Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

Transkriptio

1 Todennäköisyys 1 Klassinen todennäköisyys: p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkkejä: Nopan heitto, kolikon heitto

2 Satunnaismuuttuja Tilastollisesti vaihtelevaa suuretta kutsutaan satunnaismuuttujaksi, merkitään usein X. 2 Usein kiinnostaa tietää, mitä jakaumaa, ja millä jakaumaparametreillä, tutkittava suure noudattaa. Diskreetti jakauma: X saa vain äärellisen määrän arvoja (usein kokonaislukupisteissä). Jatkuva jakauma: X saa arvoja äärettömässä määrässä pisteisä, mahdollisesti koko reaalilukujen joukossa, tai positiivisilla reaaliluvuilla.

3 Vennin diagrammi 3 p(a B) = P (A) + p(b) p(a B) p(a) = p(a ) = 1 p(a)

4 Jakaumat Esimerkki: heitetään kahta noppaa, ja lasketaan luvut yhteen. Vasen asteikko kertoo, kuinka monella eri alkeistapahtumalla saadaan tietty tulos. Kun tämä lukumäärä jaetaan kaikkien alkeistapahtumien määrällä, saadaan kyseisen tapahtuman todennäköisyys. 4

5 Esimerkki: Millä todennäköisyydellä saadaan kahden nopan heitosta tulos, joka on korkeintaan 5? Toisinsanoen, millä todennäköisyydellä saamme tuloksen joukosta {2, 3, 4, 5}? 5 Millä todennäköisyydellä saamme tuloksen, joka on vähintään 6? Tämä todennäköisyys on toki edellisen kohdan komplementti.

6 Kertymäfunktio, F (x) Näin pääsemme tärkeään käsitteeseen, kertymäfunktioon (cumulative distrbution function). 6 F (x):n kuvaaja on nouseva porrasfunktio.

7 Binomijakauma Merkitään X Bin(n, p) Toistetaan yhtä koetta useita kertoja, ja kukin näistä kokeista voi antaa vain kahta eri tulosta (kruuna/klaava, ehjä/rikkinäinen, mielipiteen kannattaja/vastustaja, onnistuu/ei). 7 Pistetodennäköisyysfunktio P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x x Tässä onnistumisen todennäköisyys on p, toistoja on n kappaletta, ja merkintä ( n x) on niin kutsuttu binomikerroin, määritellään ) ( n x = n! x! (n x)!

8 8 Binomijakauman pistetodennköisyysfunktio otoskoolla 40, ja muutamalla eri yksittäistapahtuman todennäköisyyden arvolla.

9 9 Esimerkki binomijakaumasta: LED-lamppuja myydään 3 kappaleen paketeissa. Tiedetään, että lampuista on valmiiksi viallisia 4 %. (a) Millä todennäköisyydellä kaikki 3 ovat ehjiä? (b) Millä todennäköisyydellä 1 on viallinen? (c) Millä todennäköisyydellä ainakin 1 on viallinen?

10 Poisson-jakauma Merkitään X Poisson(λ) 0 Harvalukuisten tapahtumien määrä/aikayksikkö. Oletetaan, että tunnemme kuinka usein tapahtuma tapahtuu per aikayksikkö; merkitään tätä symbolilla λ (lambda). Esimerkiksi onnettomuudet, palvelutiskille saapuvat asiakkaat Pistetodennäköisyysfunktio: P (X = x) = λx x! e λ

11 1 Poisson-jakauman pistetodennköisyysfunktio muutamalla eri λ:n arvolla.

12 Poisson-jakauma on helposti muokattavissa: 2 Oletamme, että X ja Y ovat riippumattomia tapahtumia. Jos X Poisson(λ 1 ) ja Y Poisson(λ 2 ) niin silloin (X + Y ) Poisson(λ 1 + λ 2 ). Jos tapahtumaa tarkastellaan eri mittaisessa aikaikkunassa, saadaan ilmiön käyttäytyminen tässä aikaikkunassa selville helpolla sijoituksella. Jos X t Poisson(λ), silloin X nt Poisson(nλ)

13 3 Esimerkki Poisson-jakaumasta: Eräässä varsin huolestuttavassa, ja onneksi fiktiivisessä ydinvoimalassa tapahtuu onnettomuuksia keskimäärin 1.8 kertaa vudessa. (a) Millä todennäköisyydellä selvitään vuosi ilman onnettomuutta? (b) Millä todennäköisyydellä vuoteen mahtuu vähintään 2 onnettomuutta? (c) Millä todennäköisyydellä selvitään 3 vuotta ilman yhtäkään onnettomuutta?

14 Eksponentiaalijakauma Merkitään X Exp(λ) Yleinen esim. kestoiän jakauma Odotusarvo EX = 1 λ 4 Kertymäfunktio: F (x) = 1 e λx Eksponentiaalijakauman ja Poisson-jakauman yhteys: X = Tapahtumien lukumäärä/aikayksikkö: T = Kahden peräkkäisen tapahtuman välinen aika: X Poisson(λ) T Exp(λ) Menneisyyden unohtamisominaisuus: mennenisyys ei vaikuta tapahtuman tapahtumisen todennköisyyteen.

15 5 Esimerkki eksponentiaalijakaumasta: Jatkamme äskeisen ydinvoimalan tarkastelua. Millä todennäköisyydellä kestää ainakin 1.5 vuotta, ennenkuin seuraava onnettomuus tapahtuu? Jos nyt on jo menty 5 vuotta ilman yhtäkään onnettomuutta, mikä silloin on todennäköisyys, että päästään vielä 1.5 vuotta ilman yhtäkään onnettomuutta?

16 Kombinatoriikkaa 6 Jos n kappaleen joukosta valitaan k kappaletta (olettaen, että järjestyksellä ei ole väliä), valinta voidaan tehdä ( ) n x = n! eri tavalla. x! (n x)! Todennäköisyys saada jokin tietty kombinaatio on, klassisen todennäköisyyden mukaan, p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

17 Laatikossa on 6 punaista, 5 vihreää ja 3 sinistä palloa. Laatikosta otetaan umpimähkään 4 palloa. Millä todennäköisyydellä saadaan 2 punaista, 1 sinistä ja 1 vihreä? 7 p = ( 6 )( 5 )( ( 1) 14 ) =

18 Millä todennäköisyydellä saadaan 2 punaista (sinisten ja vihreiden osuus oletetaan mielenkiinnottomaksi)? 8 p = ( 6 )( 8 2 2) ( 14 ) =