Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Transkriptio

1 Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia. Laatikossa B o 2 palloa, joista puolet o valkoisia. Valitset laatiko satuaisesti site, että laatikko A tulee valituksi t:llä 3/4. Valitusta laatikosta poimit umpimähkää kaksi palloa ilma takaisipaoa. (a) Laske ehdollie t saada täsmällee valkoie pallo, jos laatikko o A. (b) Laske ehdollie t saada täsmällee valkoie pallo, jos laatikko o B. (c) Laske t saada täsmällee valkoie pallo. (d) Jos saat valkoise pallo, mikä o tällöi t, että valitsit laatiko A? Merkitää Y saadaa täsmällee valkoie pallo ja A valittii laatikko A. Nyt tapahtuma A komplemetti eli A C tarkoittaa, että valittii laatikko B. (a) Laatiko A kahdeksasta pallosta poimitaa kaksi ilma takaisipaoa. Laatiko palloista eljä o valkoisia. Kysytty todeäköisyys o ( 4 )( 4 P (Y A) ( ) 8 2) (b) Samoi kui (a)-kohdassa, saadaa P (Y A C ) ( 6 )( 6 ( ) 2 ) (c) Kokoaistodeäköisyyde kaavalla saadaa P (Y ) P (A)P (Y A) + P (A C )P (Y A C ) (d) Bayesi kaavalla saadaa P (A Y ) P (A)P (Y A) P (Y ) Kolme opa heitto ja edellee tuttuje tilateide hahmottamie satuaismuuttujie avulla. (a) Noppaa heitetää kolme kertaa, ja X o satuaismuuttuja, joka saa arvoksee suurimma tuloksista. Määritä todeäköisyys P (X 5). Vihje: Voit joko tarkastella kaikkia 26:ta alkeistapausta (työlästä mutta suoraviivaista), tai voit tarkastella tapahtumaa toistokokeea: oko jokaie heitto eitää eloe? (b) Määritä todeäköisyys P (X k) kaikille k,..., 6. (Olet yt saaut selville X: kertymäfuktio.)

2 (c) Määritä pistetodeäköisyys P (X k) kaikille k,..., 6. (Vihje: tarkastele kertymäfuktio arvoja peräkkäisillä kokoaisluvuilla.) (a) Satuaismuuttuja X saa arvoksee korkeitaa luvu viisi silloi, ku. heito tulos o korkeitaa viisi ja 2. heito tulos o korkeitaa viisi ja 3. heito tulos o korkeitaa viisi. Koska heittoje tulokset ovat riippumattomia, ii kysytyksi todeäköisyydeksi saadaa (b) Arvoilla k,..., 6 todeäköisyys P (X 5) P (X k) k 6 k 6 k 6 k3 26. (c) Huomataa, että (b)-kohda kaava pätee myös arvolla k 0, sillä P (X 0) Koska kaikilla k,..., 6 pätee P (X k) P (X k ) + P (X k) (erilliste tapahtumie yhdiste), ii pistetodeäköisyys P (X k) P (X k) P (X k ) k3 (k ) k3 (k ) Soveltava tilae äärettömässä perusjoukossa Herrat A ja B heittävät vuorotelle kolikkoa, järjestyksessä ABABAB... Se voittaa, joka heittää esi kruua, ja tällöi peli päättyy. Mikä o todeäköisyys, että pelissä heitetää k klaavaa? Laske todeäköisyys, että A voittaa. Vihje: A voittaa, jos esimmäie kruua tulee koko pelissä. heitolla, 3. heitolla, 5. heitolla tai millä tahasa parittoma umeroisella heitolla. Esitä A: voittotodeäköisyys geometrisea sarjaa ja laske se arvo. Ku katsomme vai heitettyje kolikoide jooa (emmekä välitä siitä, kuka heittää), huomaamme, että kyseessä o rajato toistokoe oistumist:llä p 2. Turhie yrityste eli klaavoje määrä o satuaismuuttuja X, jolla o geometrie jakauma parametrilla p 2. Merkitää q p 2. Todeäköisyys, että pelissä heitetää täsmällee k klaavaa, o ( ) k+ P (X k) pq k 2 Herra A voittaa täsmällee silloi, ku X o parillie, ts. X 0 tai X 2 je. Tämä t:ksi saadaa täysadditiivisuude ojalla P (A voittaa) P (X 0) + P (X 2) + P (X 4) +... p + pq 2 + pq Kyseessä o geometrie sarja, joka esimmäie termi o p, ja peräkkäiste termie suhde o q 2 /4. Sarja summa o siis Siis P (A voittaa) 2 3. p q Satuaismuuttujie soveltamista (Tuomie 2:5). Hekilö hamuilee avaiippuaa ulkoovella. Nipussa o avaita, joista yksi sopii ovee. Olkoo X se kerra järjestysluku, jolla ovi aukeaa. Laske X: pistetodeäköisyysfuktio ja kertymäfuktio olettae, että. 2

3 (a) muistaa mitä avaimia hä o turhaa yrittäyt, ja joka kokeilulla valitsee kokeiltava avaime umpimähkää iistä, joita ei ole vielä kokeiltu, (b) ei muista mitä avaimia hä o turhaa yrittäyt, vaa valitsee joka kerta avaime umpimähkää kaikista :stä avaimesta. Merkitää O i valitaa oikea avai i:ellä yrityksellä ja V i valitaa väärä avai i:ellä yrityksellä. jjj (a) X: pistetodeäköisyysfuktio arvo f(k) eli tapahtuma {X k} (ovi aukeaa k:ella yrityksellä) todeäköisyys, ku k, 2,...,, o f(k) P (X k) P (V ) P (V 2 )... P (V k ) P (O k ) 2 (k )... (k 2) (k ). Vastaavasti X: kertymäfuktio arvo F (k) eli tapahtuma {X k} todeäköisyys, ku k, 2,...,, o F (k) P (X k) P (X ) + P (X 2) P (X k) k. (b) X: pistetodeäköisyysfuktio arvo f(k) eli tapahtuma {X k} (ovi aukeaa k:ella yrityksellä) todeäköisyys, ku k, 2,..., o f(k) P (X k) P (V ) P (V 2 )... P (V k ) P (O k ) ( ) ( ) (... ( ) k. ) Vastaavasti X: kertymäfuktio arvo F (k) eli tapahtuma {X k} todeäköisyys, ku k, 2,..., o F (k) P (X k) P (X ) + P (X 2) P (X k) + ( ) + ( ) ( ) k ( ( ) ( ) k. ) k 5. Klassikko. Toistokoe vai satuaismuuttuja? (Vrt. Tuomie 2:8) Letoyhtiö tietää kokemuksesta, että keskimääri 5 % paika varaeista jää saapumatta leolle. Letoyhtiö 3

4 tekee vielä rohkea oletukse, että jokaie matkustaja muista matkustajista riippumatta jää saapumatta t:llä Yhtiö myy 255 lippua koeesee, joho mahtuu 250 matkustajaa. Millä t:llä jokaie koeesee saapuva saa paika? (Vihje: Komplemettitapahtuma voi lyhetää laskuja.) Kyseessä o toistokoe: 255 matkustajasta kuki jää saapumatta t:llä p 0.05 (kutsumme tätä oistumiseksi), ja saapuu t:llä p Merkitää oistumiste (ts. pois jääeide matkustajie) lukumäärää satuaismuuttujalla X, jolloi X Bi(, p). Kaikki saapueet saavat paika, jos vähitää 5 jää saapumatta, ts. jos X 5. Lasketaa tämä tapahtuma todeäköisyys. P (X 5) P (X < 5) 4 P (X k) k0 4 ( ) k k k k Tehtävässä o oltava tarkkaa epäyhtälöide kassa. Tapahtuma {X 5} komplemetti o tapahtuma {X < 5} eli {X 4}, koska X saa vai kokoaislukuarvoja. Ilma komplemettisäätöä (luetomateriaali lause.3.(ii)) olisi voitu laskea työläämmi P (X 5) P (X 5)+P (X 6)+P (X 7)+...+P (X 254)+P (X 255), jolloi olisi pitäyt laskea 25 termiä. Tulos olisi kyllä sama. 6. Jatkuva jakauma esimerkit ovat luoollisia aloittaa tasajakaumalla. Jua pitäisi saapua Helsikii kello Se kuiteki myöhästyy aja X (miuuttia), jolla o tasaie jakauma yli väli (.0, 2.5). Negatiivie myöhästymie tarkoittaa etuajassa saapumista. Laske t, että jua saapuu (a) aikataulu mukaisee aikaa (0.00) meessä, (b) välillä , (c) yli 2 miuuttia myöhässä. Tarkastelemme väliä (.0, 2.5), jolle osuu jua myöhästymise määrä miuutteia. Koska kyseessä o tasajaukauma, keskeää yhtäpitkät välit ovat yhtä todeäköisiä, ja tiheys o vakio, ts. sama kaikkialla tällä välillä. (a) Halutaa laskea t, että jua ei myöhästy, eli että jua saapuu välillä (, 0), ts. P (X 0) 0 ( ) 2.5 ( ) 3.5 (b) Halutaa laskea t, että jua saapuu välillä (0, 2), ts. P (0 X 2) P (X 2) P (X 0) 4 2 ( ) 2.5 ( )

5 (c) Halutaa laskea t, että jua saapuu välillä (2, 2.5), ts. P (2 X 2.5) P (X 2.5) P (X 2) 2.5 ( ) 2.5 ( ) 2 ( ) 2.5 ( ) Lisää klassikoita. Herra K odottaa raitiovauua. Raitiovauut kulkevat tasa 0 miuuti välei ja K tulee pysäkille satuaisee aikaa, jote häe odotusaikasa miuutteia o X Tas(0, 0). (a) Herra K o juuri saapuut pysäkille. Mikä o t, että raitiovauu saapuu seuraava miuuti aikaa? (b) Herra K o odottaut jo 5 miuuttia, ts. hä o havaiut, että X ei ollut pieempi kui 5. Mikä o t, että raitiovauu saapuu seuraava miuuti aikaa? (Vihje: Ehdollie todeäköisyys.) (c) Kute b-kohta, mutta herra K o odottaut jo 9.5 miuuttia. a) P (X ) b) P ({5 X 6} {X 5}) P (5 X 6 X 5) P (X 5) P (5 X 6) P (X 5) P (X 6) P (X 5) P (X 5) c) P ({9.5 X 0.5} {X 9.5}) P (9.5 X 0.5 X 9.5) P (9.5 X 0.5) 8. Tiheysfuktio, kertymäfuktio ja iide soveltamie. Olkoo erää kompoeti kestoaika (vuosia) jatkuva satuaismuuttuja X Exp(2). 5

6 (a) Laske todeäköisyys, että kompoetti hajoaa esimmäise vuode aikaa, ts. välillä (0, ). (b) Muodosta yleie lauseke todeäköisyydelle, että kompoetti hajoaa välillä (k, k+), ts. k + :e vuode aikaa. (c) Olkoo Y diskreetti satuaismuuttuja, joka kertoo, motako kokoaista vuotta kompoetti kesti, ts. jos kompoetti esim. hajoaa hetkellä X.5, ii silloi Y. Mitkä ovat Y : mahdolliset arvot ja iide pistetodeäköisyydet? (d) Osoita, että Y : jakauma o eräs geometrie jakauma eräällä parametrilla p. Laske p: arvo. Ku X Exp(2), ii X: kertymäfuktio o F (x) e 2x. (a) P (0 X ) P (X ) F () e (b) P (k X k + ) P (X k + ) P (X k) F (k + ) F (k) e 2(k+) ( e 2k ) e 2k e 2(k+) (c) Y : mahdolliset arvot ovat 0,, 2, 3,... eli kaikki ei-egatiiviset kokoaisluvut. P (Y k) P (k X < k + ), mikä (b)-kohda perusteella o e 2k e 2(k+) (d) P (Y k) P (k X < k + ) e 2k e 2(k+) e 2k ( e 2 ) (e 2 ) k ( e 2 ) ( ( e 2 )) k ( e 2 ) Koska Y : pistetodeäköisyysfuktio o P (Y k) ( ( e 2 )) k ( e 2 ), oudattaa se geometrista jakaumaa parametrilla p ( e 2 ). 9. Jakauma tuistamie reaalimaailma tilateesta. Kalle ajaa autoa maatiellä. Tuulilasii osuu kiviä satuaisesti, keskimääri yksi kivi 00 kilometrillä. 6

7 (a) Olkoo X se matka, joka kuluttua tuulilasii osuu kivi esimmäise kerra. Millä jakaumalla X:ää voidaa mallitaa? (Vihje: Koska X voi olla mikä tahasa positiivie reaaliluku, kyseessä täytyee olla joki jatkuva jakauma.) (b) Laske X: jakauma avulla P (X 200), ts. todeäköisyys että esimmäie kiveiskemä tulee jo esimmäiste 200 kilometri aikaa. (c) Olkoo Y kiveiskemie lukumäärä, ku Kalle ajaa 200 kilometriä. Mikä o Y : jakauma? (Vihje: Koska Y o ilmeisestiki joki ei-egatiivie kokoaisluku, jakauma täytyy olla diskreetti.) (d) Laske Y : jakauma avulla P (Y > 0), ts. todeäköisyys että esimmäisillä 200 kilometrillä tulee aiaki yksi kiveiskemä. Vertaa b-kohda tuloksee. (a) Tilae o matemaattisesti samakaltaie kui Tuomise s. 59 esitetyssä kuvitellussa laitteessa, joka o hetkellä t 0 kuossa, mutta voi rikkoutua milloi tahasa (vrt. kivi voi osua tuulilasii milloi tahasa). Sopiva malli kuluvalle matkalle o ekspoettijakauma. Ekspoettijakauma parametri λ vastaa riskiä tapahtuma toteutumiselle matka (tai aja) yksikköä kohti, jote tässä se olisi λ /00 (mikäli matka yksikkö o kilometri). Siis X Exp(/00). (b) Ekspoettijakauma kertymäfuktiota käyttäe saamme: P (X 200) e e (c) Ajatellaa tilae toistokokeea, jossa kive osumie tuulilasii o "harviaie tapahtuma suuressa populaatiossa". 200 kilometri matka voi jaka lyhyisii osaväleihi, esim. 200:aa kilometri pituisee välii, joista kussaki kivi osuu tuulilasii todeäköisyydellä /00. Tällöi olisi Y Bi(200, 00 ). Lyhetämällä osavälejä rajatta päädytää raja-arvoa Poisso-jakaumaa parametrilla p 200 (/00) 2, vrt. kirja huomautus Siis Y Poisso(2). (d) Poisso-jakauma kertymäfuktiota ja komplemettisäätöä käyttäe saamme: P (Y > 0) P (Y 0) 20 e 2 0! e Todeäköisyys o sama kui b-kohdassa, kute pitäisiki, sillä kyseessä o sama tapahtuma hiuka eri saoi kuvattua. 7