MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Transkriptio

1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto

2 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat

3 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte luennot tentit suoritusmerkinnät pääassistentti Casimir Lindfors käytännön järjestelyt laskarit laskaripisteet ilmoittautumiset 5 laskuharjoitusassistenttia : laskareiden pitäminen, tehtävien korjaaminen, pisteiden kirjaaminen

4 1.1 Viikko-ohjelma 2 luentoa (ti & to 10-12) 2 harjoitukset 6 eri ryhmää ilmoittaudu tasan yhteen ryhmään Vierailu muissa ryhmissä sallittua, mikäli luokkiin mahtuu!

5 1.1 Kurssin suoritus 1. 40% laskuharjoitukset Alkuviikko: laskareissa laskettavia tehtäviä + verkkotehtäviä Loppuviikko: etukäteen laskettavia tehtäviä + kirjallisesti palautettavia

6 1.1 Kurssin suoritus 1. 40% laskuharjoitukset Alkuviikko: laskareissa laskettavia tehtäviä + verkkotehtäviä Loppuviikko: etukäteen laskettavia tehtäviä + kirjallisesti palautettavia 2. 40% loppukoe , uusinta- / korotusmahdollisuus tentissä 19.1.

7 1.1 Kurssin suoritus 1. 40% laskuharjoitukset Alkuviikko: laskareissa laskettavia tehtäviä + verkkotehtäviä Loppuviikko: etukäteen laskettavia tehtäviä + kirjallisesti palautettavia 2. 40% loppukoe , uusinta- / korotusmahdollisuus tentissä % luentotehtävät tehdään MyCoursesissa ennen jokaista luentoa tarkoituksena tutustua luennon aiheeseen hieman etukäteen

8 1.1 Kurssin suoritus 1. 40% laskuharjoitukset Alkuviikko: laskareissa laskettavia tehtäviä + verkkotehtäviä Loppuviikko: etukäteen laskettavia tehtäviä + kirjallisesti palautettavia 2. 40% loppukoe , uusinta- / korotusmahdollisuus tentissä % luentotehtävät tehdään MyCoursesissa ennen jokaista luentoa tarkoituksena tutustua luennon aiheeseen hieman etukäteen 4. 10% harjoituskokeet, 2-3 kpl ajankohdista tiedotetaan myöhemmin, noin 2-3 vrk aikaa tehdä

9 1.1 Kurssin suoritus 1. 40% laskuharjoitukset Alkuviikko: laskareissa laskettavia tehtäviä + verkkotehtäviä Loppuviikko: etukäteen laskettavia tehtäviä + kirjallisesti palautettavia 2. 40% loppukoe , uusinta- / korotusmahdollisuus tentissä % luentotehtävät tehdään MyCoursesissa ennen jokaista luentoa tarkoituksena tutustua luennon aiheeseen hieman etukäteen 4. 10% harjoituskokeet, 2-3 kpl ajankohdista tiedotetaan myöhemmin, noin 2-3 vrk aikaa tehdä tai pelkkä TENTTI

10 1.1 Oma tavoite kurssilla??

11 1.1 Oma tavoite kurssilla?? Läpipääsy? Riittävän hyvä arvosana? 3? 5? Oppia ymmärtämään asiat? Saada riittävät esitiedot muita kursseja varten? Joku muu?

12 1.1 Palauteryhmä Palautetta jo kurssin aikana voi ottaa huomioon jo tällä kurssilla! Kokoontuu noin 2 kertaa kurssin aikana esim. kahvilassa. Noin 3-6 henkilöä Vapaaehtoisia? Ilmoittaudu luentotauolla tai lähetä sähköpostia luennoitsijalle.

13 2.0 Ensimmäinen luento Lukujonot Sarjat Geometrinen sarja Suhdetesti

14 3.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = Z + = {1, 2, 3,... }.

15 3.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = Z + = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Huom! Joskus käytetään merkintää N = {0, 1, 2, 3,... }.

16 3.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = Z + = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Huom! Joskus käytetään merkintää N = {0, 1, 2, 3,... }. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... } = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }.

17 3.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = Z + = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Huom! Joskus käytetään merkintää N = {0, 1, 2, 3,... }. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... } = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}.

18 3.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = Z + = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Huom! Joskus käytetään merkintää N = {0, 1, 2, 3,... }. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... } = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen joukko R.

19 3.2 Lukujonot Lukujono = ääretön jono reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

20 3.2 Lukujonot Lukujono = ääretön jono reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Täsmällinen tulkinta: Lukujono on funktio f : N R, jolle f (n) = a n.

21 3.2 Lukujonot Lukujono = ääretön jono reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Täsmällinen tulkinta: Lukujono on funktio f : N R, jolle f (n) = a n. Jonon indeksöinti voi alkaa myös jostakin muusta arvosta kuin 1. Jos indeksin alkuarvo ei ole tärkeä tai tilanne on muuten selvä, voidaan käyttää merkintää (a n ).

22 3.2 Lukujonot Lukujono = ääretön jono reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Täsmällinen tulkinta: Lukujono on funktio f : N R, jolle f (n) = a n. Jonon indeksöinti voi alkaa myös jostakin muusta arvosta kuin 1. Jos indeksin alkuarvo ei ole tärkeä tai tilanne on muuten selvä, voidaan käyttää merkintää (a n ). Joissakin sovelluksissa esiintyy myös jonoja, joiden indeksijoukkona on kaikkien kokonaislukujen joukko Z. (a k ) k Z = (..., a 2, a 1, a 0, a 1, a 2,... )

23 3.2 Käytännössä Jonoja voidaan määritellä

24 3.2 Käytännössä Jonoja voidaan määritellä antamalla yleisen termin lauseke; esimerkiksi a n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 16,... ).

25 3.2 Käytännössä Jonoja voidaan määritellä antamalla yleisen termin lauseke; esimerkiksi a n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 16,... ). rekursiivisesti palautuskaavojen avulla, erityisesti monissa numeerisissa menetelmissä. Esimerkiksi f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 2 + f n 1, kun n 2 Fibonaccin lukujono (0, 1, 1, 2, 3, 5,... ).

26 3.2 Käytännössä Jonoja voidaan määritellä antamalla yleisen termin lauseke; esimerkiksi a n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 16,... ). rekursiivisesti palautuskaavojen avulla, erityisesti monissa numeerisissa menetelmissä. Esimerkiksi f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 2 + f n 1, kun n 2 Fibonaccin lukujono (0, 1, 1, 2, 3, 5,... ). tekemällä mittauksia jostakin systeemistä; esimerkiksi äänen voimakkuus tasaisin aikavälein (idealisoituna äärettömäksi jonoksi).

27 3.2 Perusongelmat Mitä jonon ominaisuuksia saadaan selville yleisen termin tai palautuskaavojen avulla?

28 3.2 Perusongelmat Mitä jonon ominaisuuksia saadaan selville yleisen termin tai palautuskaavojen avulla? Miten palautuskaavasta saadaan yleisen termin lauseke?

29 3.2 Perusongelmat Mitä jonon ominaisuuksia saadaan selville yleisen termin tai palautuskaavojen avulla? Miten palautuskaavasta saadaan yleisen termin lauseke? Esimerkiksi Fibonaccin jonolle f n = 1 5 ( ϕ n ( ϕ) n), jossa ϕ = on ns. kultaisen leikkauksen suhde.

30 4.1 Sarja Lukujonon (a k ) k N osasummien osasummien jono (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., s n = a 1 + a a n = n a k. k=1

31 4.1 Sarja Lukujonon (a k ) k N osasummien osasummien jono (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., s n = a 1 + a a n = n a k. k=1 Määritelmä 1 Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R, niin sanotaan, että jonosta (a k ) muodostettu sarja suppenee ja sen summa on s. Tällöin merkitään a 1 + a 2 + = a k = lim k=1 n k=1 n a k = s.

32 4.1 Indeksöinti Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin jono (a k ); esim. jonon (a k ) k=0 osasummat ovat s 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1 jne.

33 4.1 Indeksöinti Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin jono (a k ); esim. jonon (a k ) k=0 osasummat ovat s 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1 jne. Suppenevaan sarjaan voidaan tehdä summausindeksin siirtoja: esim. a k = k=1 a k+1 = k=0 a k 1. k=2

34 4.1 Indeksöinti Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin jono (a k ); esim. jonon (a k ) k=0 osasummat ovat s 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1 jne. Suppenevaan sarjaan voidaan tehdä summausindeksin siirtoja: esim. a k = k=1 a k+1 = k=0 a k 1. k=2 Näissä kaikissa summissa ensimmäinen termi on a 1.

35 4.1 Sarjan hajaantuminen (1/2) Jos sarja ei suppene, niin se hajaantuu. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla:

36 4.1 Sarjan hajaantuminen (1/2) Jos sarja ei suppene, niin se hajaantuu. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla: 1. osasummat lähestyvät ääretöntä 2. osasummat lähestyvät miinus-ääretöntä 3. osasummien jono heilahtelee niin, ettei raja-arvoa ole.

37 4.1 Sarjan hajaantuminen (1/2) Jos sarja ei suppene, niin se hajaantuu. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla: 1. osasummat lähestyvät ääretöntä 2. osasummat lähestyvät miinus-ääretöntä 3. osasummien jono heilahtelee niin, ettei raja-arvoa ole. Hajaantuvan sarjan tapauksessa merkintä k=1 ei oikeastaan tarkoita mitään. Usein sovitaan sen tarkoittavan osasummien jonoa, joka on aina hyvin määritelty. a k

38 4.1 Sarjan hajaantuminen (2/2) Monet sarjoihin liittyvät kummallisuudet (esim. 0 = 1-todistus) johtuvat siitä, että sarjan summaaminen tulkitaan operaatioksi, jossa kaikki jonon alkiot lasketaan yhteen samalla kertaa. Näin ei ole, vaan summa lasketaan osasumminen raja-arvona. Tämän vuoksi osa äärellisten summien laskusäännöistä ei enää päde sarjoille. Joissakin tapauksissa esimerkiksi sarjan summa voi muuttua, jos termien järjestystä vaihdetaan.

39 4.2 Geometrinen sarja Lause 2 Geometrinen sarja n aq k k=0 suppenee, jos q < 1 (tai a = 0), jolloin sen summa on Jos q 1, niin sarja hajaantuu. a 1 q.

40 4.2 Geometrinen sarja Lause 2 Geometrinen sarja n aq k k=0 suppenee, jos q < 1 (tai a = 0), jolloin sen summa on Jos q 1, niin sarja hajaantuu. n Perustelu: Sarjan osasummille pätee josta väite seuraa. k=0 a 1 q. aq k = a(1 qn+1 ), 1 q

41 4.2 Geometrinen sarja Lause 2 Geometrinen sarja n aq k k=0 suppenee, jos q < 1 (tai a = 0), jolloin sen summa on Jos q 1, niin sarja hajaantuu. n Perustelu: Sarjan osasummille pätee josta väite seuraa. Yleisemmin a q k = aqi 1 q k=i k=0 a 1 q. aq k = a(1 qn+1 ), 1 q sarjan 1. termi =, kun q < 1. 1 q

42 4.2 Suhdetesti tärkein tapa suppenemisen tutkimiseen idea: termejä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan

43 4.2 Suhdetesti tärkein tapa suppenemisen tutkimiseen idea: termejä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan Lause 3 Jos jostakin indeksistä alkaen on voimassa a k+1 a Q < 1, k niin sarja a k suppenee.

44 4.2 Suhdetesti tärkein tapa suppenemisen tutkimiseen idea: termejä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan Lause 3 Jos jostakin indeksistä alkaen on voimassa a k+1 a Q < 1, k niin sarja a k suppenee. Perustelu: Sarjan alku ei vaikuta sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidaan olettaa kaikille indekseille.

45 4.2 Suhdetesti tärkein tapa suppenemisen tutkimiseen idea: termejä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan Lause 3 Jos jostakin indeksistä alkaen on voimassa a k+1 a Q < 1, k niin sarja a k suppenee. Perustelu: Sarjan alku ei vaikuta sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidaan olettaa kaikille indekseille. Tästä seuraa a k Q a k 1 Q 2 a k 2 Q k a 0, joten sarjalle saadaan suppeneva geometrinen majorantti.

46 4.2 Suhdetestin raja-arvomuoto Lause 4 Jos on olemassa raja-arvo lim a k+1 k a = q, niin k sarja a k suppenee, jos 0 q < 1, hajaantuu, jos q > 1, voi olla suppeneva tai hajaantuva, jos q = 1. Viimeisessä kohdassa ei siis saada mitään tietoa suppenemisesta. Näin käy mm. harmonisen (hajaantuva!) ja yliharmonisen (suppeneva!) sarjan kohdalla.