Jatkuvan aikavälin stokastisia prosesseja
|
|
- Kai Tikkanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 6A Jatkuvan aikavälin stokastisia prosesse Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua uusiutumisprosesseihin tkuva-aikaisiin Markovprosesseihin harjoitella laskemaan niihin liittyviä hetkittäisiä kaumia tasapainokaumia. Laskuharjoitukseen kannattaa ottaa mukaan tietokone tai matriisilaskutoimituksiin kykeneväinen laskin. Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 6A1 Oletetaan, että uusiutumisprosessin väliat τ 1, τ 2,... ovat riippumattomia samoin kautuneita, joille pätee E(τ i ) = m (0, ) P(τ i > 0) = 1. Todista, että luentomonisteen kaavan (9.3) määrittämät kertymäfunktiot F + (t) = P(τ + t) = E(τ i t) E(τ i ) F (t) = P(τ t) = E(τ i1(τ i t)) E(τ i ) todella ovat R + :n kertymäfunktioita, eli niille pätee F (0) = 0, lim t F (t) = 1, F on kasvava oikealta tkuva. Ratkaisu. Selvästi F (0) = 0 molemmissa tapauksissa. Kasvavuus (eli ei-vähenevyys) seuraa myös suoraan odotusarvon monotonisuudesta. Osoitetaan seuraavaksi, että että F (t) 1 kun t. Tätä varten haluttaisiin vaihtaa rajojen järjestystä, esim. lim E(τ i t) =? E( lim τ i t) = E(τ i ). t t Puolittain kurssin ulkopuolelta napataan tähän hätään alisteisen suppenemisen lause [engl. dominated convergence theorem] (heikompi monotonisen suppenemisen lausekin riittäisi tässä). Lauseen mukaan lim t E(X t ) = E(lim t X t ), jos on olemassa jokin satunnaismuuttu Z s.e. EZ < X t Z kaikilla t. Selvästi τ i t τ i τ i 1(τ i t) τ i kaikilla t, joteon τ i on sopiva majorantti. Näin ollen voidaan vaihtaa rankäynnin odotusarvon järjestystä lim E(τ i t) = E( lim τ i t) = E(τ i ) t t lim E(τ i1(τ i t)) = E( lim τ i 1(τ i t)) = E(τ i ). t t 1 / 9
2 Jakamalla yllä molemmat puolet luvulla m = E(τ i ) voiaan päätellä, että F (t) 1 kun t. Oikealta tkuvuus voidaan perustella samaan tapaan. Valitaan jokin anhetki t. Kun h 0 oikealta puolelta, pätee Lisäksi pätee τ i (t + h) τ i t τ i 1(τ i t + h) τ i 1(τ i t). τ i (t + h) τ i τ i 1(τ i t + h) τ i kaikilla h 0. Jälleen oikealla puolella on integroituva satunnaisluku, joten alisteisen suppenemisen lauseella oikealta tkuvuus seuraa. Itseasiassa ylläoleva päättely osoittaa, että F + (t) on tkuva myös vasemmalta. F (t) ei välttämättä ole tkuva vasemalta. 6A2 Yrityksen it-henkilö on vastuussa kahden www-palvelimen toiminnasta. Palvelin i toimii keskimäärin l i päivää ennen vikaantumistaan vian koraminen kestää keskimäärin m i päivää, missä l 1 = 30, l 2 = 100, m 1 = 1 m 2 = 2. Palvelinten toiminta- korusat oletetaan toisistaan riippumattomiksi eksponenttikautuneiksi. It-henkilö kora palvelimet vikaantumisjärjestyksessä. (a) Mallinna palvelinten tilaa tkuva-aikaisella tilajoukon S = {, 1, 2, 12, 21} Markovketjulla, missä tilajoukon alkiot kuvaavat korttavien palvelinten työjono. Kirjoita Markov-ketjun generaattorimatriisi piirrä siirtymäkaavio. Ratkaisu. Merkitään λ i = 1/l i µ i = 1/m i. Nyt koneen i toiminta-aika on L i = st Exp(λ i ) korusaika M i = st Exp(µ i ). Voidaan päätellä, että kyseessä on tkuva-aikaien Markov-ketju, jossa hyppyvauhdit ovat λ i µ i (kukin ilmeiselle siirtymälle). Tämä voidaan koota siirtymäkaavioon, jossa kaarten painot siis ovat siirtymäintensiteettejä (=hyppyvauhte), kaaria vastaavat siirtymä-tn:t ovat [kaaren paino]/[kaikkien samasta solmusta lähtevien kaarten yhteispaino]. 2 / 9
3 1 0 2 µ 1 µ 2 µ µ 2 Generaattorimatriisin kirjoittamiseksi muistetaan luennon 5B muistiinpanoista, että jos tkuva-aikainen äärellistilainen Markov-ketju X t on annettu intensiteettien I x y avulla, joilla tilassa x oleva prosessi siirtyy tilaan y (merkitään I x y = 0 jos siirtymää x y ei tapahdu), niin 1 { I x y, x y Q(x, y) = z y I y z, x = y. Tästä saadaan Q = ( + ) 0 0 µ 1 ( + µ 1 ) 0 0 µ 2 0 ( + µ 2 ) µ 1 µ µ µ 2 (b) Millä todennäköisyydellä kumpikaan palvelimista ei toimi viikon kuluttua, jos ne molemmat toimivat nykyhetkellä? Ratkaisu. Merkitään aikahorisonttia t = 7 (päivää). Ketjun t:n aikayksikön siirtymämatriisi P t saadaan generaattorimatriisista matriisieksponenttina P t = e tq = n=0 t n n! Qn. Tietokoneella laskemalla nähdään, että P 7 = e 7Q = Tämä määritelmä on yhtäpitävä luentomonisteen [Leskelä 2015] kanssa, vaikka yhtäpitävyys ei ehkä ole opiskelille ilmeinen. 3 / 9
4 Ketjun alkutila on X(0) = sitä vastaava alkukauma eli tilan Dirac-kauma on δ = (1, 0, 0, 0, 0). Ketjun tilakauma anhetkellä t = 7 (päivää) saadaan siirtymämatriisista P 7 kaavalla δ P 7 = [ ], mikä on siis neliömatriisin P 7 ensimmäinen (tilaa vastaava) rivi. Viikon kuluttua kumpikaan palvelin ei toimi todennäköisyydellä δ P 7 (12) + δ P 7 (21) = P 7 (, 12) + P 7 (, 21) = = (c) Selvitä palvelinten tilaa kuvaavan ketjun tasapainokauma. Millä todennäköisyydellä yrityksestä löytyy vähintään yksi toimiva palvelin tasapainotilanteessa? Ratkaisu. (Numeerinen tapa.) Lauseen [Leskelä, Lause 11.8] mukaan yhtenäinen tkuva-aikainen äärellistilainen Markov-ketju suppenee kohti tasapainokaumaansa an kuluessa. Jatkuva-aikainen Markov-ketju on määritelmän mukaan yhtenäinen, joss ylikellotettua diskreettiä ketjua vastaava siirtymäkaavio on yhtenäinen. Koska ylikellottamisessa vain lisätään siirtymäkaavion silmukoita, α µ 1 α α µ µ 1 µ 2 µ µ 2 α µ 1 α µ 2 jollakin tarpeeksi suurella ylikellotustaajuudella α, on tehtävässä tarkasteltu ketju on selvästi yhtenäinen. Otetaan siis pitkän aikavälin aikakehitysmatriisi, esim. e 100Q lasketaan se tietokoneella. Havaitaan, että numeerisen tarkkuuden rajoissa kaikki rivit ovat samo [ ]. Havaitaan myös, että numeerisen tarkkuuden rajoissa tämä tila toteuttaa tasapainoyhtälön [Leskelä 2015, Lause 11.5] [ ] Q = [0, 0, 0, 0, 0], 4 / 9
5 joten kyseessä on tasapainotila. (Analyyttinen tapa.) Tasapainokauma π saadaan lauseen [Leskelä 2015, Lause 11.5] mukaan ratkaisemalla matriisiyhtälö πq = 0 eli π(x)q(x, y) = 0, y S, x S hyödyntämällä normalisointiehtoa x S π(x) = 1. Näissä yhtälöissä on 5 tuntematonta 6 yhtälöä. Yksi matriisiyhtälöä πq = 0 vastavista yhtälöistä on redundantti, joten sen voi jättää pois 2. Jätetään esimerkiksi Q:n viimeistä saraketta vastaava yhtälö pois. Olkoon Q R 5 4 matriisi, joka saadaan poistamalla Q:n viimeinen sarake. Tällöin saadaan uusi matriisiyhtälö π Q = (0, 0, 0, 0). Tähän yhtälöryhmään saadaan lisättyä normalisointiehto πe T = 1, jossa e = (1, 1, 1, 1, 1), kirjoittamalla π ˆQ = (0, 0, 0, 0, 1), missä ˆQ = [ Q ] e T R 5 5 on neliömatriisi, joka saadaan lisäämällä matriisiin Q uusi sarake e T. Ketjun tasapainokauma saadaan kertomalla molemman puoliset yhtälöt ˆQ:n käänteismatriisilla oikealta. Tämänkin voidaan laskea kätevästi tietokoneella tulokseksi saadaan π = [0, 0, 0, 0, 1] ˆQ 1 = [ ]. Kysytty tn on siis 1 π(12) π(21) = (d) Jos tasapainotilanteessa havaitaan, että kumpikaan palvelin ei toimi, kauanko odotusarvoisesti kestää, ennen kuin toimintaan saadaan vähintään yksi palvelin? Ratkaisu. Tilat, joissa kumpikaan palvelin ei toimi, ovat Merkitään näiden tilojen joukkoa A = {12, 21}. 2 Lisäys. (Ratkaisutavan yleispätevyys.) Yhtenäisen Markov-ketjun tapauksessa tasan yksi yhtälöistä on aina redundantti. Tämä johtuu siitä, että suoraan määritelmän mukaan Q = diag(λ(x))(p I), jossa P on vastaavan diskreettiaikaisen Markov-ketjun siirtymämatriisi. Kuten luentomonisteen luvun 3.3 lopussa voidaan nyt päätellä, että matriisin (P I) oikea nolla-avaruus on yhtenäisille ketjuille yksiulotteinen. Näin ollen myös vasen nolla-avaruus on yksiulotteinen, joten tasan yksi yhtälöistä πq = (πdiag(λ(x)))(p I) = 0 on redundantti. Lisäksi tiedetään, että diskreettiaikaisella Markov-ketjulla P on yksikäsitteinen tasapainokauma π d, jolle π d (P I) = 0. Tästä saadaan tkuva-aikaisen diskreettiaikaisen Markov-ketjun tasapainotiloille relaatio π π d diag(λ(x)). Erityisesti Q:n vasemman nolla-avaruuden vektorin π π d diag(λ(x)) kaikki komponentit tosiaan ovat positiivisia, eli se tosiaan on (oikein normalisoituna) kaumavektori. 5 / 9
6 Tilasta 12 siirrytään tilaan 2 satunnaisen Exp(µ 1 )-kautuneen an kuluttua, jonka odotusarvo on m 1 = 1/µ 1 = 1 päivää. Tässä tilassa toinen palvelimista (palvelin 1) on saatu toimintaan. Ketjun hyppyvauhti tilassa 12 on λ(12) = µ 1. Vastaavasti tilasta 21 siirrytään tilaan 1 satunnaisen Exp(µ 2 )-kautuneen an kuluttua, jonka odotusarvo on m 2 = 1/µ 2 = 2 päivää. Tässä tilassa toinen palvelimista (palvelin 2) on saatu toimintaan. Ketjun hyppyvauhti tilassa 21 on λ(21) = µ 2. Jos ketju käynnistyy jommasta kummasta näistä tiloista, niin ketjun ensimmäinen hyppyhetki T on myös se anhetki, jolloin vähintään toinen palvelimista on saatu toimintaan. Kun ketjun havaitaan tasapainotilassa kuuluvan tilajoukkoon A = {12, 21} (eli kumpikaan palvelin ei toimi), niin silloin se on tilassa 12 (eli palvelin 1 on korttavana, palvelin 2 vikaantuneena jonossa) tn:llä π(12) = π(12) π(12) + π(21) = tilassa 21 (eli palvelin 2 on korttavana, palvelin 1 vikaantuneena jonossa) tn:llä π(21) = π(21) π(12) + π(21) = Jakauma π on siis havainnoin näkökulmasta ketjun alkukauma. Tästä kaumasta käynnistyvälle ketjulle ensimmäisen hyppyhetken T odotusarvo on E π (T ) = π(x)e x (T ) x S = π(12)e 12 (T ) + π(21)e 21 (T ) = π(12)m 1 + π(21)m 2 = = Vähintään toinen palvelimista saadaan toimintaan siis odotusarvoisesti 1.79 päivän kuluttua. 6 / 9
7 Kotitehtävät 6A3 Yrityksen it-henkilö on vastuussa kahden www-palvelimen toiminnasta, jotka toimivat kuten tehtävässä 6A2. Palvelimet on priorisoitu niin, että it-henkilö kora palvelimen 1 heti sen vioittuessa tarvittaessa keskeyttää palvelimen 2 korustyöt siksi aikaa. (a) Mallinna palvelinten tilaa tkuva-aikaisella tilajoukon S = {, 1, 2, 12} Markovketjulla, missä tilajoukon alkiot kuvaavat korttavien palvelinten joukko. Kirjoita ketjun generaattorimatriisi piirrä siirtymäkaavio. Ratkaisu. Edellisen tehtävän kanssa identtisillä perusteluilla merkinnöillä saadaan siirtymäkaavio µ 1 µ 2 µ 1 12 Tästä saadaan ketjun generaattorimatriisi 0 Q = diag(λ(x))(p I) = µ 1 µ 1 0 µ 2 0 µ µ 1 µ 1 (b) Selvitä palvelinten tilaa kuvaavan ketjun tasapainokauma. Millä todennäköisyydellä yrityksestä löytyy vähintään yksi toimiva palvelin tasapainotilanteessa? Ratkaisu. Edellisen tehtävän tapaan muodostetaan ˆQ korvaamalla yksi Q:n saraketta vastaava yhtälö normitusehdolla, ˆQ = 1 µ 1 µ µ 2 0 µ µ 1 1 Ja nyt tasapainokaumalle π pätee π ˆQ = [0, 0, 0, 1],. 7 / 9
8 mistä matriisi kääntämällä saadaan π = [0.948, , , ]. Kuten edellisessä tehtävässä, tämä voitaisiin tehdä myös numeerisesti. (c) Jos tasapainotilanteessa havaitaan, että kumpikaan palvelin ei toimi, kauanko odotusarvoisesti kestää, ennen kuin toimintaan saadaan vähintään yksi palvelin? Ratkaisu. Jos molemmat palvelimet ovat rikki, kortaan palvelinta 1. Tämän korusaika τ on Exp(µ 1 )-kautunut, joten (kts. teht. 1A3) E(τ) = 1/µ 1 = 1. (d) Vertaa edellisten kohtien tuloksia tehtävän 6A2 tuloksiin. Ratkaisu. Verrataan ensin tehtävien 6A2d 6A3c tuloksia. Jos molemmat palvelimet ovat rikki, on jälkimmäisessä tehtävässä tutkittu nopeamman korttavan priorisointi selvästikin kannattavampaa, eli ainakin toinen palvelin saadaan toimimaan keskimäärin nopeammin tehtävän 3 tavalla. Verrataan seuraavaksi tasapainokaumia (6A2c 6A3b), eli pitkän aikavälin käytöstä. Ensiksikin havaitaan, että tilojen (12) (21) yhteenlaskettu osuus kaikista päivistä pitkällä aikavälillä on tehtävässä 3 pienempi. Myös tässä mielessä tehtävän 3 strategia oli sis fiksu. Toisaalta kuitenkin havaitaan, että tilan 0 tn on sama tehtävissä 6A2c 6A3b. Syy on selvä: korusjärjestys ei vaikuta siihen, kuinka usein koneet rikkoutuvat kuinka kauan korus kestää, vain nämä kaksi määräävät tilan nolla osuuden. 6A4 Bussipysäkille saapuvien bussien saapumishetkien (luentomoniste, esimerkki 9.17) väliaiko merkitään τ 1, τ 2,.... Luentomonisteen lauseen 9.16 perusteella tiedetään, että satunnaisen matkustan näkökulmasta odotusaika τ + seuraavan bussin saapumiseen noudattaa pitkällä aikavälillä likimäärin väliaikojen tasapainokaumaa, seuraavan edellisen bussin väliaika τ likimäärin kokovinoutettua väliaikakaumaa. Selvitä satunnaislukujen τ + τ tiheysfunktiot (jos olemassa) kertymäfunktiot, kun (a) τ i = st Tas(0, 1) noudattaa avoimen yksikkövälin (0, 1) tasakaumaa. Ratkaisu. Luentomonisteen kaavo (9.4) (9.5) käyttämällä saadaan tasapainokauman tiheysfunktio: f + (t) (yleisesti) = P(τ i > t) Eτ i (tässä) = 2(1 t), t (0, 1). Kokovinoutetulla kaumalla on tiheysfunktio, jos τ i :llä on tiheysfunktio f. Tällöin, f (t) (yleisesti) = tf(t) Eτ i (tässä) = 2t, t (0, 1). 8 / 9
9 Välin (0, 1) ulkopuolella tiheysfunktiot ovat nollia. (Välin reunapisteissä tiheysfunktion saa määritellä miten haluaa.) Vastaavat kertymäfunktiot ovat F + (t) = t 0 F (t) = 2(1 s) ds = 2t t 2, t [0, 1] t 0 2s ds = t 2, t [0, 1]. Tiheysfunktiot voidaan esim. Wikipediasta hakemalla tunnistaa betakaumiksi niin, että τ + = st Beta(1, 2) τ = st Beta(2, 1). (b) τ i = st δ c noudattaa Dirac-kaumaa pisteessä c > 0. Ratkaisu. Koska Dirac-kaumalla ei ole tiheysfunktiota, kannattaa laskea kertymäfunktiot. Luentomonisteen kaavaa (9.3) käyttämällä P(τ + t) = E(τ i t) E(τ i ) = E(c t) E(c) = c t c = 1 (t/c), t 0. Samalla kaavalla P(τ t) = E(τ i1(τ i t)) E(τ i ) = c1(c t)) c = 1(c t). Näistä nähdään, että τ + = st Tas(0, c) noudattaa välin (0, c) tasakaumaa τ = st δ c Dirac-kaumaa pisteessä c. (c) Kauanko bussipysäkille saapuvan henkilön pitää odotusarvoisesti odottaa seuraavan bussin saapumista, jos bussin väliat noudattavat (a)-kohdan kaumaa? Ratkaisu. Odotusan odotusarvo on E(τ + ) = 1 0 t f + (t) dt = 1 0 t 2(1 t)dt = 1 3. Kun aikayksikkönä on 1 tunti, niin busse saapuu keskimäärin 30 min välein, jolloin voisi luulla, että bussia tyypillisesti pitää odottaa 15 minuuttia. Oikea vastaus tässä tapauksessa kuitenkin on 20 min. (d) Kauanko bussipysäkille saapuvan henkilön pitää odotusarvoisesti odottaa seuraavan bussin saapumista, jos bussin väliat noudattavat (b)-kohdan kaumaa? Ratkaisu. Koska τ + noudattaa välin (0, c) tasakaumaa, on kysytty odotusarvo E(τ + ) = c/2. Jos esimerkiksi c = 1/2 aikayksikkön 1 tunti, niin busse saapuu tarkalleen 30 min minuutin välein, pysäkille satunnaisesti saapuvan henkilön odotusarvoinen odotusaika on 15 min, mikä vastaa arki-intuitiota. Tunnistatko kertymäfunktioita vastaavat kaumat? 9 / 9
Jatkuva-aikaisia Markov-prosesseja
5B Jatkuva-aikaisia Markov-prosesseja Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tasapainojakaumia. Laskuharjoitukseen kannattaa
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
LisätiedotMarkov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton;
LisätiedotJatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
LisätiedotErilaisia Markov-ketjuja
MS-C2 Stokastiset prosessit Syksy 207 3A Erilaisia Markov-ketjuja Tuntitehtävät 3A Lepakoiden rengastaja (tai kuponkien keräilijä) Lepakkoluolassa on lepakkoa, joista jokainen lentää luolasta ulos joka
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotEsimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotMarkov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on
LisätiedotGeneroivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotMarkov-ketjuja suurilla tila-avaruuksilla
3B Markov-ketjuja suurilla tila-avaruuksilla Tuntitehtävät 3B1 Sekoaako korttipakka sekoittamalla? Olkoon S kaikkien 52 kortin korttipakan mahdollisten järjestysten joukko. (a) Perustele, miksi joukossa
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotKäänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla
Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotT Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi
T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 12. maaliskuuta 2002 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Stokastinen analyysi, miksi? Tavallinen Petri-verkkojen saavutettavuusanalyysi
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot1 p p P (X 0 = 0) P (X 0 = 1) =
Mat-2.3 Stokastiset rosessit Syksy 2007 Laskuharjoitustehtävät 3 Poroudas/Kokkala. Tarkastellaan Markov-ketjua, jonka tilajoukko on {0, } ja tilansiirtotodennäköisyysmatriisi P Olkoon alkujakauma α 0 a
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotSTOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Stokastiset prosessit 1 STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä Usein tarkasteltava järjestelmä kehittyy ajan mukana ja meitä kiinnostaa sen dynaaminen, yleensä satunnaisuutta
LisätiedotStokastiset prosessit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto
Stokastiset prosessit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. elokuuta 2018 Sisältö 1 Satunnaisluvut ja satunnaisvektorit 5 1.1 Todennäköisyysjakauma...................... 5 1.2 Satunnaismuuttuja.........................
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotSatunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
LisätiedotX k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedot5. Stokastiset prosessit (1)
luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi 2 Stokastiset prosessit () Tarkastellaan jotakin (liikenneteorian kannalta tai sitten muuten) kiinnostavaa
LisätiedotTehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja
LisätiedotMatriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.
Matriisilaskenta Harjoitusten ratkaisut (Kevät 9). Olkoot ja A = B = 5. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi. Tapa Käänteismatriisin määritelmän nojalla riittää osoittaa, että AB
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotLiikenneongelmien aikaskaalahierarkia
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / HOL-esto 1 Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia AIKASKAALAHIERARKIA Kiinnostavat aikaskaalat kattavat laajan alueen, yli 13 dekadia! Eri aikaskaaloissa esiintyvät
LisätiedotBayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot