Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3
|
|
- Jere Hukkanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Mitä oimme? /3 Tutustumme tässä luvussa seuaavii diskeetteihi todeäköisyysjakaumii: Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Diskeettejä jakaumia Mitä oimme? /3 Takastelu kohteea ovat seuaavat jakaumie omiaisuudet: (i) Jakauma määittely (ii) Pistetodeäköisyysfuktio (iii) Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama (iv) Kuvaaja Takastelemme myös jakaumie yhteyksiä toisii jakaumii. Takasteltavie jakaumie odotusavot johdetaa suoaa odotusavo määitelmää ojautue. Todeäköisyysjakauma mometit saadaa kuiteki yleesä kätevimmi johdetuksi käyttämällä hyväksi jakauma mometit geeoivaa fuktiota; ks. lukua Momettiemäfuktio ja kaakteistie fuktio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Diskeettejä jakaumia Mitä oimme? 3/3 Takastelemme Beoulli-jakauma, biomijakauma ja Poisso-jakauma taauksessa myös ko. jakaumaa oudattavie iiumattomie satuaismuuttujie summa jakaumaa. Lisätietoja iiumattomie satuaismuuttujie summa jakauma määäämisestä: ks. lukua Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautus: Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. Diskeettejä jakaumia Esitiedot Esitiedot: ks. seuaavia lukuja: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Jakaumie tuusluvut TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
2 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Diskeettejä jakaumia Lisätiedot Todeäköisyysjakaumie momettie määäämistä takastellaa luvussa Momettiemäfuktio ja kaakteistie fuktio Riiumattomie satuaismuuttujie summa jakauma määäämistä takastellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Diskeettejä jakaumia >> Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Diskeetti tasaie jakauma Avaisaat Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi Diskeetti tasaie jakauma Diskeetti tasaie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Olkoo X diskeetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset avot ovat,,, Oletetaa, että satuaismuuttuja X mahdollisii avoihi,,, liittyvät todeäköisyydet ovat yhtä suuia: P( X k ), k,,, Huomautus: Diskeetti tasaie jakauma liittyy sellaisii otosavauuksii, joissa alkeistaaukset ovat symmetisiä. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeetti tasaie jakauma Diskeetti tasaie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ), k k,,, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa diskeettiä tasaista jakaumaa. Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska f( k ) k Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Diskeeti tasaise jakauma odotusavo: E( X) µ X k k Diskeeti tasaise jakauma vaiassi: Va( X) D ( X) σ X ( k ) k Diskeeti tasaise jakauma stadadioikkeama: D( X) σ X ( k ) k TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo ja vaiassi johto Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo omiaisuuksia Suoaa diskeeti satuaismuuttuja odotusavo ja vaiassi määitelmistä saadaa: E( X ) µ k f( k) k k k Va( X) D ( X) σ ( k µ ) f( k) k ( k ) k Diskeeti tasaise jakauma odotusavo E( X) µ X k k o satuaismuuttuja X mahdolliste avoje,,, aitmeettie keskiavo. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Diskeetti tasaie jakauma Odotusavo ja vaiassi laskemie: Esimekki Diskeetti tasaie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Olkoo satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio f(k) P(X k) k /6, k,, 3, 4, 5, 6 Odotusavo: 6 6 E( X) kf( k) k k 6 k ( ) Vaiassi: 6 6 D( X) ( k E()) f() k ( k E()) k 6 k 35 ( 3.5) ( 3.5) (6 3.5) Stadadioikkeama: D( X ) Kuva oikealla esittää diskeeti tasaise jakauma f( ),,,3,4,5,6 6 istetodeäköisyysfuktiota. Jakauma odotusavo: 6 E( X) k k.3.. Diskeetti tasaie jakauma E(X) 3.5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Diskeettejä jakaumia Beoulli-jakauma Diskeetti tasaie jakauma >> Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Avaisaat Beoulli-jakauma Beoulli-koe Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Beoulli-jakauma Beoulli-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Olkoo A otosavauude S taahtuma ja P(A). Tällöi P(A c ) P(A) q. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X:, jos A taahtuu X, jos A ei taahdu Tällöi satuaismuuttuja Xjakaumao P( X ) P( X ) q Beoulli-jakauma Beoulli-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,< <, q, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa Beoulli-jakaumaa aametiaa. Mekitä: X Beoulli() Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska f () + f() q+ TKK (c) Ilkka Melli (4) Beoulli-jakauma Komlemettitaahtuma todeäköisyys Beoulli-jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Olkoo P(A) Tällöi P(A c ) P(A) q A c A Olkoo X Beoulli() Odotusavo: E(X) Vaiassi ja stadadioikkeama: Va( X) D ( X) q D( X) q S TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Beoulli-jakauma Odotusavo ja vaiassi johto Beoulli-jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia Suoaa diskeeti satuaismuuttuja odotusavo ja vaiassi määitelmistä saadaa: E( X ) P( X ) + P( X ) + q E( X ) P( X ) + P( X ) + q Va( X) E( X ) [E( X)] ( ) q Olkoo X Beoulli() Beoulli-jakauma odotusavo E(X) yhtyy taahtuma A todeäköisyytee P(A). Beoulli-jakauma vaiassi Va(X) q ( ) saavuttaa maksimisa /4 ku q /. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Beoulli-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Beoulli-jakauma Beoulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Kuva oikealla esittää Beoullijakauma Beoulli(.8) istetodeäköisyysfuktiota f( ) q.8, q isteissä, Jakauma odotusavo: E( X ) Beoulli(.8) E(X).8 Olkoot X, X,, X iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beoulli-jakaumaa aametilla : X, X,, X X i ~ Beoulli(), i,,, Tällöi satuaismuuttujie X, X,, X summa Y X + X + + X oudattaa biomijakaumaa aametilla (, ): Y ~ Bi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Beoulli-jakauma Beoulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Tulos eustellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautuksia: Kaikilla Beoulli-jakaumilla o oltava sama taahtuma A todeäköisyyttä kuvaava aameti. Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. Beoulli-jakauma Beoulli-kokeet ja diskeetit todeäköisyysjakaumat / Useat diskeetit todeäköisyysjakaumat saadaa toistamalla samaa Beoulli-koetta ii, että koetoistot ovat iiumattomia: (i) Biomijakauma saadaa määäämällä todeäköisyys sille, että taahtuma A sattuu ketaa, ku koetta toistetaa ketaa. (ii) Geometie jakauma saadaa määäämällä todeäköisyys sille, että taahtuma A sattuu esimmäise kea. koetoistossa. (iii) Negatiivie biomijakauma saadaa määäämällä todeäköisyys sille, että taahtuma A sattuu. kea. koetoistossa. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Beoulli-jakauma Beoulli-kokeet ja diskeetit todeäköisyysjakaumat / Poisso-jakauma voidaa johtaa biomijakauma ajaavoa, ku koetoistoje lukumäää aetaa tiettyje ehtoje vallitessa kasvaa ajatta. Poisso-todeäköisyys voidaa tulkita todeäköisyydeksi sille, että haviaie taahtuma A sattuu ketaa itkässä toistokoesajassa. Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma >> Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
6 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Biomijakauma Avaisaat Biomijakauma Beoulli-jakauma Beoulli-koe Odotusavo Otata takaisiaolla Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi Biomijakauma Biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa, jossa o kiiteä, etukätee äätetty luku. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia. Takastellaa otosavauude S taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) P(A) q Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Taahtuma A esiitymiste lukumäää -ketaisessa Beoulli-kokeessa TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Biomijakauma Biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,, q < <,,,, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa biomijakaumaa aameteiaa ja. Mekitä: X Bi(, ) Biomijakauma Biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio 3/3 Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska biomikaava mukaa f( ) q ( q) + Site biomijakauma istetodeäköisyydet f( ) q,,,,, toteuttavat yhtälö q TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että toistokoesaja tuloksea saadaa taahtumajoo c c AAA AA A jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c. Koska P(A) P(A c ) P(A) q takasteltava taahtumajoo todeäköisyydeksi saadaa iiumattomie taahtumie tulosääö ojalla qq q Eilaisia jooja, joissa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c, o kl Eilaiset taahtumajoot ovat toisesa oissulkevia. Toisesa oissulkevie taahtumie yhteelaskusääö mukaa todeäköisyys saada sellaie joo, jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c saadaa laskemalla eilaiste tällaiste jooje todeäköisyydet yhtee. Site kysytyksi todeäköisyydeksi saadaa f ( ) q, q,,,, TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36
7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Biomijakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Biomijakauma Odotusavo johto / Olkoo X Bi(, ) Odotusavo: E( X) Vaiassi ja stadadioikkeama: Va( X) D ( X) q D( X) q Olkoo X Bi(, ) Tällöi! E( X) f( ) ( )!( )!! ( )!( )!! ( ) ( )!( )! ( )! ( ) ( )!( )! TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Biomijakauma Odotusavo johto / Biomijakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia Kalvo / yhtälöketju viimeie yhtälö eustuu siihe, että ( )! ( ) ( )!( )! Tämä seuaa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki biomijakauma Bi(, ) istetodeäköisyydet ( )! f ( ) ( ) ( )!( )! Olkoo X Bi(, ) Biomijakauma odotusavo E( X) o suoaa veaollie sekä toistokeide lukumääää että taahtuma A todeäköisyytee P(A). Biomijakauma vaiassi Va(X) q ( ) saavuttaa maksimisa /4 ku q /. TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Kuva oikealla esittää Biomijakauma.4 Bi(, /3) Bi(, /3).3 istetodeäköisyysfuktiota. f( ) q., / 3, q isteissä,,,, Jakauma odotusavo: E( X ) 4 E(X) Biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja: Taaukset < /, /, > / Bi(, /4) Bi(, /) Bi(, 3/4) < /: Biomijakauma o vio oikealle. /: Biomijakauma o symmetie. > /: Biomijakauma o vio vasemmalle TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 Biomijakauma Biomijakauma ja Beoulli-jakauma /3 Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa, jossa o kiiteä, etukätee äätetty luku. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) q Biomijakauma Biomijakauma ja Beoulli-jakauma /3 Määitellää diskeetit satuaismuuttujat X i, i,,, :, jos A taahtuu kokeessa i X i, jos A ei taahdu kokeessa i Tällöi X i Beoulli(), i,,,. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X : X Taahtuma A esiitymiste lukumäää -ketaisessa Beoulli-kokeessa Tällöi X Bi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 Biomijakauma Biomijakauma ja Beoulli-jakauma 3/3 Selvästi X Xi i koska luku esiityy summassa X i täsmällee yhtä mota ketaa kui taahtuma A sattuu : koetoisto aikaa. Tämä mekitsee sitä, että biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää iiumattomie Beoullijakautueide satuaismuuttujie summaa. Huomautus: Biomi- ja Beoulli-jakauma yhteyttä voidaa käyttää aua biomijakauma odotusavo ja vaiassi määäämisessä; ks. >. TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 Biomijakauma Biomijakauma odotusavo ja vaiassi johto sekä Beoulli-jakauma / Olkoot X i, i,,, iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beoulli-jakaumaa aametilla : X, X,, X X i Beoulli(), i,,, Olkoo X X i i Tällöi X Bi(, ) Huomautus: Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Biomijakauma Biomijakauma odotusavo ja vaiassi johto sekä Beoulli-jakauma / Satuaismuuttuja X X i odotusavo o E( X ) EXi E( Xi) i i i koska satuaismuuttujie summa odotusavo o satuaismuuttujie odotusavoje summa. Satuaismuuttuja X X i vaiassi o D( X ) DX i D( X i) q q i i i koska iiumattomie satuaismuuttujie summa vaiassi o satuaismuuttujie vaiassie summa. Biomijakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Olkoot X, X,, X k iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat biomijakaumia aametei (, ), (, ),, ( k, ): X, X,, X k X i ~ Bi( i, ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie X, X,, X k summa Y X + X + + X k oudattaa biomijakaumaa aametei ( k, ): Y ~ Bi( k, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 47 TKK (c) Ilkka Melli (4) 48
9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Biomijakauma Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Tulos eustellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautuksia: Kaikilla biomijakaumilla o oltava sama taahtuma A todeäköisyyttä kuvaava aameti, mutta se sijaa toistokokeide lukumääää kuvaava aameti saa vaihdella jakaumasta toisee. Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla /5 Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Poimitaa eusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) käyttämällä oimiassa otataa takaisiaolla. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla /5 Otata takaisiaolla: (i) Peusjoukosta S oimitaa alkiot osajoukkoo B yksi keallaa aomalla. (ii) Poimittu alkio alautetaa aia ee uude alkio aomista takaisi eusjoukkoo S. (iii) Jokaisella eusjouko S alkiolla o jokaisessa avoassa sama todeäköisyys /N tulla oimituksi osajoukkoo B. Osajoukko B muodostaa yksiketaise satuaisotokse eusjoukosta S. Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla 3/5 Otaassa takaisiaolla avota voidaa toteuttaa seuaavalla tavalla: () Paaa uuaa jokaista eusjouko S alkiota vastaava aaliu. () Sekoitetaa avat huolellisesti. (3) Nostetaa uuasta aaliu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Palautetaa ostettu aaliu uuaa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla 4/5 Huomautuksia otaasta takaisiaolla: (i) Jokaise eusjouko S alkio todeäköisyys tulla valituksi otoksee säilyy samaa koko oimia aja. (ii) Jokaisella eusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla valituksi otokseksi. (iii) Sama eusjouko S alkio voi tulla valituksi useita ketoja otoksee. Biomijakauma Biomijakauma ja otata takaisiaolla 5/5 Olkoo A eusjouko osajoukko, joka alkioide lukumäää o (A) Tällöi todeäköisyys oimia alkio joukosta A o P( A) N Otaassa takaisiaolla otoksee oimittuje A- tyyiste alkioide lukumäää X o diskeetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa aameteilla ja : X Bi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54
10 TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Diskeettejä jakaumia Geometie jakauma Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma >> Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Avaisaat Geometie jakauma Beoulli-koe Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Geometie jakauma Geometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Toistetaa samaa Beoulli-koetta. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia. Takastellaa otosavauude S taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) P(A) q Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Tehtyje Beoulli-kokeide lukumäää, ku A sattuu esimmäise kea TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 Geometie jakauma Geometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,< <, q,,3, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa geometista jakaumaa aametiaa. Mekitä: X Geom() Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska geometise saja summa kaava mukaa f( ) q q q TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Geometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Geometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto / Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Takastellaa toistokoesajaa, jossa taahtuma A sattuu esimmäise kea :essä kokeessa. Toistokoesaja tuloksea o tällöi ollut taahtumajoo c c c c A A A A A jossa o esi sattuut ( ) kl taahtumia A c ja sitte taahtuma A. Koska P(A) P(A c ) P(A) q takasteltava taahtumajoo todeäköisyydeksi saadaa iiumattomie taahtumie tulosääö ojalla qqq q q,,3, mikä o kysytty todeäköisyys. TKK (c) Ilkka Melli (4) 59 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
11 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Geometie jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Geometie jakauma Odotusavo johto /4 Olkoo X Geom() Odotusavo: E( X ) Vaiassi ja stadadioikkeama: q Va( X) D ( X) D( X ) q Olkoo X Geom() Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f ( ) q, q,,3, Pistetodeäköisyyksie f(),,, 3, summa o S( ) f( ) ( ) Satuaismuuttuja X odotusavo o E( X ) f ( ) ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Geometie jakauma Odotusavo johto /4 Geometie jakauma Odotusavo johto 3/4 Summa S() deivaatta muuttuja suhtee o S( ) ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) Ottamalla huomioo yhtälöt ( ) S( ) ( ) E( ) X saadaa yhtälö S( ) E( X ) + + E( X ) + ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 63 TKK (c) Ilkka Melli (4) 64 Geometie jakauma Odotusavo johto 4/4 Geometie jakauma Odotusavo omiaisuuksia Geometise jakauma odotusavo E() toteuttaa siis yhtälö E( X ) + ( ) Site geometise jakauma odotusavo o E( X ) Olkoo X Geom() Geometise jakauma odotusavo E( X ) o käätäe veaollie taahtuma A todeäköisyytee P(A). Site taahtumaa A saa odottaa keskimääi sitä kauemmi mitä ieemi o taahtuma A todeäköisyys. TKK (c) Ilkka Melli (4) 65 TKK (c) Ilkka Melli (4) 66
12 TKK (c) Ilkka Melli (4) 67 Geometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Geometie jakauma Geometise jakauma uohtamisomiaisuus Kuva oikealla esittää geometise jakauma Geom(/3) istetodeäköisyysfuktiota f( ) q /3, q isteissä,,, Jakauma odotusavo: E( X ) Geom(/3) E(X) 3 Olkoo X Geom() Tällöi P(X a + b X a) P(X + b) Site geometisella jakaumalla o seuaava uohtamisomiaisuus: Se, että taahtuma A sattumista o jouduttu odottamaa a koetoistoa, ei vaikuta todeäköisyytee joutua odottamaa b koetoistoa lisää. TKK (c) Ilkka Melli (4) 68 Diskeettejä jakaumia Negatiivie biomijakauma Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma >> Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma Avaisaat Beoulli-koe Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 69 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Negatiivie biomijakauma Negatiivie biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Toistetaa samaa Beoulli-koetta. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia. Takastellaa otosavauude S taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Oletetaa, että P(A) P(A c ) P(A) q Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Tehtyje Beoulli-kokeide lukumäää, ku A sattuu. kea Negatiivie biomijakauma Negatiivie biomijakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f( ) P( X ) q,, q < <,,3, ;, +, +, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa egatiivista biomijakaumaa aameteiaa ja. Mekitä: X NegBi(, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7
13 TKK (c) Ilkka Melli (4) 73 Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Toistetaa samaa Beoulli-koetta ketaa. Oletetaa, että koetoistot ovat iiumattomia ja takastellaa taahtuma A sattumista koetoistoje aikaa. Takastellaa toistokoesajaa, jossa taahtuma A sattuu. kea. kokeessa. Olkoo toistokoesaja tuloksea ollut taahtumajoo c c c AAA AA AA jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c ja, jossa taahtuma A o viimeiseä. Koska P(A) P(A c ) P(A) q takasteltava taahtumajoo todeäköisyydeksi saadaa iiumattomie taahtumie tulosääö ojalla qq q q Eilaiste sellaiste jooje, joissa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c ja joissa A o viimeiseä, lukumäää o TKK (c) Ilkka Melli (4) 74 Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 3/3 Negatiivie biomijakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Eilaiset taahtumajoot ovat toisesa oissulkevia. Toisesa oissulkevie taahtumie yhteelaskusääö mukaa todeäköisyys saada sellaie joo, jossa o kl taahtumia A ja ( ) kl taahtumia A c ja jossa taahtuma A o viimeiseä, saadaa laskemalla eilaiste tällaiste jooje todeäköisyydet yhtee. Koska ko. jooje lukumäää o saadaa kysytyksi todeäköisyydeksi f( ) q, q,,3, ;, +, + Olkoo X NegBi(, ) Odotusavo: E( X ) Vaiassi ja stadadioikkeama: q Va( X) D ( X) D( X ) q TKK (c) Ilkka Melli (4) 75 TKK (c) Ilkka Melli (4) 76 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto /4 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto /4 Olkoo X NegBi(, ) Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o f ( ) q, q, +, +, Pistetodeäköisyyksie f(),, +, +, summa o S( ) f( ) ( ) Satuaismuuttuja X odotusavo o E( X ) f ( ) ( ) Summa S() deivaatta muuttuja suhtee o S( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + ( ) + + TKK (c) Ilkka Melli (4) 77 TKK (c) Ilkka Melli (4) 78
14 TKK (c) Ilkka Melli (4) 79 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto 3/4 Negatiivie biomijakauma Odotusavo johto 4/4 Ottamalla huomioo yhtälöt ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) E( X ) saadaa yhtälö S( ) E( X ) + + E( X ) + ( ) Negatiivise biomijakauma odotusavo E() toteuttaa siis yhtälö E( X ) + ( ) Site egatiivise biomijakauma odotusavo o E( X ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Negatiivie biomijakauma Odotusavo omiaisuuksia Negatiivie biomijakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Olkoo X NegBi(, ) Negatiivise biomijakauma odotusavo E( X ) o suoaa veaollie lukuu ja käätäe veaollie taahtuma A todeäköisyytee P(A). Site. taahtumaa A saa odottaa keskimääi sitä kauemmi mitä suuemi o ja mitä ieemi o taahtuma A todeäköisyys. Kuva oikealla esittää egatiivise biomijakauma NegBi(3, /3) istetodeäköisyysfuktiota f( ) q 3, /3, q isteissä 3, 4,, 6 Jakauma odotusavo: E( X ) NegBi(3, /3) E(X) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Negatiivie biomijakauma Negatiivie biomijakauma ja geometie jakauma Olkoo X NegBi(, ) Jos, ii satuaismuuttuja X oudattaa geometista jakaumaa Geom(): X Geom() Geometie jakauma o site egatiivise biomijakauma eikoistaaus. Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma >> Hyegeometie jakauma Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) 83 TKK (c) Ilkka Melli (4) 84
15 TKK (c) Ilkka Melli (4) 85 Hyegeometie jakauma Avaisaat Biomijakauma Hyegeometie jakauma Odotusavo Otata ilma takaisiaoa Otatasuhde Pistetodeäköisyysfuktio Stadadioikkeama Vaiassi Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Takastellaa eusjouko S ositusta joukkoihi A ja A c. Oletetaa, että joukossa A S o (A) alkiota. Tällöi jouko A komlemetissa A c o (A c ) N alkiota. TKK (c) Ilkka Melli (4) 86 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Poimitaa eusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) käyttämällä oimiassa otataa ilma takaisiaoa. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Osajoukkoo B tulleide A: alkioide lukumäää Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio / Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o N f( ) P( X ) N ma[, ( N )] mi(, ) Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa hyegeometista jakaumaa aameteilla N, ja. Mekitä: X HyeGeom(N,, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 87 TKK (c) Ilkka Melli (4) 88 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /4 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /4 Olkoo S otosavauus ja (S) N Olkoo A S Tällöi {A, A c } o otosavauude S ositus. Olkoo (A) ja (A c ) N Olkoo B S ja (B) Otosavauude S ositus {A, A c } idusoi ositukse joukkoo B: B (B A) (B A c ) Olkoo (B A) (B A c ) A B B A B A c A c S N: alkio joukosta S voidaa oimia : alkio osajoukko B N ei tavalla. : alkio joukosta A voidaa oimia alkiota ei tavalla. (N ): alkio joukosta A c voidaa oimia alkiota N ei tavalla. A B B A B A c A c S TKK (c) Ilkka Melli (4) 89 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9
16 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 3/4 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 4/4 : alkio joukosta A voidaa oimia alkiota iiumatta siitä, mitkä alkiota oimitaa (N ): alkio joukosta A c. Ketolaskueiaattee ojalla alkiota voidaa oimia joukosta S ii, että saadaa alkiota joukosta A ja (N ) alkiota joukosta A c N ei tavalla. A B B A B A c A c S Soveltamalla klassise todeäköisyyde määitelmää saadaa: N P( X ) N A B B A B A c A c S TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Hyegeometie jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Hyegeometie jakauma Odotusavo johto /3 Olkoo X HyeGeom(N,, ) Odotusavo: E( X) N Vaiassi ja stadadioikkeama: N Va( X) D ( X) N N N N D( X) N N N Olkoo X HyeGeom(N,, ) Koska! ( )!!( )! ( )!( )! ii N N E( X) f( ) N N TKK (c) Ilkka Melli (4) 93 TKK (c) Ilkka Melli (4) 94 Hyegeometie jakauma Odotusavo johto /3 Hyegeometie jakauma Odotusavo johto 3/3 Koska N N! N ( N )! N N!( N )! ( )!( N )! ii N N E( X) N N N N N TKK (c) Ilkka Melli (4) 95 Kalvo /3 yhtälöketju viimeie yhtälö eustuu siihe, että N N Tämä seuaa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki hyegeometise jakauma HyeGeom(N,, ) istetodeäköisyydet N f( ) N TKK (c) Ilkka Melli (4) 96
17 TKK (c) Ilkka Melli (4) 97 Hyegeometie jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia /3 Hyegeometie jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia /3 Olkoo X HyeGeom(N,, ). Hyegeometise jakauma odotusavo o E( X) N Odotusavo o suoaa veaollie sekä eusjouko S osajouko B ( otos) alkioide lukumääää ( ) että tyyi A alkioide lukumääää eusjoukossa S ( ). Odotusavo o käätäe veaollie eusjouko S alkioide lukumääää ( N). Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Olkoo jouko A S alkioide lukumäää (A) Poimitaa eusjoukosta S otaalla ilma takaisiaoa osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) Tällöi diskeetti satuaismuuttuja X Osajoukkoo B tulleide A: alkioide lukumäää oudattaa hyegeometista jakaumaa aameteilla N,, : X HyeGeom(N,, ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 98 Hyegeometie jakauma Odotusavo ja vaiassi omiaisuuksia 3/3 Hyegeometie jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Todeäköisyys oimia yksi alkio joukosta A o A ( ) P( A) S ( ) N Hyegeometise jakauma odotusavo voidaa kijoittaa todeäköisyyde avulla muotoo E( X ) Hyegeometise jakauma vaiassi voidaa kijoittaa todeäköisyyde avulla muotoo N D( X) ( ) N Kuva oikealla esittää hyegeometise jakauma HyeGeom(,, ) istetodeäköisyysfuktiota N f( ) N N,, isteissä,,,, Jakauma odotusavo: E( X).4 N HyeGeom(,, ) E(X).4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 99 TKK (c) Ilkka Melli (4) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa /5 Olkoo eusjouko S alkioide lukumäää (S) N Poimitaa eusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka alkioide lukumäää o (B) käyttämällä oimiassa otataa ilma takaisiaoa. TKK (c) Ilkka Melli (4) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa /5 Otata ilma takaisiaoa: (i) Peusjoukosta S oimitaa alkiot osajoukkoo B yksi keallaa aomalla. (ii) Poimittuja alkioita ei alauteta takaisi eusjoukkoo S. (iii) Ku otoksee oimitaa alkiota k, k,,, jokaisella eusjoukossa S jäljellä olevalla alkiolla o sama todeäköisyys /(N k + ) tulla oimituksi osajoukkoo B. Osajoukko B muodostaa yksiketaise satuaisotokse eusjoukosta S. TKK (c) Ilkka Melli (4)
18 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa 3/5 Otaassa ilma takaisiaoa avota voidaa toteuttaa seuaavalla tavalla: () Paaa uuaa jokaista eusjouko S alkiota vastaava aaliu. () Sekoitetaa avat huolellisesti. (3) Nostetaa uuasta aaliu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Ei alauteta ostettua aaliua uuaa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa 4/5 Huomautuksia otaasta ilma takaisiaoa: (i) Peusjouko S alkio todeäköisyys tulla valituksi otoksee muuttuu oimia aikaa. (ii) Jokaisella eusjouko S samakokoisella osajoukolla o kuiteki sama todeäköisyys tulla valituksi otokseksi. (iii) Sama eusjouko S alkio voi tulla valituksi vai kea otoksee. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma ja otata ilma takaisiaoa 5/5 Olkoo A eusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäää o (A) Todeäköisyys oimia yksi alkio joukosta A o A ( ) P( A) S ( ) N Otaassa takaisiaolla otoksee, joka koko o, oimittuje A-tyyiste alkioide lukumäää X o diskeetti satuaismuuttuja, joka oudattaa hyegeometistä jakaumaa aameteilla N,, : X HyeGeom(N,, ) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma vs biomijakauma /3 Hyegeometise jakauma todeäköisyydet ovat lähellä biomitodeäköisyyksiä, jos otatasuhde N Otatasuhde, jos otoskoko o iei eusjouko kokoo N ähde. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma vs biomijakauma /3 Olkoo X HyeGeom(N,, ) Mekitää /N, jolloi N. Site X HyeGeom(N, N, ) Aetaa N +. Tällöi hyegeometie jakauma HyeGeom(N, N, ) lähestyy biomijakaumaa Bi(, ): lim f ( ) f ( ),,,,, N + HyeGeom( NN,, ) Bi (, ) Hyegeometie jakauma Hyegeometie jakauma vs biomijakauma 3/3 Hyegeometise jakauma ja biomijakauma yhteys äkyy myös siiä, että jakaumilla o sama odotusavo ja vaiassit eoavat vai multilikatiivisella tekijällä N N jota saotaa ääellise eusjouko kojaustekijäksi. Kojaustekijä vaikuttaa hyegeometise jakauma vaiassii sitä vähemmä mitä ieemi o otatasuhde /N: N, jos N N TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
19 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Hyegeometie jakauma Otata takaisiaolla vs otata ilma takaisiaoa Biomijakauma muodostaa todeäköisyysmalli otaalle takaisiaolla. Hyegeometie jakauma muodostaa todeäköisyysmalli otaalle ilma takaisiaoa. Eo otaa takaisiaolla ja otaa ilma takaisiaoa välillä o mekityksetö, jos otatasuhde /N o iei tai eusjoukko o ääetö. Käytäössä otata tehdää lähes aia ilma takaisiaoa, mutta laskutoimituksissa käytetää usei kaavoja, jotka eustuvat otataa takaisiaolla. Edellä esitety mukaa tästä johtuva vihe o kuiteki yleesä mekityksetö. Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie jakauma >> Poisso-jakauma TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Avaisaat Biomijakauma Odotusavo Pistetodeäköisyysfuktio Poisso-jakauma Stadadioikkeama Vaiassi Poisso-jakauma Poisso-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Toistetaa samaa satuaiskoetta. Oletetaa, että toistot ovat toisistaa iiumattomia. Takastellaa joki taahtuma A sattumista toistoje aikaa. Oletetaa, että taahtumie keskimäääie lukumäää aika- tai tilavuusyksikköä kohde o λ. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Taahtuma A esiitymiste lukumäää aika- tai tilavuusyksikköä kohde TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Poisso-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio /3 Satuaismuuttuja X istetodeäköisyysfuktio o muotoa e λ λ f( ) P( X ), λ >!,,, Saomme, että satuaismuuttuja X oudattaa Poisso-jakaumaa aametiaa λ. Mekitä: X Poisso(λ) Poisso-jakauma Poisso-jakauma ja se istetodeäköisyysfuktio 3/3 Huomautus: Fuktio f() määittelee todeäköisyysjakauma, koska eksoettifuktio määitelmä mukaa λ e λ λ λ λ λ f( ) e e e!! TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
20 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto /3 Takastellaa joki taahtuma A sattumista sama satuaiskokee toistoje aikaa. Oletukset: () Toistot ovat toisistaa iiumattomia. () P(Yksi taahtuma A lyhyellä aikavälillä dt) νdt (3) Aikaväli o dt o ii lyhyt, että todeäköisyys P(k kl taahtumia A aikavälillä dt, k > ) o häviävä iei eli ketaluokkaa o(t). Mekitää: f(; t) P( kl taahtumia A aikavälillä [, t]) Oletuste ()-(3) ätiessä aikavälillä [, t + dt] voi sattua kl taahtumia A kahdella toisesa oissulkevalla tavalla (t todeäköisyys): () kl taahtumia A ajahetkee t meessä; t f(; t) Ei taahtumia A aikavälillä dt; t νdt Lisäksi ämä ovat taahtumia toisistaa iiumattomia. () ( ) kl taahtumia A ajahetkee t meessä; t f( ; t) Yksi taahtuma A aikavälillä dt; t νdt Lisäksi ämä ovat taahtumia toisistaa iiumattomia. TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio johto 3/3 Poisso-jakauma Odotusavo, vaiassi ja stadadioikkeama Riiumattomie taahtumie tulosääö ja toisesa oissulkevie taahtumie yhteelaskusääö mukaa f(; t + dt) f(; t)( νdt) + f( ; t)νdt Saadaa eotusosamäää f ( t ; + dt) f( t ; ) ν [ f ( ; t) f( ; t) ] dt Atamalla dt, saadaa (: suhtee) diffeessiyhtälö df ( ; t) ν [ f ( ; t) f( ; t) ] dt Voidaa osoittaa, että tämä diffeessiyhtälö atkaisua o t e ν ( νt) f( ),,,,! Mekitsemällä νt λ saadaa Poisso-jakauma istetodeäköisyysfuktio. Olkoo X Poisso(λ) Odotusavo: E( X ) λ Vaiassi ja stadadioikkeama: Va( X) D ( X) λ D( X ) λ TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Poisso-jakauma Odotusavo johto Poisso-jakauma Pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja Olkoo X Poisso(λ) Site E( X) f( ) λ e λ! λ λ e! λ λ λe ( )! λ λ λe e λ Kuva oikealla esittää Poissojakauma Poisso(5) istetodeäköisyysfuktiota e λ λ f( )! λ 5 isteissä,,,, Jakauma odotusavo: E( ) λ Poisso(5) E(X) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4)
21 TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Olkoot X, X,, X k iiumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat Poisso-jakaumia aametei λ, λ,, λ k : X, X,, X k X i ~ Poisso(λ i ), i,,, k Tällöi satuaismuuttujie X, X,, X k summa Y X + X + + X k oudattaa Poisso-jakaumaa aametilla λ + λ + + λ k : Y ~ Poisso(λ + λ + + λ k ) Poisso-jakauma Poisso-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma / Tulos eustellaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. Huomautuksia: Jokaisella Poisso-jakaumalla saa olla ei aameti. Takoitamme satuaismuuttujie iiumattomuudella sitä, että yhdekää satuaismuuttuja saamat avot eivät iiu siitä, mitä avoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma /3 Biomitodeäköisyydet ovat lähellä Poissotodeäköisyyksiä, jos o suui ja o iei. Site Poisso-jakauma kuvaa haviaiste taahtumie todeäköisyyksiä itkissä toistokoesajoissa. Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma /3 Olkoo X Bi(, ) Olkoo λ/, jolloi λ. Aetaa + ja ii, että λ. Tällöi biomijakauma Bi(, ) lähestyy Poissojakaumaa Poisso(λ): lim f ( ) f ( ),,,, Bi(, ) Poisso( λ ) λ Huomautus: Ehto λ voidaa kovata lievemmällä ehdolla λ. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma 3/3 Poisso-jakauma ja biomijakauma välie yhteys äkyy myös siiä, että jakaumie odotusavot ovat lähellä toisiaa, jos o suui ja o iei: E( X) µ λ Tällöi myös jakaumie vaiassit ovat lähellä toisiaa: D( X ) µ λ q koska q Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma: Todistus /3 Olkoo X Bi(, ). Tällöi f X ( ) q, q,,,,, Oletetaa, että + ja samaa aikaa ii, että λ jossa λ > o vakio. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
22 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma: Todistus /3 Ottamalla huomioo, että λ ja q, voimme kijoittaa fx ( ) q ( )( ) ( + ) ( ) ( )! ( )( ) ( + ) λ ( )! ( ) λ ( )! ( ) Poisso-jakauma Biomijakauma ja Poisso-jakauma: Todistus 3/3 Kijoitetaa / / ( ) [( ) ] [( ) ] Luvu e määitelmä mukaa () lim[( ) / ] λ λ e λ Lisäksi ätee: () lim (3) lim( ) Yhdistämällä tulokset (), () ja (3) saadaa haluttu loutulos: lim fx ( ) λ λ e λ! TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Poisso-jakauma Poisso-osessi Poisso-jakauma Poisso-osessi ja eksoettijakauma Takastellaa joki taahtuma sattumista jatkuvalla aikavälillä, joka ituus o t. Määitellää diskeetti satuaismuuttuja X: X Niide taahtumie lukumäää, jotka sattuvat aikavälillä [, t] Soivi oletuksi (ks. edellä) satuaismuuttuja X oudattaa Poisso-jakaumaa aametiaa νt: X Poisso(νt) Paameti νt kuvaa taahtumaitesiteettiä eli taahtumie keskimäääistä lukumääää aikavälillä, joka ituus o t. Olkoo X Poisso(νt) Määitellää jatkuva satuaismuuttuja Y: Y Esimmäise taahtuma sattumisaika Taahtumie väliaika Satuaismuuttuja Y oudattaa eksoettijakaumaa aametiaa ν. Ks. takemmi lukua Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Poisso-jakauma Poisso-osessi: Esimekki Takastellaa adioaktiivista hajoamista. Olkoo satuaismuuttuja X aikavälillä [, t] hajoavie atomie lukumäää Tällöi X Poisso(νt) jossa ν o alkuaiekohtaie aameti, joka kuvaa keskimääi aikayksikköä kohde hajoavie atomie lukumääää. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 33
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
LisätiedotEhdollinen todennäköisyys
Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
Lisätiedot2. välikokeen mallivastaukset
TILASTOTIETEEN JATKOKURSSI, 10 OP, 19.1. 4.5.2010. Kijallisuus: Ilkka Mellin: Johdatus tilastotieteeseen, 2. kija. Luennoi: ylioisto-oettaja Pekka Pee. 2. välikokeen 4.5.2010 mallivastaukset 1. Täysiin
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia
Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.
Lisätiedot1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotJatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?
TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum Johdtus todeäköisyyslsket Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Tutustumme tässä luvuss seurvii jtkuvii todeäköisyysjkumii:
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotEstimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotLuento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I. Heikki Ruskeepää
Todeäköisyyslasketa I Heikki Ruskeepää 2012 Sisällys 2 1 Todeäköisyys 3 1.1 Klassie todeäköisyys 3 1.2 Kombiatoriikkaa 4 1.3 Aksiomaattie todeäköisyys 8 1.4 Ehdollie todeäköisyys 13 1.5 Riippumattomuus
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
LisätiedotLasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:
Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan peruskäsitteet. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Johdatus todeäköisyyslasketaa Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 2 Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet: Mitä opimme?
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotSuurten poikkeamien teoriasta sovelluksena satunnaiskulku satunnaisessa ympäristössä. Kirjoittanut: Juha-Antti Isojärvi Ohjaaja: Jaakko Lehtomaa
Suurte poikkeamie teoriasta sovelluksea satuaiskulku satuaisessa ympäristössä Kirjoittaut: Juha-Atti Isojärvi Ohjaaja: Jaakko Lehtomaa 20. lokakuuta 204 Tiivistelmä Pitkissä kolikoheittosarjoissa kruuie
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedotj = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =
764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
Lisätiedot