dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

Transkriptio

1 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux + a = ux ja a o hilavakio. Lasketaa esi dψ = d eikx ux = ikψ + e d2 ψ = d dψ 2 = d = ikikψ + e = k 2 ψ + 2ike du ikψ + eikx + eikx ik du + d2 u 2 Sijoitetaa tämä yrite Schrödigeri yhtälöö + d2 u eikx. 2 Lisäksi d 2 ψ + Uxψ = Eψ 2 k 2 e ikx u + 2ike + d2 u eikx + Uxe ikx u = Ee ikx u 2 d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u. p = ψ i d ψ = = k u 2 + u i d = k + u x i d ux, e ikx u i ike ikx u + e u ku oletetaa ormalisoiti u 2 = 1.

2 2. Tehtävä: Laske välivaiheet lueoilla esitetystä laskusta, missä johdetaa tiuka sidokse malli dispersiorelaatio E k = α 2β cos ka. Vihje: laske lausekkee E k = ψ xhψx/ ψ xψx imittäjä ja osoittaja eriksee. Kirjoita kumpiki tuplasummausmuotoo A ja laske kaikki A käytte hyväksi kidepotetiaali Ux jaksollisuutta. Oleta, että ketjussa olevie atomie määrä N o suuri, jolloi voit sivuuttaa kaikki ketju päistä mahdollisesti aiheutuvat hakaluudet. Ratkaisu: Oletetaa, että aaltofuktiot ovat muotoa ψx = e ika φx a. Lasketaa sitte eergia omiaisarvo E k = ψ xhψx ψ xψx, missä H = + Ux. Lasketaa esi imittäjä 2 ψ xψx = e ika φ x aφx a d 2 Jos oletetaa kute lueoissa, että { 1 = φ x aφx a = δ, = 0, saadaa, että ψ xψx = N, missä N o ketjussa olevie atomie määrä summa alku- ja loppupää termit o sivuutettu. Tarkastellaa sitte osoittajaa ψ xhψx = e ika φ x ahφx a = φ x ahφx a + e ika φ x ahφx + 1a + e ika φ x ahφx 1a + e ika φ x ahφx a, >1 αn βne ika + e ika = N α 2β cos ka.

3 Yllä o jällee tehty luetoje oletukset 84 ja 85. Site saadaa E k = α 2β cos ka. 3. Tehtävä: Laske ryhmäopeus v a hilavärähtelyille oleta 1-ulotteie hila ja 1-atomie kata ja b vapaille elektroeille. Aaltopaketti voi edetä muotoaa muuttamatta, jos vk o vakio. Missä tapauksissa ii o? Ratkaisu: a 1-ulotteise hila dispersiorelaatio o kaava 21 K ka ω = 2 si M 2. Nyt ryhmäopeus o v = dω K dk = a ka cos M 2. b Vapaalle elektroille dispersiorelaatio o jote ryhmäopeus o ω = E = k2, v = k m. Ryhmäopeus o vakio, ku dispersiorelaatio o muotoa ω = vk, missä v o vakio ryhmäopeus. Tämä o voimassa esim. ääiaalloilla, kts. kaava Tehtävä: Tarkastellaa tiuka sidokse mallia, missä dispersio o E k = α 2β coska. Ratkaise vk, kt, vt ja xt käyttäe puoliklassisia liikeyhtälöitä v = 1 de dk, F = dk dt, ku elektroii vaikuttaa vakiovoima F ja se lähtee levosta k0 = 0, x0 = 0. Kuika kaua kestää, että elektroi o palaut lähtöpisteeseesä? Ratkaisu: Tiuka sidokse eergioide omiaisarvot saadaa kaavasta 87 E k = α 2β cos ka. Nyt ryhmäopeus o v = 1 de k dk = 2aβ si ka. 1

4 Oletetaa sitte, että elektroii vaikuttaa vakiovoima F. Liikeyhtälöstä 95 saadaa dk dt = F kt = k0 + F t = F t missä o oletettu, että elektroi lähtee liikkeelle levosta k0 = 0. Sijoittamalla kt yhtälöö 1 saadaa vt = 2aβ si[f a t]. Nyt 2β = vt xt = C dt F cos F a t = 2β 1 cos F a F t, missä vakio C määräytyy alkuehdosta x0 = 0. Elektroi o takaisi lähtöpisteessä aia, ku t = m 2π F a, missä m o positiivie kokoaisluku. Jaksollisessa potetiaalissa elektroi jää siis värähtelemää edestakaisi lähtöpisteesä ympäristöö. Tätä ilmiötä kutsutaa Bloch-värähtelyksi. Esimmäise kerra elektroi palaa lähtöpisteeseesä, ku m = 1, eli siis hetkellä t = 2π F a. Taajuutta ν B = F a/h kutsutaa Bloch-taajuudeksi. 5. Tehtävä: Lueolla efektiivie massa määriteltii kaavalla E E 0 + k k 0 2. Osoita, että efektiivie massa voidaa laskea lausekkeesta d 2 E/dk 2. Sovella tätä tiuka sidokse mallii E = α 2β cos ka laskemalla m arvoilla k = 0 ja k = π/a. Laske myös eergiakaista leveys. Ratkaisu: Derivoidaa eergia lauseketta k: suhtee: ja edellee de dk = d dk [k2 2k 0 k k 2 0] = [2k 2k 0] d 2 E dk = d 2 dk [2k 2k 0] = 2 = m.

5 Tästä voidaa ratkaista efektiivie massa d 2 E/dk 2. Tiuka sidokse mallissa E = α 2β cos ka ja site Efektiivie massa o yt siis d 2 E dk 2 = 2a2 β cos ka. Efektiivie massa arvolla k = 0: ja arvolla k = π/a d 2 E/dk 2 = 2a 2 β cos ka. 2a 2 β cos 0 = 2a 2 β. 2a 2 β cos π = 2a 2 β. Huomaa, että eergiakaista huipu lähellä efektiivie massa voi olla egatiivie. Eergiakaista saa ääriarvosa pisteissä k = 0 ja k = π/a ja site kaista leveys o E = 4β.