Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Transkriptio

1 Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999

2 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a b a b ) (a 1 + a a )(b 1 + b b ). Epäyhtälö seuraa idetiteetistä (k. Cauchy Lagrage-idetiteetti) (a 1 + a a )(b 1 + b b ) (a 1 b 1 + a b a b ) = (a 1 b a b 1 ) + (a 1 b a b 1 ) (a 1 b a b 1 ) 0. Tästä huomataa, että yhtäsuuruus pätee vai jos a 1 /b 1 = a /b =... = a /b tai b 1 = b =... = b = 0. Esimerkkiä Cauchy epäyhtälö käytöstä todistetaa aritmeettise ja harmoise keskiarvo välie epäyhtälö: positiivisille reaaliluvuille a 1,a,...,a pätee a 1 + a a a 1 a a. (1) Vasemmapuoleie lauseke o lukuje a 1,a,...,a aritmeettie keskiarvo ja oikeapuoleie lauseke harmoie keskiarvo. Väite seuraa kirjoittamalla Cauchy epäyhtälö luvuille a 1, a,..., a ja 1/a 1, 1/a,..., 1/a eli (a 1 + a a )( 1 a + 1 a a ). Aritmeettis geometrie epäyhtälö Kaikille ei egatiivisille luvuille a 1,a,...,a pätee a 1 + a a a 1 a a, missä yhtäsuuruus pätee ku a 1 = a =... = a. Tämä todistetaa Jesei epäyhtälöllä edempää. Oikeapuoleista lauseketta kutsutaa lukuje a 1,a,...,a geometriseksi keskiarvoksi. Todistetaa (1) uudestaa aritmeettis geometrisella epäyhtälöllä. Voidaa kirjoittaa a 1 + a a a 1 a a = 1

3 ( ) 1 ( 1 1 = ) 1. a 1 a a a 1 a a Tämä o yhtäpitävää väittee kassa. Aritmeettis geometrista epäyhtälöä sovellettii esi lukuihi a 1,a,...,a ja sitte lukuihi 1/a 1, 1/a,...,1/a. Toisea esimerkkiä osoitetaa, että aiaki toie epäyhtälöistä a 1 a a (1 a 1 )(1 a ) (1 a ) pätee, jos a i [0, 1] kaikilla i = 1,,...,. Vastaoletus o, ettei kumpikaa päde eli a 1 a a > ja (1 a 1 )(1 a ) (1 a ) >. Kertomalla ämä keskeää päädytää ristiriitaa, sillä aritmeettis geometrise epäyhtälö ojalla a 1 a a (1 a 1 )(1 a ) (1 a ) ( ) a1 + a a + 1 a a a = eli alkuperäie väite pitää paikkasa. Jesei epäyhtälö Fuktiota f saotaa koveksiksi välillä [a,b] jos fuktio toie derivaatta o positiivie f (x) 0 kaikilla x [a,b]. Kovekseille fuktioille pätee k. Jesei epäyhtälö ( ) x1 + x x f f(x 1) + f(x ) f(x ) kaikilla x i [a,b]. Todistus sivuutetaa. Jesei epäyhtälöllä voi todistaa esimerkiksi aritmeettis geometrise epäyhtälö. Valitaa f(x) = log x. Fuktio f o koveksi, sillä f (x) = 1/x > 0. Kirjoitetaa yt log( x 1 + x x ) log x 1 + log x log x = log x 1 x x. Aritmeettis geometrie epäyhtälö seuraa tästä käyttämällä ekspoettifuktiota molempii puolii. =

4 Symmetria Lauseketta kutsutaa täydellisesti symmetriseksi, ku lausekkee arvo ei muutu, vaikka mielivaltaiset kaksi se muuttujista vaihdetaa keskeää. Esimerkkiä täydellisestä symmetriasta (a ja b vaihdettu) ab + bc + ca ba + ac + cb ja esimerkkiä lausekkeesta, jossa ei vallitse täydellie symmetria (taas a ja b vaihdettu) a b + b c + c a b a + a c + c b. Jälkimmäisessäki lausekkeessa o tiettyä sääöllisyyttä. Sitä kutsutaa kiertosymmetriseksi, sillä jos muuttujat vaihdetaa kiertäe (esimerkiksi a b c a) lausekkee arvo ei muutu. Symmetriatarkasteluje idea o, että jos lausekkeessa vallitsee täydellie symmetria, saa vapaasti olettaa muuttujie suuruusjärjestykse. Esimerkiksi Schuri epäyhtälö a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b) 0 kaikille a,b,c, 0 o täydellisesti symmetrie a:, b: ja c: suhtee. Siispä saa olettaa a b c, mikä riittääki epäyhtälö osoittamiseksi. Esimmäie ja kolmas yhteelaskettava ovat positiivisia ja a > b eli vase puoli o positiivie. Jos lauseke o kiertosymmetrie, voidaa valita joku muuttujista ja olettaa, että se o arvoltaa suuri (tai piei). Muide muuttujie suuruusjärjestuksestä ei yt voi saoa mitää. Epäyhtälö a + b + c a b + b c + c a, ku a,b,c 0 () ei ole täydellisesti symmetrie, vaa kiertosymmetrie. Voidaa olettaa, että a o suuri luvuista ja kirjoittaa epäyhtälö yhtäpitävästi joka o idettisesti tosi. (a c )(a b) + (c b) (c + b) 0, Suuruusjärjestysepäyhtälö Kolmee laatikkoo o laitettu eriarvoisia seteleitä. Yhdessä laatikossa o kymmee euro seteleitä, yhdessä viisikymppisiä ja yhdessä satasia. Laatikoista tulee valita seteleitä site, että yhdestä laatikosta otetaa kymmee seteliä, toisesta

5 seitsemä ja kolmaesta viisi seteliä. Mite valita kaattaa suorittaa, jotta saisi mahdollisimma paljo rahaa? O selvää, että sada eoro seteleitä kaattaa ottaa ii paljo kui suiki (kymmee seteliä), sitte viisikymppisiä (seitsemä) ja piei määrä (viisi seteliä) kaattaa jättää arvottomimmille kymmee euro seteleille. Vastaavasti jos tavoittelee mahdollisimma vähä rahaa, pitää ottaa eite kymmee euro seteleitä ja vähite sada euro seteleitä. Kirjoitetaa tämä periaate epäyhtälöide avulla. Otetaa käyttöö merkitä lukuje a 1,a,a ja b 1,b,b tuloje summalle [ ] a1 a a = a b 1 b b 1 b 1 + a b + a b. () Sovitaa, että alarivi lukuje keskiäistä järjestystä voi vaihdella. Mite alarivi luvut kaattaa järjestää, jotta lausekkee arvo o mahdollisimma suuri? Suuruusjärjestysepäyhtälö saoo, että lausekkee arvo o mahdollisimma suuri silloi, ku ylä- ja alarivi suuruusjärjestys o sama. Toisi saoe, jos b 1,b,b ovat luvut b 1,b,b samassa järjestyksessä kui luvut a 1,a,a, pätee [ ] [ ] a1 a a a1 a a b 1 b b b 1 b b. Esimerkiksi euroseteleide tapauksessa [ ] = = o suurempi kui mikää muu järjestykse tulos, ja [ ] = = o pieempi kui mikää muu järjestykse tulos. Suuruusjärjestysepäyhtälö todistamie ei ole vaikeaa. Esiäki, jos kaikki luvut ylärivillä tai alarivillä ovat yhtäsuuria, lukuje järjestyksellä ei ole merkitystä. Oletetaa siis, että ylä- ja alarivillä o erisuuria lukuja, ja tehdää vastaoletus: lauseke jossa rivie suuruusjärjestys ei ole sama [ ] a1 a S 1 = a b b 1 b 4

6 o suurempi kui lauseke, jossa suuruusjärjestystä korjataa jostai kohtaa [ ] a1 a S 1 = a. b 1 b b Nyt o siis valittu joko a 1 > a ja b 1 > b tai a 1 < a ja b 1 < b. Ristiriitä seuraa helposti siitä, että S 1 S 1 = a 1 b + a b 1 a 1 b 1 a b = (a 1 a )(b 1 b ) < 0. Todistetaa esimerkkiä suuruusjärjestysepäyhtälö käytöstä epäyhtälö (). Ratkaisu meee äi. Koska luvuilla a,b,c ja a,b,c o sama suuruusjärjestys (jos a b ii a b ) voidaa kirjoittaa [ ] [ ] a b c a b c. a b c b c a Tämä o yhtäpitävästi a + b + c a b + b c + c a, ja todistus o valmis. Tsebysevi epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1 a... a ja b 1 b... b pätee a 1 + a a Epäyhtälö seuraa idetiteetistä b1 + b b a 1b 1 + a b a b. [ (a 1 b 1 + a b a b ) (a 1 + a a )(b 1 + b b )] = (a 1 a )(b 1 b ) + (a 1 a )(b 1 b ) (a 1 a )(b 1 b )+ (a a 1 )(b b 1 ) + (a a )(b b ) (a a )(b b ) (a a 1 )(b b 1 ) + (a a )(b b ) (a a 1 )(b b 1 ) 0. Esimerkkiä kirjoitetaa Tsebysevi epäyhtälö lukujoukoille {a,b,c} ja {a,b,c }. Kute edellä todettii, o äillä joukoilla sama suuruusjärjestys, jos a, b, c 0. Siispä a + b + c a + b + c a + b + c eli (a + b + c ) (a + b + c)(a + b + c ). 5

7 Geometrisia epäyhtälöitä Suuri kolmio Olkoo aettu kolmio piiri p, ja kysytää kuika suuri voi olla pita-ala. Etä millaisella kolmiolla tämä maksimi saavutetaa (jos saavutetaa)? Käytetää Heroi kaavaa (19) ja aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Merkitää kolmio alaa T ja sivuja pituuksia a,b,c. T = ( ) p p p(p a)(p b)(p c) p = p. (4) Yhtäsuuruus pätee jos p a = p b = p c eli tasasivuise kolmio tapauksessa. Kolmio sivuje pituuksii liittyvät epäyhtälöt Olkoot a,b,c kolmio sivuje pituudet. Osoita Kirjoitetaa epäyhtälö muotoo a + b + c < (ab + bc + ca). a(b + c a) + b(c + a b) + c(a + b c) > 0, joka riittää, ku muistetaa kolmio sivuje pituuksille pätevät ehdot: a+b c > 0, b + c a > 0 ja c + a b > 0. Joskus voi olla vaikea keksiä mihi muotoo epäyhtälö tulisi kirjoittaa, jotta äitä ehtoja voisi käyttää. Silloi saattaa olla apua muuoksesta ja se kääteismuuoksesta a = u + v b = v + t c = t + u t = a + b + c u = a b + c v = a + b c. 6

8 Kolmio sivuje pituuksille asetetut ehdot muutuvat helppokäytöisee muotoo t,u,v > 0. Esimerkiksi todistetaa, että kolmio sivuje pituuksille a,b,c pätee (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc. Sijoitetaa edelliste muuoste mukaa tuv (u + v)(v + t)(t + u). Tämä seuraa kertomalla keskeää epäyhtälöt uv u+v, vt v+t ja tu t + u, jotka ovat voimassa kaikille t, u, v 0 aritmeettis-geometrise epäyhtälö mukaa. Kolmio kulmii liittyvät epäyhtälöt Merkitää kolmio kulmia α,β ja γ. Tuetusti kolmio kulmie summa o 180, ja tätä tietoa voi käyttää hyväksi esimerkiksi Jesei epäyhtälö avulla. Osoitetaa cos α + cos β + cos γ. Käytetää Jesei epäyhtälöä ja valitaa f(x) = cos(x/) (Fuktio f o koveksi, sillä f (x) = cos(x/)/4 0 kaikilla x [0, 180 ]) cos α cos β cos γ α cos + β + γ = cos 0 =, mistä väite seuraa. Erdös Mordell-epäyhtälö Olkoo P piste kolmio ABC sisällä ja p a, p b ja p c etäisyydestä pisteestä P kolmio kuhuki sivuu. Erdös Mordell-epäyhtälö mukaa pätee PA + PB + PC (p a + p b + p c ), jossa yhtäsuuruus o voimassa jos ja vai jos kolmio o tasasivuie ja P o kolmio keskipiste. 7

9 C M P A N B Todistus: Valitaa pisteet L,M,N sivuilta AB, BC,CA site, että PL BC, PM CA ja PN AB. (Eli esimerkiksi p c = PN.) Kosiilausee (1) perusteella MN = p b + p c p a p b cos(180 α) = p b + p c + p a p b cos α, jossa α = CAB. Toisaalta siilausetta (14) käyttäe MN si α = R ANM = PA. Kirjoitetaa vastaavasti muille sivuille (β ja γ ovat muut kulmat) ja lasketaa PA + PB + PC = p b + p c + p b p c cos α p + c + p a + p c p a cos β p + a + p b + p ap b cos γ si α si β si γ (pb si γ + p c si β) + (p b cos γ p c cos β) + si α (pc si α + p a si γ) + (p c cosα p a cos γ) + si β (pa si β + p b si α) + (p a cos β p b cosα) si γ p b si γ + p c si β + p c si α + p a si γ + p a si β + p b si α = si α si β si γ ( si β p a si γ + si γ ) ( si γ + p b si β si α + si α ) ( si α + p c si γ si β + si β ) si α p a + p b + p c. = 8

10 Viimeie epäyhtälö seuraa idetiteeteistä, jotka ovat muotoa ( ) si α si β si β 0. si α Muuta Olkoo a, b, c kute edellä, R kolmio ympäripiirrety ympyrä säde ja T kolmio pita-ala. Osoita, että 4 T a + b + c 9R. (5) Epäyhtälö vase puoli o itse asiassa olympiatehtävä vuodelta 1961 ja uudestaa sitä tarvittii olympiatehtävässä vuoa Todistus meee helposti aiemmi todistetu epäyhtälö (4) ja Cauchy epäyhtälö avulla. T p = (a + b + c) 1 (a + b + c )( ) 1 = 1 4 (a + b + c ). Aloitetaa epäyhtälö (5) oikea puole todistamie tylppäkulmaise kolmio tapauksesta. Olkoo C 90 ja c tätä vastaava sivu. Nyt pätee c = a + b ab cos C a + b eli a + b + c c 8R. Jos sitte kolmio o teräväkulmaie, pätee jokaiselle kolmio kulmalle α,β,γ 90. Kirjoitetaa epäyhtälö siilausee (14) avulla (esim. a /R = 4 si α) muotoo si α + si β + si γ 9 4. Trigoometrise idetiteeti (1) perusteella si α + si β + si γ = + cosαcos β cos γ. Fuktio l cos x o koveksi välillä [0, 90 ], jote Jesei epäyhtälöstä ( ) l cosα l cos β l cosγ α + β + γ l cos = l cos 60 = l 1, eli mistä väite seuraa. cos α cos β cosγ 1 8, 9

11 Hyödyllisiä kaavoja Trigoometrisia kaavoja: si(x ± y) = sixcos y ± si y cos x (6) cos(x ± y) = cosxcos y si x si y (7) ta x ± tay ta(x ± y) = 1 ta x tay (8) si(x + y + z) = cosxcos y cos z(tax + tay + taz taxta y taz) (9) cos(x + y + z) = cosxcos y cos z(1 taxtay tay taz taz tax) (10) si x + si y + si z si (x + y + z) = 4 si(x + y) si(y + z) si(z + x) (11) cos x + cos y + cos z + cos (x + y + z) = 4 cos(x + y) cos(y + z) cos(z + x) (1) Kolmioo liittyviä kaavoja; seuraavassa o käytetty merkitöjä a,b,c kolmio sivuje pituuksille, α, β, γ vastaisille kulmille, T kolmio pita-alalle, p = (a + b + c)/, R ympäripiirrety ympyrä säteelle, r sisää piirrety ympyrä säteelle ja ρ a, ρ b, ρ c kolmiota ulkopuolisesti sivuavie ympyröide säteille. Kosiilause c = a + b ab cos γ (1) Siilause R = a si α = b si β = c (14) si γ R + r = cos α + cosβ + cos γ (15) R p = siα + siβ + si γ (16) R T = siαsi β si γ (17) R Pita alakaavoja T = 1 ab si γ (18) Heroi kaava T = p(p a)(p b)(p c) (19) abc = 4TR (0) T = rp = ρ a (p a) = ρ b (p b) = ρ c (p c) (1) 1 r = 1 ρ a + 1 ρ b + 1 ρ c () 4R + r = ρ a + ρ b + ρ c () 10

12