseihin harjoitella laskemaan niihin liittyviä hetkittäisiä kaumia
Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Stokastiset prosessit 1 STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä Usein tarkasteltava järjestelmä kehittyy ajan mukana ja meitä kiinnostaa sen dynaaminen, yleensä satunnaisuutta
Martingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / HOL-esto 1 Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia AIKASKAALAHIERARKIA Kiinnostavat aikaskaalat kattavat laajan alueen, yli 13 dekadia! Eri aikaskaaloissa esiintyvät
Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
Kenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Kenguru 2019 Benjamin 6. ja 7. luokka
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Kaulaketju. Syöte. Tuloste. Esimerkki 1. Esimerkki 2
A Kaulaketju Kaulaketjussa on sinisiä ja punaisia helmiä tietyssä järjestyksessä. Helmien järjestys voidaan esittää merkkijonona, jossa S vastaa sinistä helmeä ja P punaista helmeä. Esimerkiksi ketjussa
(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
Estynyt puheluyritys menetetään ei johda uusintayritykseen alkaa uusi miettimisaika: aika seuraavaan yritykseen Exp(γ) pitoaika X Exp(µ)
J Virtamo 383143 Jonoteoria / Engsetin järjestelmä 1 Äärellinen lähdepopulaatio: M/M/s/s/n-järjestelmä Tarkastellaan estojärjestelmää (ei odotuspaikkoja) tapauksessa, jossa saapumiset tulevat äärellisestä
Stokastiset prosessit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto
Stokastiset prosessit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. elokuuta 2018 Sisältö 1 Satunnaisluvut ja satunnaisvektorit 5 1.1 Todennäköisyysjakauma...................... 5 1.2 Satunnaismuuttuja.........................
Äärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
Datatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Malliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 27. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja
Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat
y + z. z + xyz
2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,
Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä
j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Valokuvien matematiikkaa
Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone
V ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)
1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise
Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Harjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...