Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Transkriptio

1 Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x = 0, tulee jatkuvaksi pisteessä x = Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion f jatkuvuudesta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja ε, δ jne. 4. Olkoot c > 0 ja d > 0 vakioita, a R ja f : R R sellainen funktio, että kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f(x) f(a) < c ε aina, kun x a < d δ. Osoita, että f on jatkuva pisteessä a. 5. Anna esimerkki funktiosta f : R R, joka on epäjatkuva pisteissä 1, 1, 1 3, 1 4,... ja jatkuva muualla. Tässä tehtävässä funktion jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä. 6. Olkoon f : [0, π] R sellainen funktio, että f on oikealta jatkuva pisteessä x = 0 ja f(x) > sin x kaikilla x [0, π]. Osoita, että funktio on rajoitettu välillä [0, π ]. g(x) = 1 f(x) 7. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jatkuvan ja epäjatkuvan funktion yhdistetty funktio on aina epäjatkuva.

2 8. Olkoon f sellainen pisteen a jossakin ympäristössä U δ (a) määritelty funktio, että f on jatkuva pisteessä a. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos f(x) > 0 kaikilla x U δ(a), niin f(a) > Määritä luvut a ja b siten, että b a = 1 4 ja yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu välillä [a, b]. x = x x 10. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä [0, ] ja että 0 < f(x) < kaikilla x [0, ]. Osoita, että on olemassa sellainen c ]0, [, että f(c) = c. Vihje: Tarkastele sopivaa apufunktiota. 11. Olkoon f : R R sellainen jatkuva funktio, että lim. x Osoita, että f on rajoitettu kaikilla x Olkoon f : [a, b] R jatkuva ja aidosti kasvava funktio ja g : [f(a), f(b)] R jatkuva ja aidosti vähenevä funktio. Osoita, että funktiolla g f on käänteisfunktio välillä [a, b]. Mikä on käänteisfunktion on määrittelyväli? 13. Osoita, että funktio 3x + on tasaisesti jatkuva välillä [1, [. 14. Anna esimerkki välillä ]5, 7[ jatkuvasta funktiosta, joka ei ole tällä välillä tasaisesti jatkuva. 15. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (x), kun 1 x (x > 0). 16. Tutki, onko funktio x + x x derivoituva pisteessä x = 1. Jos funktio ei ole derivoituva pisteessä x = 1, niin tutki oikean- ja vasemmanpuolisen derivaatan olemassaoloa. 17. Olkoon f sellainen pisteessä x = 0 derivoituva funktio, että f (0) = c (c R) ja f(x + y) = f(x)f(y) x, y R. Oletetaan lisäksi, että f ei ole vakiofunktio. Osoita, että f on derivoituva kaikilla x R ja että f (x) = cf(x) x R.

3 18. Osoita, että funktio { sin x, kun x > 0, x + x, kun x 0, on derivoituva mutta ei ole kahdesti derivoituva pisteessä x = Olkoon Ratkaise yhtälö f (x) = 0. ( ) sin x tan 1 + sin. x 0. Määritä funktion x 1 (x > 1 ) derivaatta sekä yhdistetyn funktion että käänteisfunktion derivoimissäännön avulla. 1. Olkoot f : R R ja g : R R sellaisia funktioita, että f(0) = g(0) ja f (0) > g (0). Osoita, että on olemassa a > 0 siten, että f(x) g(x) kaikilla x [0, a].. Osoita, että funktiolla x 5 + 3x 3 9x + 1 on täsmälleen kaksi positiivista nollakohtaa. 3. Osoita, että sin x sin y x y kaikilla x, y R. 4. Osoita väliarvolausetta käyttämällä, että funktio x cos 1 x on tasaisesti jatkuva välillä ]0, 1[. 5. Olkoon a > 0 ja f : R R sellainen derivoituva funktio, että f (x) 1 + a kaikilla x R. Osoita, että on olemassa sellainen c R, että f(x) > x aina, kun x > c. Vihje: Tarkastele erotusta f(x) x.

4 6. Osoita, että funktiolla 6x 5 15x x on käänteisfunktio, joka on jatkuva kaikilla x R. Missä pisteissä käänteisfunktion derivaattaa ei voida määrittää? 7. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a + arc cos ( 1 x +1), kun x < 0, π, kun x = 0, b arc tan ( 1 x), kun x > 0, tulee jatkuvaksi pisteessä x = Osoita, että kun x > 0. arc tan x > x x3 3, 9. Määritä käyttämättä laskinta tai taulukkokirjaa cos(arc tan x) ja sin(arc cot x), kun x =. 30. Määritä raja-arvo lim x 0 e x 1. x 31. Olkoon f : R R sellainen välillä [a, b] jatkuva ja välillä ]a, b[ derivoituva funktio, että f(a) = f(b) = 0. Osoita, että on olemassa sellainen välin ]a, b[ piste ξ, että f (ξ) = f(ξ). Vihje: Sovella Rollen lausetta sopivaan apufunktioon. 3. Olkoon ex + e x ja ( g(x) = log x + ) x 1 Osoita, että (g f)(x) = (f g)(x) kaikilla x 1. (x 1). 33. Olkoon a, b > 0 ja x R. Todista, että (ab) x = a x b x.

5 34. Olkoon x > 0. Määritä laajin väli, jolla funktio on aidosti vähenevä. (3x) log x 35. Määritä 36. Määritä 37. Olkoon a Z +. Määritä lim x 1 x 500 5x 17 3x x x 3 13 lim (1 + x 0 x)cot x. lim x(log x 0+ x)a. 38. Määritä funktion (arc tan x) arc tan x (x > 0) paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu. 39. Määritä funktion { x x, kun x <, log (x + ), kun x, paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu. 40. Osoita, että kun x < 1. e x 1 1 x,