Markov-kustannusmallit ja kulkuajat
|
|
- Siiri Lattu
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua johonkin tilaan ennen käymistä jossain valitussa tilajoukossa. Harjoituksiin kannattaa tuoda mukaan kannettava tietokone tai laskin, jolla voi laskea tehtävissä esiintyvien laskujen lukuarvoja. Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 2B Tarkastellaan tilajoukon S {, 2,..., 6} Markov-ketjua, jonka siirtymämatriisi on P Piirrä ketjun siirtymäkaavio ja vastaa seuraaviin kysymyksiin. Ratkaisu / 2
2 (a) Millä todennäköisyydellä tilasta käynnistyvä ketju lopulta päätyy tilaan 5? Entäpä tilaan 6? Ratkaisu. Tilat 5 ja 6 ovat absorboivia tiloja eli nieluja (engl. absorbing state tai sink). Näin ollen niihin osuminen ja päätyminen ovat sama asia. Muistetaan luentomonisteesta, että joukon A osumatodennäköisyys toteuttaa diskreetin keskiarvoperiaatteen reuna-arvolla I A : kootaan tilan 5 osumatodennäköisyydet vektoriin, ja merkitään sitä (f(x)) x S. Nyt siis { f(5) f(x) y S P (x, y)f(y), x 5. Auki kirjoitettuna tämä yhtälöryhmä on f() I f(2) 5 f(3) f(4) f(6) 0 Huomaa y.o. yhtälöryhmän sukulaisuus siirtymämatriisiin: vasemmanpuolimmainen matriisi on saatu poistamalla siirtymämatriisista 5. rivi ja sarake, oikealla taas ovat siirtymätodennäköisyydet tilaan 5. Yllä olevaa yhtälöryhmää ei kuitenkaan voida suoraan ratkaista kääntämällä matriisia; alin rivi on pelkkää nollaa. Piirretystä siirtymäkaaviosta kuitenkin nähdään että f(6) 0, mitä tietoa käyttämällä voidaan poistaa y.o. yhtälöryhmästä kuudes rivi ja kerroinmatriisin sarake. Näin saadaan uusi yhtälöryhmä f() I f(2) 4 f(3) f(4) Tässä kerroinmatriisi on kääntyvä, ja saadaan [ f(), f(2), f(3), f(4) ] [ , , , ]. Lopulta siis tn päätyä tilaan 5 tilasta on f() Koska Markov-ketju päätyy todennäköisyydellä joko tilaan 5 tai 6, on tn päätyä tilaan 6 tilasta f() Lisäys. (Y.o. ratkaisutavan yleispätevyys.) Yleisemmin pätee, että keskiarvoperiaatteen yhtenäiselle Markov-ketjulle antama matriisi P I on kääntyvä jos ja 2 / 2
3 vain jos nieluja vastaavat yhtälöt ja kerroinmatriisin sarakkeet on poistettu erikseen järkeilemällä kuten yllä. Tämä matriisialgebrallinen ratkaisun yksikäsitteisyysehto on ekvivalentti luentomonisteen ehdolle, että vierailutodennäköisyys on y.o. yhtälöryhmän pienin ratkaisu. Yllä esitetty ratkaisustrategia toimii siis aina. (b) Mikä on todennäköisyys, että tilasta käynnistyvä ketju ei koskaan käy tilassa 3? Ratkaisu. Lasketaan ensin todennäköisyys g käydä tilassa 3. Vektori (g(x)) x S toteuttaa siis yhtälöryhmän { g(3) g(x) y S P (x, y)g(y), x 3. eli matriisein g() I g(2) 5 g(4) g(5) g(6) 0 Matriisi ei taaskaan ole kääntyvä. Päätellään g:n arvo nieluissa: g(5) g(6) 0. Nyt saadaan ryhmä g() I 5 g(2) g(4) 0 Tämä ryhmä on kääntyvä (kuten edellä huomautettiin), ja saadaan g [0.3056, ,, 0, 0, 0]. Todennäköisyys olla käymättä tilassa 3 kun on aloitettu tilasta on siis Lisäys. (Todennäköisyystulkinta.) Aiemmin kurssilla on opittu, että (P t ) x,y kerää kaikkien niiden polkujen painot, jotka kulkevat t askeleella solmusta x solmuun y siirtymäkaaviolla. Olkoon nyt P siirtymämatriisi, josta on poistettu nieluja sekä kohdesolmua (yllä tila 3) vastaavat rivit ja sarakkeet. Tällöin täysin vastaavasti ( P t ) x,y kerää kaikkien niiden polkujen painot, jotka kulkevat t askeleella solmusta x solmuun y siirtymäkaaviolla, josta on poistettu nielut ja kohdesolmu. Vierailytodennäköisyys g saatiin yllä yhtälöstä (I P )g h, jossa h(y) kerää siirtymätodennäköisyydet kohdetilaan, h(y) P (y, kohdetila). Matriiseille (I P ) pätee sama potenssisarja kuin reaaliluvuille ( q), joten g (I + P + P )h 3 / 2
4 eli komponenteittain g(x) y S ( P t ) x,y P (y, kohdetila). t0 Tällä on ilmeinen polkusummatulkinta kaikkien niiden polkujen painona, jotka kulkevat solmusta x solmuun y siirtymäkaaviolla, josta on poistettu nielut ja kohdesolmu, ja tämän jälkeen siirtyvät solmusta y kohdesolmuun. (c) Kauanko odotusarvoisesti kestää, ennen kuin tilasta käynnistyvä ketju osuu tilajoukkoon {5, 6}? Ratkaisu. (Tapa : kulkuajat) Luentomonisteesta tiedetään, että odotusarvoinen kulkuaika f(x) solmusta x joukkoon {5, 6} toteuttaa yhtälöryhmän { f(x) 0, x {5, 6} f(x) + y S P (x, y)f(y), muilla x. Jälkimmäiset yhtälöt voidaan kirjoittaa matriisein: olkoon P matriisi P, josta on poistettu 5. ja 6. rivi ja sarake, eli P () Nyt siis (I 4 P )[f(), f(2), f(3), f(4)] T [,,, ] T. Kerroinmatriisi yllä on kääntyvä (havaitaan numeerisesti tai tiedetään teoriasta, koska P :stä on poistettu nieluja vastaavat rivit ja sarakkeet). Kääntämällä matriisi saadaan erityisesti kysytty tn f() f() ((I 4 P ) ) [,,, ] T (Tapa 2: kustannusmalli) Koska tilat 5 ja 6 ovat nieluja, saadaan tämä odotusarvo laskettua kustannusmallina: asetetaan kaikille muille solmuille kaikilla ajanhetkillä kustannus. Osuttuaan solmuun 5 tai 6 prosessi jää paikalleen, joten odotusarvoinen kokonaiskustannus on suoraan näitä ennen vieraltujen tilojen lukumäärän keskiarvo. Tämä keskiarvo saadaan kustannusmallin mukaan kaavasta π( P t k t ), t0 jossa vaakavektori π on alkujakauma (eli tässä π [, 0, 0, 0, 0, 0]) ja pystyvektori k t kustannus hetkellä t (tässä k t [,,,, 0, 0] T kaikilla t). Ei ole selvää, että 4 / 2
5 y.o. sarja suppenee. Koska nielujen kustannus on nolla, voidaan niitä vastaavat sarakkeet poistaa P :stä ja rivit k:sta. Koska nieluista aloitettaessa kustannus on nolla, voidaan niitä vastaavat rivit poistaa P :stä ja sarakkeet π:stä. Olkoon siis π [, 0, 0, 0], k [,,, ] T ja P matriisi P, josta on poistettu 5. ja 6. rivi ja sarake kuten yhtälössä () tavassa. Nyt kustannus saadaan y.o. kaavasta matriisin (I 4 P ) potenssisarjaesityksen avulla π( P t ) k π(i 4 P ) k t0 Kaava on siis sama kuin tavassa. ((I 4 P ) [,,, ] T ). 2B2 Olkoon (X 0, X,... ) äärellisen tilajoukon S Markov-ketju, joka aina käydessään tilassa x aiheuttaa deterministisen kustannuksen c(x). Olkoon g(x) tilasta x käynnistyvän Markov-ketjun aiheuttama odotettu kokonaiskustannus ennen ketjun osumista tilajoukkoon A. (a) Johda funktiolle g : S R seuraavat yhtälöt: g(x) 0, g(x) c(x) + y S x A p x,y g(y), x / A. Ratkaisu. On selvää, että g(x) 0, x A. Kun x A, merkitään τ A satunnaiskävelyn osuma-aikaa joukkoon A, ja asetetaan c(x) 0, x A. Tällöin suoraan määritelmästä g(x) E[ τ A t0 c(x) + E[ (ehdollistus) c(x) + y S (Markov-ominaisuus) c(x) + y S (g:n määritelmä) c(x) + y S c(x t ) X 0 x] τ A t c(x t ) X 0 x] p x,y E[ p x,y E[ τ A t τ A t p x,y g(y). c(x t ) X 0 x, X y] c(x t ) X y] Huomaa, että y.o. lasku toimii, kunhan g on äärellinen. Voidaan kuitenkin helposti osoittaa, että näin on jos k.o. Markov-ketjun siirtymäkaavio on yhtenäinen. 5 / 2
6 (b) Selvitä a)-kohdan tulosta soveltamalla kuinka monta kertaa tehtävän 2B tilasta käynnistyvä ketju odotusarvoisesti käy tilassa 3 ennen absorboitumistaan tilajoukkoon {5, 6}. Ratkaisu. Olkoon g(x) haluttun odotusarvo lähtötilasta x. Tällöin siis kustannus c(x) I {3} (x) g(x) 0, x {5, 6} g(x) I {3} (x) + y S p x,y g(y), x / {5, 6}. Tämä voidaan kirjoittaa matriisin P avulla, kun siitä poistetaan nieluja vastaavat 5. ja 6. rivi ja sarakke. Merkitään tätä matriisia P (kts. yhtälö ). Nyt siis g() 0 ( I 4 P ) g(2) g(3) 0, g(4) 0 josta saadaan matriisi kääntämällä g() / 2
7 Kotitehtävät 2B3 Analysoi Katiskakauppa.com Oyj:n liiketoiminnan odotettua voittoa käyttäen luentomonisteen (esimerkit 2.2. ja 4.2) stokastista kustannusmallia. (a) Laske varaston kokoa kuvaavan ketjun tasapainojakauma. Ratkaisu. Tämän Markov-ketjun siirtymämatriisi on siis P , jossa ketjun tilat ovat järjestyksessä 2, 3, 4, 5, ja kaavio Tasapainoyhtälöt: { πp π π[,,, ] T. Kirjoitetaan π [π 2, π 3, π 4, π 5 ] ja avataan yhtälöryhmä: π π π π 5 π π π π 5 π π π 5 π π π π π 5 π 5 π 2 + π 3 + π 4 + π 5. 7 / 2
8 Kolmas yhtälö antaa π π π 5 mikä voidaan sijoittaa toiseen yhtälöön: π 3 ( )π 5/ π 5 jolloin ensimmäinen yhtälö antaa π (494π π π 5 ) 0.332π 5. Neljättä yhtälöä ei ole käytetty, mutta on helppoa todeta y.o. arvojen toteuttavan sen (num. virhettä vaille). Viidennestä yhtälöstä saadaan 0.332π π π 5 + π 5 π Näin ollen tasapainojakauma on [0.82, 0.504, , ] [0.8, 0.50, 0.09, 0.578]. (b) Laske myymälän pitkän aikavälin odotettu kustannus/tuottovauhti (EUR/viikko). Ratkaisu. Ergodisuusteoreeman mukaan pitkän aikavälin kustannusvauhti saadaan suoraan rajajakauman kustannusvauhtina: kustannus oli annettu prujussa [c(2), c(3), c(4), c(5)] [250.2, 35.57, 336.3, ], joten merkitsemällä rajajakaumaa π, pitkän aikavälin kustannusvauhti on π(x)c(x) x S (c) Vertaa b)-kohdan tulosta esimerkissä 4.2 laskettuihin kymmenen viikon kustannuskertymiin. Ratkaisu. Y.o. pitkän aikavälin kustannusvauhti antaisi 0 viikon kertymäksi noin 300 e. Riippuen alkutilasta 0 viikon kertymä on esimerkissä e. Suhteellinen virhe pitkän aikavälin kertymään verrattuna on alle kaksi prosenttia. 2B4 Taka-Pajulan kaupunki aikoo järjestää jouluvalaistuksen. Kaupunki kilpailuttaa kaksi lamppuvalmistajaa: A ja B, joilta saadut tarjoukset ovat joko sattumalta tai kartellin johdosta lamppujen yksikköhinnalta samat. Valmistajien lamput eroavat kuitenkin laadultaan: valmistajan A lamppujen käyttöiät ovat eksponenttijakautuneita parametrilla ja valmistajan B parametrilla, ja kaikkien lamppujen käyttöiät ovat toisistaan riippumattomia. Parametreja, ei tunneta, joten kaupungin etevät virkamiehet keksivät käyttää tilastotieteen osaamistaan tilauspäätöksen tekemiseksi. Molemmilta valmistajilta tilataan lamppu testikäyttöön ja vertaillaan, kumpi lampuista kestää pidempään. Testi toistetaan, kunnes toinen valmistajista on saavuttanut viisi testivoittoa enemmän kuin toinen. Lamput tilataan tältä valmistajalta. 8 / 2
9 (a) Laske todennäköisyys, että valmistajan A lamppu kestää yksittäisessä testissä pidempään. Ratkaisu. Lamppujen eliniän T, jossa {A, B}, tiheysfunktio on eksponenttijakauman mukaan f T (t) I t>0 λ exp( λ t) ja riippumattomuuden perusteella niiden yhteistiheysfuktio on näiden tulo. Näin ollen Symmetrisesti P[A:n lamppu poksahtaa ennen B:n lamppua] P[T A < T B ] f TA,T B (t A, t B )dt A dt B {t A <t B } tb t B 0 t B 0 t A 0 f TA (t A )f TB (t B )dt A dt B f TB (t B )[ exp( t B )]dt B + +. P[B:n lamppu poksahtaa ennen A:n lamppua] +. Oletetaan parametreille arvot 0.04 ja 0.06 (yksikköinä /vrk). (b) Millä todennäköisyydellä tilaus päädytään lopulta tekemään valmistajalta A? Ratkaisu. Olkoon nyt X t A:n voitot miinus B:n voitot t:n testin jälkeen. Jos X t ±5, asetetaan X t+ X t, koska testejä ei enää tehdä. Riippumattomuusoletusten mukaan X t on Markov-ketju, ja sen siirtymäkaavio on Nyt siis X 0 0 ja A voittaa, joss Markov-ketju X t osuu solmuun 5. Osumatodennäköisyys f toteuttaa yhtälöt f( 5) 0 f(5) f(j) + f(j ) + + f(j + ), 4 j 4 9 / 2
10 Tämä yhtälö voitaisiin ratkaista kääntämällä matriisi kuten esimerkiksi tehtävässä 2B. Viimeinen yhtälö on kuitenkin lineaarinen differenssiyhtälö, joille usein löytyy eksponenttimuotoinen ratkaisu. Kokeillaan siis f(j) c j, je merkitään + : p. Tällöin saadaan c ( p) + pc 2 c tai c p p /. Lineaarisuuden mukaan viimeisen yhtälön ratkaisut ovat siis muotoa ( ) j λa f(j) α + β ja kertoimet ( ) α, β voidaan ratkaista reunaehdoista, kunhan niitä vastaavat j λ funktiot A ja ovat lineaarisesti riippumattomat, eli λa ; tällöin tehtävässä kysytty tn on symmetrian perusteella /2. Muutoin, ( ) 5 λ α A + β 0 ( ) 5 λ α A + β α ( ) λa 5 ( ) λb 5 λb ( ) λa 5 λ β α B λa joten lopulta kiinnostava suure on f(0) α + β ( ( ) 5 λa ) 5 ( ) 5. λa Sijoittamalla yllä saatuun kaavaan 0.04 ja 0.06 saadaan f(0) (3/2)5 (2/3) 5 (3/2) Lisäys. Osoita y.o. lausekkeesta, että f(0) /2, kun /. (c) Kuinka monta testiä odotusarvoisesti tarvitaan? Ratkaisu. Tarvittujen testien määrä on yllä kuvatun Markov-ketjun kulkuaika joukkoon { 5, 5}. Odotusarvoinen kulkuaika g toteuttaa yhtälöt g( 5) 0 g(5) 0 g(j) + g(j ) + + g(j + ) +, 4 j 4. 0 / 2
11 Tutkitaan jälleen viimeistä yhtälöistä eli lineaarista differenssiyhtälöä g(j) ( p)g(j ) + pg(j + ) +, (2) jossa jälleen p : /( + ). Jos löydetään tälle yhtälölle jokin ratkaisu g 0 (joka ei huomioi kahta ensimmäistä yhtälöryhmän yhtälöä), ovat edellisen kohdan perusteella kaikki funktiot muotoa ( ) j λa g(j) g 0 (j) + α + β (3) myös ratkaisuja, ja tämän jälkeen α ja β voidaan sovittaa reunaehtoihin. Etsitään siis erityisratkaisu differenssiyhtälölle (2). Koska yhtälö on affiini, on affiini yrite luonnollinen. Koska vakiotermi ei sisälly g 0 :aan (kts. yhtälö (3)), kokeillaan siis lineaarista funktiota g 0 (j) kj. Tällöin (2) antaa ehdon eli kun p /2, saadaan ja g(j) ( 2p)k, g 0 (j) j 2p + α j 2p ( λa ) j + β (4) Jäljellä on vakioiden α ja β sovittaminen. Reunaehdoista saadaan ( ) α 2p + β 0 α ( ) 5 ( ) α 2p + β 0 β 5 2p α. 0 ( 2p)(( / ) 5 ( / ) 5 ) Haluttu odotettu kulkuaika saadaan siis lopulta sijoittamalla kaavaan (4) yllä saadut α ja β sekä j 0: g(0) 0 ( 2p) ( ( / ) 5 ( / ) 5) 5 2p ( ) 5 λa 0 ( 2p) ( ( / ) 5 ( / ) 5) ( ) λ 5] 5 2[ A ( 2p (λa / ) 5 ( / ) 5), jossa p /( + ). Sijoitetaan vielä lukuarvot 0.04 ja 0.06: g(0) / 2
12 Lisäys.(Tapaus p /2.) Tapaus p /2 käyttäytyi oleellisesti eri tavalla kuin muut p:n arvot. Yllä f:lle ja g:lle saadut differenssiyhtälöt voidaan kuitenkin tällöinkin ratkaista, jolloin saadaan f(j) αj + β g 0 (j) j 2 g(j) j 2 + αj + β. Yllä annetut f ja g 0 voidaan arvata sillä perusteella, että niiden differenssiyhtälöt voidaan tulkita diskreetin toisen derivaatan D avulla: f:lle saadaan tällöin DDf/2 0 ja g 0 :lle DDg 0 /2. Vastaavien jatkuvien differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat f(x) αx + β ja g 0 (x) x 2. Lisäys. (Yleinen uhkapelurin vararikkotodennäköisuus [engl. gambler s ruin]) Kootaan vielä selkeyden vuoksi yleisen -ulotteisen satunnaiskävelyn ratkaisu. Tämä seuraa suoraan ylläolevasta, mutta on sen verran tärkeä, että annetaan erikseen. Siirtymäkaavio: p p p p p m m + m +... M 2 M M p p p p p Osumatodennäköisyydet: f(m) 0 tai f(m) tai 0 f(j) ( p)f(j ) + pf(j + ), m + j M ( ) j p f(j) α p + β, p /2 f(j) αj + β, p /2. Kulkuajat: g(m) 0 g(m) 0 g(j) ( p)g(j ) + pg(j + ) +, m + j M ( ) j g(j) j + α p 2p p + β, p /2 g(j) j 2 + αj + β, p /2. 2 / 2
Markov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
LisätiedotGeneroivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
LisätiedotJatkuva-aikaisia Markov-prosesseja
5B Jatkuva-aikaisia Markov-prosesseja Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tasapainojakaumia. Laskuharjoitukseen kannattaa
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton;
LisätiedotEsimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
LisätiedotErilaisia Markov-ketjuja
MS-C2 Stokastiset prosessit Syksy 207 3A Erilaisia Markov-ketjuja Tuntitehtävät 3A Lepakoiden rengastaja (tai kuponkien keräilijä) Lepakkoluolassa on lepakkoa, joista jokainen lentää luolasta ulos joka
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu
LisätiedotJatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotJatkuvan aikavälin stokastisia prosesseja
6A Jatkuvan aikavälin stokastisia prosesse Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua uusiutumisprosesseihin tkuva-aikaisiin Markovprosesseihin harjoitella laskemaan niihin liittyviä hetkittäisiä kaumia
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMarkov-ketjuja suurilla tila-avaruuksilla
3B Markov-ketjuja suurilla tila-avaruuksilla Tuntitehtävät 3B1 Sekoaako korttipakka sekoittamalla? Olkoon S kaikkien 52 kortin korttipakan mahdollisten järjestysten joukko. (a) Perustele, miksi joukossa
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot1 p p P (X 0 = 0) P (X 0 = 1) =
Mat-2.3 Stokastiset rosessit Syksy 2007 Laskuharjoitustehtävät 3 Poroudas/Kokkala. Tarkastellaan Markov-ketjua, jonka tilajoukko on {0, } ja tilansiirtotodennäköisyysmatriisi P Olkoon alkujakauma α 0 a
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotSTOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Stokastiset prosessit 1 STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä Usein tarkasteltava järjestelmä kehittyy ajan mukana ja meitä kiinnostaa sen dynaaminen, yleensä satunnaisuutta
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
Lisätiedot5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot