(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

Transkriptio

1 BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti differentiaalihtälössteemeissä kiinnostaa ne funktioiden arvot joilla ssteemi on tasapainossa s.e. 0. Esim. ensimmäisen kertaluvun (lineaariselle vakiokertoimiselle) ssteemille joka on homogeeninen (eli johon ei vaikuta ulkoisia tekijöitä) tämä takaisi että psisi vakiona ajasta ikuisuuteen. Yleisempiäkin vastaavia hauskoja ominaisuuuksia on olemassa. (a) Mietitään ssteemiä 3 4 Määritä millaisilla ja arvoilla 0? (b) Olkoon 3 a Havaitaan että teitllä ajanhetkellä t on 0 ja 0. Mitä on tällä ajanhetkellä? Mitä tät olla luvun a?. Tpillinen eksponentiaalinen kasvumalli populaatioille on ollut (t) k(t), missä k on ollut vakio joka kuvaa ksilön lisääntmiskkä/halua. Laajennetaanpa nt konseptia niin että k ei olekkaan vakio vaan oletetaan että k on suoraan verrannollinen kätössä oleviin "limääräisiin" resursseihin nähden. Olkoon resursseja kaiken kaikkiaan kätössä määrä 4t eli ne kasvavat ajan mötä (tämä voidaan nähdä esim niin että kehitetään tehokkaampia menetelmiä jne).toisaalta olkoon ksilön tarvitsemat resurssit 0.005t (tämä voidaan nähdä niin että ksilötkin haluavat kättää aina vain enemmän resursseja). Ylimääräisten resurssien määrä on siis 4t 0.005t(t). (a) Jos hetkellä t populaation koko on 00 ja kasvunopeus () 0. niin mitä on (t):n lausekkeessa k? (b) Mikä on (t):n leinen lauseke? (Huom! Tästä tulee Bernoullin differentiaalihtälö ratkaistavaksi) 3t + 3 e t 3. (a) Esitä seuraava differentiaalihtälörhmä k 3 matriisimuodossa A + g. Huomaa että kerroinmatriisin alkiot eivät ole nt vakioita. (b) Ratkaise 5 6e t A + g kun A ja g 4 e t. A:n ominasiarvot ovat λ ja λ 6 ja näitä vastaavat ominaisvektoreiksi kelpaavat ja. 4 (a) Järjestellään htälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain i ja oikealle puolelle muut

2 termit eli 3t + 3 e t k 3 3t + 3 e t 3t + 3 e t k e t 3 + 3t + (e t 3) 3 + 3t k 3 Tällöin htälö on siis matriisimuodossa esitettnä 0 e t e t k }}}} A 3 }} 3t + 3t 0 }} g (b) Oikea ratkaisu osoitteessa (esimerkki ). Alla oleva ratkaisu toiseen tehtävään: Homogeenisen htälön ratkaisu h C e 0 t 0 }} +C e C +C 0 e }}}} e Tästä saadaan Y-matriisi Y e 0 e Y? e 0 ( ) e 0 e 0 e 0 +e R 0 0 e }} e e t e 0 0 e

3 Siis Y 0 e t Y e t gdt 0 e t e dt ( e t + e )dt dt dt e t + e t p Y Y gdt e e t + e 0 e t e t + e + e t e t h + p C 0 e e +C e + t + e eli C +C e e t + e + e t C e + e t + e t e t 4. (a) Jos DY:n +a +b 0 ratkaisu on (x) C e (+3i)x +C e ( 3i)x, niin mitä ovat kertoimet a ja b? (b) Ratkaise edellisen kohdan DY, kun (0) ja (0). (a) Tiedetään, että λ + 3i ja λ 3i. Tällöin eli a 4 ja b 3 λ } + aλ + b } 0 p(λ) p(λ) (λ λ )(λ λ ) λ λ λ λλ + λ λ λ + ( λ λ )λ + λ λ λ + ( 3i + 3i)λ + ( + 3i)( 3i) λ 4λ + 4 6i + 6i (3i) λ 4λ i λ 4λ + 3 (b) Edellisestä tehtävästä saimme :n lausekkeen joka on siis (x) C e (+3i)x +C e ( 3i)x (x) C e (+3i)x ( + 3i) +C e ( 3i)x ( 3i)

4 Alkuehdosta saamme (0) C +C C C Sijoittamalla tämän toiseen alkuehtoon saamme (0) C ( + 3i) +C ( 3i) ( C )( + 3i) +C ( 3i) + 3i C 3iC 3iC + C C ( 3i 3i + ) 3i C ( 6i) 3i C ( 6i ) 3i C C Tällöin (x) e(+3i)x + e( 3i)x 5. Ratkaise DY-rhmä 7 9 det(a λi) 0 7 λ 0 λ 0 (7 λ)( λ) 9 ( ) 0 7 7λ λ + λ λ 8λ λ ( 8) ± ( 8) tuplajuuri Ominaisvektorit (A λi)x 0 x x 0 0 3x x 0 x 3x 9x 3x 0 x x x x valitaan esim. x 3 5 5

5 5 ksi ratkaisu olisi C e 4t, mutta tämä ei ole vielä leisin ratkaisu. Etsimme lisäratkaisuja kaavan (86) hengessä. Alkuun ratkaisemme vektorin u htälöstä Tästä saadaan toinen kelvollinen ratkaisu ( 5 C Tällöin leinen ratkaisu on (A 4I)u x u u 5 3u u 5 u 3u 5 9u 3u u u valitaan esim. u 3u 5 3( ) 5 8 C 5 te 4t + ) e 4t 8 ( ) te 4t 5 +C te 4t + e 4t 8 Tästä voitasiin päätellä mm. ( ) lim (t) t (t) 5 3 (Oletetaan C 0, C 0) 6. Ratkaise DY-rhmä Muokkaamalla htälön matriisi muotoon saamme 4 4 Ratkaistaan ominaisarvot ja -vektorit det 4 λ 4 λ 0 (4 λ)(4 λ) ( ) 0 λ 8λ λ 8 ± ± ± 4 8 ± i 4 ± i λ 4 + i λ 4 i

6 Kuva : Suolatankit 4 λ 0 4 λ i i 0 i 0 i 0 i 0 + ( i) i i + i 0 i ir Tästä saamme ix + x 0 x ix x i Tästä saamme 4 λ 0 4 λ 0 x i + x 0 x ix x i i 0 i 0 :n ratkaisu on tällöin C e (4+i)x +C i e (4 i)x i 7. Mietitään vielä suolatankkeja. A l/min l/min B l/min l/min 3 l/min 4 l/min C

7 Olkoon ajanhetkellä t 0 nesteen määrät tankeisssa 00 V B 00 V C 50 Tee malli aikavälille t 0,50. Olkoon suolaa kg tankissa A, 0 kg tankissa B ja 0 kg tankissa C kun t 0. Tankkiin B virtaa ulkopuolelta nestettä jossa suolaa 0.00 kg/l. Olkoon A (t) suolan määrä tankissa A B (t) suolan määrä tankissa B C (t) suolan määrä tankissa C A A A + B V B B B V B ( + 3) + A C C VC 4 + A + B V B 3 Koska V B riippuu ajasta niin emme pst ratkaisemaan tätä perinteisesti ominaisarvojen ja vektoreiden avulla. 8. Insinööriopiskelija tutkii prosessia jossa tiedetään (t):n noudattavan differentiaalihtälöä (t) + p(t) (t) + q(t)(t) 0. Kerroinfunktiot p(t) ja q(t) ovat tuntemattomia, mutta opiskelija tulee mittaustensa perusteella johtopäätökseen että riippuen alkuehdoista, (t) voi olla muotoa 4e t, e t + e tai t +. Opiskelija on siis tässä tutkinut prosessia kolmilla erilaisilla alkuarvoilla. Osoita että nämä kaikki kolme fuktiota eivät voi olla saman differentiaalihtälön ratkaisuja, eli että insinööriopiskelijan johtopäätös on väärä.

8 Vastauksia: Teht.#: (a) 0 (b) 0, a 3/ Teht.#: (a) k (4t 0.005t(t)) (b), missä k e k t (0.005e k t C) Teht.#3: 0 e t 3t (a) e t 3 + 3t k 3 0 C (b) e t C e 6t e t + 3et 4 4C e t +C e 6t + 7et 4 Teht.#4: (a) a 4 ja b 3 (b) (x) e(+3i)x + e( 3i)x Teht.#5: C 5 ( ) e 4t 5 +C te 4t + e 8 4t Teht.#6: C e i (4+i)x +C e i (4 i)x Teht.#7: A A A + B V B B B V B ( + 3) + A C C VC 4 + A + B V B 3 Teht.#8: