tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien"

Transkriptio

1 Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys o dt/τ kute Drude mallissaki relaksaatioaika τ riippuu elektroi vyöideksistä ja elektroi paikasta faasiavaruudessa, ts τ = τ r, k Määritellää jakaumafuktio g r, k, t site, että vyöllä hetkellä t faasiavaruude tilavuudessa dr pistee r, k ympäristössä olevie elektroie lukumäärä o g r, k, tdr /4π 3 ermisessä tasapaiossa jakaumafuktio redusoituu Fermi-distribuutiofuktioksi fe k, missä fe = e E µ/k B + Jakautumafuktio lasku Jakaumafuktiosta oletamme, että elektroi törmäykse jälkeie distribuutiofuktio o täysi riippumato törmäystä välittömästi edeltävästästä jakaumasta g r, k örmäyksessä elektroi siis uohtaa kaike se tiedo, joka sillä mahdollisesti oli termisestä epätasapaiosta 2 jos elektroi jakauma pistee r ympäristössä paikallisessa lämpötilassa r oudattaa tasapaiodistribuutiota g r, k, t = gr, 0 k = e Ek µr/k B r +, ii törmäykset eivät muuta jakaumafuktio muotoa örmäykset siis pitävät yllä paikallista termistä tasapaioa Jakautumafuktio differetiaali dg r, k, t esittää iitä elektroeja, jotka törmättyää hetkellä t ovat aikavälillä dt siroeet pistee r ympäristöö Huomataa, että dg ei riipu jakaumafuktio yksityiskohtaisesta muodosta oletus Se voidaa ii olle määrittää mitä tahasa jakaumaa käyttäe koska tasapaiojakauma muoto ei muutu törmäyksissä oletus 2, yksikertaisi tapa suuree dg määräämiseksi o käyttää jakaumaa g 0 r, k vyöllä paika r läheisyydessä olevista aaltovektori k omaavista elektroeista aikavälillä dt siroavie osuus o dt/τ r, k jotta tasapaiojakauma säilyisi törmäyksistä huolimatta muuttumattomaa, täytyy vyölle siroeide elektroie lukumäärä olla sama kui vyöltä siroeide elektroie lukumäärä Saamme siis relaatio dg r, k, t = dt τ r, k g0 r, k Vyöllä faasiavaruude pistee r, k lähistöllä tilavuudessa dr hetkellä t olevie elektroie lukumäärä o dr dn = g r, k, t 4π 3 2 Olkoo r t, k t se vyöhö liittyvie semiklassiste liikeyhtälöide ratkaisu, joka hetkellä t = t kulkee pistee r, k kautta: r t = r, k t = k Jaetaa hetkellä t pistee r, k ympäristössä tilavuudessa dr vyöllä olevat dn elektroia ryhmii se mukaa, milloi e viimeksi törmäsivät: Semiklassiste liikeyhtälöide perusteella elektroi, joka viimeie hetkeä t edeltävä törmäys sattui aikavälillä t, t +, o peräisi pistee r t, k t ympäristö tilavuuselemetistä dr Relaksaatioaika-aproksimaatio mukaa pistee r t, k t tilavuuselemetistä dr aikaa siroeide elektroie lukumäärä o dn = τ r t, k t g0 r t, k t dr 4π 3 Liouville teoreema mukaa semiklassiset liikeyhtälöt säilyttävät faasiavaruude tilavuude, jote dr = dr dr, ja siis dn = τ r t, k t g0 r t, k t dr 4π 3 Osa elektroeista dn siroaa ee hetkeä t Olkoo P r, k; t, t todeäköisyys sille, että elektroi ei siroa aikavälillä t, t Elektroeista dn päätyy siis τ r t, k t g 0 r t, k t P r, k; t, t kappaletta hetkellä t pistee r, k tilavuuselemettii dr dr 4π 3

2 Jokaie elektroeista dn o peräisi jostaki viimeisestä siroasta, ts dn = dr 4π 3 gr 0 t, k t P r, k; t, t τ r t, k t Vertaamalla tätä lausekkeesee 2 saadaa g r, k, t = gr 0 t, k t P r, k; t, t τ r t, k t Käytetää lyhyyde vuoksi merkitöjä gt = g r, k, t g 0 t = g 0 rt, kt τt = τ rt, kt P t, t = P r, k; t, t Distribuutiofuktio voidaa yt kirjoittaa muotoo gt = τt g0 t P t, t arkastellaa iitä vyö elektroeja, joide liikeradat hetkellä t kulkevat pistee r, k kautta Fuktio P t, t ilmoittaa, mikä o iide elektroie osuus, jotka eivät törmää aikavälillä t, t Koska aikavälillä t, t + törmäykse todeäköisyys o /τt, väheee P tällä samalla aikavälillä kute P t, t = P t, t + dt τt ästä saadaa todeäköisyydelle differetiaaliyhtälö Reuaehdo toteuttava ratkaisu o t P t, t = P t, t τt P t, t = P t, t = e t d t/τ t Sijoittamalla differetiaaliyhtälö distribuutiofuktio lausekkeesee saadaa gt = g 0 t t P t, t Ku itegroidaa osittai ja huomataa, että jokaie elektroi siroaa joskus, ts P t, = 0, saadaa distribuutiofuktiolle lauseke gt = g 0 t P t, t d g0 t Distribuutiofuktio gt o siis tasapaiojakauma fuktio g 0 t plus korjaustermi asapaiojakauma g 0 t oli g 0 r, k = e Ek µr/k B r + Se aikariippuvuus o siis termeissä E k t, r t ja µr t, jote dg 0 t = g0 k E + g0 r dr + g0 µ rµ dr Semiklassiste liikeyhtälöide mukaa o Nyt dr = v k = h ke h = e Er, t + c v k Hr, t k E = ev E + c v H = ev E, sillä opeus v o kohtisuorassa Loretz-voimaa v H vastaa Fermi-fuktio fe = e E µ/k B + avulla jakauma g voidaa yt kirjoittaa muotoo gt = g 0 t + f v P t, t ee µ E µ Yksikertaistuksia Piei sähkökettä ja lämpötilagradietti Oletetaa sähköketä oleva ii heiko ja lämpötilagradieti ii piee, että idusoituva virra laskemiseksi o tarpee ottaa huomioo vai äistä lieaarisesti riippuvat termit Koska ämä esiityvät jakaumafuktio gt lausekkeessa jo eksplisiittisesti lieaarisia, ei ketä E tai gradieti riippuvuutta ole tarpee eää ottaa mukaa todeäköisyytee P t, t ämä voidaa siis laskea ollaketässä ja vakiolämpötilassa 2 Paikasta riippumato kettä,lämpötilagradietti ja relaksaatioaika Distribuutio gt lausekkee itegradi o yt riippumato paikkavektorista r t Aioa ajasta t riippuva suure o k t mahdollisesti myös E ja, joka seki riippuu ajasta vai, jos systeemii vaikuttaa mageettikettä Fermifuktio f o seki ajasta riippumato, sillä se o aioastaa mageettiketässä säilyvä liikevakio E k fuktio Itegradi riippuvuus ajasta t o siis pelkästää termeissä P t, t ja vk t ja mahdollisesti ketässä E ja gradietissa 3 Eergiasta riippuva relaksaatioaika Jos elektroie sirota riippuu merkittävästi aaltovektorista k, ii koko relaksaatioaikamalli soveltuvuus o kyseealaista Siksi tässä mallissa usei oletetaa lisäksi, että τ riippuu aaltovektorista aioastaa eergia E k välityksellä Koska E k säilyy

3 magettiketässä, τt ei riipu ajasta t odeäköisyyde P t, t lauseke voidaa yt itegroida: P t, t d t = exp = e t t /τe k t τ t Sijoittamalla tämä jakauma g lausekkeesee saadaa gk, t = g 0 k + vkt e t t /τek eet µt Ek µ DC johtavuus Jos mageettikettä H o olla, ii kt ei riipu ajasta t Sähköketä ja lämpötilagradieti ollessa staattisia ja lämpötila lisäksi paikasta riippumato saadaa tällöi jakaumafuktioksi gk = g 0 k ee vkτek Määritelmä mukaa gkdr /4π 3 oli tietyllä vyöllä pistee r, k ympäristössä tilavuudessa dr olevie elektroie lukumäärä Paikassa r kyseise vyö kotribuutio virtatiheytee o siis j = e 4π 3 vkgk Virtatiheys riippuu siis lieaarisesti ketästä E g 0 k o isotrooppie, jote g 0 v = 0, ja voidaa kirjoittaa muotoo j = σ E Kokoaisvirtatiheys saadaa summaamalla yli kaikkie osittai täytettyje vöide Kirjoittamalla kokoaisvirtatiheys edellee yo muotoo johtavuustesori σ o summa Huom 3 Lämpötila ollessa olla Fermifuktio redusoituu askelfuktioksi ja se derivaatta deltafuktioksi: f = δe E F Koska semiklassiste liikeyhtälöide mukaa o vk = h kfek, voidaa johtavuustesori lausekkeessa itegroida osittai: σ = e 2 τe F 4π 3 h fek kvk Koska f o askelfuktio θe F E, itegroiti ulottuu vai miehitettyje tiloje yli Efektiivie massatesori määriteltii kute M k = h kvk Johtavuus voidaa siis kirjoittaa muotoo σ = e 2 τe F 4π 3 M k miehitetyt Koska M o periodise fuktio gradietti, se alkeiskopi yli laskettu itegraali häviää Voimme siis kirjoittaa myös σ = e 2 τe F miehittämättömät 4π 3 M k Voidaa siis ajatella, että virtaa kuljettavatki aukot, kuha vaihdetaa efektiivise massatesori merkki Huom 4 Jos M o diagoaalie, ts σ = σ M µν = m δ µν eri vöitä vastaavista johtavuustesoreista σ = = e 2 4π 3 τ E kv kv k E=E k Huom esori σ ei yleesä ole diagoaalie, ts virta ja sähkökettä eivät ole yhdesuutaisia O kuiteki helppo ähdä, että kuutiosymmetrisissä kiteissä virta ja idusoiva sähkökettä ovat yhdesuutaisia Huom 2 Fermifuktio derivaatta o huomattavasti ollasta poikkeava aioastaa Fermipia Ek = E F läheisyydessä ämä o yhteesopiva se aikaisemma havaio kassa, että täydet vyöt eivät kuljeta virtaa ja riippumato aaltovektorista k, redusoituu johtavuus Drude malli mukaiseksi lausekkeeksi σ µν = e2 τ m δ µν AC johtavuus Oletetaa, että sähköketä aikariippuvuus o muotoa Distribuutiofuktio o yt gk, t = g 0 k + vkt Et = Eωe iωt e t t /τek eeωe iωt µt Ek µ

4 Jos mageettikettä o olla ja ajasta ja paikasta riippumato, saadaa jakaumaksi gk = g 0 eeω vk k /τek iω Johtavuus lasketaa aiva samoi kui DC tapauksessaki Vyö kotribuutio johtavuutee riippuu yt frekvessistä kute σ ω = e 2 τ E kv kv k 4π 3 iωτ E k E=E k ämä o sama kui DC johtavuus jaettua termillä iωτ Semiklassise malli paikkasapitävyys voidaa tarkistaa rajalla ωτ Malli atama johtavuustesori o tällöi σ ω = e2 iω 4π 3 v kv k f E=E k Kirjoittamalla jällee hvk f/ = k fek ja itegroimalla osittai saadaa johtavuude kompoeteiksi σ µν ω = e2 iω 4π 3 fe k 2 E k h 2 k µ k ν Ehto ωτ voidaa tulkita ehdoksi τ, ts elektroit eivät törmäile oisaalta törmäyksettömässä tilateessa o suhteellise suoraviivaista laskea kvattimekaaisesti ulkoise sähköketä aiheuttamat lieaariset korjaukset Blochi tiloihi Ku korjatuissa Blochi tiloissa lasketaa virtaoperaattori odotusarvot pitäytye vai sähköketä lieaarisii termeihi, päädytää johtavuustesori kvattimekaaisee lausekkeesee Osoittautuu, että tämä o ekvivaletti semiklassise tulokse kassa edellyttäe, että hω o piei verrattua kaikkie miehitettyje vöide eergiarakoihi ermie johtavuus arkastellaa ii pietä kiiteä aiee aluetta, että lämpötila voidaa ajatella oleva siellä vakio ällä alueella lämpömäärä muutos o suoraa verraollie etropia muutoksee: dq = ds ermie virtatiheys j q o site lämpötila ja etropiavirtatiheyde j s tulo: j q = j s ermodyamiika esimmäise pääsääö mukaa o ds = du µ dn Etropia-, eergia- ja hiukkasvirtatiheyksille o siis vastaavasti voimassa j s = j E µj Aalogisesti varausvirtatiheyde j = 4π 3 ev kg k, ku elektroit kuljettavat varaukse e asemasta eergiaa E k tai lukumäärääsä, voidaa kirjoittaa j E = 4π 3 E kv kg k j = 4π 3 v kg k Sijoittamalla ämä termise virtatiheyde lausekkeesee saadaa j q = 4π 3 E k µv kg k Ku merkitää E = E + e µ, saadaa mageettiketässä H = 0 ja tasaisessa sähköketässä jakaumafuktiolle lauseke gk = g 0 k + τek vk ee + Ek µ Määritellää tesorit L α site, että L α = = e 2 4π 3 ja matriisit L ij site, että τekvkvkek µ α, L = L 0 L 2 = L 2 = e L L 22 = e 2 L2 Sekä varaus- että termie virtatiheys voidaa kirjoittaa äide matriisie avulla kute j = L E + L 2 j q = L 2 E + L 22 Määrittelemällä apusuure σe = e 2 τe δe Ekvkvk 4π3 voidaa L α kirjoittaa hiema yksikertaisempaa muotoo L α = de { E µ α σe Huom Metalleilla o f/ = δe E F tarkkuudella k B /E F 2 Metalli DC johtavuus o siis samalla tarkkuudella σe F

5 esori L α voidaa laskea soveltamalla Sommerfeldi kehitelmää HEfEdE µ lausekkeesee L α = = HEdE + π2 6 k B 2 H µ kb 6 + 7π4 360 k B 4 H µ + O µ Edellee huomioidaa, että defe d de E µα σe kemiallie potetiaali toteuttaa ehdo µ E F suure f/ poikkeaa merkittävästi ollasta vai alueella Ok B eergia E = µ ympäristössä tesoreissa L ja L 2 esiityvä tekijä saa iide itegradit häviämää pisteessä E = µ ällöi kertalukuu k B /E F 2 saakka saadaa matriiseille L lausekkeet missä L = σe F = σ L 2 = L 2 = π2 3e k B 2 σ L 22 = π2 3 k 2 B e 2 σ, σ = σe E=EF Nämä lausekkeet ovat voimassa myös useamma osittai miehitety vyö tapauksessa ällöi matriisielemetit σ ij E o laskettava summaa yli kaikkie osittai miehitettyje vöide Oletetaa koejärjestely oleva sellaise, että varausvirtaa j = L E + L 2 ei kulje, ts j = 0 Kettä E voidaa silloi kirjoittaa muotoo E = L L 2 Sijoitetaa tämä termise virra lausekkeesee Ku merkitää j q = L 2 E + L 22 j q = K, ähdää, että termie johtavuustesori K o K = L 22 L 2 L L 2 Metalleilla termi σ o tyypillisesti kertalukua σ/e F, jote tesori K jälkimmäie termi o kertalukua k B /E F 2 L 22 verrattua esimmäisee termii Useimmissa tapauksissa ei puolijohteissa pitää ii olle paikkasa 2 K = π2 kb σ 3 e ämä o Wiedema-Frazi laki

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Valo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Valo-oppia. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Valo-oia Haarto & Karhue Valo sähkömageettisia aaltoia Sähkömageettiste aaltoje teoria erustuu Maxwelli yhtälöihi S S E da 0 B da Q (Gaussi laki) 0 (Gaussi laki magetismissa) dφb E ds dt (Faraday laki)

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää

Todennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus

Lisätiedot

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet.

1 a) Eristeiden, puolijohteiden ja metallien tyypilliset energiakaistarakenteet. a) ristid, puolijohtid ja talli tyypillist rgiakaistaraktt. i) NRGIAKAISTAT: (lktroi sallitut rgiatilat) Kaksiatoi systi: pottiaalirgia atoi väliatka fuktioa pot rpulsiivi kopotti -lktroit hylkivät toisiaa

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppiistavoite tälle lueolle Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit CHEM-A00 (5 op) Tislaus ja uutto Yärtää erotusprosessie suuittelu perusteet Tutea tislaukse ja uuto toiitaperiaatteet Tutea tpillisipiä

Lisätiedot

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 Laskuharjoitus Detaljibalassi Osoita, että siirtymätodeäköisyydet π m α m ; ρ, m ρ α m ----- ; ρ < ρ, m m π m, m m ja π m ρ α m ------------------ ρ +, m π

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Joensuun yliopisto Kemian valintakoe/3.6.2009

Joensuun yliopisto Kemian valintakoe/3.6.2009 Joesuu yliopisto Kemia valitakoe/.6.009 Mallivastaukset 1. Selitä lyhyesti (korkeitaa kolme riviä), a) elektroegatiivisuus b) elektroiaffiiteetti c) amfolyytti d) diffuusio e) Le Chatelieri periaate. a)

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia

3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia 3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista "Perhaps a thing is simple if you can describe it fully in several different ways without immediately knowing that you are describing the same thing."

Lisätiedot

S-114.425 FYSIIKKA III (Sf) Syksy 2004, LH 2. Ratkaisut

S-114.425 FYSIIKKA III (Sf) Syksy 2004, LH 2. Ratkaisut S-445 FYSIIKKA III (Sf) Syksy 4, LH Ratkaisut LHSf-* Tarkastellaa metallii tehtyä oteloa, jossa o vakuumi (tyhjö) Voidaa osoittaa, että vakuumi täyttää sähkömageettise ketä kvattie eli fotoie muodostama

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

3.6. Geometrisen summan sovelluksia

3.6. Geometrisen summan sovelluksia Tyypillie geometrise summa sovellusalue o taloude rahoituslaskut mutta vai tyypillie. Tammikuu alussa 988 vahemmat avaavat pitkäaikaistili Esikoisellee. Tiliehdot ovat seuraavat. Korko kiiteä 3,85 % pa

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

N:o 294 2641. Liite 1. Staattisen magneettikentän (0 Hz) vuontiheyden suositusarvo.

N:o 294 2641. Liite 1. Staattisen magneettikentän (0 Hz) vuontiheyden suositusarvo. N:o 94 641 Liite 1. Staattise mageettiketä (0 Hz) vuotiheyde suositusarvo. Altistumie Koko keho (jatkuva) Mageettivuo tiheys 40 mt Tauluko selityksiä Suositusarvoa pieemmätki mageettivuo tiheydet saattavat

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Vyöteoria. Orbitaalivyöt

Vyöteoria. Orbitaalivyöt Vyöteoria Elektronirakenne ja sähkönjohtokyky: Metallit σ = 10 4-10 6 ohm -1 cm -1 (sähkönjohteet) Epämetallit σ < 10-15 ohm -1 cm -1 (eristeet) Puolimetallit σ = 10-5 -10 3 ohm -1 cm -1 σ = neµ elektronien

Lisätiedot

TASASUUNTAUS JA PUOLIJOHTEET

TASASUUNTAUS JA PUOLIJOHTEET TASASUUNTAUS JA PUOLIJOHTEET (YO-K06+13, YO-K09+13, YO-K05-11,..) Tasasuuntaus Vaihtovirran suunta muuttuu jaksollisesti. Tasasuuntaus muuttaa sähkövirran kulkemaan yhteen suuntaan. Tasasuuntaus toteutetaan

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn]

Tilapäinen vanhempainraha lapsen hoidon yhteydessä [Tillfällig föräldrapenning vid vård av barn] Tilapäie vahempairaha lapse hoido yhteydessä [Tillfällig föräldrapeig vid vård av bar] Klicka här, skriv ev. Udertitel Lapset sairastuvat usei. Tämä vuoksi voit saada tilapäistä vahempairahaa, jos joudut

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

Luvun 12 laskuesimerkit

Luvun 12 laskuesimerkit Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

k = = 8,98755 10 9 Nm 2 /C 2 (MAOL s. 71) (ε o = tyhjiön permittiivisyys eli sähkövakio)

k = = 8,98755 10 9 Nm 2 /C 2 (MAOL s. 71) (ε o = tyhjiön permittiivisyys eli sähkövakio) 6. KSS: Sähkö (FOTON 6: PÄÄKOHDT). SÄHKÖVS J SÄHKÖVT SÄHKÖVS Q - kappalee varaus Q = ± e, =,,3, varaukse yksikkö [Q] = C (= coulombi) - alkeisvaraus e =,60773 0-9 C (MOL s. 7) - sähkövaraukse säilymislaki:

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan

Kun vuoden alussa varastossa oli 100 karaattia ja Antwerpenin ostot oheisen kuvan Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu

Lisätiedot

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot