Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Transkriptio

1 Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy lauseke, ku testattavaa hypoteesia o H 0 : θ θ 0. b Koetilateessa satuaisesti valittua hekilöä maistoi vahaa ja uutta olutlaatua ja 60 % piti uutta parempaa. Tutki Rao pistemäärätestiä ja p-arvo χ - approksimaatiota käyttämällä väitettä, ettei olutlaatuje välillä ole havaittavaa eroa. Etä jos koehekilöitä olisi ollut 0? Vastaus:. a Todetaa aluksi EY EY i θ. Beroulli-jakautueide riippumattomie sm:ie yhteisjakauma o biomijakauma, jote uskottavuusfuktioksi voidaa valita ja siitä SU-estimaatiksi johtaa vrt. moistee.4.: Lθ; y θ y θ y lθ y log θ + y log θ y log θ + y log θ l θ y θ y y yθ θ + yθ θ θ θ y θ θ θ 0 θ y ˆθ, l θ θ θ θy θ θ θ θ θ y +θ + yθ θ θ θ y + yθ θ θ θ y + yθ + θ θ θ θ + yθ y + yθ θ θ y θ θ θ y θ y θ + θ θ θ y θ y θ

2 josta saadaa lˆθ y log y + y log y y log y + q log q lθ 0 y log θ 0 + y log θ 0 y log θ 0 + q log s q merk. y s merk. θ 0 ry [lˆθ; y lθ 0 ; y] [ y log y + q log q y log θ 0 + q log s] [y log y log θ 0 + q log q log s] [ y log yθ0 + y log y ], θ 0 iθ 0 E θ0 [ l θ 0 ] [ Y E θ 0 + Y ] θ0 Eθ0 Y θ 0 + E θ 0 Y θ0 θ0 θ 0 + θ 0 θ0 + θ 0 θ 0 vrt. moistee.4. θ 0 θ 0 wy iθ 0 ˆθ θ 0 y θ0 θ 0 θ 0 uy l θ 0 ; y iθ 0 y θ 0 θ 0 θ 0 θ 0 θ 0 y θ 0 θ 0 θ 0 wy b Mallietaa a-kohda ioittamaa tilaetta ii, että kutaki maistamiskertaa kuvataa satuaismuuttajalla Y i, missä Y i Bθ. Nollahypoteesia voitaee tässä yhteydessä pitää sitä, että θ θ 0, ja vastahypoteesiä joka o toivo mukaa asetettu ee aieisto keräämistä tai se tutkimista sitä, että θ. Kaksisuutaie testi. Havaitoa o yt saatu y 4/. Edellise kohda perusteella Rao testisuure o: uy y θ 0 θ 0 θ 0 6/0 /0 // 00 4 χ -approksimaatio mukaa uy as. χ, jos H 0 pätee. Luoollisesti suuret arvot ovat kriit-

3 tisiä. Siis p-arvoa voidaa approksimoida seuraavasti: p u y P H0 uy uy F χ 0,37, jote ollahypoteesiä ei voie tällä perusteella hylätä. Tarkistetaa vielä käyttämällä Rao testisuuretta u / : uy, p u y P H0 uy uy Φ 0,37 Tarkka p-arvo käyttämällä biomijakautuutta testisuuretta ty Y olisi p t y P H0 ty θ y θ P H0 ty θ y θ + P H0 ty + θ y θ P H0 ty y θ + θ + P H0 ty y θ θ P H0 ty < y θ + θ + P H0 ty θ y θ P H0 ty y θ + θ + P H0 ty θ y θ F Bi,θ y θ + θ + F Bi,θ θ y θ F Bi, 4 + F Bi, 0 0,44, Tapauksessa 0 Rao testisuure o: ja p-arvo approksimaatti: uy 0, p u y P H0 uy uy F χ 0 0,006, tarkka p-arvo p t y P H0 ty y F Bi0, 49 + F Bi0, 00 0,00. Tehtävä. Moistee tehtävä.4. Moistee esimerki.4.6 a-asetelmassa saadaa otoksee 0 geotyyppejä rr, rr ja RR vastaavasti 4, 0 ja 6 yksilöä. Laske parametri θ suurimma uskottavuude estimaatti ja testaa kaksisuutaisella Waldi testillä ollahypoteesia H 0 : θ 0,. Vastaus: Asetetaa merkitsevyystasoksi vaikkapa α 0,0. Todetaa moisteessa johdettu yptf y cyθ y+y θ y3+y. Log-uskottavuusfuktioksi voidaa valita ja siitä SU-estimaatiksi joh-. 3

4 taa: lθ y + y l θ + y 3 + y l θ l θ y + y θ y 3 + y θ y y θ + y y θ y 3 θ y θ θ θ θy + y + y 3 > y y y + y θ < y + y + y 3 y + y ˆθ, > 0 ja toiseksi derivaataksi ja Fisheri iformaatioksi saadaa moisteessaki johdetut: l θ y + y θ y 3 + y θ [ ιθ E θ [ l Y + Y θ] E θ θ + Y ] 3 + Y θ [ Eθ Y + E θ Y θ + E ] θy 3 + E θ Y θ θ + θ θ + θ + θ θ θ θ Hardy-Weiberg Waldi testisuure eliömuoto: θ + θ + θ + θ θ θ θ + θ θ θ θ θ wy ιθ 0 ˆθ θ 0 y + y θ 0 θ 0 θ / / 4/ / Koska wy as. χ, ii p-arvo o likimai PX 4 0,04. Koska tämä o pieempi kui alussa asetettu merkitsevyystaso α, testi siis hylkää ollahypoteesi. Vastaava tulos saadaa testisuuree juurimuodosta: w y 4, ja koska w y as. N0,, ii p-arvo o siis likimai P N0, Φ 0,04. Tehtävä 3. Moistee tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Pµ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree lauseke, ku testattavaa o H 0 : µ µ 0. b Eräässä tieristeyksessä o pitkällä aikavälillä sattuut keskimääri 7, oettomuutta kuukaudessa. Risteyksee aseetaa liikeevalot. Sitä seuraava vuode aikaa sattuu yhteesä 60 oettomuutta. Testaa uskottavuusosamäärä testiä ja χ -approksimaatiota käyttämällä, voidaako valoje asetamise katsoa vaikuttaee oettomuuksie määrää. Oletetaa, että oettomuuksie lukumäärä kuukaudessa o Poisso-jakautuut. 4

5 Vastaus: 3. a Uskottavuusosamäärä testisuuretta varte tarvitaa SU-estimaatti ja logaritmie uskottavuusfuktio. Aieistosta laskettu SU-estimaatti ˆµ o Poisso-jakaumalla tuetusti y, ja log-uskottavuusfuktioksi voidaa valita lµ; y y log µ µ. Siis uskottavuusosamäärä testisuuree lauseke o ry [lˆµ; y lµ 0 ; y] [ly; y lµ 0 ; y] [y log y y y log µ 0 µ 0 ] [ y log y ] y µ 0 µ 0 b Mielekäs ollahypoteesi olisi yt se, että havaittavaa vaikutusta ei ole ollut µ µ Kaksisuutaisea vastahypoteesia voitaee pitää, että oettomuudet ovat joko vähetyeet tai lisäätyeet µ 7,, joski myös yksisuutaista testausasetelmaa voisi helposti perustella. Asetetaa testi merkitsevyystasoksi 0,0. Aieisto lukuarvot ovat, y 60/. Uskottavuusosamäärä testisuure o tällä aieistolla: [ ry y log y ] y µ 0 µ 0 [ ] log 36/ 36/ 4 [ log /36 / 36/] 0 log 0 log log log ,0483 Koska ry as. χ, ii p Pχ 40 log log ,006. Testi siis hylkää ollahypoteesi. Tarkka arvo saataisii jo tuttuu tapaa. Poisso-jakautuee riippumattoma satuaismuuttuja summalla Y o Poisso-jakauma parametrilla µ. Tästä seuraa, että P Y y P Y y + P Y y P Y < y + P Y y P Y y + P Y y F Pµ y + F Pµ y Tehtävä 4. Jatkoa Harjoitus A tehtävää. a kohta oli siellä. Olkoo Y,..., Y Pµ, missä µ > 0. Tiedämme, että sekä Y että S ovat parametri µ harhattomia estimaattoreita. Tarkastellaa ollahypoteesia H 0 : µ µ 0 ja vastahypoteesia H : µ µ 0. Tällöi sekä t Y Y µ 0 että t Y S µ 0 kävisivät maiiosti kaksisuutaisia testisuureia suuret itseisarvot t y ja t y ovat kriittisiä H 0 :lle. Ogelmaa o, että testisuureita vastaavie satuaismuuttujie T t Y ja T t y jakaumat olisi hyvä tutea p-arvoje ja kriittiste alueide määräämistä varte. Oletetaa, että o hyvi suuri seuraavassa.

6 b Huomaamme, että T ei ole aiva riippumattomie ja samoi jakautueitte satuaismuuttujie summa, sillä Y sotkee asioita. Suurilla otoskeskiarvo Y o kuiteki tarketuva, jote oletetaa, että piei pulijaus o sallittu ja voimme vaihtaa suurilla testisuuree likimai vastaavaksi T 3 Y i µ µ 0 i ku oletetaa, että parametria o µ. Kute a-kohdassa, määrää pulijatu testisuuree T 3 asymptoottie jakauma T 3 ei tietekää ole testisuure, sillä se ei ole tuusluku : c Määrää likimääräiset p-arvot suurilla testisuureelle T ja pulijatulle testisuureelle T 3 eli kutamai likimääräie p-arvo testisuureelle T. 4. Vastaus: b Merkitää aluksi Z i gy i Y i µ kullaki i, missä g o siis kuvaus x g x µ. Koska Y i, ii myös gy i Z i TN lause 3.7. Lisäksi voidaa päätellä, että Z i ovat samoi jakautueita, koska Y i olivat samoi jakautueita. Lasketaa Z i : odotusarvo ja variassi: E µ Z i E µ Y i µ E µ Y i EY i var Y i µ, M Yi t expµe t, ht merk. µ e t, h0 µ 0, M Y i t µe ht+t M Y i t µe t + µe ht+t M 3 Y i t µe t + µe ht+t + µ e ht+ t M 4 Y i t µe t + 3 µe ht+t + 3µe t + 4 µ e ht+ t EY i M 0 µ exp0 µ, EY i M 0 µ + µ µ + µ, EY 3 i M 3 0 µ + µ + µ µ 3 + 3µ + µ, EY 4 i M 4 0 µ + 3 µ + 3µ + 4µ µ 3 + 3µ + 3µ + µ + 3µ 3 + 4µ µ 4 + 6µ 3 + 7µ + µ var µ Z i E µ [Y i µ ] [E µ Y i µ ] E µ Y i µ 4 [E µ Y i µ ] E [ µ 4 4µ 3 Y i + 6µ Yi 4µYi 3 + Yi 4 ] var Yi µ 4 4µ 3 EY i + 6µ EYi 4µEYi 3 + EYi 4 µ µ + 3 µ + 6 µ + µ 3 3 µ 4 + µ + µ + µ + µ 4... µ + µ µ + µ + µ µ µ Jote keskeise raja-arvolausee ojalla T 3 i Z as. Z i N EZ i, var Z i N µ, µ + µ i Y i µ Z as. µ µ N, + µ i as. µ + µ N Y i µ µ 0 Z µ 0 µ µ 0, 6

7 c Koska molemmat testisuureet ovat ormaalijakautueita, voidaa edetä samaa tapaa kui kaksisuutaista z-testiä johtaessa. P-arvot molemmille saadaa molemmissa tapauksissa ku t t tai t 3 oleaisesti samalaisella päättelyllä: p t y P H0 ty µ T ty µ T P H0 ty µ T ty µ T + P H0 ty + µ T ty µ T P H0 ty µ T ty µ T + P H0 ty µ T ty µ T P H0 ty µ T < ty µ T + P H0 ty µ T ty µ T ty µt P H0 < ty µ T ty µt + P H0 ty µ T σ T σ T σ T σ T ty µt ty µt Φ + Φ σ T σ T ty µt Φ, σ T ja tästä T : tapauksessa p t y Φ t y µ T 0, σ T µ/ µ Φ t y H 0 : µ µ 0 µ0 Testi hylkää merkitsevyystasolla α, ku Φ t y < α µ0 t y < q µ0 α t y > q µ0 α, missä q o stadardiormaalijakauma kvatiilifuktio ja josta ähdää kriittie alue. Tehdää tämä vuoksi vielä se havaito, että jos o hyvi suuri, voimme approksimoida lukua rohkeasti :llä ja erityisesti, ku, ii. Arvioidaa sitte µ T3 :tä ja σ T3 :aa: jolloi µ T3 µ µ 0 µ 0 µ 0 0, µ + µ µ + µ σ T3 p t3 y Φ t 3 y Φ σ T3 t 3 y, µ 0 + µ 0 µ + µ ja testi hylkää merkitsevyystasolla α, ku Φ t 3 y < α µ 0 + µ 0 t 3 y α < q µ 0 + µ 0 t 3 y > µ 0 + µ 0 α q, joka määrää approksimatiivise kriittise aluee ehdo. 7

8 8