EX1 EX 2 EX =

Transkriptio

1 HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X, var X 4. X X. Määritellää Y X Laske EX, Cov(X, EY sekä Cov(Y. Vertaa tätä TN IIa -kurssi Harjoitukse tehtävää 4. Ratkaisu: Odotusarvo EX o odotusarvoista EX ja EX muodostettu pystyvektori EX EX EX. ( Koska X ja X ovat riippumattomia (ks. tehtäväato, pätee cov(x, X 0. Siis Var(X cov(x Cov(X, X 0. ( cov(x, X Var(X 0 4 Seuraavaksi o muuokse Y odotusarvo ja kovariassimatriisi vuoro. Moiulotteisessa tapauksessa muuokse odotusarvo ja kovariassimatriisi meee hyvi vastaavasti kute yksiulotteisessa tapauksessa, katso moistee yhtälöt (9.7 ja lause 9.. EY EX ( 0 Edellee kovariassimatriisi Y saadaa kertomalla X: kovariassimatriisia vasemmalta muuoksessa käytety lieaarikuvausmatriisi traspoosilla ja oikealta lieaarikuvausmatriisilla itsellää. Cov(Y Cov(X 4 ( Seuraava tehtävä o klassikko ja selittää, miksi periteie regressiosuora sovitus o erikoistapaus parhaasta lieaarisesta eusteesta.. Oletetaa, että käytettävissä o aieisto (, y,..., (, y, jossa skalaari i o selittävä muuttuja arvo ja skalaari y i o selitettävä muuttuja arvo mitattua i:essä otosyksikössä. Tällöi muuttuja y arvoja usei selitetää muuttuja arvo avulla muotoa y a b oleva regressiosuora avulla, ts. regressiosuora (4

2 ataa selittävä muuttuja arvoa i vastaava eustee (tai sovittee a b i. Regressiosuora kertoimet lasketaa aieistosta kaavoilla b i ( i (y i ȳ j ( j, a ȳ b. Tässä ja ȳ ovat otoskeskiarvot, eli i i ja ȳ i y i. Luoollisesti oletamme, että kertoime b kaava imittäjä ei ole olla. Olkoot X ja Y diskreettejä satuaismuuttujia site, että P((X, Y (, y pari (, y esiitymiskertoje määrä aieistossa Laske jakso 7.6. mukaise parhaa lieaarise eustee atama euste satuaismuuttujalle Y auki, ja totea että tällöi saamme yllä maiitu regressiosuora yhtälö. Ratkaisu: Halutaa varmistaa, että keskieliövirhee mielessä paras Y : lieaarie euste EY cov(x, Y (X EX ( Var(X ataa regressiosuora yhtälö aetuilla X : ja Y : tiedoilla. Lasketaa esi EX, EY, V ar(x ja cov(x, Y. Odotusarvo määritelmä ojalla EY y i {y i } P (Y y i y i yi y i {y i } y i y i i ȳ. Sama päättely pätee sm:ää X. Jatkevaa kovariassii: Cov(X E(X EX(Y EY P ((X, Y ( i, y i ( i EX(y i EY i P ((X, Y ( i, y i ( i (y i ȳ ( i (y i ȳ i i (6 X: variassi saadaa tästä muistamalla, että V ar(x cov(x, X. Nyt käyttämällä edellä laskettuja kaavoja, voidaa kirjoittaa parhaa lieaarise eustee kaava auki: EY cov(x, Y i Var(X (X EX ȳ ( i (y i ȳ j ( ( j i ( i (y i ȳ i ( i (y i ȳ ȳ j ( j j a b, ( j ku a ja b ovat kute tehtäväaossa.. Olkoot X ja Y riippumattomia satuaismuuttujia, joista kumpiki oudattaa tasajakaumaa U(0,. Toisi saoe vektorilla (X, Y o tasajakauma yksikköeliössä. Määritellää yt uusi satuaisvektori (U, V lieaarimuuoksilla U 4X Y, V X 4Y. a Kirjoita muuos matriisikertolasku muotoo, ts. muodosta sellaie eliömatriisi A, että (U, V A(X, Y, missä (X, Y ja (U, V ymmärretää pystyvektoreiksi.

3 b Tutki mihi yksikköeliö pisteet (X, Y kuvautuvat muuoksessa. (Vihje: kuvajoukko o eräs suuikas, ja voit aloittaa esim. tutkimalla mihi eliö kulmat kuvautuvat Laske muuokse Jacobi determiatti ja päättele siitä vektori (U, V tiheysfuktio. Ratkaisu: a Huomataa, että U V ( 4 X Y 4X Y, X 4Y jolloi lieaarikuvausta vastaava eliomatriisi o A. (7 4 b Aluksi huomataa, että det(a 0, eli matriisi A o käätyvä. Se kääteismatriisi o ( A 0. (8 A siis määrittää A: kääteiskuvaukse. Huomataa, että ( U A ( 0 4X Y X V X 4Y Y. (9 Siis U ja V voidaa määritellä kuvauste u g (X, Y 4XY ja u g (X, Y X 4Y ja iide kääteiskuvaukset ovat h (U, V u v ja h 0 (U, V u v. Sekä g i ja h i ovat kaikki jatkuvasti derivoituvia, siis kuvaus A o diffeomorfismi. Tutkitaa seuraavaksi, mihi kuvaus A kuvaa yksikköeliö pisteet, laskemalla matriisikertolaskut A (0, 0 T, A (0, T, A (, 0 T, A (, T. Pisteiksi saadaa (0, 0, (4,, (, 4, (7, 6. Lieaarikuvaukse A Jakobi determiatti o matriisi A determiati itseisarvo kääteisluku: det(a 0, det(a det(a 0. Tasajakauma alueessa tiheysfuktio o aluee mita kääteisluku, eli tässä tapauksessa ytf f X,Y o vakiofuktio yksikköeliössä. Täte lausee 9.. mukaa f U,V (u, v f X,Y (, y 0 0, ku (u, v B ja B o pisteide (0, 0, (4,, (, 4 ja (7, 6 määräämä suuikas. 4. Jatkoa tehtävää. Laske satuaisvektori (U, V odotusarvo ja kovariassimatriisi. Voit käyttää joko kovariassi bilieaarisuutta tai kovariassi muuoskaavaa (7.9 Laske vielä U : ja V : korrelaatiokerroi. Ratkaisu: Ykköstehtävä tapaa odotusarvovektori saadaa laskettua käyttämällä hyväksi yksittäiste kompoettie odotusarvoje lieaarisuutta. Muistetaa myös, että U(0, -jakauma odotusarvo o. E(U, V EU 4EX EY EV EX 4EY.

4 Seuraavaksi laskemme kovariassimatriisi Cov(X, Y, ja laskemme muuokse A uude kovariassimatriisi. Esiksi Var(X Var(Y, (0 ja koska X ja Y ovat riippumattomia, pätee / 0 Cov(X, Y. ( 0 / Nyt kovariassi (8 muutamie käy helposti: Cov(U, V Cov(X, Y Kovariassimatriisista saamme suoraa satuaismuuttujie variassit ja kovariassit, siis korrelaatiokertoimeksi ρ saadaa ρ cov(u,v Var(U Var(V Olkoo X ja Y satuaismuuttujia, joide yhteistiheysfuktio o Määritellää satuaismuuttujat f X,Y (, y 8y { 0 < <, y > 4 } U X, V X 4Y a Laske satuaismuuttujie U ja V yhteistiheysfuktio. b Ovatko U ja V riippumattomia? c Sekä U että V riippuvat samasta satuaismuuttujasta X. Oko b kohta tämä tiedo kassa mielestäsi sopusoiussa vai ristiriidassa? Ratkaisu: a Olkoot U g (, y X ja V g (, y X. Molemmat kuvaukset ovat 4Y hyvi määriteltyjä (Y 0, sekä jatkuvie kuvauste tuloia ja summia jatkuvia. Lisäksi molempie kuvauste arvojoukko o (0, (g : tapauksessa tämä o ilmeistä, g : jälkimmäie termi voidaa taas kiiittämällä y ja ottamalla lim pieetää ollaa tai ottamalla lim (,y (, kasvattaa mite tahasa lähelle ykköstä. Näillä kuvauksilla o olemassa kääteisfuktiot h (u, v u ja h (u, v u. ( v Taas huomataa, että ämä ovat hyvi määriteltyjä ja jatkuvia. Lisäksi o syytä kiiittää huomiota äide arvojoukkoihi: h saa arvot (0,, ku taas h : arvojoukko o koko R (kute tehtäväao idikaattorifuktio joukossa. Lisäksi sekä kuvauste että äide kääteiskuvauste osittaisderivaatat ovat jatkuvia, jote g : (0, R (0,, g(, y (g (, y, g (, y o diffeomorfismi. Lasketaa seuraavaksi kuvaukse h : (0, (0, R, h(u, v (h (u, v, h (u, v Jakobiaai käyttämällä apua kuvaukse osittaisderivaatoista koostuvaa matriisia:

5 J h (u, v det ( 0 u ( v u ( v u ( v ( Nyt käyttämällä satuaismuuttuja muutokaava yleistystä useampaa ulottuvuutee voimme laskea yhteistiheysfuktio: f V,U (v, u f X,Y (h (u, v, h (u, v J h (u, v {0 < u <, 0 < v < } (u u {0 < u <, 0 < v < } {0 < u <, 0 < v < } 8( u ( v ( v ( Kyseessä o siis tasajakauma alueessa. b Selvästi f U,V (u, v {0 < u < } {0 < v < }, eli ytf voidaa faktoroida kahde yhde muuttuja ei-egatiivise fuktio tuloksi. Kyseessä o siis riippumattomat satuaismuuttujat. Tehtävä 6 tarvittavat määritelmät löytyvät moistee luvusta Satuaismuuttujilla X ja Y o jatkuva yhteisjakauma yhteistiheysfuktiolla f X,Y (, y 0y { 0 < y } a Laske ehdollie tiheys f X Y ( y, ku 0 < y <. b Laske ehdollie tiheys y f Y X (y, ku 0 < <. c Laske Ratkaisu: a b m( yf Y X (y dy, ku 0 < <. (Arvo m( o yt ehdollise jakauma odotusarvo eli s. ehdollie odotusarvo E(Y X. Huomaa, että kurssilla tulee myös käyttöö myös käsite E(Y X m(x ja ämä käsitteet ja site myös merkiät eivät tarkoita samaa asiaa. Tätä käsitellää luvussa 8.4. f X Y ( y f X,Y (, y f Y (y 0y { 0 < y } y 4 { 0 y } y { 0 < y } (4 (Huom: satuaismuuttujie X ja Y tiheysfuktiot ratkaistii edellise viiko tehtävässä, mikä asiosta vältymme laskemise vaivalta, vaikka laskemie kivaa oki. f Y X (y f X,Y (, y f X ( c Suoraviivaisella laskulla: m( yf Y X (y dy 0y { 0 < y } 0 ( { 0 y } y ( { 0 < y } y dy ( ( 4( ( 4 (6