Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
|
|
- Marja Juusonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla. Samoi kokeissa pärjää sitä paremmi mitä eemmä äitä tehtäviä o itse harjoitellut. Koetehtävät ovat olleet aia harjoitustehtävie variaatioita. Harjoitustehtävät taas ovat käsitelleet pääosi) seuraavia aiheita:. Fuktiot eli kuvaukset): ijektiot, surjektiot ja bijektiot. Kääteisfuktiot. Määrittelyjoukot.. Relaatiot. 3. Iduktiotodistus. 4. Ratioaali- ja irratioaaliluvut. 5. Biomikaava. 6. Epäyhtälöt. Kolmioepäyhtälö. 7. Supremum ja ifimum. 8. Raja-arvot. Kuristusperiaate. 9. Jatkuvuus. Jatkuvie fuktioide omiaisuudet: e saavat suljetulla välillä maksimi ja miimi. 0. Potessifuktiot. Neperi luku e ja se esitys sarjaa.. Geometriset sarjat. Sarjoje suppeemie/hajaatumie. Majoratti/miorattiperiaate. Osamäärätesti. Itseie suppeemie.
2 Kaikkia äitä aihe-alueita ei tässä käydä läpi. Aloitamme algebralla, koska usei kokeessa käy ii, että ymmärtää tehtävä idea mutta oma laskutekie osaamie ei vaa riitä. Kaikissa yllä luetelluissa aiheissa hyötyy suuresti algebra osaamisesta. Tarvittavat laskutekiikat yhtälöide ja epäyhtälöide pyörittämisee oppii varsi opeasti, kuha jaksaa itse laskea äitä tehtäviä. Kokeessa o siis oleellista osata. Maipuloida lausekkeita kute Maipuloida epäyhtälöitä kute x <. Tämä moistee tehtävissä käytetää kaikissa jokilaista algebraa: esimerkiksi iduktiotehtävissä otetaa yleesä yhteisiä tekijöitä ja raja-arvotehtävissä usei osoittaja ja imittäjä kerrotaa jollaki luvulla. Kiiitä jokaise tehtävä kohdalla huomiota käytettyihi tekiikoihi, sillä iide osaamie o kokeessa erityise oleellista. Fuktiot Yleesä helpoimpia fuktiotehtäviä o laajimpie mahdolliste määrittelyjoukkoje etsimie. Harjoitus. Fuktio määrittelyjoukot) Esitä seuraavie fuktioide laaji mahdollie määrittelyjoukko eli mahdollisimma suuri joukko A site, että f o fuktio A B jolleki maalijoukolle B): a) f x) = x b) f x) = /x c) f x) = x d) f x) = / x x + 5 e) f x) = x + 4 x + 4x + 4 f ) f x) = x + Usei tehtävää o todistaa tietty fuktio ijektioksi ja/tai surjektioksi. Jos fuktio o sekä ijektio, että surjektio, se o bijektio ja sillä o täte
3 kääteiskuvaus. Jatkotehtävää o yleesä löytää tämä kääteiskuvaus. Harjoitus. Ijektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat ijektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole ijektio. a) f x) = x, f : R R b) f x) = x, f : R + R c) f x) = x, f : [ 3, 3] R d) f x) = x, f : R + R e) f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Harjoitus.3 Surjektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat surjektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole surjektio. a) f x) = x, f : R R b) f x) = x, f : R R + c) f x) = x, f : R + R + d) e) f x) = x, f : R + R f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Ratkaisu: Fuktio o surjektio, jos jokaisella se maalijouko alkiolla y o joki alkio x lähtöjoukossa site että f x) = y. a) ei ole surjektio, sillä egatiivisilla alkiolla y ei ole alkiota x site että y = x. Se sijaa jokaisella ei-egatiivisella alkiolla y o joki alkio x eli alkio y) site että y = x. Täte b)-kohda fuktio o surjektio. Samoi c)-kohda fuktio. d)-kohda fuktio ei ole surjektio, koska sekää ei saa egatiivisia arvoja. Kohtie e ja f fuktiot ovat surjektioita. Harjoitus.4 Yhdistetyt kuvaukset) Muodosta yhdistetyt kuvaukset f g ja g f oleta, että määrittelyjoukot o rajattu site, että kyseiset kuvaukset ovat olemassa), ku: a) f x) = x 3, gx) = 5x b) f x) = x /3, gx) = x c) f x) = x + 6x +, gx) = x + d) f x) = x, gx) = /x 3
4 Ratkaisu: a) f g = f gx)) = f 5x) = 5x) 3 = 5x 3 g f = g f x)) = gx 3 ) = 5x 3 b) f g = f gx)) = f x) = x) /3 = x /6 g f = g f x)) = gx /3 ) = x /3 = x /6 c) f g = f gx)) = f x + ) = x + ) + 6x + ) + g f = g f x)) = gx + 6x + ) = x + 6x + ) + d) f g = f gx)) = f /x) = /x g f = g f x)) = gx) = /x Harjoitus.5 Kääteiskuvaukset) Osoita että seuraavilla fuktioilla f o kääteiskuvaus f x) todistamalla, että e ovat bijektioita eli ijektioita ja surjektioita). Etsi kyseie kääteiskuvaus. Tarkista että f f = x = f f eli että kyseiset yhdistetyt kuvaukset ovat idettisiä kuvauksia). a) b) c) f x) = x 3, f : R R f x) = x /3, f : R R f x) = /x, f : R \ {0} R d) f x) = x, f : R + R + e) f x) = x 3 + 0, f : R R Ratkaisu: Esitä tässä aioastaa kääteiskuvaukset. Bijektiivisyyde voi osoittaa todistamalla, että jokaisella y B o tasa yksi x A site, että f x) = y a) f x) = x /3 b) f x) = x 3 c) f x) = /x d) f x) = x e) f x) = x 0) /3 Harjoitus.6 Ijektiot) Etsi mahdollisimma suuret reaaliakseli välit A ja B site, että f x) = x + 6x o ijektio A:ssa ja B:ssä. 3 Iduktiotodistus Harjoitus 3. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N ) = 4 +.
5 Harjoitus 3. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, = + ). Harjoitus 3.3 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, < Harjoitus 3.4 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, = + ) + ). 6 Harjoitus 3.5 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, = Harjoitus 3.6 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, 4 Kolmioepäyhtälö = + ). 4 Harjoitus 4. Kolmioepäyhtälö) Kolmioepäyhtälö kertoo, että a + b a + b. Todista tämä avulla, että a b a c + b c Mitä tämä tarkoittaa ituitiivisesti, ku itseisarvo tulkitaa etäisyyteä? Harjoitus 4. Kolmioepäyhtälö) Osoita, että a + b + c a + b + c 5 Raja-arvoja Harjoitus 5. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x 3 ) x x Harjoitus 5. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x ) 8 x 3 x 9 5
6 Harjoitus 5.3 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x 4 ) 6 x x Harjoitus 5.4 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + ) 3 Harjoitus 5.5 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + 7 ) 3 Harjoitus 5.6 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + 6 Sarjoja Oleellista o osata geometriset sarjat ja mioratti- ja majorattiperiaate. Itseistä suppeemista voi joutua käyttämää. Huomaa, että etsittäessä miorattisarjaa, o kyseie miorattisarja yleesä. = Vastaavasti etsittäessä majorattisarjaa, o tämä sarja yleesä joki suppeeva geometrie sarja. Harjoitus 6. Geometriset sarjat) Mitkä seuraavista ovat geometrisia sarjoja? Jos kyseessä o geometrie sarja, mikä o se suhdeluku? a) b) c) + / + /4 + d) / + /4 /8 + e) x + x ) + x ) 3 + Harjoitus 6. Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja ) + / + /4 + = 6 =0
7 summa? Harjoitus 6.3 Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja summa? / + /4 = ) =0 Harjoitus 6.4 Sarja suppeemie) Millä x: arvoilla suppeee? x + x ) 3 + x ) 5 + Harjoitus 6.5 Desimaaliluvu esittämie murtolukua) Esitä, kahde kokoaisluvu osamäärää. Harjoitus 6.6 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko + = Harjoitus 6.7 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko = 4 + Harjoitus 6.8 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko =! + Harjoitus 6.9 Majoratti/miorattiperiaate) Kehitä itse oma majorattiperiaatetehtävä ja miorattiperiaatetehtävä. Tämä o yllättävä helppoa, majorattiperiaattee tapauksessa tämä eteee seuraavasti:. Etsi sarja joka tiedä suppeeva.. Lisää imittäjää joki vakio tai väheä osoittajasta joki vakio, jolloi saat uude sarja, joka jokaie termi o pieempi kui aikaisemma suppeeva sarja vastaava termi. Miorattiperiaattee tapauksessa etsit sarja, joka haatuu ja muokkaat tästä uude sarja joka jokaie vastaava termi o suurempi kui tämä hajaatuva miorattisarja. 7
8 Ratkaisut Fuktiot Harjoitus. Fuktio määrittelyjoukot) Esitä seuraavie fuktioide laaji mahdollie määrittelyjoukko eli mahdollisimma suuri joukko A site, että f o fuktio A B jolleki maalijoukolle B): a) f x) = x b) f x) = /x c) f x) = x d) f x) = / x x + 5 e) f x) = x + 4 x + 4x + 4 f ) f x) = x + Ratkaisu: Tässä oleellista o muistaa, että ollalla ei saa jakaa ja että eliöjuuri ei ole määritelty egatiivisilla luvuilla. a) x o määritelty kaikilla reaaliluvuilla, jote A = R. b) /x o määritelty kaikilla reaaliluvuilla paitsi ollalla, jote A = R \ {0}. c) x o määritelty kaikilla ei-egatiivisilla reaaliluvuilla, jote A = R + {0}. d) / x o määritelty kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla, jote A = R +. e) x+5 x+4 o määritelty ku x 5 ja x = 4. f ) x +4x+4 x + o määritelty kaikilla reaaliluvuilla, koska x + 4x + 4 = x + ) 0 x R ja x + = 0 x R. Harjoitus. Ijektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat ijektioita? 8
9 Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole ijektio. a) b) c) d) e) f x) = x, f : R R f x) = x, f : R + R f x) = x, f : [ 3, 3] R f x) = x, f : R + R f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Ratkaisu: Se todistamie, että joki fuktio ei ole ijektio o usei helppoa: valitaa kaksi x-arvoa, joilla fuktio saa sama arvo. Se sijaa se todistamie, että joki fuktio o ijektio, o vaikeampaa. Pitää valita kaksi erisuurta x-arvoa x ja x ja osoittaa että fuktio arvo o äissä pisteissä erisuuri. a) ei ole ijektio, sillä esimerkiksi f ) = f ), vaikka =. b) o ijektio. Tämä todistetaa seuraavasti: valitaa x = x. Koska määrittelyjoukkoa o R +, sekä x, että x ovat positiivisia. Täte x + x = 0, jote x = x x x = 0 x x )x + x ) = 0 x x = 0 x = x c) ei ole ijektio samasta syystä kui a)-kohda fuktio. d) o ijektio. Tämä todistetaa seuraavasti: valitaa x = x x x = 0 x + x ) x x ) = 0 x x = 0 eli x = x, sillä lausekkee x + x ) x x ) kummaki tekijä o oltava erisuuria kui olla, sillä muute koko lausekeki olisi olla. d), e) ja f ) ovat ijektioita. Todistukset eteevät samaa mallii. Harjoitus.3 Surjektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat surjektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole surjektio. a) f x) = x, f : R R b) f x) = x, f : R R + c) f x) = x, f : R + R + d) e) f x) = x, f : R + R f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Ratkaisu: Fuktio o surjektio, jos jokaisella se maalijouko alkiolla y o joki alkio x lähtöjoukossa site että f x) = y. 9
10 a) ei ole surjektio, sillä egatiivisilla alkiolla y ei ole alkiota x site että y = x. Se sijaa jokaisella ei-egatiivisella alkiolla y o joki alkio x eli alkio y) site että y = x. Täte b)-kohda fuktio o surjektio. Samoi c)-kohda fuktio. d)-kohda fuktio ei ole surjektio, koska sekää ei saa egatiivisia arvoja. Kohtie e ja f fuktiot ovat surjektioita. Harjoitus.4 Yhdistetyt kuvaukset) Muodosta yhdistetyt kuvaukset f g ja g f oleta, että määrittelyjoukot o rajattu site, että kyseiset kuvaukset ovat olemassa), ku: a) f x) = x 3, gx) = 5x b) f x) = x /3, gx) = x c) f x) = x + 6x +, gx) = x + d) f x) = x, gx) = /x Ratkaisu: a) f g = f gx)) = f 5x) = 5x) 3 = 5x 3 g f = g f x)) = gx 3 ) = 5x 3 b) f g = f gx)) = f x) = x) /3 = x /6 g f = g f x)) = gx /3 ) = x /3 = x /6 c) f g = f gx)) = f x + ) = x + ) + 6x + ) + g f = g f x)) = gx + 6x + ) = x + 6x + ) + d) f g = f gx)) = f /x) = /x g f = g f x)) = gx) = /x Harjoitus.5 Kääteiskuvaukset) Osoita että seuraavilla fuktioilla f o kääteiskuvaus f x) todistamalla, että e ovat bijektioita eli ijektioita ja surjektioita). Etsi kyseie kääteiskuvaus. Tarkista että f f = x = f f eli että kyseiset yhdistetyt kuvaukset ovat idettisiä kuvauksia). a) f x) = x 3, f : R R b) f x) = x /3, f : R R c) f x) = /x, f : R \ {0} R d) f x) = x, f : R + R + e) f x) = x 3 + 0, f : R R Ratkaisu: Esitä tässä aioastaa kääteiskuvaukset. Bijektiivisyyde voi osoittaa todistamalla, että jokaisella y B o tasa yksi x A site, että 0
11 f x) = y a) f x) = x /3 b) f x) = x 3 c) f x) = /x d) f x) = x e) f x) = x 0) /3 Harjoitus.6 Ijektiot) Etsi mahdollisimma suuret reaaliakseli välit A ja B site, että f x) = x + 6x o ijektio A:ssa ja B:ssä. Ratkaisu: Ratkaistaa yhtälö y = x + 6x x: suhtee: y = x + 6x x + 6x y = 0 x = 6 ± y. Tällä o reaalisia ratkaisuja aioastaa, ku y 0 eli ku y 9. Tehtävä paraabeli f x) = x + 6x saavuttaa pohjasa kohdassa x = 3. Valitaa välit A ja B site, että x = 6 ± y o yksikäsitteie äillä väleillä. Ku x kuuluu välille, 3], o kyseie kuvaus yksikäsitteisesti: x = y Samoi jos x kuuluu välille 3, ), o kuvaus yksikäsitteie: x = y. Täte mahdollisimma laajat välit A ja B ovat : A =, 3], B = 3, ) Iduktiotodistus Harjoitus. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N Ratkaisu: ) = +. Tai vastaavasti A =, 3), B = [3, ): tuo umero 3 voi kuulua kumpaa tahasa välii.
12 . Ku =, = / eli kumpiki puoli ovat samoja, jote yhtälö pätee arvolla =.. Oletetaa yhtälö todeksi arvolla. Päätellää tästä yhtälö todeksi arvolla + lisäämällä kummalleki puolelle termi ja sie- +)+) vetämällä vase puoli haluttuu muotoo: ) = ) + + ) + ) = ) + ) + ) + = + ) + ) = ) + ) + ) = + ) + ) = + +, jote väite pätee arvolla +. Iduktio ojalla väite pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Harjoitus. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, Ratkaisu: = + ).. Arvolla P) o tosi, sillä yhtälö pätee tällä arvolla: vasemmalle puolelle jää ja oikealle puolelle + )/ =.. Oletetaa että yhtälö pätee arvolla. Tällöi + ) =. Lisätää kummalleki puolelle +, ja muokataa yhtälö oikeaa puolta: + ) ) = + + ) + ) + ) = + + ) + + ) = + ) + ) =,
13 jote väite pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Harjoitus.3 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, Ratkaisu: <. Ku =, <, eli väite pätee.. Tehdää iduktio-oletus: < o tosi. Iduktioväite: + < + Eli meidä pitää päätellä oletuksesta < väite + < +. Aloitetaa muokkaamalla epäyhtälö oikea puoli haluttuu muotoo Tämä tapahtuu kertomalla kumpiki puoli kahdella: < < +. Iduktioväite o todistettu, jos voidaa päätellä, että +, koska tällöi + < + + < +. Väite + o helppo todistaa: väheetää kummaltaki puolelta ja saadaa mikä o selkeästi tosi, sillä kuuluu luoollisii lukuihi. Täte väite o todistettu. 3 Kolmioepäyhtälö Harjoitus 3. Kolmioepäyhtälö) Kolmioepäyhtälö kertoo, että a + b a + b. Todista tämä avulla, että a b a c + b c Mitä tämä tarkoittaa ituitiivisesti, ku itseisarvo tulkitaa etäisyyteä? Ratkaisu. Tässä tehtävässä o ideaa lisätä c c eli olla itseisarvo sisälle ja soveltaa kolmioepäyhtälöä; a b = a c + c b a c + c b = a c + b c Tämä voi tulkita site, että kahde pistee a ja b etäisyys a b o pieempi kui etäisyys kuljettua pistee c kautta eli a c + b c joka o siis etäisyys a:sta c:he plus etäisyys c:stä b:he. Harjoitus 3. Kolmioepäyhtälö) Osoita, että a + b + c a + b + c 3
14 Ratkaisu. Kolmioepäyhtälöä voi soveltaa suoraa lukuihi a + b ja c: a + b + c a + b + c. Nyt sovelletaa kolmioepäyhtälöä toise kerra: a + b + c a + b + c Lisäksi b b, jote a + b + c a + b + c 4 Raja-arvoja Harjoitus 4. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x x 3 ) x Ratkaisu: Tässä käytetää kahta algebra kaavaa: a b = a b)a + b) ja a 3 b 3 = a b)a + ab + b ). Näide aktiivie osaamie kokeessa o oleellista. x x 3 ) x x = 3 ) x x )x + ) x )x = ) + x + ) x x )x + ) x = ) + x + ) = 3/. x x + ) Harjoitus 4. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x ) 8 x 9 x 3 Ratkaisu: Tämä o vähä edellistä vaikeampi: yt kaavaa a b = a b)a + b) käytetää kahtee otteesee: x 8 x 9 x 3 ) = x 9 ) x 9)x + 9) x 3 ) x 3) x + 3)x + 9) = x 9 x 3 ) x + 3)x + 9) = x 9 = 6 8 = 08 4
15 Harjoitus 4.3 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x x 4 ) 6 x Ratkaisu: Jällee käytetää kaavaa a b = a b)a + b) kahdesti: x x 4 ) 6 x x = 4)x ) + 4) x x x )x + )x = ) + 4) x x x + )x = ) + 4) = 3 x Harjoitus 4.4 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + ) 3 Ratkaisu. Huomataa, että raja-arvo muistuttaa Neperi luvu e määritelmää. Muokataa lauseketta: + ) 3 = + ) ) 3 = = e 3. + ) ) 3 Huomaa, että tässä raja-arvo otettii ulkofuktio gx) = x 3 sisältä. Koska tämä fuktio o jatkuva, ii raja-arvo saa ottaa tällä tavalla fuktio sisältä. Lisäksi käytettii algebra tulosta, joka mukaa x ab = x a ) b. Harjoitus 4.5 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + 7 ) 3 Ratkaisu. Huomataa, että jällee raja-arvo muistuttaa Neperi luvu e 5
16 määritelmää: + 7 ) 3 = + /7 + ) 3 ) ) 3 = /7 = + ) ) /7 3 7 /7 = /7 = /7 = e) 3 7 = e 8 + ) ) /7 3 7 /7 + ) ) /7 3 7 /7 Huomaa, että tässä otettii jällee raja-arvo ulkofuktio sisästä. Lisäksi käytettii tietoa, joka mukaa silloi ku kasvaa rajatta eli ii myös /7 kasvaa rajatta eli /7. Harjoitus 4.6 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + Ratkaisu. Tässä tehtävässä imittäjä o. Kirjoitetaa lauseke siis muodossa. + Nyt osoittajassa o erotus a b. Kerrotaa yt osoittaja ja imittäjä sum- 6
17 malla a + b, jolloi voidaa hyödytää kaavaa a b)a + b) = a b : + + ) = + + ) + + ) + ) = + + ) = + ) + + ) = + + ) = + /) + ) = + / + ) = + / + ) = = / + / + Tässä siis pyrittii löytämää yhteisiä tekijöitä imittäjästä ja osoittajasta. Tekijä saatii yhteiseksi tekijäksi. Huomaa erityisesti, kuika otettii ulos eliöjuuresta. 5 Sarjoja Oleellista o osata geometriset sarjat ja mioratti- ja majorattiperiaate. Itseistä suppeemista voi joutua käyttämää. Huomaa, että etsittäessä miorattisarjaa, o kyseie miorattisarja yleesä. = Vastaavasti etsittäessä majorattisarjaa, o tämä sarja yleesä joki suppeeva geometrie sarja. Harjoitus 5. Geometriset sarjat) Mitkä seuraavista ovat geometrisia sar- 7
18 joja? Jos kyseessä o geometrie sarja, mikä o se suhdeluku? a) b) c) + / + /4 + d) / + /4 /8 + e) x + x ) + x ) 3 + Ratkaisu: Kaikki muut paitsi a) ovat geometrisia sarjoja. Suhdeluvut: b): 4, c) : /, d) : /, e) : /x ). Harjoitus 5. Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja ) + / + /4 + = summa? =0 Ratkaisu: Geometrise sarja summa o esimmäie termi A jaettua q:lla, jossa q o suhdeluku. A = ja q = /, jote kyseie summa o / /)) =. Harjoitus 5.3 Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja / + /4 = ) summa? =0 Ratkaisu: A = ja q = /, jote kyseie summa o / /)) = /3. Harjoitus 5.4 Sarja suppeemie) Millä x: arvoilla suppeee? x + x ) 3 + x ) 5 + Ratkaisu: Kirjoitetaa lauseke esi geometrise sarja kaavamuodossa: ) x + x ) 3 + x ) 5 + = i x x ) i=0 Kyseessä o siis geometrie sarja. Geometrie sarja suppeee ku se suhdeluku o itseisarvoltaa pieempi kui yksi. Eli ku x ) < < x ) x > tai x < 0 8
19 Harjoitus 5.5 Desimaaliluvu esittämie murtolukua) Esitä, kahde kokoaisluvu osamäärää. Ratkaisu:, = + /0 + /00 + = ) i = 0 i=0 = /9/0) = 0/9 /0 Harjoitus 5.6 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko + = Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi: Sarja + > =. = o puolestaa harmoie sarja joka hajaatuu. Miorattiperiaattee ojalla + = hajaatuu. Harjoitus 5.7 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko = 4 + Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi 4 + < 4, joka o geometrise sarja yleie termi. = 4 = /4 /4 = /3 eli kyseie sarja suppeee, jote majorattiperiaattee ojalla myös = 4 + 9
20 suppeee. Harjoitus 5.8 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko =! + Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi se imittäjässä o kertoma!, mikä viittaisi että voimme ehkä verrata tätä sarjaa =0! = e. Huomataa, että tehtävä sarja jokaie termi o pieempi kui tuo sarja =0! = e vastaava termi. Eli =! + < =!, jote sarja suppeee majorattiperiaattee ojalla. Harjoitus 5.9 Majoratti/miorattiperiaate) Kehitä itse oma majorattiperiaatetehtävä ja miorattiperiaatetehtävä. Tämä o yllättävä helppoa, majorattiperiaattee tapauksessa tämä eteee seuraavasti:. Etsi sarja joka tiedä suppeeva.. Lisää imittäjää joki vakio tai väheä osoittajasta joki vakio, jolloi saat uude sarja, joka jokaie termi o pieempi kui aikaisemma suppeeva sarja vastaava termi. Miorattiperiaattee tapauksessa etsit sarja, joka haatuu ja muokkaat tästä uude sarja joka jokaie vastaava termi o suurempi kui tämä hajaatuva miorattisarja. Lisäksi =! = e, koska 0! =. 0
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotLasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1
Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 4
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotSeuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi
Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause
LisätiedotSuppenemistestejä sarjoille
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma Karoliia Alajoki Suppeemistestejä sarjoille Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Huhtikuu 03 Tamperee Yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö ALAJOKI, KAROLIINA:
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Lisätiedot1. Funktiot, lukujonot, raja-arvot, jatkuvuus
1 MAT-13430 Laaja matematiikka 3 TTY 2010 Risto Silveoie 1. Fuktiot, lukujoot, raja-arvot, jatkuvuus Kertaamme ja täydeämme Lama 1: fuktioita käsittelevää osuutta. Puuttuvista todistuksista suuri osa käydää
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotEksponenttifunktio. Sanni Muotka. Matematiikan pro gradu
Ekspoettifuktio Sai Muotka Matematiika pro gradu Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos Kevät 203 Tiivistelmä: S. Muotka, Ekspoettifuktio, matematiika pro gradu -tutkielma, Jyväskylä yliopisto,
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 06 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Iduktioperiaate
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
LisätiedotEräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot